Тема III

Тема 3. Введение в анализ
§1. Понятие и способы задания функций. Основные свойства функции.
Сложная и обратная функции.
О.1. Пусть даны два непустых множества X и Y . Соответствие (закон) f ,
которое каждому элементу x  X сопоставляет один и только один элемент y  Y ,
называется функцией и записывается y  f  x  или f : X  Y .
При этом x является независимой переменной или аргументом, y зависимой переменной или значением функции, множество X называется
областью определения (или существования) D f  функции, множество Y областью значений E  f  функции, а буква f обозначает закон соответствия.
Функция может быть задана тремя основными способами: аналитически,
таблично или графически.
Например:
1) функция x  n (антье) – целая часть, где n – наибольшее из целых чисел не
превосходящее аргумента x : n  x .
15,34  15, 0,78  0,  1,2  2.
2) функция х- дробная часть числа: х  х  х.
1,2  1,2  1,2  0,2,  1,8  1,8   1,8  1,8  (2)  0,2.
Рассмотрим основные свойства функций.
1. Четность и нечетность. Функция y  f  x  , определенная на множестве
D называется четной, если для любых значений x, x  D f  x   f  x  и
нечетной, если f  x    f  x  . Иначе функция y  f  x  называется функцией
общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2. Монотонность. Функция y  f  x  называется возрастающей (убывающей)
на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка
соответствует большее (меньшее) значение функции.
Т.е. если x1  x2 и f  x1   f  x2  , то функция возрастает; если x1  x2 и
f  x1   f  x2  , то функция убывает.
Если x1  x2 и f  x1   f  x2  то функция называется неубывающей, если
x1  x2 и f  x1   f  x2  , то функция называется невозрастающей.
Функции возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие
называются монотонными функциями. Функции возрастающие, убывающие,
называются строго монотонными функциями.
3. Ограниченность. Функция f  x  , определенная на множестве D называется
ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует число M m ,
такое что для всех x  D выполняется неравенство f  x   M  f  x   m  . Иначе
функция называется неограниченной.
Число M m и любое большее (меньшее) число называется верхней (нижней)
1
гранью множества значений функции Y , а наименьшее (наибольшее) из чисел,
ограничивающих множество Y сверху (снизу), - точной верхней (нижней) гранью
функции на множестве X .
Например, функция y  sin x ограничена на всей числовой оси, так как
sin x  1 для любого x  R .
4. Периодичность. Функция y  f  x  , определенная на множестве D ,
называется периодической на этом множестве, если существует такое число T  0 ,
что при любом x  D значение x  T   D и f  x  T   f  x  . При этом число T
называется периодом функции.
Если T - период функции, то ее периодами будут также числа m  T , где
m  1;2;.....
За основной период берут наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее равенству f  x  T   f  x  .
Если функции f1  x  и f 2  x  периодические с периодами T1 и T2
соответственно, то периодом их суммы, произведения, разности и частного является
число T , кратное T1 и T2 .
5. Явные и неявные функции. Функция называется явной, если она задана
формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например,
функция у=х2 +5х + 1. Функция y аргумента x называется неявной, если она задана
уравнением F  x, y   0 , не разрешенным относительно зависимой переменной.
Например, функция у(у>0), заданная уравнением х5 + у2 - х =0.
6. Обратная функция. Пусть y  f  x  есть функция от независимой
переменной x , определенной на множестве X с областью значений Y . Поставим в
соответствие каждому y  Y единственное значение x  X , при котором f  x   y .
Тогда полученная функция x    y  , определенная на множестве Y с областью
значений X , называется обратной.
→f
•
•
•
•
←
φ
• Y
Х •
Обратную функцию обозначают так же в виде y  f 1 x  . Например, для
функции у=ах обратной будет функция х=logaу или (в обычных обозначениях
зависимой и независимой переменных) у= loga x .
Таким образом, функция y  f  x  имеет обратную, тогда и только тогда, когда
выполняется взаимно-однозначное соответствие между множествами X и Y . Отсюда
следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если
функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов.
у
у=aх
у=х
у=logax
х
2
7. Сложная функция. Пусть функция y  f u  есть функция от переменной
u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою
очередь является функцией u   x  от переменной x , определенной на множестве
X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция
y  f   x  называется сложной функцией.
Переменную u   x  называют промежуточным аргументом сложной
функции.
Например, y  lg sin x — сложная функция, так как ее можно представить в
виде y  lg u , где u  sin x .
§2. Основные элементарные функции, классификация функций.
Преобразование графиков функций
О.1. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью
конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования
сложной функции, называются элементарными.
К основным элементарным относятся следующие функции: степенная функция
α
у=х , α R; показательная функция у=ах, а › 0, а≠1; логарифмическая функция
y=logax, а › 0, а≠1; тригонометрические формулы и обратные тригонометрические
формулы.
1
tgx
Например, функции y  arcsin  2
; y  lg 3 arctg 2 x  sin 3x является
x 8x  3
элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения,
деления и образования сложной функции конечно.
Примерами неэлементарных функций являются функции у=|х|, у= [х].
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические
(трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится
конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций
относятся:
1)
целая
рациональная
функция
(многочлен
или
полином):
y  a0 x n  a1x n 1  ...  an 1x  an ;
2) дробно-рациональная функция — отношение двух многочленов;
3) иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется
извлечение корня).
Любая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу
трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая,
тригонометрические, обратные тригонометрические.
Рассмотрим методику построения графиков функций, основанную на
применении некоторых правил построения по уже известным графикам функций.
Правило 1. Чтобы получить график функции y  f  x  a  из графика функции
y  f  x  , нужно график функции y  f  x  сдвинуть вдоль оси OX на a вправо,
если a  0 , или на a влево, если a  0 .
Правило 2. Чтобы получить график функции y  f  x   c из графика функции
3
y  f  x  , нужно график функции y  f  x  сдвинуть вдоль оси OY на c вверх, если
c  0 , или на c вниз, если c  0 .
Правило 3. Чтобы получить график функции y   f  x  из графика функции
y  f  x  , нужно график функции y  f  x  зеркально отразить относительно оси
OX .
Правило 4. Чтобы получить график функции y  f  x  из графика функции
y  f  x  , нужно график функции y  f  x  зеркально отразить относительно оси
OY .
Правило 5. Чтобы построить график функции y  kf  x  , нужно значение
ординаты графика функции y  f  x  умножить на число k , а абсциссу оставить без
изменения.
При этом от умножения всех значений функции y  f  x  на k  1 ординаты
графика функции увеличатся в k раз и происходит «растяжение» графика функции
y  f  x  от оси OX в k раз, а от умножения на k при 0  k  1 ординаты графика
функции уменьшаются в k раз и происходит «сжатие» графика функции y  f  x  к
оси OX в k раз.
Правило 6. Чтобы построить график функции y  f kx  , нужно значение x
разделить на число k .
При этом от деления всех значений аргумента функции y  f  x  на k  1
график функции «сжимается» к оси OY в 1∕к раз, а от деления на k при 0  k  1
график функции «растягивается» от оси OY в 1∕к раз.
Правило 7. Чтобы получить график функции y  f x  из графика функции
y  f  x  , надо участки графика функции y  f  x  , лежащие выше оси OX , оставить
без изменения, а участки ниже оси OX зеркально отразить относительно этой оси.
Правило 8. Чтобы получить график функции у= f(|х|) из графика функции
y  f  x  , надо построить график функции y  f  x  , при x  0 и отразить его
зеркально относительно оси OY .
4
§3. Числовая последовательность и ее предел
О. 1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено
в соответствие вполне определенное число a n , то говорят, что задана числовая
последовательность { a n }: a1, a2 ,..., an ,...(  ).
Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального
аргумента: an  f n  .
При этом числа (  ) называются членами последовательности, число a n —
общим или n - м членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... (монотонная, неограниченная),
(1)
1, 0, 1, 0, ... (не монотонная, ограниченная),
(2)
n
3 2 5  (1) 
0; ; ; ;...;1 
 , … (не монотонная, ограниченная). (3)
2 3 4 
n 
Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена, c
помощью которой можно вычислить любой член последовательности. Так
1
n 1
равенства: vn  n 2  1; zn  (1) n  n ; y n  ; u n 
; n N .
n
n
Задают соответственно последовательности:
(4)
vn  2,5,10,...,n 2  1,...
n
(5)
zn   1,2,3,4,...,(1)  n,...
1 
 1 1 1
y n  1, , , ,..., ,...
(6)
n 
 2 3 4
n 1 
 1 2 3 4
u n  0, , , , ,...,
,...
(7)
n
 2 3 4 5

