Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно универсальный объект в классе метрических компактов. П. В. Семенов, . Дубна, 22 июля 2015 Гильбертов куб -1 Имеются три модели (варианта определения) Q1. Множество всех последовательностей чисел из отрезка [0; 1] (иногда [-1; 1]). Расстояние: d (( x1 , x2 , x3 ,...); (y1 , y 2 , y3 ,...)) x1 y1 x2 y2 2 x3 y3 4 ... 2 Q2. Подмножество гильбертова пространства (квадратично суммируемых последовательностей), состоящее из тех векторов, у которых n-я координата принадлежит отрезку [0;1/n]. Расстояние (евклидово): (( x1 , x2 , x3 ,...); (y1 , y2 , y3 ,...)) (x1 y1 ) (x 2 y 2 ) (x 3 y3 ) ... 6 2 2 2 Q3. Декартово произведение [0; 1] х [0; 1] х [0; 1] х… с (тихоновской) топологией. Гильбертов куб -2 Счетное число попарно перпендикулярных базисных векторов. Длина (=расстояние до (0,0,0,…)) первого = 1, длина второго = ½, третьего = ¼, ….. Гильбертов куб -3 Гильбертов куб Q содержит все конечномерные кубы [0; 1], [0; 1] х [0; 1], [0; 1] х [0; 1] х [0; 1], … и значит содержит (гомотетичные) копии всех компактов лежащих на прямой, на плоскости, в пространстве,… Оказывается, что гильбертов куб Q содержит (гомеоморфные) копии вообще всех метрических компактов. Теорема. Для любого метрического компакта Х найдется подкомпакт X ' Q и гомеоморфизм h (=непрерывная в обе стороны биекция) X X ' h1 h 1 X Y , h непрерывно ? ? h гомеоморфизм ( h непрерывно) h 1 Ответ: нет, но да для компактного Х, тогда к тому же Y = h(X) будет компактом. Гильбертов куб -4 Ф1. (Топология поточечной сходимости.) An A0 An сходится к А0 покоординатно Док-во. , а трив n 0 x x k k 1 1 j j d (A n ; A0 ) j 1 j 1 j 1... j k 1... j 1 j 1 k 1 2 2 2 Ф2. У Q – континуум «вершин». Точнее, множество вершин биективно (и гомеоморфно) КМ К. Док-во. Множество «вершин» – это множество всех последовательностей из 0 и 1. Биективность очевидна, а непрерывность – из-за поточечной сходимости. ! В любой окрестности любой вершины есть еще вершины 101111…, 100111…., 10001111…., ….. 10000…. Гильбертов куб -5 Ф3. Множество всех граней всюду плотно в Q (в любой окрестности любой точки есть точки из граней). Док-во. 1 d (( x1 , x2 ,..., xn , x n 1 ,...); ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, 0...)) n 2 Множество всех последовательностей чисел из (0; 1) – псевдовнутренность P гильбертова куба Q. Ф4. Q – компакт (Б-В: в любой последовательности есть сход. под-ть) Док-во. В модели Q3 – теорема Тихонова. В модели Q2 – полнота гильбертова пространства + замкнутость Q + наличие конечных сетей. Гильбертов куб -6 Док-во. В модели Q1 – через Б-В для отрезка. A1 Q опр A2 Q A3 Q опр опр ... ? выбрать сход. подп ть ... x11 x12 x13 ... числа из [0;1] x12 x22 x23 ... числа из [0;1] x31 x32 x33 ... числа из [0;1] ... x10- первую координату нужного предела 1) Чтобы найти применим Б-В к последовательности первых координат x1n1 , x1m2 , x1m3 ,.... x10 [0;1] An ; а в качестве первого члена сход.подп-ти возьмем Все остальные точки будут выбираться из мест m2 , m3 , m4 ,... и сходимость первых координат сохранится 1 Гильбертов куб -7 0 x 2) Чтобы найти 2 - вторую координату нужного предела применим Б-В к последовательности вторых координат точек подпоследовательности, выбранной на шаге 1) x2m2 , x2m3 , x2m4 ,.... x2n2 , x2p3 , x2p4 ,.... x20 [0;1] а в качестве второго члена сход.