Г.И. Ковалева, Т.Ю. Дюмина целью

Г.И. Ковалева, Т.Ю. Дюмина
Варьирование задачи – основа построения
лабораторно-графических работ по стереометрии
Основной целью данных лабораторно-графических работ по стереометрии является отработка умений находить на многогранниках расстояние от точки до прямой,
угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями.
Основу лабораторно-графических работ составили задачи, получаемые с помощью варьирования условия или заключения. Сконструированные данным образом
задачи не только дают учащимся возможность применить изученные определения, отработать алгоритмы построения расстояния от точки до плоскости и углов между
прямой и плоскостью, между плоскостями, но и предупреждают типичные ошибки,
учат сравнивать, находить общее и особенное, анализировать условия задач, способствуют гибкости, глубине и осознанности знаний. Варьирование условия позволяет
акцентировать внимание учащихся на такую важную проблему как изображение многогранников в пространстве. Суть которой заключается в том, что мы изображаем
объемную фигуру на плоскости. В ходе выполнения лабораторно-графических работ
учащиеся видят, что условия разные, а изображения многогранников одинаковые. Поэтому необходимые построения требуют обоснования, ссылку на определения, свойства и признаки.
На наш взгляд, призмы и пирамиды должны быть определены уже на первых
уроках стереометрии без определения понятия многогранника. Сделать это не сложно,
так как учащиеся имеют представления о данных многогранниках. Определение
призм и пирамид позволит иллюстрировать изучаемый в дальнейшем теоретический
материал на этих фигурах, сформулировать и доказать ряд свойств призм и пирамид
при изучении параллельности и перпендикулярности в пространстве; расширит тематику решаемых задач.
Инструкция проведения лабораторно-графических работ
Перед выполнением работы необходимо вспомнить с учащимися алгоритм построений.
Затем учащимся предлагаются готовые бланки с изображениями многогранников, на которых они выполняют построения. Учитель проводит данную работ на доске, добиваясь от учащихся осознания выполняемых шагов путем комментирования,
обоснования, ответов на вопросы и так далее.
После выполнения построений учащимся можно предложить задачи, которые
решаются по готовым чертежам и не требуют громоздких вычислений. Решение задач
можно не записывать. Задачи рассчитаны для учащихся 10 класса (не используется
понятие объема многогранников).
Бланки лабораторно-графических работ в дальнейшем могут служить «шпаргалкой» для учащихся при решении более сложных задач.
Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой
 M , a   ?
1) Зафиксировать некоторую плоскость
М
 , в которой лежит прямая а.
2) Из точки М опустить перпендикуляр
MN к плоскости  .
a
N

F
3) Из точки N в плоскости  провести
перпендикуляр NF к прямой а.
4) По теореме о трех перпендикулярах
MF  a . Следовательно, MF – искомое
расстояние.
Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью
a,   ?
1) Найти точку пересечения М прямой а
К
с плоскость  .
2) Из точки К прямой а опустить пер-
a
пендикуляр КН к плоскости  .
3) Соединить точки Н и М. НМ – проекН

М
ция прямой а на плоскость  . Следовательно, KMH – искомый угол.
Алгоритм нахождения угла между плоскостями
 ,    ?
1) Найти прямую а – линию пересечения
А
плоскостей  и  .

2) Из любой точки А плоскости  провести перпендикуляр АК к прямой а.
3) Из точки А плоскости  провести
К
а

М
перпендикуляр АМ к плоскости  .
4) По теореме о трех перпендикулярах
MK  a . Следовательно, AKM – ли-
нейный угол двугранного угла между
плоскостями  и  .
I. Расстояние от точки до прямой
1) AF  (ABC). Найдите расстояние от F до CB.
F
F
А
B
F
А
B
C
ΔАВС–
А
B
C
равнобедренный
C
ΔАВС
– прямоугольный,
С = 900
2) ВF  (ABC). Найдите расстояние от F до АС.
F
ΔАВС
F
В
А
F
В
С
В
С
А
D
– тупоугольный,
С > 900
С
А
D
D
ABCD – квадрат
ABCD – ромб
ABCD – прямоугольник
3) BS  (ABC). ABCDEF – правильный шестиугольник. Найдите расстояние
от S до AB
от S до AF
S
S
B
S
B
C
C
D
A
E
B
C
D
A
F
от S до EF
D
A
F
E
F
E
Результат построений
1) AF  (ABC). Найдите расстояние от F до CB.
