Конечно-разностный анализ вариационноразностных и КЭ схем Чекмарев Д.Т., ННГУ им. Н.И.Лобачевского Задача Дирихле Задача Дирихле 2 2 u u 1) 2 0 2 y x u ( x, y ) 2 2 1 u u 2) W dxdy min 2 x y u ( x, y ) Метод конечных разностей i+1j+1 ij+1 h2 h1 ij i+1j 2u 1 2u 1 2 (u i 1 j 2u ij u i 1 j ) , 2 2 (u ij 1 2u ij u ij 1 ) 2 x h1 y h2 1 1 2 (ui 1 j 2uij ui 1 j ) 2 (uij 1 2uij uij 1 ) 0, (i, j ) h h2 h1 uij ( xij , yij ) (i, j ) h Вариационно-разностный метод Функционал 2 Вариационное уравнение 2 1 u u W dxdy 2 x y u u u u W dxdy 0 x x y y Вариационно-разностный метод Дискретизация 1 u (u i 1 j u i 1 j 1 u ij 1 u ij ) d1 u ij , x ij 2h1 1 u (u i 1 j u i 1 j 1 u ij 1 u ij ) d1 u ij , x ij 2h1 u 1 (u ij 1 u i 1 j 1 u i 1 j u ij ) d 2 u ij , y ij 2h1 u 1 (u ij 1 u i 1 j 1 u i 1 j u ij ) d 2 u ij y ij 2h1 Вариационно-разностный метод Дискретное вариационное уравнение Wh d u d u d u d u S 0 ( i , j ) h 1 1 2 2 ij ij Собирая коэффициенты при u ij , получим разностную схему 1 (u i 1 j 1 2u i 1 j u i 1 j 1 ) 2(u ij 1 2u ij u ij 1 ) (u i 1 j 1 2u i 1 j u i 1 j 1 ) 4h12 1 (u i 1 j 1 2u ij 1 u i 1 j 1 ) 2(u i 1 j 2u ij u i 1 j ) (u i 1 j 1 2u ij 1 u i 1 j 1 ) 0, (i, j ) h 2 4h2 Метод конечного элемента Функционал 2 1 u u W dxdy 2 x y 2 Прямоугольный билинейный элемент Метод конечного элемента Функция в элементе u C0 C1 C2 C3 u u C1 C3 x u u C2 C3 y Wh Дискретный функционал 1 2 (i , j )h h1 2 h2 2 2 2 2 1 1 2 u u 2 2 2 2 d d ( C C ) h h C h h ( h h 1 2 1 2 3 1 2 1 2 ) h h x y 2 (i , j )h 12 ij 1 2 2 Метод конечного элемента Вариационное уравнение 1 2 2 Wh (C1C1 C 2C 2 )h1h2 C3C3 h1h2 (h1 h2 ) 0 12 ij ( i , j ) h Выражение коэффициентов через узловые неизвестные 1 (u ij u i 1 j u ij 1 u i 1 j 1 ) d 0 u 4 С1 d1 u ij С0 С2 ij d u 2 ij 1 С3 (u ij u i 1 j 1 u i 1 j u ij 1 ) d 3 u h1 h2 Wh ij 1 2 2 d u d u d u d u C C ( h h 1 2 2 3 3 1 2 ) S 0 1 12 ij ( i , j ) h Метод конечного элемента Собирая коэффициенты приu ij , получим разностную схему 1 (ui 1 j 1 2ui 1 j ui 1 j 1 ) 2(uij1 2uij uij1 ) (ui 1 j 1 2ui 1 j ui 1 j 1 ) 2 4h1 1 2 (ui 1 j 1 2uij1 ui 1 j 1 ) 2(ui 1 j 2uij ui 1 j ) (ui 1 j 1 2uij1 ui 1 j 1 ) 4h2 1 1 1 2 2 (ui 1 j 1 2uij1 ui 1 j 1 ) 2(ui 1 j 2uij ui 1 j ) (ui 1 j 1 2uij1 ui 1 j 1 ) 0, 6 h1 h2 (i, j ) h Сеточные методы Нерегулярная сетка Регулярная сетка b2 Равномерная сетка b1 Определение равномерной сетки xij1 x01 b11 b12 2 i j x x2 b b ij 0 21 22 xij1 x01 i 2 Bh j x x2 ij 0 x(1i ) x01 i1 . . i2 . B или h . . . n n i x n (i ) x0 x(i ) i1 i2 x0 Bh (i ), где (i ) i n Вывод дифференциального уравнения из вариационной задачи Функционал -> Вариационное уравнение-> Интегрирование по частям -> Уравнение Эйлера вариационной задачи Построение конечноразностного представления