О.2. Последовательность xn  называется ограниченной сверху (снизу), если
существует число M (число m ) такое, что любой элемент x n этой
последовательности удовлетворяет неравенству xn  M ( xn  M ).
О.3. Последовательность xn  называется ограниченной, если она
ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют числа M и m такие, что любой
элемент x n этой последовательности удовлетворяет неравенству m  xn  M .
О.4. Последовательность xn  называется неограниченной, если для любого
числа A  0 существует элемент x n этой последовательности, удовлетворяющий
неравенству xn  A .
Легко видеть, что последовательности  n и u n – ограничены, а y n и z n –
неограниченны.
Рассмотрим числовую последовательность
3 2 5  (1) n 
0; ; ; ;...;1 
, …
2 3 4 
n 
Изобразим ее члены точками числовой оси.
5
Можно заметить, что члены последовательности a n с ростом n близко
приближаются к 1. При этом абсолютная ветчина разности an  1 становится все
1
1
1
меньше и меньше. Действительно: a1  1  1 , a2  1  , a3  1  , a4  1  , …,
3
2
4
1
an  1  , …. т.е. с ростом n величина an  1 будет меньше любого очень
n
маленького положительного числа.
О.5. Число A называется пределом числовой последовательности an , если
для любого числа   0 , существует такой номер N  N   , что для всех членов
последовательности с номерами n  N выполняется неравенство an 1   .
n
1
n 1
1
n
n
n  n 1
1

