Касательная к графику функции: презентация 10 класс

Презентация к уроку по теме
«Касательная к графику функции»
Алгебра и начала анализа 10 класс
Учитель математики
Секисова Татьяна Николаевна
МБОУ «СОШ № 4»
г Касимов, Рязанская область.
2013г
Цели урока
Обобщить, систематизировать
и углубить знания по теме
«Геометрический смысл производной»
Задачи урока
1..Развивать умение применять теоретические
знания при составлении уравнения касательной к
графику функции y=f(x) в точке x0.
2.Развивать умение распределять время урока,
оценивать свою учебную деятельность.
План
1.Повторение теоретического материала.
Решение кроссворда.
2.Составление уравнения касательной.
3.Решение примеров. Взаимопроверка.
Самопроверка.
4.Решение сложных задач.
5.Решение заданий В 8 в формате ЕГЭ.
6.Задание на дом.
7. Самостоятельная работа.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1. Соответствие, при котором каждому элементу из множества Х
соответствует один элемент из множества У, называется ...
2. Множество точек на координатной плоскости, образующих линию.
3. Значение Х на координатной плоскости.
4. График квадратичной функции.
5. Сторона прямоугольного треугольника.
6. Отношение противолежащего катета к прилежащему.
7. Геометрическая фигура.
8. Буква греческого алфавита.
9. Значение У на координатной плоскости.
10.Независимая переменная.
11.График линейной функции.
12. Прямая, имеющая с кривой одну общую точку.
ф
п
т
о
а
у
р
у
г
а
а
к
н
г
а
д
п
н
р
б
р
а
г
о
л
и
р
к
а
с
а
т
е
л
ь
н
а
я
ц
ф
ц
б
е
н
и
и
и
о
т
с
ф
а
р
м
а
т
г
а
я
к
с
л
а
у
я
с
а
а
м
е
н
Ответы: 1.Функция. 2.График. 3,Абсцисса. 4.Парабола. 5.Катет. 6. Тангенс.
7.Угол. 8.Альфа. 9.Ордината. 10.Аргумент. 11. Прямая.
12 . Касательная
т
y
касательная
секущая
B
A
β
α
0
x0
∆ x
x
x
Если ∆x→0,то ∆f→0
x→x0
f(x)→f(x0)
B→A
α→ β
Чтобы составить уравнение
касательной к графику функции
y=f(x) в точке x0 надо найти:
1) у'=f'(x).
2) у'(x0) =f'(x0) ; 3) у(x0) =f(x0)
4) Подставим найденные числа , в
формулу
'
y  f х0 x  х0   f х0 .
y=kx+b, где f'(x0) = k = tgβ, β- угол наклона
касательной к положительному направлению
оси Ох.
Составить уравнение касательной к графику
1
функции y 
в точке
x 0.  1
x
Решение
1) f ( x0)  f (1)  1
1
1

2 ) f ( x)  ( )   2
x
x
'
cos x
у  f ( х0)(х  х0)  f ( х0)
y  1  ( x  1)
y  2 x
Ответ y  2  x
Составить уравнение касательной
к графику функции y=f(x) в точке x0.
У=-х²+4, x0=-1
•3
;
Проверь свое решение
Составить уравнение касательной
к графику функции y=f(x) в точке x0.
У=-х²+4, x0=-1
y  f x 0 x  x 0   f x0 
'
f х   2 х.
'
f  1  2  (1)  2, k  2.
'
f  1  (1)  4  3
2
y  2x  1  3
y  2х  5
•3
;
Составить уравнение
касательной к графику
функции y=f(x) в точке x0.
•
Решение
Проверь свое решение
Проверь свое решение
Составить уравнение касательной
к графику функции y=f(x) в точке x0.
у  х , x 0  1.
3
y  f x 0 x  x 0   f x 0 
'
f х   3х.
'
f 1  3  1  3, k  3.
'
f 1  1  1
3
y  3x  1  1
y  3х  2
•
Составить уравнение касательной
к графику функции y=f(x) в точке x0.
3
у   х  1, x 0  1.