вариационно-разностной или КЭ схемы Функционал -> Сеточный функционал-> Дискретное вариационное уравнение-> Интегрирование по частям(сеточное)-> Разностная схема Сеточные операторы Основные операторы d m f j k Ш d 0 f f Ox , d m f mk f j k , f Ox , m1,..., n m X Сопряженные операторы d f f , m j m k Ш m k j k m (1) K K – порядок производной Теорема (разностный аналог формул интегрирования по частям) Формулы интегрирования по частям: Пусть f g 0 на V , тогда V g f f dV g dV m m X X V (*) Справедливы равенства (аналоги (*)): f d j m g j V V d f g V , m 0,..., n j m m j V j j Метод преобразования вариационно-разностных схем в конечно-разностный вид. Пусть u u1 ,..., u m - векторная функция, p jk u j Xk W F u1 ,..., u n , p11 ,..., pmn dV - функционал. V В вариационном уравнении m F F uj W uj k u P X k 1 j jk V j 1 m заменим интеграл конечной суммой: m f d 0 u j l V j 1 u j f l P k 1 jk m d k u j l V 0, l Применяя формулу, получим разностный аналог уравнений Эйлера вариационной задачи dV 0 Здесь n d f j 0 d k f jk 0 , j 1,, m 0 k 1 f j 0 f u j , f jk f p jk . j 1,, m . Рассмотрим случай квадратичного функционала с постоянными коэффициентами, когда подынтегральная функция имеет вид n n 1 m ij ij F (u1 ,, u m , p11 ,, pmn ) C00ui u j C0 k ui p jk C klij pik p jl 2 i , j 1 k 1 k ,l 1 В этом случае сеточные функции являются линейными: n m f jk C rsjk d r u s f j 0 f u j , f jk f p jk j 1,, m; k 0,, n r 0 s 1 и система сеточных уравнений принимает вид n rs rs C d d u C d d u j 0 r 0 s jk r k s 0 r 0 s 1 k 1 n m Или n rs rs C j 0 Dr 0 u s C jk Drk u s 0, r 0 s 1 k 1 n j 1,, m где m D jk d j d k j 1,, m j, k 0,..., n. 2 D00 I ; D j 0 , D0 j ; D , D kj j jk X X j X k , Случай нескольких элементов в ячейке Система примет вид: n rs * rs * C D u C D u j 0 ro s jk rk s 0, r 0 s 1 k 1 n где m p D *jk l d j ,l d k,l l 1 j 1,, m Преобразование схем МКЭ (двумерный случай) Функционал Wh r F u, p1, p2 d i, j h k 1 i j k функция в элементе в виде u mk 1 C llk или mk 1 dlk u ij lk u l 0 l 0 Получим после интегрирования: Вариация функционала: Wh Wh f d u f r i , j h k 1 k0 Разностная схема: k 0 i , j h k 1 d mk 1u ij km k 1 r mk 1 r k l dlk f kl k 1 l 0 0 k ij 0 , , ijmk 1 Эрмитовы элементы Функция в виде u 3mk 1 C l 0 или u d u mk 1 k l l 0 lk 0 lk d lk p1 ij lk1 d lk p2 ij lk 2 Функционал Wh ij l r i , j h k 1 k ij 0 ,, ijmk 1 ,ij 0 ,,ijmk 1 , ij 0 ,, ijmk 1 , ijl d l u ij ,ijl d l p1 ij , ijl d l p2 ij Разностная схема r mk 1 k 1 l 0 f kl l dlk f kl 0 r mk 1 k 1 l 0 l dlk g1kl k k k , g1 kl , g 2 kl ijl ijl ijl 0 r mk 1 l dlk g2 kl k 1 l 0 0 Элементы, содержащие дополнительные узлы Сирендипов элемент: Разностная схема: r m 1 k 1 d l l f1kl 0, k 1 l 0 , r m 1 ks l dl f