F
F
F
А
А
B
B
А
B
K
ΔАВС–
C
C
C
равнобедренный
K
ΔАВС
– прямоугольный,
С = 900
2) ВF  (ABC). Найдите расстояние от F до АС.
F
ΔАВС
F
F
В
В
С
– тупоугольный,
С > 900
В
С
O
O
А
K
А
D
ABCD – квадрат
С
А
D
ABCD – ромб
D
ABCD – прямоугольник
3) BS  (ABC). ABCDEF – правильный шестиугольник. Найдите расстояние
от S до AB
от S до AF
S
S
S
B
B
C
D
A
F
от S до EF
E
K
B
C
C
D
D
A
A
F
E
F
E
Задачи
1.1.1. В основании пирамиды FABC лежит равнобедренный треугольник АВС,
АВ=АС=10, ВС=12. Ребро AF перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите
расстояние от вершины F до ребра ВС.
О т в е т: 10.
1.1.2. В основании пирамиды FABC лежит прямоугольный треугольник АВС, С =
0
90 , ВС=12. Ребро AF перпендикулярно плоскости основания. Расстояние от вершины F
до ребра ВС равно 5. Найдите расстояние от вершины F до вершины В.
О т в е т: 13.
1.1.3. В основании пирамиды FABC лежит равнобедренный тупоугольный треугольник АВС, С = 1200, АС=СВ= 2 3 . Ребро AF перпендикулярно плоскости основания. Расстояние от вершины F до ребра ВС равно 5. Найдите расстояние от вершины F до плоскости АВС.
О т в е т: 4.
1.2.1. В основании пирамиды FABCD лежит квадрат ABCD со стороной равной 4. Ребро BF перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите расстояние от точки F
до диагонали АС.
О т в е т: 3.
1.2.2. Основанием пирамиды FABCD является ромб ABCD с углом А равным 600 и радиусом вписанной окружности 3 . Ребро BF перпендикулярно плоскости основания.
Найдите длину ребра BF, если расстояние от точки F до диагонали ромба АС рано 2 5 .
О т в е т: 4.
1.2.3. В основании пирамиды FABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами 3 и 4.
Ребро BF перпендикулярно плоскости основания. Найдите высоту пирамиды, если расстояние от точки F до диагонали прямоугольника АС рано 2,5.
О т в е т: 0,7.
1.3.1. Основанием пирамиды SABCDEF является правильный шестиугольник ABCDEF
со стороной 3 . Ребро BS перпендикулярно плоскости основания. Найдите расстояние от
вершины S до стороны АВ, если расстояние от вершины S до ребра EF равно 5.
О т в е т: 4.
1.3.2. В основании пирамиды SABCDEF лежит правильный шестиугольник ABCDEF
со стороной 3 . Ребро BS перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите
расстояние от вершины S до стороны AF.
О т в е т: 2,5.
1.3.3. В основании пирамиды SABCDEF лежит правильный шестиугольник ABCDEF,
большая диагональ которого равна 8 3 . Ребро BS перпендикулярно плоскости основания
и равно 5. Найдите расстояние от вершины S до стороны EF.
О т в е т: 13.
II. Угол между прямой и плоскостью
1) АА1  (АВС). Найдите угол между СB1 и (АА1С1).
А1
В1
А1
В1
С1
В1
С1
А
B
С1
А
B
С
ΔАВС–
А1
А
B
С
равносторонний
ΔАВС
С
– прямоугольный,
С = 900
ΔАВС
– тупоугольный,
С > 900
2) АА1  (АВС). ABCDFK – правильный шестиугольник. Найдите угол между
В1F и (АВС)
В1F и (КК1F1)
В1F и (АА1В1)
B1
C1
B1
A1
C1
A1
D1
D1
K1
F1
B
K1
D1
K1
F1
B
C
A
C
A
D
K
C1
A1
F1
B
C
A
B1
D
F
K
D
F
K
F
3) BD  (АВС). Найдите угол между CD и (ABD).
