Использование одномерной замкнутой модели для численного исследования кровотока при атеросклерозе и

Использование одномерной
замкнутой модели для
численного исследования
кровотока при атеросклерозе и
переноса веществ
*Симаков
С.С., Ян Наинг Со (МФТИ),
Василевский Ю.В., Иванов Ю.А. (ИВМ РАН),
Саламатова В.Ю. (НОЦ ИВМ РАН), Добросердова Т.К., (МГУ)
Математические модели и
численные методы в биоматематике
28.10.2011
1
Содержание
1. Мотивация
2. Замкнутая модель кровотока
3. Модель эластичных свойств
стенки сосуда
4. Примеры использования:
кавафильтры, атеросклероз,
транспорт медикаментов
2
Мотивация
3
Мотивация
Установка кава-фильтров
4
Мотивация
Атеросклероз
1. липидная инфильтрация (липоидоз)
2. формирование тромбов на поверхности бляшек (атероматоз)
3. распад атеросклеротической бляшки (атерокальциноз)
5
Мотивация
Транспорт медикаментов
6
Замкнутая модель
кровотока
7
Замкнутая модель кровотока
1) Баланс массы:  S    uS   0
t
2) Баланс
импульса:
x
2, S  S0
 S 
u  u p 

     16u
,  S    S S0
2
t  x 2  
Sd
 S  S , S  S0
 0
2
3) Граничные условия:

k  k1 ,..., kM
 kmQk  0,  km  1, Qk  uk Sk
pk  t , xk   pmnode  t   k RkmQk , xk  0, Lk
аппроксимация условия совместности
вдоль характеристики покидающей область
8
Замкнутая модель кровотока
3) Граничные условия:
 1  1S1  1  S1 
 P1 


 


S


S
P2 


2
2 2
2
2 


F(S)  
R
0




...
...


 
 PN 
  N   N SN  N  SN 
N
N
N
N
N
    R j ,R ii     Rk ,R ij   Rk ,i, j , k  [1, N ]
i 1 j 1
j i
j 1 k 1
j i k i
k j
k 1
k i
k j
9
Замкнутая модель кровотока
3) Эластичность стенок
сосуда:
p  S   pext  t, x    c2 f  S 
exp  S S0  1  1, S  S0
f S   
ln  S S0  , S  S0
Моделирование
эластичных свойств!
Качественное поведение
кривой уравнения состояния и
соответствие форме сосуда
10
Модель эластичных
свойств стенки
сосуда
11
Модель эластичных свойств стенки
1) Напряжение в
деформированном
волокне:
2) Плотность силы
упругости:
3) Трансмуральное
давление:
 X 
T  


s



X
f  T  ,  
s
s


X
s
p  f ,n h
  X
 X
 R*  ,
 R* ,
T* 

s
 X    s



 s   X
0, s  R*

Для коллагеновых волокон:
R*  1
иначе
R*  1
12
Модель эластичных свойств стенки
13
Примеры
использования:
кавафильтры,
атеросклероз
14
Примеры использования:
кавафильтры


p T  f ,n h
15
Примеры использования:
атеросклероз
Тип 1
Тип 2
Тип 3

aE
b2
r r  
1  1  2  2
r
 a  b 1  2 1   

, a  r  b

16
Примеры использования:
атеросклероз (нелинейное приближение)
Модель трехслойной
оболочки
R RR
1
2
Фиброзный покров
R2  R  R3
Липидное образование
R3  R  R4
Стенка
система артерии
относительно p1 , p2 , K


2
2
p0 r1  p1r2

f
f

  f       
r2  r1


1 r 2 dW
R
dr
 p1  p2 

Kr
dr


p2 r3
a 2
a 2





 
 a   
r4  r3

r  r2
r  r4
r 2  R 2  K , f  1
, a  3
R1  R2
R3  R4
3
2

Неогуковская модель
 2
W  (r  2  z2  3)
2

17
Результаты. Атеросклероз: сравнение
линейного и нелинейного приближений
Здоровый сосуд
Атеросклероз: просвет
10%
18
Примеры использования:
атеросклероз в сосудистой сети
Poston, 2009
19
Примеры использования:
атеросклероз в сосудистой сети
ВСА
НСА
ОСА
20
Результаты. Атеросклероз:
нелинейное приближение.
ВСА
ОСА
НСА
ВСА
ОСА
Здоровый сосуд
НСА
Просвет 50%
Просвет 30%
21
Результаты. Атеросклероз:
нелинейное приближение.
Здоровый сосуд
Просвет 50%
Просвет 30%
22
Примеры
использования:
перенос веществ
23
Примеры использования:
перенос веществ
1) Для внутренних точек сосудов
C jk
t
 uk
C jk
x
 Fjk  t , x, C1 ,..., CJ 
2) Для точек стыковки сосудов
C j ,k  t , xk  
m(


m um  0)
 mCm, j  t , xm  Qm  t , xm 
m(


m um  0)
Qm  t , xm 
 k uk  0
3) В камерах сердца
C j ,m dVm
Qim  C j ,i


 
,  m  1  4
dt
Vm dt i iQim 0 Vm
dС j ,m
24
Примеры использования:
перенос веществ
4) Для внутренних точек сосудов при введении вещества в
плазму и обмене между плазмой и эритроцитами
1,2
1
Cin  x, t 
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
tstart t1
0,4
0,6
t2
0,8
1
1,2
1,4
1,6
tend
CI
C I
u
   CI  C II   Cin  x, t 
t
x
CII
C
 u II    CI  CII 
t
x
25
Примеры использования:
перенос веществ
5) Обмен в тканях
CI
C
 u I    CI  CII     CI  Ctissue 
t
x
CII
CII
u
   CI  CII 
t
x
dCtissue
   CI  Ctissue   Ctissue
dt
26
Примеры использования:
перенос веществ
27
Примеры использования:
перенос веществ
CI
  0.01
CI
  0.001
C II
  0.01
C II
  0.001
28
Примеры использования:
перенос веществ
CI
CI
C II
C II
29
Настройка моделей
под конкретного
пациента
30
Настройка моделей под
конкретного пациента
31
Настройка моделей под
конкретного пациента
32
Настройка моделей под
конкретного пациента
33
Настройка моделей под
конкретного пациента
34
Выводы
1) Разработанный мультимодельный комплекс
позволяет рассчитывать глобальное состояние
всей ССС в т.ч. при комплексных патологиях
2) Для повышения практической значимости
комплекса требуется разработка новых
технологических приёмов настройки модели с
учётом параметров конкретного пациента
35
Спасибо!
36