skl 0. k 1 l 0 k1 ks Пример: одномерный эрмитов элемент: Функционал: b 2 u W u dx x a 2 Сетка равномерная с шагом h u c0 c1x c2 x 2 c3 x 3 d0 f i 1 u ui 1 , 2 i d1 f i 1 u u h i 1 i h2 h2 3h2 c2 , d1 u c1 c3 , d0 p c1 c3 , d1 p 2c2 4 4 4 Разностная схема: d0 u c0 h2 12 89 2 2 33 2 2 d d u d 0 d1 p h d1 d1 u h d1 d 0 p 0, 6 5 280 5 280 0 0 h2 h4 h2 2 19 2 2 41 2 d1 d 0 u d1 d1 p h d 0 d1 u h d 0 d 0 p d1 d1 p 0. 6 64 5 280 5 840 6 операторы: 1 1 f i 1 2 f i f i 1 , d0 d1 f d1 d0 f f i 1 f i 1 , 4 2h 1 d1 d1 f 2 f i 1 2 f i f i 1 . h d0 d0 f Пример: восьмиузловой сирендипов элемент Функционал: 2 2 1 u u W dx dy 2 x y Сетка равномерная прямоугольная с шагами h1,h2 2 2 2 u c0 c1x c2 y c3 xy c4 x c5 y c6 x y c7 xy Разностная схема: h 2 2 2 2 1 h 2 d31 d31 u 16 d01 d01 u d01 d02 16 d01 d01 u d01 d03 w 1 5h 2 2 2 2 12 12 5 3h 1 3h 2 9h 1 5h 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 3 d2 d2 u d2 d1 22 d1 d1 u d1 d1 w d1 d1 w d2 d1 0, 3 3 9h 1 5 1 5h 2 2 1 16 2 1 2 2 2 2 2 2 d1 d1 2 d0 d0 u d0 d0 22 d1 d2 u d1 d1 3h 1 5 9h 1 1 2 2 1 2 1 2 2 d1 d1 d1 d2 u d1 d1 0, 3 3 d13 d13 w 16 d 3 d01 u d13 d13 w 2 1 3h 2 1 5h 22 3 1 2 d1 d1 u d13 d13 w 5 9h 1 1 1 d13 d13 w d13 d11 u d13 d13 w 0. 3 3 Применение. Теория пластин Тимошенко (одномерная задача) Система уравнений в безразмерном виде 2 w 2 w a 0 2 2 x т x 2 2 w 12a w 2 0 2 2 x x т эквивалентна одному уравнению четвертого порядка 4 w 12a 2 w 1 4 w 1 4w 2 1 0. 4 2 2 2 4 a т x т a x т Схема МКР w, aD11w D01 Dтт w 0 w, D11 12a 2 D01w Dтт w 0 Вариационно-разностная схема w, aD11 w D01 Dтт w 0 w, D11 12a 2 D01w D00 Dтт w 0 Схема МКЭ (линейный элемент) w, aD11w D01 Dтт w 0 h12 12a w, D11 2 D01w D00 D11 Dтт w 0 12 В виде одного уравнения: МКР 2 x 1 3a D D w 12 D w 1 тт 11 11 2 1 1 D11 Dтт w Dтт Dтт w 0. a a В-Р М D11 D11w 1 1 D D w 1 D D w Dтт Dтт w 0. 11 тт 00 тт 2 a a 12 МКЭ 2 x 1 a D D w 12 D * D w 1 1 D D w 1 D D w 0. 0 тт 11 тт тт тт 2 11 11 a a Тестовая задача: поперечные колебания квадратной пластины Типы сеток а 1111 узлов(X/h=5) б 2121 узел(X/h=2.5) в Треугольная сетка: два типа ячеек = * Dij 1 Dij D ji 2 + Ажурные сетки Ячейка ажурной сетки Шаблон Самая ажурная сетка Окрестность узла Ажурная сетка самая ажурная сетка Анализ аппроксимации с учетом взаимного расположения элементов Типы элементов: 8-узловой с неполным интегрированием (схема Уилкинса): u(x1,x2,x3)=c0+c1x1+c2x2+c3x3 4-узловой линейный: u(x1,x2,x3)=c0+c1x1+c2x2+c3x3 с разбиением гексаэдра на 5 тетраэдров (базовый вариант) с разбиением гексаэдра на 5 тетраэдров (ажурный вариант) с симметричным разбиением гексаэдра на 6 тетраэдров с несимметричным разбиением гексаэдра на 6 тетраэдров с разбиением гексаэдра на 5 тетраэдров ажурная схема (базовый