подп-ти возьмем An ; при этом в первых координатах мы «перешли» к под-ти, от чего сходимость к x10 сохранится. 3) Далее аналогично, 2 x3p3 , x3p4 , x3p5 ,.... x3n3 , x3s4 , x3s5 ,.... x30 [0;1] и т.д. Получим точку A0 Q и подп-ть An , An , An ,...... которая сходится к A0 поточечно и, значит, сходится в Q. 1 2 3 Гильбертов куб -8 Ф 5. Декартово произведение счетного числа метрических компактов – метрический компакт. Док-во. Уже. Ф 6. Q – непрерывный образ К. Док-во. Множество натуральных индексов 1,2,3,4,… разобьем на попарно непересекающиеся бесконечные подмножества. Каждая точка из К, т.е. последовательность из 0 и 2 задаст тогда счетное число последовательностей из 0 и 2, т.е. последовательность элементов из К. Это биекция и непрерывность проверяется. Значит, K h 1 h K "на" [0;1] K K ... "на" "на" .... [0;1] [0;1] ..... Q Гильбертов куб -9 Док-во теоремы об универсальности. Сначала повторим то, что было в «КМ» Для любого 0 в метрическом компакте ( X , ) есть конечная сеть. Строим конечные сети для 1, 1/ 2, 1/ 3,.... . Выписываем поочередно все сети друг за другом. Получаем последовательность {s1 ,s2 ,...} плотную в X. Можно считать, что всегда (x, y) 1 Отображение h : X Q определяем равенством h( x) ( x, s1 ), ( x, s2 ), ( x, s3 ),.... Если x y, то есть точка sn , которая к х ближе, чем к y. Тогда n-е координаты h(x) и h(y) – разные, т.е. h- иньекция h X ' . Покоординатная непр-ть: X Если h( X ) X ', то h ( x; sn ) ( y; sn ) ( x; y). Значит, h – непрерывно и X' - компакт. Поэтому и h 1 непрерывно. 1 Гильбертов куб -10 У гильбертова куба есть свойства похожие на свойства конечномерных кубов, но есть и совсем не похожие. Например, все выпуклые компакты на прямой – отрезки, все выпуклые компакты на плоскости (в пространстве,…) гомеоморфны квадрату (трехмерному кубу,….) Теорема Келлера (1931) Любой бесконечномерный выпуклый компакт в гильбертовом пространстве гомеоморфен Q. Факт удивительный и сложный: нет никакой «почти гомотетии» так как нет внутренних точек Гильбертов куб -11 Гомеоморфизм пространства на себя – автогомеоморфизм При автогомеоморфизме конечномерного куба внутренние точки переходят во внутренние, а граничные - в граничные. h [0;1] , 0 h(0) 1 Например, от противного, пусть [0;1] 1 h гомеом Тогда h : (0;1] [0;1] \{h(0)}, но слева множество связное, а справа – нет. Для больших размерностей – гомотопические группы….. Итак, конечномерные кубы топологически неоднородны. А вот Q – топологически однороден: локально между его точками нет «никакой разницы». Теорема Для любых двух точек гильбертова куба существует автогомеоморфизм куба, переводящий одну точку в другую. Mix Если Х – бесконечный компакт, то множество Р(Х) всех вероятностный мер на Х (с «интегральной» метрикой) гомеоморфно Q. Если Х – пеановский континуум (=непрерывный образ отрезка), то его компактная экспонента expX (множество всех подкомпактов) гомеоморфно Q. Всякое компактное гомеоморфно Q. стягиваемое Q-многообразие Спасибо за внимание.