Решение.
y  f  x 0  x  x 0   f  x 0 
'
f  х   3 x .
2
'
f 1  3  1  3, k  3.
'
f 1  1  1  2
3
y  3 x  1  2
y  3 х  1
Составить уравнение касательной к графику функции
y=f(x) в точке x0.
у
y
х  3  4, x 0  4 7
Решение.
y  õ3  4
6
5
4
3
2
1
-1 0
-2
х
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Проверь свое решение
Составить уравнение касательной к графику функции
y=f(x) в точке x0.
у
Решение.
y
х  3  4, x 0  4 7
6
1
5
y 
,
2 x3
4
1
1 3
y ( 4) 
 ; 2
2 43 2
1
y  õ3  4
y ( 4)  4  3  4  5
01 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
1
у  ( х  4)  5
-2
2
1
у  х3
2
х
Составить уравнение
касательной к графику функции
у = tgx в точке x0 =0
Решение.
Проверь свое решение
Составить уравнение касательной к
графику функции у = tgx в точке x0 =0
Решение.
1) f ( õ0)  f (0)  tg 0  0
1
2) f ( x)  (tgõ) 
2
cos x
1
'
'
3) f ( x 0)  f (0) 
1
2
cos 0
'
4) y  f ( õ0)  f ( õ0)( x  õ0)
y  0  1  ( x  0)
'
Îòâåò : y  x
Второй тип уравнения касательной.
Напишите уравнение касательной к графику функции
y=f(x0) , если касательная параллельна прямой y= kx+b.
Алгоритм нахождения.
1. Найдем производную функции.
2. Так как угловой коэффициент касательной к графику
функции y= f(x0) равен значению производной
функции, т.е. k=f ' (x0) , то абсциссу точки касания
найдем, решив уравнение f '(х0) = k
3.Найдем значение функции в точке x0 .
4.Подставив найденные значения в формулу
y  f ' õ0 x  õ0   f õ0 ,
получим уравнение касательной .
Написать уравнение касательной к графику
x3
функции y 
, чтобы она была параллельна
3
прямой y  4 x . 5
,
Две прямые параллельны
тогда и только тогда, когда
их угловые коэффициенты
равны
Решение.
Проверь свое решение
Решение
y  4x  5
3
x
y
3
1)kêàñ  4, kêàñ  f ( x)  4;
'
x  1
2) f ( x)      3  x 2  x 2
 3  3
'
2
2
3) f ( х)  х  х  4; х1  2 и х2  2
3
'
.
,
2
8
(2)
8
f ( õ1 ) 
 ; f ( õ2 ) 

3 3
3
3
3
4)
3
3) f ' ( х1 )  f ' ( х2 )  4
4) у  f ( х 0)  f ( х 0)( х  х 0)
Ìû
16
16
èì . äâå êàñàò . : y  4 x  è y  4 x 
3
3
Третий тип уравнения касательной.
Написать уравнение касательной к графику функции
у=f(x) , если известно ,что эта касательная проходит
через точку A(x0,y0).
Алгоритм решения.
Найдем производную функции.
Пусть x0 – предполагаемая точка касания, тогда
значение производной в этой точке равно f'(x0)
Найдем значение функции в точке касания.
Составим общее уравнение касательной, применяя
формулу
y  f ' х0 x  х0  f х0 .
 

 
В полученное общее уравнение подставим
координаты точки и, решив его, найдем значение x0.
Чтобы получить искомое уравнение касательной ,
нужно значение x0 подставить в общее уравнение
касательной .
Составить уравнение
касательной к графику
функции y=f(x), если
касательная проходит
через точку А(х;у)
у  ( х  2)  1; A(3;1)
2
Решение
Пусть Х0-- предполагаемая
точка касания.
А
y  f  x 0  x  x 0   f  x 0 
'
Решение
у  ( х  2)  1;
2
A (3;1)
Пусть Х0-предполагаемая
точка касания.
f '  õ  2 õ  4;
f x 0   2 x 0 4
f x0   x 0 2  4 x 0  3
'
y  (2 x 0  4) x  x 0   x 0 2  4 x 0  3 
(2 x 0  4) x  x 0 3 .
2
 1  (2 x 0  4)  3  x 0  3.
2
x 0  6 x 0  8  0; x 0  4 x 0  2
2
ó  4 õ  13; ó  1
Мы имеем
две
касательных,
проходящих
через
точку А.
у=4х-13
и
у = -1.
А
Четвертый тип уравнения касательной.
Составить уравнение общей касательной к графикам функций y= f(X)
и y = g (x).
Алгоритм решения.
Введем предполагаемые точки касания х1 - для функции y= f(x) и
х2 - для функции y= g(x).
Найдем производные данных функций.
Найдем значения производных в этих точках f '(х1 ) и g ' (х2).
Найдем значения функций в этих точках y = f(х1) и y = g(х2).
Составим уравнения касательных соответственно для каждой
функции.
Выпишем угловые коэффициенты k1 , k2 и b1, b2
Так как касательная общая, то угловые коэффициенты равны и
равны значения b.
k1 = k2 и b1= b2
Составим систему уравнений и решив ее , найдем значения х1и х2
Найденные значения подставим в общие уравнения касательных.
Уравнения получились одинаковые. Получили уравнение общей
касательной к графикам
Составить уравнение
общей касательной
к графикам
функций
y=f(x) и y= g(x)/
у  ( х  2)  3
2
у  x
2
Решение
Пусть Х1 и Х2
предполагаемые
точки касания.
Пусть Х1 –предполагаемая точка касания прямой
с графиком функции y=-x²
y  f '  x 0  x  x 0   f  x 0  b1
y   x 2 ; х1.
f '  х   2 х; f '  х1  2 х1.
y   x1 .
2
y  2 x1 x  x1  x1 .  2 x1 x  x1
2
y  2 x1 x  x1 2
k 1  2 x1 ; b1  x1
2
2
Пусть Х2 –предполагаемая точка касания прямой
с графиком функции y=-(x+2)²-3
y  f '  x 0  x  x 0   f  x 0  b1
y  ( x  2)  3; x 2
2
f '  х   2 х  4; f '  х 2   2 x 2  4.
y   x2  4x2  7
2
y  ( 2 x 2  4 )  x  x 2   x 2 2  4 x 2  7 
 ( 2 x 2  4) x  x 2 2  7.
y  ( 2 x 2  4 ) x  x 2  7 .
2
k 2  2 x 2  4; b 2  x 2 2  7.
у  ( х  2)  3
2
у  x
2
Решение
На рисунке изображен график производной функции
y = f´(x), определенной на интервале (– 7,5; 7). Используя
рисунок, Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции у = f(x) параллельна прямой у = 2х + 3 или
совпадает
с ней.
Ответ: 5 точек.
2
Используемая литература.
П.Т. Апанасов. Сборник задач по математике. М. Высшая школа. 1987 г.
Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс . 1998г
И.Л.Зайцев. Элементы высшей математики. М. Наука.1970 г.
Г.И. Ковалева и др. Математика . Тренировочные тематические
задания повышенной сложности. Изд. »Учитель» .Волгоград.2009г.
А.Н. Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. М.
Просвещение 2008г.
Ф.Ф. Лысенко ,С.Ю. Кулабухов и др. Подготовка к ЕГЭ 2009.
ООО «Легион-М» 2009.
Тесты для абитуриентов. Математика. Федеральный центр
тестирования. 2000 -2006 г
Периодические издания. Журнал «Математика в школе» , 1 сентября
«Математика».
ФИПИ. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. АСТ.
Астрель М. 2009-2012г.
Интернет ресурсы.
y
lim
 f ' ( x0 )
x 0 x
f ' ( x0 )  tg
f ( x0 )  k
'
  острый  tg  0
2 1
f ( x0 )    0,5
4 2
'
Ответ : f (2)  0,5
f ( x0 )  tg  k
Для вычисления углового коэффициента
касательной достаточно найти отрезок
касательной с концами в вершинах клеток
и, считая его гипотенузой прямоугольного
треугольника, найти отношение катетов.
Самостоятельная
работа
(приложение №1,
6 вариантов).
Спасибо за
внимание.