вариант) «суперажурная» схема Построение сеточного оператора КЭ схемы (линейный элемент) Функция в элементе: u c0 c1 x1 c2 x 2 c3 x 3 Представление коэффициентов: c0 d 0 u, c1 d1 u, c2 d 2 u, c3 d 3 u Сеточные операторы: d m mk T( k ) k Ш T( k ) f (i ) f (i ) ( k-) оператор сдвига: f d 0 f f Ox , d m f m Ox , m1,2,3 x Сопряженные операторы: 0 1, m 1, (m 1,2,3) d 0 f f Ox , d m d m m m k T(k ) k й f f Ox , m1,2,3 m X Случай нескольких элементов в параллелепипеде Предположим, что каждая элементарная ячейка равномерной сетки (параллелепипед) разбита на p ячеек вариационно-разностной схемы (многогранников с вершинами в узлах элементарной ячейки). Каждому многограннику соответствует свой шаблон и соответственно система операторов d q,l (q=0,...,n; l=1,...p). Пусть объемы многогранников равны p l V l 1,, p . При этом l 1. Тогда разностная схема примет вид l 1 p d l 1 l 0 ,l p f j 0l l d k,l f jkl 0 Разбиение гексаэдра на 5 элементов: Разбиение гексаэдра на 6 элементов: Ажурная схема: n k 1 l 1 1 1 p 5 : 1 , 2 3 4 5 3 6 p 6 : 1 2 3 4 5 6 1 6 p 5 : 1 1, 2 3 4 5 0 Система уравнений Ламе теории упругости 2u grad div u u 2 t Схемы МКЭ D11 u1 D12 u 2 D13 u3 u1 u1 D31 u1 D32 u 2 D33 u3 u3 u3 D21u1 D22 u2 D23 u3 D u 2 Dtt u2 Операторы сеточного дифференцирования: Схема Уилкинса: Схемы линейного КЭ: Ажурная схема: «Суперажурная» схема: Сеточный оператор Лапласа: Dij d i d j p Dij l d i,l d j ,l l 1 Dij 1 d i ,1d j ,1 d j ,1d i,1 2 Dij d i,1d j ,1 D D11 D22 D33 Разбиение гексаэдра на тетраэдры Разбиение на 5 тетраэдров Разбиение на 6 тетраэдров симметричное несимметричное Аппроксимация уравнения. Ажурная u схема u u u D11u ijk 1 2 uij 1k 1 uij 1k 1 uij 1k 1 uij 1k 1 4uijk 4h1 u i 1 j 1k ui 1 j 1k ui 1 jk 1 ui 1 jk 1 D12u ijk i 1 j 1k i 1 j 1k i 1 jk 1 i 1 jk 1 2u 2 O ( h ) 1 2 ( x ) 1 2u ui1 j1k ui1 j1k ui1 j1k ui1 j1k 1 2 O(h 2 ) 4h1h2 x x Шаблон ажурной сетки Аппроксимация уравнения. «Суперажурная» схема u u u u D11u ijk D i 1 j 1k i 1 j 1k i 1 jk 1 i 1 jk 1 1 2u 2 uij 1k 1 uij 1k 1 uij 1k 1 uij 1k 1 4uijk O(h 2 ) 1 2 4h1 ( x ) u i 1 j 1k ui 1 j 1k ui 1 jk 1 ui 1 jk 1 12( 21) u ijk 1 ui1 j 1k ui1 j 1k ui1 j 1k ui1 j 1k () 4h1h2 1 ui1 jk 1 ui1 jk 1 uij1k 1 uij1k 1 ui 1 jk 1 ui 1 jk 1 uij1k 1 uij1k 1 4h1h2 2u 1 2 O ( h) x x Окрестность узла суперажурной сетки Аппроксимация уравнения. 5 тетраэдров в параллелепипеде D11u ijk ui 1 j 1k ui 1 j 1k ui 1 jk 1 ui 1 jk 1 1 1 2 uij 1k 1 uij 1k 1 uij 1k 1 uij 1k 1 4uijk 3 4h1 u u u u i 1 jk 1 i 1 jk 1 i 1 j 1k i 1 j 1k 2u 2 1 ui1 jk 2uijk ui1 jk 1 2 O(h 2 ) 2 3 h1 ( x ) D12u ijk 1 ui1 j 1k ui1 j 1k ui1 j1k ui1 j1k 4h1h2 1 ui1 jk 1 ui1 jk 1 uij 1k 1 uij 1k 1 ui1 jk 1 ui1 jk 1 uij 1k 1 uij 1k 1 12 h1h2 2u 1 2 O ( h) x x Базовый вариант отличается от ажурного тем, что центральные тетраэдры в соседних параллелограммах в базовом варианте одинаково ориентированны, в ажурном же разбиении центральные тетраэдры имеют разную ориентацию Разбиение ячейки Аппроксимация уравнения. 