D
A
В
С
ΔАВС
– равносторонний
D
A
В
D
A
С
ΔАВС
В
С
– прямоугольный,
А = 900
ΔАВС
– прямоугольный,
С = 900
4) АА1  (АВС). Найдите углы между
В1D и (ABC)
B1D и (DD1C1)
A
B
C
D А1
к
в
а
д
р А
а
т
A
B
C
D А1
р
о
м
б
B1
В
В
B1
B1
C1
В
В
В
D
5) BF  (АВС). Найдите угол между
AF и (АВС)
DF и (BCF)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
A
B
C
D
р
о
м
б
F
А
F
В
С
А
D
В
С
А
D
F
F
В
А
CF и (ABF)
F
В
D
А
С
D
F
В
С
С
А
D
C1
D1
С
А
D
B1
А1
D1
С
С
D
C1
А1
D1
В
А
D
C1
D1
С
А
D
А1
D1
С
B1
C1
А1
D1
А
B1
C1
B1D и (ВВ1C1)
В
С
D
А
С
D
Результат построений
1) АА1  (АВС). Найдите угол между СB1 и (АА1С1).
А1
В1
А1
В1
А1
В1
K
С1
С1
С1
K
А
B
А
B
С
ΔАВС–
А
B
С
С
равносторонний
ΔАВС
– прямоугольный,
С = 900
ΔАВС
– тупоугольный,
С > 900
2) АА1  (АВС). ABCDFK – правильный шестиугольник. Найдите угол между
В1F и (АВС)
В1F и (КК1F1)
В1F и (АА1В1)
B1
B1
C1
C1
B1
A1
A1
A1
K1
F1
B
F1
B
C
K1
C
A
D
D
K
F1
B
C
A
A
D1
D1
D1
K1
C1
K
F
D
F
K
F
3) BD  (АВС). Найдите угол между CD и (ABD).
D
D
K
A
В
С
ΔАВС
– равносторонний
A
В
D
A
K
С
ΔАВС
В
С
– прямоугольный,
А = 900
ΔАВС
– прямоугольный,
С = 900
4) АА1  (АВС). Найдите углы между
В1D и (ABC)
B1D и (DD1C1)
A
B
C
D А1
к
в
а
д
р
А
а
т
A
B
C
D А1
р
о
м
б
B1
B1
C1
В
В
B1
В
А
D
B1
C1
D1
С
А
D
р
о
м
б
С
D
B1
C1
C1
K
А1
D1
В
В
С
А
D1
В
С
А
D
А1
D1
D
А
D
С
А
D
D
А
D
F
В
С
В
С
В
F
F
А
F
В
С
В
А
CF и (ABF)
F
F
K
А
D
5) BF  (АВС). Найдите угол между
AF и (АВС)
DF и (BCF)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
A
B
C
D
C1
А1
D1
С
B1
C1
А1
D1
B1D и (ВВ1C1)
K
С
D
С
В
А
D
Задачи
2.1.1. Сторона основания правильной призмы АВСА1В1С1 равна 2 , боковое ребро равно 71 . Найдите синус угла между прямой СВ1 и плоскостью боковой грани (АА1С1).
О т в е т: 0,2.
2.1.2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник
АВС:  С = 900, АС=4, ВС=3. Диагональ СВ1 боковой грани образует с плоскостью боковой грани (АА1С1) угол 450. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
О т в е т: 36.
2.1.3. В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный тупоугольный
треугольник АВС:  С = 1350, АС=СВ= 3 2 . Диагональ СВ1 боковой грани образует с
плоскостью боковой грани (АА1С1) угол, синус которого равен
3
. Найдите длину диаго5
нали СВ1.
О т в е т: 5.
2.2.1. Найдите сторону основания правильной шестиугольной призмы, у которой
большая диагональ равна 24 и составляет с плоскостью основания угол 600.
О т в е т: 6.
2.2.2.Чему равна сторона основания правильной шестиугольной призмы
ABCDFKA1B1C1D1F1K1, у которой диагональ В1F равна 4 3 и составляет с плоскостью
боковой грани (КК1F1) угол 300.
О т в е т: 2.
2.2.3. ABCDFKA1B1C1D1F1K1 – правильная шестиугольная призма, сторона основания
и высота которой равны 3 и 2 6 соответственно. Найдите угол между диагональю В1F
и плоскостью боковой грани (АА1В1).
О т в е т: 300.