1   
1 


Решение:
n 1
n 1
n 1
n 1 n 1
1
1
1
1 

    n  1  n   1  N    1  1
n 1


 
Пример. Показать, что предел lim
n 
Число 1 является пределом последовательности с общим членом
an 
n
.
n 1
О.6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в
противном случае — расходящейся.
xn  называется возрастающей, если
О.7.
Последовательность
x1  x2  x3  ...  xn  xn1  ... ; неубывающей, если x1  x2  x3  ...  xn  xn 1  ... ;
x1  x2  x3  ...  xn  xn1  ... ;
убывающей,
если
невозрастающей,
если
x1  x2  x3  ...  xn  xn 1  ...
Все такие последовательности объединяются общим названием монотонные.
Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго
монотонными.
Свойства сходящихся последовательностей:
1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2.Сходящаяся
последовательность
ограничена.
Ограниченная
последовательность может и не быть сходящейся.
3. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
 1  n 
О.8. Числом е называется предел числовой последовательности 1    , то
 n  
1
есть lim (1  ) n  e .
n
n 
Это равенство называют вторым замечательным пределом.
Число e (число Эйлера, неперово число) – иррациональное, его приближенное
значение равно 2,72 (2,71828184459…). График функции y  e x получил название
6
экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию e , называемые
натуральными.
§4. Предел функции
Пусть функция f  x  определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме,
может быть, самой точки x0 . Возьмем из этой окрестности последовательность
точек, отличных от x0 : x1, x2 ,..., xn ,... сходящуюся к x0 . Значения функции в точках
этой последовательности также образуют числовую последовательность
f  x1 , f  x2 ,..., f  xn ,..., и можно говорить о существовании ее предела.
О.1. (по Коши). Число A называется пределом функции f  x  при x ,
стремящимся к x0 (или в точке x0 ), если для любого, даже очень малого числа
  0 , найдется такое число   0 (     ), что для всех x  x0 и
удовлетворяющих условию х  х0   , выполняется неравенство
f ( x)  A   .
Обозначается lim f ( x)  A .
x  x0
Смысл определения предела функции f  x  в точке x0 состоит в том, что для
всех значений x , достаточно близких к x0 , значения функции f  x  мало
отличаются от числа A (по абсолютной величине).
О.2. (по Гейне). Число A называется пределом функции f  x  в точке x0
(или при х  х0 ), если для любой последовательности допустимых значений
аргумента xn , сходящейся к x0 последовательность соответствующих значений
функции  f  xn  сходится к числу A .
Определение предела не требует существования функции в самой точке x0 . То
есть, рассматривая A  lim f ( x) , мы предполагаем, что x  x0 , но не достигает
x x0
значения x0 . Поэтому наличие или отсутствие предела при х  х0 определяется
поведением функции в окрестности точки x0 , но не связано со значением функции
(или его отсутствием) в самой точке x0 .
В определении предела функции считается, что х  х0 любым способом:
оставаясь меньшим, чем x0 (слева от x0 ), большим, чем x0 (справа от x0 ) или
колеблясь около точки x0 .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно
влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних
пределов.
О.3. Число A1 называется пределом функции f  x  слева в точке x0 , если для
любого числа   0 , существует число   0 (     ), такое что при
x   x0   ; x0  , выполняется неравенство f ( x)  A1   .
Предел слева записывают так: lim f ( x)  A1 .
x  x0  0
7
Аналогично определяется предел функции справа:
lim
x  x0  0
f ( x)  A2 .
Пример. Найти правосторонний предел и левосторонний предел функции y 
1
.
x
1
1
  и lim
 