6 тетраэдров в параллелепипеде (симметричное разбиение) 1 2u D11u ijk 2 ui1 jk 2uijk ui1 jk 1 2 O(h 2 ) ( x ) ui 1 jk 1 uij 1k 1 ui 1 j 1k 1 uijk 1 1 2 u u u 2 u u u u i 1 jk 1 ij 1k 1 i 1 j 1k 1 ijk i 1 j 1k ij 1k i 1 jk 6h1h2 uij 1k 1 ui1 jk 1 uijk 1 ui1 j1k 1 h1 D12u ijk 2u 1 2 O(h 2 ) x x Расположение тетраэдров в параллелепипеде Аппроксимация уравнения. 6 тетраэдров в параллелепипеде (несимметричное разбиение) Расположение тетраэдров в параллелепипеде Порядок точности схем МКЭ схема Уилкинса схема полилинейного КЭ схемы линейного КЭ: разбиение на 5 тетраэдров симметричное разбиение на 6 несимметричное разбиение на 6 ажурная (базовый вариант) суперажурная 2 2 1 2 1 2 1 Численные результаты (ажурная схема) Задача о деформировании диска под действием внезапно приложенного давления h=1,5 см, R=14,85 см, =7,8 г/см3, E=210 ГПа, =0,3. P=0,17 ГПа. Сетка: 16 ячеек по толщине, 80 вдоль радиуса Ажурная схема Схема Уилкинса Схема Уилкинса со сглаживанием Колебания сферической оболочки h=3 см, Rвнутр =60 см, =7,8 г/см3, E=210 ГПа, =0,3. V0=100 м/сек. Сетка: 4 ячейки по толщине, 60 вдоль меридиана Период колебаний: Аналитическое решение: 4,30*10-4 сек. Численное решение: 4.48*10-4 сек. Задача о колебаниях бруса квадратного сечения под действием приложенного давления L=10 см, h1=1 см, h2=1 см, =7,8 г/см3, E=210 ГПа, =0,3. P=0,17 ГПа. Сетка: 40x4x4 ячеек, 80x8x8 ячеек Тест на внутреннюю сходимость (скорость в центре нагруженной грани) Сравнение трех схем на крупной сетке • схемы Уилкинса: 1025 узлов и 640 элементов • ажурная схема: 512 узлов и 640 элементов • схема на тетраэдрах: 1025 узлов и 3200 элементов Сравнение трех схем на мелкой сетке • схемы Уилкинса: 6561 узлов и 5120 элементов • ажурная схема: 3280 узлов и 5120 элементов • схема на тетраэдрах: 6561 узлов и 25600 элементов Сравнение с решением ANSYS (Ls Dyna) на крупной сетке Сравнение с решением ANSYS на мелкой сетке Сравнение временных затрат на решение Схема t – время счета, с t / tA (t- tA)/ tA∙100% ажурная, 4x4x40 12 1 0% cуперажурная, 4x4x40 11 0,917 -8,33% Уилкинс, 4x4x40 17 1,417 41,67% тетраэдры, 4x4x40 77 6,417 541,67% ажурная, 8x8x80 216 1 0% cуперажурная, 8x8x80 155 0,718 -28,24% Уилкинс, 8x8x80 324 1,5 50,00% тетраэдры, 8x8x80 1336 6,185 518,52% Все вычисления (кроме ANSYS) были выполнены с помощью разных вариантов одной программы, поэтому была возможность сравнить их по реальной эффективности. Расчеты производились на одном компьютере в однопроцессорном