2.3.1. В основании пирамиды DABC лежит равносторонний треугольник АВС, АВ=4.
Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно 4 2 . Какой угол составляет
ребро CD с плоскостью боковой грани (ABD)?
О т в е т: 300.
2.3.2.Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС:  А = 900, АС=АВ=4. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно
ВС. Найдите угол наклона ребра CD к плоскости боковой грани (ABD).
О т в е т: 300.
2.3.3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник АВС:  С =
0
90 , АС=4, ВС=3. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания, а ребро CD составляет с плоскостью боковой грани (ABD) угол 300. Найдите косинус угла между ребром CD
и плоскостью основания.
5
О т в е т: .
8
2.4.1. Диагональ B1D прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 составляет с плоскостью нижнего основания угол 450. Чему равна высота параллелепипеда, если его основанием служит а) квадрат со стороной 4 2 ; б) ромб со стороной 4 и острым углом 600.
О т в е т: 8; 4.
2.4.2. а) Диагональ B1D прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 составляет с плоскостью боковой грани (DD1C) угол 450. Докажите, что основанием параллелепипеда не может быть квадрат.
б) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб со стороной
2 6 и острым углом 600. Найдите длину диагонали B1D параллелепипеда, составляющей
с плоскостью боковой грани (DD1C) угол 450.
О т в е т: 6.
2.4.3. а) Найдите угол между диагональю B1D прямого параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 с плоскостью боковой грани (ВВ1C1), если основанием параллелепипеда служит квадрат, длина диагонали которого равна высоте параллелепипеда.
О т в е т: 300.
б) Найдите синус угла между диагональю B1D, равной 10, и плоскостью боковой грани
(ВВ1C1) прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если его основанием служит ромб с
острым углом 300 и площадью 18.
О т в е т: 0,3.
0
2.5.1.а) FABCD – пирамида. FB   ABC  . ABCD – квадрат. FAC  60 . Какой угол
составляет ребро AF с плоскостью основания?
О т в е т: 450.
б) FABCD – пирамида. FB   ABC  . FB  8 . ABCD – ромб. ABC  120 0 . AC  6 3 .
Найдите котангенс угла между ребром AF и плоскостью основания.
О т в е т: 0,75.
2.5.2. а) FABCD – пирамида. FB   ABC  . ABCD – квадрат со стороной 2 . Угол
между ребром DF и плоскостью (BCF) равен 300. Найдите длину высоты пирамиды.
О т в е т: 2.
0
б) FABCD – пирамида. FB   ABC  . ABCD – ромб. BAD  45 . AB  3 2 . Найдите
длину большего ребра пирамиды, если синус угла наклона данного ребра к плоскости боковой грани пирамиды, не содержащей данное ребро, равен 0,6.
О т в е т: 5.
2.5.3. а) FABCD – пирамида. FB   ABC  . ABCD – квадрат со стороной 1. Большее
ребро пирамиды равно
5 . Найдите угол наклона ребра CF к плоскости (ABF).
О т в е т: 300.
б) FABCD – пирамида. FB   ABC  . ABCD – ромб. BAD  60 0 . BD  2 3 . Ребро CF
составляет с плоскостью (ABF) угол, синус которого равен 0,6. Найдите длины равных
боковых ребер пирамиды.
О т в е т: 5.
III. Угол между плоскостями
1) AC  BD  O . FO   ABC  . Найдите угол между
(ABC) и (FDC)
(FDC) и (FBC)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
A
B
C
D
р
о
м
б
(ABF) и (FDC)
F
F
F
O
O
O
F
D
A
D
A
D
A
F
F
C
B
C
B
O
O
D
A
O
D
A
D
A
р
о
м
б
В
F
В
С
В
С
А
D
D
F
В
С
D
F
В
А
С
А
D
F
А
(AFD) и (FBC)
F
F
А
C
B
2) FB  (ABC). Найдите угол между
(ABC) и (FDC)
(AFB) и (FBC)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
A
B
C
D
C
B
C
B
C
B
В
С
D
А
С
D
3) AF  (ABC). Найдите угол между (ABC) и (FCB).