x 0 x
x 0 x
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Очевидно, если существует lim f ( x)  A , то существуют и оба односторонних
Решение: x0  0  lim
x  x0
предела, причем A  A1  A2 . Если же A1  A2 , то lim f ( x ) не существует.
x x 0
О.4. Число A называется пределом функции y  f  x  при x   , если для
любого числа   0 , найдется такое число S  0 ( S  S   ), что для всех x ,
удовлетворяющих условию х  S , выполняется неравенство f ( x)  A   .
Примеры функций имеющих пределы:
а х   (а  1) .
1. lim
x 
а х  0 (а  1) .
2. xlim

а х  0 (а  1) .
3. lim
x 
4. lim log a x   (а  1) .
x 
5. lim log a x   (а  1) .
x0
6. lim sin x  
x
не существует.
§5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные функции
О.1. Последовательность xn  называется бесконечно большой, если для
любого положительного числа А (сколь большим бы мы его не взяли) существует
номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | хп| › А, т.е. какое бы большое
число А мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все члены
последовательности окажутся больше А.
Определение 6. Последовательность {αп} называется бесконечно малой, если
для любого положительного числа ε (сколь малым бы мы его не взяли) существует
номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | αп| ‹ε.
Примеры.
1. Последовательность {п} является бесконечно большой.
1
2. Последовательность { } является бесконечно малой.
n
Теорема 1. Если {хп} - бесконечно большая последовательность и все ее
1
члены отличны от нуля, хп ≠0, то последовательность {αп}=   - бесконечно
 хn 
малая, и, обратно, если {αп} бесконечно малая последовательность, αп≠0, то
8
1
последовательность {хп}=   бесконечно большая.
 n 
Сформулируем основные свойства бесконечно малых последовательностей в
виде теорем.
Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малые последовательности.
n2  4
Пример 2. Последовательность с общим членом
бесконечно малая,
n3
n2 4
т.к. a n  3  3 т.е заданная последовательность является суммой бесконечно
n
n
1   4 
малых последовательностей   и  3  и поэтому является бесконечно малой.
n n 
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть
бесконечно малая последовательность.
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть
любой последовательностью и может не иметь смысла.
 
1
1
Например, если  n  ,  n  , то все элементы последовательности  n 
n
n
n 
1
1
равны 1 и данная последовательность является ограниченной. Если  n  ,  n  2 ,
n
n
 
1
то последовательность  n  - бесконечно большая, и наоборот, если  n  2 , а
n
n 
 n 
1
 - бесконечно малая последовательность. Если начиная с некоторого
n
n 
номера элементы последовательности  n  равны нулю, то последовательность
 n  , то 
 n 
  не имеет смысла.
n 
Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую есть бесконечно малая последовательность.
n
Пример 3. Последовательность an  2
бесконечно малая, т.к.
n 9
n
1
1
1
an  2
 
и
последовательность
{ }бесконечно
малая,
n
n  9 n 1 9
n2
9
1
последовательность
- ограничена, т.к.
1
‹ 1. Следовательно, an 
n
n2  9
9
9
1 2
2
n
n
бесконечно малая последовательность.
Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число
есть бесконечно малая последовательность.
1
Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при x  x0 ,
если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М  0 ,
найдется такое положительное число   0 (зависящее от М, δ=δ(М)), что для всех х,
не равных х0 и удовлетворяющих условию х  х0   , выполняется неравенство
f ( x)  М .
Записывают: lim f ( x)   или f (x)   при x  x0 .
x  x0
Например, функция у 
функция у  tgx при x 