режиме Упругопластические задачи (теория течения с линейным кинематическим упрочнением) Задача 1. Динамический изгиб балки под действием взрыва Модуль Юнга Е, фунт/дюйм2 10.7106 Коэффициент Пуассона 0.33 Плотность , фунтc2/дюйм4 2.510-4 Предел текучести σТ, фунт/дюйм2 Модуль упрочнения, фунт/дюйм2 41200 61200 Ажурная схема Схема Уилкинса Решение ANSYS Задача 2. Динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки Модуль Юнга Е, Гпа 71.8 Коэффициент Пуассона 0.3 Плотность , г/cм3 2.6697 Предел текучести σТ, МПа 280 Модуль упрочнения, 1/3g, МПа 140 Деформированная конфигурация пластинки Интенсивность пластических деформаций (вид «сверху») Задача 3. Динамический изгиб бруса с отверстием Матери Матер ал 1 иал 2 110.37 11.37 0.32 0.32 4.99 е-7 4.99 е-7 Предел текучести σТ – 0.0468 Модуль упрочнения – 0.03 Пластическая – 11% Модуль Юнга Е F Материал1 Коэффициент Пуассона 700 525 Материал 2 190 25 48 105 Плотность деформация разрушения Ажурная схема Решение ANSYS Статическая задача теории упругости. Сравнение результатов с ANSYS Деформация полого цилиндра между двумя жесткими плоскостями: Статика, внутренний радиус Ri=0.05 м, внешний радиус Ro=2*Ri, длина полого цилиндра L=12*Ri, смещение каждой жесткой плоскости при сдавливании 0.01*Ri, свойства материала: модуль упругости E=200 ГПа, коэффициент Пуассона =0.3, количество элементов 10*16*60. в силу симметрии рассчитывалась восьмая часть от трубы. ANSYS(слева), ажурная схема (справа) Поперечное смещение в центре контактного пятна вдоль оси цилиндра: Продольное смещение в центре контактного пятна вдоль оси цилиндра: Полное (модуль) смещение в центре контактного пятна вдоль оси цилиндра: Контактное давление(пятно контакта) Список литературы 1. 2. 3. 4. 5. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом .Учебное пособие. Нижний Новгород, изд-во ННГУ, 2000. 118 с. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Об индексной коммутативности численного дифференцирования // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1989. Т. 29. № 5. С. 662-674. Горельский В.А., Зелепугин С.А., Смолин А.Ю. Исследование влияния дискретизации при расчете методом конечных элементов трехмерных задач высокоскоростного удара // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37. № 6. С. 742-750. Чекмарев Д.Т. Численные схемы метода конечного элемента на «ажурных» сетках // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып. 2. С. 49-54. Жидков А.В., Зефиров С.В., Кастальская К.А. Спирин С.В., Чекмарев Д.Т. Ажурная схема численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности// Вестник ННГУ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2011. № 4, часть 4. С. 1480-1482. Спасибо за внимание