F
F
F
А
А
B
C
ΔАВС–
А
B
B
C
C
равнобедренный
ΔАВС
– прямоугольный,
С = 900
ΔАВС
– тупоугольный,
С > 900
4) SB  (ABC). ABCDEF – правильный шестиугольник. Найдите угол между
(SAB) и (SBC)
(SFЕ) и (ABC)
(ASF) и (ABC)
S
S
B
S
B
C
B
C
D
D
A
A
(ASF) и (SCD)
S
B
D
A
E
S
B
C
E
F
(ASB) и (SDE)
S
F
E
F
(FSЕ) и (DSE)
D
A
E
F
C
B
C
C
D
A
D
A
F
E
F
E
5) ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. Найдите угол
(AА1C1) и (BB1D1)
(ABC) и (AB1C1)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
п
а
р
а
л
л
е
л
о
г
р
а
м
м
C1
B1
A1
A1
A1
B
C
A1
D1
A1
D
A1
B
A
C1
B1
D1
C
C
D
A
C1
B1
D1
B
B
C
D
A
C1
B1
C1
B1
D1
D
A
A
C1
B1
D1
B
(ABC) и (AB1C)
D1
B
C
D
A
C
D
Результат построений
1) AC  BD  O . FO   ABC  . Найдите угол между
(ABC) и (FDC)
(FDC) и (FBC)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
A
B
C
D
(ABF) и (FDC)
F
F
F
K
F
K
р
о
м
б
O
D
C
B
C
B
A
O
K
O
D
A
D
A
р
о
м
б
В
А
А
D
С
В
А
D
D
D
F
В
С
А
С
В
F
F
А
F
В
С
K
(AFD) и (FBC)
F
F
C
B
2) FB  (ABC). Найдите угол между
(ABC) и (FDC)
(AFB) и (FBC)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
A
B
C
D
K
D
A
F
F
C
O
D
A
D
A
B
O
K
O
C
B
C
B
С
D
В
А K
С
D
3) AF  (ABC). Найдите угол между (ABC) и (FCB).
F
F
F
А
А
B
А
B
B
K
ΔАВС–
C
C
C
равнобедренный
ΔАВС
K
– прямоугольный,
С = 900
ΔАВС
– тупоугольный,
С > 900
4) SB  (ABC). ABCDEF – правильный шестиугольник. Найдите угол между
(SAB) и (SBC)
(SFЕ) и (ABC)
(ASF) и (ABC)
S
S
B
S
B
C
C
D
A
B
D
A
E
F
S
B
C
D
A
E
B
C
D
A
F
(ASF) и (SCD)
S
B
F
E
F
(ASB) и (SDE)
S
D
A
E
F
(FSЕ) и (DSE)
K
C
E
K
C
D
A
F
E
5) ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. Найдите угол
(AА1C1) и (BB1D1)
(ABC) и (AB1C1)
(ABC) и (AB1C)
A
B
C
D
к
в
а
д
р
а
т
п
а
р
а
л
л
е
л
о
г
р
а
м
м
B1
B1
C1
C1
A1
A1
D1
B1
B1
A
B
A
C1
A1
D1
C
D
D
B1
C1
A1
D1
B
C
O
D
C1
B
C
A
A1
A
D1
B
C
D
A
C1
A1
D1
B
B1
K
D1
B
C
D
C
K
A
D
Задачи
3.1.1. а) Основанием пирамиды FABCD служит квадрат со стороной 16. Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Высота пирамиды равна 8. Какой угол составляет плоскость боковой грани (FDC) с плоскостью основания?
О т в е т: 450.
б) Основанием пирамиды FABCD является ромб со стороной 16 и углом 300. Вершина
пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей ромба. Высота пирамиды равна
8. Чему равен тангенс угла наклона боковой грани (FDC) к плоскости основания?
О т в е т: 2.
3.1.2. а) Основанием пирамиды служит квадрат. Вершина пирамиды проецируется в
центр основания. Докажите, что угол между смежными боковыми гранями не может
быть равен 600.
б) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. AC  BD  O . FO   ABC  . ÀÂ  12 .
BAD  60 0 . Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до большего бокового
ребра равно 6. Найдите угол между плоскостями (FDC) и (FBC).
О т в е т: 900.
3.1.3. а) Основанием пирамиды служит квадрат со стороной 2. Вершина пирамиды
проецируется в центр основания. Угол между несмежными боковыми гранями пирамиды
равен 600. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
О т в е т: 8.