1
есть бесконечно большая функция при x  2 ;
х2
.
2
Если f(x) стремится к бесконечности при x  x0 и принимает лишь
положительные значения, то пишут lim f ( x)   , если лишь отрицательные
x x
0
значения, то lim f ( x)   .
x x
0
Определение. Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется
бесконечно большой при x   , если для любого положительного числа М  0 ,
найдется такое положительное число N  0 (зависящее от М, N=N(М)), что при всех
х, удовлетворяющих условию х  N , выполняется неравенство
f ( x)  М .
Например, функция у=2х есть бесконечно большая функция при x   ;
функция у  5 х  7 является бесконечно большой функцией при x   .
Свойства бесконечно больших функций:
1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля, есть
б.б.ф.
2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.
3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.
Например, если функция f(x)=tgx есть б.б.ф. при x 
при x 


2
, функция φ(х)=4х-3
имеет предел (2π-3) отличный от нуля, а функция ψ(х)=sinx –
2
ограниченная функция, то
f ( x)
tgx
f(x) φ(х)=(4х-3) tgx; f(x) + ψ(х)= tgx + sinx;
есть бесконечно

 ( x) 4 x  3
10
большие функции при x 

2
.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при x  х0 , если
(1)
lim f ( x)  0 .
x  x0
По определению предела функции равенство (1) означает: для любого, даже
сколь угодно малого положительного числа   0 , найдется такое положительное
число   0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих
условию х  х0   , выполняется неравенство
f ( x)   .
Теорема. Для выполнения равенства lim f x   A необходимо и достаточно,
x  x0
чтобы функция  x  f x  A была бесконечно малой при x  x0 . При этом функция
может быть представлена в виде f x  A   x .
Аналогично определяется б.м.ф. при x  х0  0 , x  х0 - 0, x   , x   во
всех случаях f(x)  0.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами
или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д.
Например, у=х2 при х→0; у=х-2 при х→2; у=sinx при х→πк, k  Z бесконечно малые функции.
Свойства бесконечно малых функций:
1.
Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина
бесконечно малая;
2.
Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также
бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно
малая;
3.
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел
которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.
Рассмотрим последнее свойство при x  x0 если функции  x и  x  являются
бесконечно малыми (Сравнение бесконечно малых функций):
 x 
 0 , то  x называется бесконечно малой, более высокого
 x 
порядка малости, чем  x  .
1). Если
lim
x  x0
П р и м е р . При х→2 функция (х — 2)3 бесконечно малая более высокого
( x  2) 3
 0.
порядка, чем (х -2), так как lim
x2
x2
2). Если xlim
x
0
 x 
 A  0 , то  x и  x  называются бесконечно малыми одного
 x 
порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);
П р и м е р . При х→0 функции 5х2 и х2 являются бесконечно малыми одного
5х 2
 5.
порядка, так как lim
x 0
x2
11
 x 
 1 ,то  x и  x  называются эквивалентными бесконечно
 x 
малыми, обозначаются  x ~  x  .
Эквивалентные бесконечно малые при x  0 :
1. sin x  x
2. tgx  x
3). Если lim
x x
0
3. 1  cos x  x 2 / 2
4. ln 1  x  x
5. e x 1  x
6. a x  1  x ln a
7. 1  x   1  x
8. arcsin x  x
9. arcctgx  x
Т е о р е м а . Если существует предел отношения двух бесконечно малых α и
β, то он равен пределу отношения соответствующих им эквивалентных бесконечно
малых.
Пример:
arcsin  x  2 
1
1
x2
 lim
 lim  
2
x  2
x  2 x
x 2 x x  2 
2
x  2x
lim
Определить порядок малости можно по следующему правилу:
 x 
 A  0 , то  x называется бесконечно малой k -го порядка
 k x 
малости относительно от  x  .
4). Если xlim
x
0
Пример:
Определить порядок малости x  0 при  x  tgx  sin x , относительно
бесконечно малой  x  x .
 1

 1  cos x 
sin x
sin x
 1
sin x

 sin x
tgx  sin x
cos x 
cos x 


cos
x
 lim
 lim

lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x 0
xk
xk
xk
xk
 x
x
sin 2  
sin x  2 sin 2
 2   1  1   1 lim 1   2  1  1  1  1  1 .
2  1  2 lim sin x 
lim


