Лекция №4 Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Лекция №4
Выбор шага дискретизации с использованием
экстраполирующих многочленов Тейлора
Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий
исходную функцию x(t ) , определяется выражением:
x(t0 )(t  t0 ) x(t0 )(t  t0 ) 2
x n (t0 )(t  t0 ) n
V (t )  x(t0 ) 

 ... 
,
1!
2!
n!
где x(t0 ), x(t0 ), x n (t0 )  соответственно первая, вторая и
n  я производные непрерывной функции x(t ) в момент
времени t 0 .
Погрешность экстраполяции
• Значение погрешности восстановления  (t )
на интервале аппроксимации не должно
превышать максимального значения
остаточного члена разложения:
M n 1
( n 1)
 (t )  x(t )  V (t ) 
t  ti 1
, t  ti 1 , ti  ,
(n  1)
где M n 1 – максимальное значение модуля
(n  1) производной функции x(t ) на интервале
аппроксимации.
Ступенчатая экстраполяция
• Определим шаг равномерной дискретизации на
основе многочлена Тейлора нулевой степени
(ступенчатая экстраполяция).
Значение воспроизводящей функции V (t ) в
любой момент времени t на каждом
i  ом интервале ti 1  t  ti принимается
равным отсчету x(ti 1 ) :
V (t ) = x(ti 1 )
Ступенчатая экстраполяция
x(t )
V (t )
V (t )
x(t )
ti 1 ti ti 1
Рис. 4.1
t
Ступенчатая экстраполяция
• Значение остаточного члена достигает
максимума в конце интервала при t  ti :
 (t )   0m  M1 ti  ti 1  M1t.
Отсюда получаем условие, определяющее шаг
дискретизации:
t   0 m M1 .
Линейная экстраполяция
• Определим шаг равномерной дискретизации с помощью
многочлена Тейлора первой степени. При линейной
экстраполяции для восстановления сигнала x(t )
помимо отсчета x(t0 ) используется значение первой
производной функции в момент времени t 0 . На каждом
i  ом интервале времени ti 1  t  ti
воспроизводящая функция равна:
V (t )  x(ti 1 )  x(ti 1 )(t  ti 1 )
и представляет собой отрезок прямой, касательный к
функции x(t ) в момент времени t  ti 1 .
Линейная экстраполяция
x(t )
V (t )
V (t )
x(t )
Рис. 4.2
t
ti 1 ti ti 1
Линейная экстраполяция
• При линейной экстраполяции максимальное значение
остаточного члена достигается в конце интервала при
M2
M2 2
2
t  ti и равно:
 (t )  1m 
ti  ti 1 
t .
2
2
Соответственно получаем соотношение для шага
дискретизации:
21m
t 
M2
• Сравнение линейной экстраполяции с линейной
интерполяцией показывает, что для обеспечения
допустимой погрешности при экстраполяции требуется
вдвое большее число отсчетов по сравнению с
интерполяционным методом.
Адаптивная дискретизация
• В основе принципа адаптивной дискретизации лежит
непосредственное слежение за текущей погрешностью
восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются
алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала.
• Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе
имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем
интервале дискретизации определяются параметры
восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих
значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой
текущий момент времени определяется разность между
соответствующими значениями исходной и воспроизводящей
функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например,
критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает
предельно допустимого значения, наращивание интервала
прекращается и производится отсчет.
• В качестве воспроизводящих функций при адаптивной дискретизации
наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.
Адаптивная дискретизация
В зависимости от возможного изменения шага
дискретизации различают две группы методов:
• дискретизация с некратными интервалами, при которой
шаг дискретизации ti непрерывно меняется в
интервале ti min  ti  ti max ;
• дискретизация с кратными интервалами, при которой
ti  it – дискретная величина (i  1, 2,3,...) .
В реальных системах для восстановления непрерывной
функции по дискретным отсчетам обычно применяют
степенные полиномы нулевого и первого порядка. При
этом используют принцип экстраполяции.