б) Основанием пирамиды FABCD является ромб со стороной 12. Вершина пирамиды
проецируется в точку пересечения диагоналей ромба. Высота пирамиды равна 3 3 . Угол
между плоскостями (ABF) и (FDC) равен 600. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
О т в е т: 144.
3.2.1. а) Основанием пирамиды является квадрат, диагональ которого равна 3 2 .
Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие
боковые грани образуют с основанием углы по 450. Чему равна высота пирамиды?
О т в е т: 3.
0
б) Основанием пирамиды служит ромб со стороной 12 и углом 150 . Высота пирамиды равна 9. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания.
Найдите тангенс угла наклона двух других боковых граней к плоскости основания.
О т в е т: 1,5.
3.2.2. а) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. FB   ABC  .  ABF , BCF   90 0 .
AC  AF  6 2 . Найдите длину ребра FB.
О т в е т: 6.
б) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. FB   ABC  .  ABF , BCF   120 0 .
AC  AF  6 . Найдите длину ребра FB.
О т в е т: 2.
3.2.3. а) FABCD – пирамида. ABCD – квадрат. FB   ABC  . FB  4 . Косинус угла между плоскостями (AFD) и (FBC) равен 0,8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
О т в е т: 27.
б) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. ÀÂ  6 . BAD  300 . FB   ABC  . Косинус угла
между плоскостями (AFD) и (FBC) равен 0,8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
О т в е т: 54.
3.3.1. FABC – пирамида. AF   ABC  . Расстояние между прямыми AF и BC равно 6.
Плоскость (FBC) составляет с плоскостью (ABC) угол, тангенс которого равен 0,75.
Найдите высоту пирамиды.
О т в е т: 4,5.
3.3.2. FABC – пирамида. AF   ABC  . BC   AFC  , ÂÑ  3 . Косинус угла между
плоскостями (AFC) и (AFB) равен 0,8. Котангенс угла между плоскостями (FBC) и (ABC)
равен 2,5. Найдите высоту пирамиды.
О т в е т: 1,6.
3.3.3. Основание пирамиды FABC служит тупоугольный равнобедренный треугольник
9 2
ABC, площадь которого равна
, AC  CB  3 2 . AF   ABC  , AF  6 . Найдите ко2
тангенс угла между плоскостями (FBC) и (ABC).
О т в е т: 0,5.
3.4. SABCDEF – пирамида. BS   ABC  . ABCDEF – правильный шестиугольник.
Найдите:
1) Косинус угла между плоскостями (SAB) и (SBC).
О т в е т: – 0,5.
2) Угол между плоскостями (SFЕ) и (ABC), если AB  BS .
О т в е т: 300.
3) Высоту пирамиды, если AB  6 , угол между плоскостями (ASF) и (ABC) равен 600.
О т в е т: 9.
4) Угол между плоскостями (FSЕ) и (DSE), если расстояние от вершины F до большего ребра пирамиды равно стороне основания.
О т в е т: 1200.
5) Угол между плоскостями (ASB) и (SDE), если AB  BS .
О т в е т: 600.
6) Угол между плоскостями (ASF) и (SCD), если AB  6 , BS  9 .
О т в е т: 600.
3.5.1 а) ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. Найдите угол между плоскостями
(AА1C1) и (BB1D1), если ABCD – квадрат.
О т в е т: 900.
б) Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, в котором AB  10 , AC  24 , BD  20 . Найдите синус угла между плоскостями (AА1C1) и
(BB1D1).
О т в е т: 0,8.
3.5.2 а) ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. ABCD – квадрат. AC  3 2 . ÀÀ1  4 .
Найдите косинус угла наклона плоскости  AB1 D  к плоскости основания параллелепипеда.
О т в е т: 0,6.
б) Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, в котором AB  5 , BAD  300 . Высота призмы равна 3. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью  AB1 D  .
О т в е т: 1,2.
3.5.3 а) ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. ABCD – квадрат. Косинус угла меж1
ду плоскостями (ABC) и (AB1C) равен . Во сколько раз высота параллелепипеда больше
3
стороны основания?
О т в е т: в 2 раза.
б) ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. ABCD – параллелограмм, AB  6 ,
CAB  300 . Синус угла между плоскостями (ABC) и (AB1C) равен 0,8. Найдите высоту
параллелепипеда.
О т в е т: 4.