2
k
x 0
x 0
4
2
x
4 cos x  2 x 0 x k 3 
cos x
x
 x
 
2
Таким образом, бесконечно малая  x является бесконечно малой третьего
порядка относительно  x  .
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями:
функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой (и наоборот), т.е.
если f x  - бесконечно малая функция, то
1
- бесконечно большая.
f x 
§8. Основные теоремы о пределах.
Пусть lim f x  A и lim g x   B . Тогда
x x0  
x  x0  
12
1.
Функция не может иметь более одного предела.
Предположим, что функция y  f x при x  x0  имеет два предела A и D .
Тогда функцию f x  можно представить в виде:
f x   A   x 
f x  D   x , где  x и  x  - бесконечно малые величины.
Найдём разность.
f  x   f  x   A   x   D   x   A  D  0
A D.
2.
Предел алгебраической суммы конечного числа функции равен сумме
пределов этих функций, т.е. lim  f x   g x   A  B /
x x0  
3.
Предел произведения конечного числа функции равен произведению
пределов этих функций, т.е. lim  f x  g x  A  B .
x x0  
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций
4.
при условии, что предел знаменателя не равен нулю, т.е. lim
x  x  
0
Если lim f u   A и
5.
f x  A
 , где B  0 .
g x  B
u u0
lim f x   U , то
x  x0
lim f  f x   A .
x  x0
6.
Если в некоторой окрестности точки x0 при достаточно больших
x имеет место неравенство f x   g x , то предел lim f x   lim g x  .
x  x0
x  x0
Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов
функции f x  и g x из чего делается заключение о существование пределов
функции их суммы произведения или частного. Однако существование предела
суммы произведения или частного конечного числа функции ещё не означает
существование пределов самих этих функций.
Пример:
lim tgx  ctgx  lim
x

x
2

2
sin x cos x

 1.
cos x sin x
При этом lim tgx  
x
2
lim ctgx  0
x

2
7.
Если в некоторой окрестности точки x0 функция f x  заключена между
двумя функциями f x  и  x  , т.е.  x  f x   x, то функция f x  имеет тот же
предел  x  f x   x.
A
§9. Первый и второй замечательные пределы.
Теорема. Предел отношения sin бесконечно малой дуги к самой дуге
13
(выраженной в радианах) называется первым замечательным пределом и равен
единице, т.е. lim
x 
sin x
1.
x
Пример.
lim
x 0
sin x
sin 5 x
 lim
 5  1 5  5
x

0
x
5x
Замечание. В общем случае справедливы равенства lim
x 0
lim
x 0
sin kx
sin k x
 1 , lim
1 и
x 0
kx
xk
x
1
sin x
n
1
Предел последовательности с общим членом xn  1   при n   называется

n
вторым замечательным пределом и равен числу  , т.е.
n
 1
lim 1    e .
n
 n
1
n
Замечание. Если обозначить  n   0 , то второй замечательный предел
можно записать в виде lim01   n   e .
1
n
n
Доказательство первого и второго замечательного предела самостоятельно.
Пример.
3
n


3



n

1 
 3


   e3 .


1


0

Предел nlim
lim
1





n


n
 n
 
 

3 



§11. Непрерывность функции. Разрывные функции.
Пусть в некотором множестве X определена функция f x  , x0  X .
Определение (по Гейне). Функция f x  называется непрерывной в точке x0 ,
если для любой последовательности значение аргумента x1, x2 ,..., xn ,... сходящейся к x0
последовательность соответствующих значений функций, т.е. f x1 , f x2 ,..., f xn ,...
сходится к f x0  .
Другими словами функция непрерывна в точке x0 , если существует предел и
он равен значению функции в этой точке, т.е. lim f x   f x0  (1)
x  x0
Так как lim x  x0 , то соотношению (1) можно придать следующую форму
x  x0
lim f x   f  lim x  , т.е. для непрерывной функции знак функции и предела можно
 x  x0 
x  x0
переставлять.
Определение (по Коши). Функция f x  называется непрерывной в точке x0 ,
если для любого   0 существует   0 , такое, что для x0  x , удовлетворяющих
неравенству x  x0   выполняется неравенство f x  f x0    .
Замечание. Если lim f x   f x0  или слева, то функцию f x  называют
x  x0 
14
непрерывной в точке x0 справа или слева. Если функция непрерывна и справа, и
слева, то она непрерывна в этой точке.
Теорема. Если функции f x  и g x непрерывны в точке x0 , то функции
f x  g x , f x   g x  и f x  / g x  , при g x0   0 , также являются непрерывными в этой
точке.
Простейшим примером непрерывной функции являются элементарные
функции.
Определение. Точка x0 называется точкой разрыва функции f x  , если f x  в
точке x0 не является непрерывной.
Разрывы функции можно классифицировать следующим образом:
1. Разрыв первого рода, точка x0 называется точкой разрыва первого рода,
если в этой точке функция f x  имеет конечные, но не равные друг другу левый и
правый пределы, т.е. lim f x   lim f x .
xx0 
xx0 
2. Разрыв второго рода, точка x0 называется точкой разрыва второго рода,
если в этой точке функция f x  не имеет по крайней мере одного из односторонних
пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
1
Пример: исследовать на непрерывность функцию y  3 x  3 , x  3
lim 3
1
x 3
x3
1
 3  
lim 3 x3  3 
x 3
1
0
3
Определение. Функция f x  называется кусочно-непрерывной на отрезке
a, b, если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка a, b, за исключением
конечного числа точек, которые имеют разрыв первого рода и кроме того имеет
односторонние пределы в точках a и b .
Определение. Функция f x  называется кусочно-непрерывной на интервале,
если она кусочно-непрерывна на любом принадлежащем ему отрезке.
§12. Техника вычисления пределов.
При вычислении пределов могут возникать некоторые неопределённости.
Существуют специальные способы уйти от этих неопределённостей:
1.
Раскрытие неопределённости
0
 ,
0
в этом случае числитель и
знаменатель необходимо разложить на множители и сократить, пример:
1
1


