1.5. Потенциальная яма в импульсном представлении Импульсное представление. Распределение по импульсам. Возврат в координатное представление Импульсное представление Спектр квантовой задачи является инвариантом, не зависящим от выбора базиса Импульсное представление – фурье-преобразование координатного пространства Базис в импульсном представлении L – ширина ямы или ширина области, в которой локализован потенциал или волновые функции частицы Формально базис при построении гамильтоновой матрицы можно представить в виде Единица означает, что соответствующая базисная функция описывает состояние частицы с импульсом k Точное решение задачи Известно аналитическое решение этой задачи: 0 -2 -4 U(x) -6 -8 -10 -12 -14 -16 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4 Решение в координатном представлении Решение задачи в координатном представлении (случай конечной ямы): 1.2 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 | (x)|2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4 Решение в импульсном представлении Для решения задачи в импульсном представлении следует записать гамильтониан в терминах импульсного базиса Кинетическая энергия диагональна в импульсном представлении: Слагаемое, отвечающее потенциальной энергии частицы, недиагонально: Результат расчета практически не изменится, если последнее выражение рассчитать аналитически: Решение в импульсном представлении Гамильтонова матрица в импульсном представлении: Матрица является плотной Результатом диагонализации будут собственные значения, являющиеся спектром системы, и собственные функции, отвечающие этим собственным значениям, которые теперь будут зависеть не от координаты, а от импульса частицы Значения импульса меняются от – π/h до π/h с шагом π/a Распределение по импульсам Спектр системы не зависит от представления, в котором построена гамильтонова матрица. Решение задачи в импульсном представлении: Собственные функции зависят от представления, в котором построена гамильтонова матрица. После диагонализации матрицы будут получены собственные функции в импульсном представлении. Распределение по импульсам n=1 n=2 n=3 n=4 0.25 | (p)|2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -6 -4 -2 0 p 2 4 6 Возврат в координатное представление Чтобы получить из собственных функций в импульсном представлении собственные функции в координатном представлении, необходимо выполнить обратное фурье-преобразование: Для четных собственных функций: Для нечетных собственных функций: Возврат в координатное представление 1.2 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 | (x)|2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4