Лекция №6. Неизэнтропическое движение газа 1.1. Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Для поддержания равномерного движения реальной жидкости в трубе постоянного сечения необходимо к сечениям трубы, ограничивающим участок длиной , приложить движущий перепад давления Δp , который смог бы уравновесить сопротивление трения, препятствующего движению жидкости по трубе. Этот перепад давления выразится формулой. p тр 2 l Vср d 2 где d – диаметр трубы; – плотность жидкости, принимаемая постоянной; Vср – средняя по сечению трубы скорость движения жидкости; тр – коэффициент сопротивления трения. Будем считать среднюю скорость Vср совпадающей со скоростью V одномерного движения, а тр – постоянной величиной, т.к. при больших скоростях он слабо зависит от Re, а сам критерий Рейнольдса на данном участке трубы меняется незначительно. Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Применим формулу сопротивления к сжимаемому газу на участке длиной dx dp тр тр 2 V dx d 2 Применим уравнение Эйлера в дифференциальной форме для одномерного стационарного движения реального газа dp ). (для идеального газа оно имеет вид VdV Для учета трения введем дополнительный перепад давления d тр. В результате получим dp dpтр dp V2 VdV тр dx 2d Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Представим это уравнение в виде dp 2 V 2 где dL V– удельная работа сил трения dx тр тр dV dLтр V (35) 2d Использовать дифференциальные формы уравнение неразрывности ( dp /p = - dv/v ) и состояния ( dp = R( pdT +Tdp) получим dp RdT RTd d dV (36) RdT RT RdT RT V Подставим значение dp/p из ( 35) получим dV dV 2 dV 2 RdT RT V dLmp RdT V RT dLтр 0 V V V С помощью выражения а kRT 2 придадим уравнению следующий вид 2 a 2 dV RdT V k V dLтр 0 (37) Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Так как T0 const (процесс энергетически изолированный), это эквивалентно условию k V2 k RT0 RT , k 1 2 k 1 Отсюда V 2 (k 1) , T0 T 2 Rk 2VdV (k 1) k 1 2 dV V dT 0 kR kR V k 1 2 dV RdT V k V (38) dT0 dT или Подставляя (38) в (37), приходим к соотношению, связывающему изменение скорости вдоль трубы постоянного сечения с работой сил трения. Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения dV k M 1 2 dLтр V a 2 (39) Работа сил трения всегда положительна ( dLтр 0 ). Поэтому согласно под влиянием трения дозвуковой поток (М 1) ускоряется (dV 0), асверхзвуковой (M 1) замедляется (dV 0). Непрерывный переход через скорость звука при воздействии только трением невозможен. Выведем формулы, определяющие изменение параметров газа вдоль изолированной трубы при наличии трения. Так как температура торможения не меняется, т.е. Т 01 Т 02 const Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения то термодинамическая температура определяется ранее полученными формулами k 1 2 1 2 T2 2 (40) k 1 k 1 2 T1 1 1 1 k 1 Вследствие постоянства температуры торможения критическая скорость вдоль трубы также не изменяется; отсюда отношение скоростных коэффициентов равно отношению скоростей и на основании уравнений неразрывности – обратному отношению 1 V1 2 плотностей 2 V2 1 (41) Подставив (40) и (41) в уравнение состояния, получим зависимость давления от k 1 2 1 2 приведенной скорости р 2 1 1 2 (42) k 1 р1 2 1 k 1 2 1 k 1 2 1 Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения В виду постоянства температуры торможения полное давление пропорционально плотности заторможенного газа k 1 2 1 1 p 02 02 p2 k 1 k 1 2 p 01 01 p1 1 2 k 1 , Отсюда получим р 02 02 р 01 01 1 1 2 1 k k k k 1 2 1 1 1 2 2 1 k k 1 1 k 1 (43) Присвоим 1 какое-либо постоянное значение, и будем рассматривать 2 как переменную величину, а параметры Т 2 , 2 , p2 , p02 , 02 – как функции переменной 2. Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Трение ускоряет дозвуковой поток, что приводит к росту 2, и замедляет сверхзвуковой, вызывая уменьшение этой величины. На рисунке изображены кривые Т , , p , Т 0 , p0 в функции скоростного коэффициента 2 для дозвукового потока ( 1 0,1), и для сверхзвукового потока ( 2,3 ) при k 1,4. Стрелки на кривых 1 указывают направление протекания процесса. Подчеркнем что значительное ускорение дозвукового и торможение сверхзвукового потоков под действием силы трения сопряжено с существенным расходованием полного давления. Из рисунка видно, что в дозвуковом потоке при T 2/T 1 наличии трения скорость увеличивается, наиболее p2/p1 2/1 интенсивно падают статическое давление, p 02/p 01 плотность и полное давление, тогда как 0,6 уменьшение температуры происходит в меньшей 0,4 степени. 0,2 T0 T p0 p 0 0,5 1,0 1,5 2,0 Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения В сверхзвуковом потоке скорость падает, интенсивно падает полное давление, все остальные параметры растут в последовательности: статическое давление, температура и плотность. Исследуем влияние трения на изменение скоростного коэффициента турбулентного газового потока в трубах постоянного диаметра. V 2 dx Работа силы трения записана ранее выражением : dLтр тр 2d Подставив d тр в формулу (39) получим М 2 dV k V2 M2 1 2 mp dx тр k dx V 2d 2d a Воспользовавшись постоянством критической скорости в трубе, из V которого следует равенство d и формулой M2 2 2 K 1 K 1 2 1 K 1 перейдем в соотношении (44) от М к dV V 1 * a d V a* d k dx ( 2 1) р (45) k 1 d Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Поскольку в трубе постоянного поперечного сечения согласно уравнению неразрывности V const , то Re по длине трубы изменяются незначительно (только за счет изменения коэффициента динамической вязкости М). На основании вышесказанного полагаем в уравнении (45) тр const и после интегрирования получим 2 х 2 (46) 1 1 2k 2 ln 12 22 1 k 1 тр d Здесь 1 – значение приведенной скорости в начале трубы при х = 0; 2– значение приведенной скорости в сечении х = х2 от начала. По уравнению (46) можно определить значение скоростного коэффициента в произвольном сечении трубы x, если известно , d, ТР и k. 1 Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения 1 Введем функцию и назовем безразмерную величину, ( ) 2 2 ln находящуюся в правой части уравнения (46) приведенной длиной трубы 2k x тр (47) k 1 d Тогда уравнение можно представить в следующем виде (48) 1 2 Таким образом, изменение скорости потока между двумя сечениями трубы таково, что разность функций в них равна приведенной длине данного участка трубы. Пользуясь графиком функции , можно определить изменение скоростного коэффициента потока по длине трубы в зависимости от значения и . тр Функция имеет минимум, равный единице, при 1 . Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Вследствие этого при заданном значении величина разности в левой части уравнения, будет наибольшей при 2 1 . Этому наибольшему значению соответствует некоторая критическая величина приведенной длины трубы кр. кр 1 1 (49) Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Действительно, приравняем нулю производную приведенной длины по 2 при const : 1 Отсюда находим d d 2 2 2 3 0 d2 d2 2 2 2 1 , так как при 2 1 d 2 6 2 4 2 4 2 d2 2 2 То условие 1определяет максимум величины приведенной длины 2 трубы для заданного 1 . Если поток на входе дозвуковой и приведенная длина трубы равна критической (максимальной) величине для данного 1, то на выходе из трубы скорость потока равна скорости звука и 2 1 . Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения На рисунке представлена зависимость предельного значения приведенной скорости на входе в трубу 1прот безразмерной длины трубы х/d для дозвукового потока при тр 0,015 и k 1,4. При этих значениях три пр 0,8 x k 1 1 57 d 2k тр 0,6 0,4 0,2 0 50 100 150 x/d Следует отметить, что полученному изменению приведенной скорости [формула (50)] как при 1 1, так и при 1 1 соответствует вполне определенное изменение полного и статического давления газа. Выше мы везде полагали, что такое изменение давления может быть всегда осуществлено (это являлось условием сохранения постоянного значения 1 при изменении приведенной длины трубы вплоть до получения 2 1 ). Если почему-либо указанное изменение давления невозможно при определенной величине перепада давлений в трубе, то рассматриваемое течение с заданной