2 x    x  1
2 x  
2x  x  1 0
2
2 3
 lim 
   .
lim
  lim 
2
2
x

1
x 1
x

1
x 1
0
0
x  1
x  1
0
Иногда в случае неопределённости
можно и числитель, и знаменатель
0
2
умножить на сопряжённое выражение для числителя или знаменателя.
15



x2  6 x  x2  6 x
x  2  6 x 0

    lim
2
x

2
x 4
x 2  4 x  2  6  x
0
x26 x
2 x  2 
lim 2
 lim
 lim
x  2 x  4  
x  2 x  2  x  2 
x  2 x  2 
x2  6 x
x2  6 x
2 1
 .
16 8
lim

x2

2.





2

x2  6 x


Раскрытие неопределённости «бесконечность на бесконечность»   .

В этом случае числитель и знаменатель необходимо разделить на наибольшую
степень.
Пример:
20 10
 2
3x  2 x  1   
x
x 3
lim
lim
 
x


x  5 x 2  x  4
1
4

5  2 5
x0 x0
2
3
2
1
3 4
3x 4  1   
x  3  
lim 3
    lim
x  x  5 x
   x  1  5 0
x x3
1 1
 4
0
x3  1   
lim 4
    lim x x   0
x  x  1
1
   x  1  1
x4
Таким образом, если числитель и знаменатель дроби многочлен, то предел
дроби при x   равен:
1. Отношению коэффициентов при старших степенях, если старшая степень
числителя равна старшей степени знаменателя;
2. Бесконечности, если старшая степень числителя больше старшей степени
знаменателя;
3. Нулю, если старшая степень числителя меньше старшей степени
знаменателя.
3. Раскрытие неопределённости    .
В этом случае можно умножить на сопряжённое.
Пример:
lim
x 
lim
x 


x  2  x  4       lim
x 



x2  x4 x2  x4
x2 x4
 lim

x 
x2  x4
x2  x4
6
6
0.


x2  x4
Иногда необходимо привести к общему знаменателю.
1
1
1
2 
x 1 2
x 1

 2
 lim
 lim
       lim
x 1 x  1
x 1  x  1 x  1
x 1  x  1 x  1
2
 x 1 x 1

Пример: lim

x 1
4.
Раскрытие неопределенности 0   .
16
1
x
x
x
 sin x 
lim x  ctgx  0     lim
 lim 
 lim
 lim
  cos x  1 .
x 0
x

0
x

0
x 0
x

0
sin
x
1
tgx
 x 
cos x
ctgx
5.
Пределы, сводящие ко второму замечательному пределу.



1 
4 
 3x  5 
 3x  1  4 

1 

lim 
  lim
1 
  lim

  lim
x 
x  3x  1
x 
x 
3x  1 



 3x  1 
 3x  1 

4 

3x  1
t
4
4t  1
x
3
x
4t 1

3
 1 3
lim 1  
x 
 t
x
4t
 1 3  1
 lim 1    1  
x 
 t  t
x

1
3
4
 e3 .
17
x
18