Метод размерности Идея проекта: Яшкова Е. Ю. В физике… нет места для путаных мыслей… Действительно понимающие природу того или иного явления должны получать основные законы из соображений размерности. Э.Ферми Система единиц – СГС (Сантиметр – грамм - секунда) совокупность единиц физических величин, образованных в соответствии с принятыми принципами для некоторой системы физических величин. МКГСС (Метр - килограмм-сила – секунда) СИ (Метр – килограмм – секунда - Ампер – Кельвин – моль – кандела) Преимущества: 1.Отсутствуют переводные коэффициенты. 2.Нет дробных размерностей Размерность ф.в. - выражение, показывающее связь данной физической величины с величинами, положенными в основу системы единиц. Записывается в виде символов соответствующих основных величин с определенными показателями степеней. Пример: формула размерность u=L/t (РПД) [ u ]=[L/T]=[L·T-1] a=2L/t2 [a]=[L/T2]=[L·T-2] Безразмерные величины- величины, в которые все основные величины входят в степени, равной нулю. Таблица основных единиц СИ Величина Наименование Единица Размерность Наименование обозначение Что принято за единицу Длина L метр м Метр представляет собой расстояние, проходимое в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 долю секунды Время T секунда с Секунда равна 9192631770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 Масса М килограмм кг Килограмм равен массе международного прототипа килограмма Температура Т0 кельвин К Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды Количество вещества N моль моль Моль равен количеству вещества системы, содержащий столько частиц, сколько содержится атомов в углероде12 массой 0,012кг Сила электрического тока I ампер А Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1м силу взаимодействия =2*10ˉ7Н Сила света J кандела кд Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540*10¹² Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет1/683 Вт/ср Таблица производных единиц СИ Величина Единица Комментарий наименование размерность наименование обозначение площадь L² Квадратный метр м² плотность MLˉ³ Килограмм на кубический метр кг/м³ сила МLТˉ² ньютон Н F=ma давление Lˉ¹MTˉ² паскаль Па p=F/S жесткость МТˉ² Ньютон на метр Н/м K=F/х импульс МLТˉ¹ Килограмм-метр в секунду Кг·м/с p=mu энергия L²МТˉ² джоуль Дж Е=mv2/2=mgh Количество теплоты L²МТˉ² Удельная теплоемкость джоуль Дж джоуль- на килограммкельвин Q=FL C=Q/m∆T Электрический заряд ТI кулон Кл Напряженность электрического поля LМТˉ³ Вольт на метр В/м Удельное сопротивление L³MTˉ³Iˉ² Ом на метр Ом·м Магнитная индукция MTˉ²Iˉ¹ тесла Тл Алгоритм решения задач методом размерности 1. Записать дано. 2. Составить уравнение зависимости искомой величины от заданных в виде: A=CBα Eβ Dγ …. ,где Сбезразмерная const; B,E,Dф.величины α,β,γ - действительные числа 3. Записать наименование единиц измерения всех величин через основные единицы СИ. 4. Подставить наименования физ.величин в составленные уравнения 5. Составить равенства показателей степеней однородных величин с учетом правил действий со степенями. 