начальной приведенной скоростью может оказаться нереальным. k Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения При сверхзвуковом течении возможны следующие режимы: • если при заданной начальной скорости 1приведенная длина меньше максимальной ( кр ), то в конце трубы получается сверхзвуковое течение ( 2 1 ); • если приведенная длина равна максимальной ( кр ), то в конце трубы скорость равна критической ( 1 ); 2 • если же приведенная длина получается больше максимальной, то при • заданном значении скоростного коэффициента в начале трубы 1 , то плавное торможение сверхзвукового потока на протяжении всей трубы невозможно. В некотором сечении трубы произойдет скачок уплотнения, за которым установится ускоренное дозвуковое течени. Скоростной коэффициент перед скачком определяем из формулы '2 xск 1 2k 2 ln 2 тр ск 2 d 1 ' 1 k 1 1 (50) Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Скоростной коэффициент за скачком, где устанавливается ускоренное дозвуковое течение ( 1 ), связан с длиной дозвукового участка трубы, в конце которого имеет место кризис ( 2 1), формулой (48) отсюда 1 1 1 ln 2 2 x xск 2k ск тр d k 1 2 1 ln 2 ск (51) Решая совместно два уравнения (50) и (51) с двумя неизвестными приходим к уравнению с одним неизвестным по которому вычисляем 4 скорость перед скачком 1 1 2 ' 2 1 2 ln 2 (52) 1 1 После чего по формуле (51) определяем местоположения скачка. Формулы (47) и ( 48) неудобны (приходится применять метод последовательного приближения. Поэтому применим график. Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Кривая 1 отвечает вспомогательной зависимости 1 ln 2 (53) 2 Кривая 2 изображает функцию ' 2 1 ln '2 ск Кривая 3 соответствует функции (48) кр 1 2 1 ln 2 1 1 1 Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Поясним способ пользования этими кривыми на конкретном примере. Пусть дана труба с приведенной длиной 0,6 . По кривой 3 видно, что в этой трубе установится критический режим ( 2 1 ) при значении приведенной скорости на входе 1 1,95 . Проверим сначала характер течения в трубе в случае 1 1,95, например для 2,2 . По 1 Формуле(46) можно вычислить скорость в конце трубы 1 2 2 ln 2 2 1 2 1 ln 2 1 ск 1 2 или в соответствии (53) ск ск) 2 1 з бе чка а ск 3 Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения На кривой 1 по значению 1 2,2 находим точку, у которой 1 1,78 . Рассчитываем2 1,78 0,60 1,18 , и с помощью кривой 1 определяем значение приведенной скорости в конце трубы 1,4 . Итак, в трубе, имеющей приведенную длину , при 2 0,6 начальном значении приведенной скорости 1 = 2,2 происходит плавное торможение сверхзвукового потока до значения приведенной скорости 2 = 1,4. Пусть теперь труба имеет приведенную длину больше максимальной ( кр ). Данной задаче соответствуют значения 1 < 1,95. Положим 1 = 1,8. Тогда, согласно кривой 3, кр 0,48, т.е. кр . Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Теперь, пользуясь графиком, определим местоположение скачка уплотнения в трубе при 1 = 1,8. По кривой 1 находим j1 = 1,48, откуда 1,48 0,60 0,88 . 1 Остается найти значение ', при котором расстояние между кривыми 1 и 2 равно согласно ' ск 0,88 . Из графика находим, что этой величине соответствуют значения ' . 1,4 и ' 1,18 . по формуле 2 1 определим приведенное расстояние от начала трубы до скачка уплотнения: ск 1 ' 1,48 1,18 0,3 Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Описанным способом вычислены и нанесены на рисунок, расположенный справа, кривые изменения скоростного коэффициента (x) в трубе с приведенной длиной = 0,6, получающиеся при различных значениях приведенной скорости 1 в начале трубы (при =0). Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии сопротивления трения Как видим, скачок уплотнения располагается тем ближе к началу трубы, чем меньше начальная сверхзвуковая скорость газа. Значения дозвуковой скорости после скачка уплотнения лежат во всех случаях на универсальной кривой, соответствующей формуле 1 1 1 ln 2 2 При 1 1,6 скачок помещается в начале трубы , 1 ' т. е. участок сверхзвукового течения вовсе ликвидируется.