6. Решить систему, найти показатели степеней 7. Подставить найденные показатели степеней в записанное уравнение. NB! Числовой коэффициент из теории размерности определить нельзя. Задача: Как зависит от пройденного пути h скорость свободного падения тела, если начальная скорость его равна нулю? h H2 Энергетический ЗСЭ: mgH1=mu²/2 + mgH2 mu²/2=mg(H1-H2) Н1 u u= 2g(H1-H2)= 2gh Метод размерности U=Cgαhβ, где С=const [U]=[м/с]=[мс-1]; [g]=[м/с2]=[мс-2]; [h]=[м] мс-1=( мс-2)α(м)β мс-1=мαс-2αмβ 1=α + β -1=-2α → α=1/2 → β=1/2 U=Cg1/2h1/2=С√gh Эксперименты показали, что скорость звука в газах зависит от давления и плотности среды. Сравните скорости звука в газе для двух состояний. Плотности и давления в средах считать заданными. V=С· рα· ρβ, где С=const [V]=[м· с-1]; [р]= [Н/м2]=[кг· м/(с2· м2)] = =[кг· м-1· с-2]; [ρ]=[кг/м3]=[кг· м-3] м· с-1=кгα· м -α· с -2α· кгβ· м -3β 1=-α-3β -1=-2α → α=½ 0=α+β → β=-½ V=C· √р/ρ → V1/ V2=√(р1/р2)· (ρ2/ ρ1) Оцените силу сопротивления тел, движущихся в жидкости. F=C · Vα· ρβ· Sγ, где С=const [Н]=[кг· м· с-2]; [V]= [м· с-1]; [ρ]= [кг· м -3]; [S]=[м2] кг· м· с-2= мα· с-α· кгβ· м -3β· м2γ 1=β 1=α-3β+2γ → γ=(1-α+3β)/2 -2=-α → α=2 γ=(1-2+3)/2=1 F=C·V2·ρ· S Найти связь скорости распространения упругих волн V в стержне от модуля Юнга Е и плотности материала ρ V=С· Еα·ρβ, где С=const [V]=[м· с-1]; [Е]=[Па]= [кг· м-1· с-2]; [ρ]=[кг· м -3] м· с-1= кгα· м -α· с -2α· кгβ· м -3β 1=-α-3β -1=-2α → α=½ 0=α+β → β= -½ V=C· √Е/ρ Объем газового пузыря, образовавшегося в результате глубинного подводного взрыва колеблется с периодом, пропорциональным рαρβεγ, где р – давление, ρ – плотность воды, ε – полная энергия взрыва. Найти α,β,γ. Т = Срαρβεγ [Т]=[с]; [p]=[кг· с-2· м-1]; [ρ]=[кг· м-3]; [ε]=[кг· с-2· м2] с = кгα · с-2α · м-α · кгβ · м-3β · кгγ · м2γ · с-2γ 1=-2α-2γ (1) 0=α+β+γ (2) 0=- α-3β+2γ (3) (2)+(3): 0= -2β+3γ β=3γ/2 (4) Из (1): α=(-2γ-1)/2=-γ-½ (5) (4) и (5) в (3): 0=γ+1/2 - 9/2γ+2γ γ=1/3 (6) (6) в (4): β=½ (6) в (5): α=-5/6 Т=Ср-5/6ρ1/2ε1/3 Ученые обратили внимание на то, что единицы длины, времени и массы «приспособлены» к людям и связаны с особенностями планеты Земля, но могут оказаться «неудобными» при контакте с представителями внеземных цивилизаций. Поэтому было предложено в качестве основных механических единиц взять фундаментальные постоянные с=3·108м/с, G=7·10 -11Н·м2/кг2 и ħ=1·10-34Дж·с. Тогда единицы длины lp, времени tp и массы mp будут производными от этих физических величин и выражаться через них. Такие единицы назвали планковскими. Выразите единицы длины lp, времени tp и массы mp через «новые» основные единицы с, G и ħ , взятые в соответствующей степени, рассчитайте их. Примите коэффициент пропорциональности между производной единицей и основными единицами равным 1. 1. lp=cαGβћγ 2. [с]=[м ∙с-1]; [G]=[Н ∙м2/с2]=[кг ∙м/с2∙ м2/с2]=[м3 ∙с -2 ∙ кг-1]; [ћ]=[Дж ∙ с]=[Н ∙м ∙с]=[кг ∙м2 ∙с-1] 3. м = мα ∙с-α∙ м3β ∙с -2β ∙ кг-β∙ кгγ ∙м2γ ∙с-γ 4. 1=α+3β+2γ (1) 0= -α-2β-γ (2) 0= -β+γ β=γ (3) (3) в (2): 0= -α-3γ α=-3γ (4) (3) и (4) в (1): 1=-3γ+3γ+2γ γ=½ (5) (5) в (3): β=½ (5) в (4): α=-3/2 lp=c-3/2G½ћ½=√Gћ/c3 lp=1,6∙10-35м 1. tp=cαGβћγ 2. с = мα ∙с-α∙ м3β ∙с -2β ∙ кг-β∙ кгγ ∙м2γ ∙с-γ 3. 1= -α-2β-γ (1) 0=α+3β+2γ (2) 0= -β+γ β=γ (3) (3) в (2): α= -5γ (4) (3) и (4) в (1): 1=5γ-2γ-γ γ=½ (5) (5) в (3): β=½ tp=c-5/2 G½ћ½=√Gћ/c5 (5) в (4): α=-5/2 tp=5,4∙10-44с ‼ tp= lp /с 1. mp=cαGβћγ 2. кг = мα ∙с-α∙ м3β ∙с -2β ∙ кг-β∙ кгγ ∙м2γ ∙с-γ 3. 1=-β+γ (1) 0=α+3β+2γ (2) 0= -α-2β-γ (3) (2)+(3): 0=β+γ β=-γ (4) (4) в (1): 1=2γ γ=½ (5) (5) в (4): β= -½ (6) (5) и (6) в (3): α= ½ Тогда, mp=c½G-½ћ½=√cћ/G mp=2,1∙10-8 кг Применение: Метод размерности нашел плодотворное применение в тех областях физики (гидравлика, аэродинамика…),где строгое решение задачи часто наталкивается на значительные трудности из-за большого числа параметров, определяющих физические явления. В экономике В математике (теорема Пифагора) Обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи