при помощи довольно простых алгоритмов удаётся решать

Московский Государственный
Университет им. М.В. Ломоносова
Физический факультет
Решение задач механики
повышенной сложности:
численное моделирование и
лабораторный эксперимент
С. Б. Рыжиков
доцент физического факультета МГУ,
директор Вечерней физической школы
Образовательные ресурсы
•Лекция "Мир бесконечного движения", (из цикла лекций с
демонстрацией физических экспериментов)
31 октября, 17-30, физический ф-т, читает С.Б. Рыжиков
• Вечерняя физическая школа (8-9 классы) [бесплатная]
Запись на лекции 31 октября.
•Образовательный сайт Московского института открытого
образования. http://phys.olymp.mioo.ru
Рекомендуемая литература
•Я.И. Перельман "Занимательная физика" в 2-х томах
(первое издание - 1913 г.), "Занимательная механика",
"Занимательные задачи и опыты"...
(книги выложены на сайте http://www.mccme.ru)
•Детская энциклопедия "Аванта+", тома "Физика", "Техника"
•А.Ю. Грязнов, С.Б. Рыжиков, мультимедийный учебник
"Физика 7-9", часть 2, изд. "Просвещение"
Галилео Галилей (1564-1642)
Опыт Галилея
1638 г. "Беседы и математические
доказательства, касающиеся двух
новых отраслей науки, относящихся
к механике и местному движению"
"Но я, синьор Симпличио, не
производивший никаких опытов,
уверяю вас, что пушечное ядро весом
в сто, двести и более фунтов не
опередит и на одну пядь мушкетной
пули весом меньше полуфунта при
падении на землю с высоты двухсот
локтей"
Движение вдоль прямой
Пусть машина едет по прямой дороге, мы смотрим
на спидометр и нам известна скорость машины в
любой момент времени:
   (t )
Задача: найти положение машины в любой момент
времени
Разобьем время движения на интервалы t:
 x1  1t
x2  x(t2 )  x1   x1  x1  1t
xN  x1  1t  2 t  3t  ...   N 2 t   N 1t
Графическое описание движения


t1
D
tN t
B
A
C
E
F
tk+1
tk
t
II закон Ньютона

F = ma, где a 
t
2
mg    ma
x2  x(t2 )  x1  1t
2   (t2 )  1  a1t
x3  x(t3 )  x2  2 t  x1  1t  2 t
3   (t3 )  2  a2 t  1  a1t  a2 t
xN  x(t N )  xN 1   N 1t
 N   (t N )   N 1  aN 1t
Составление алгоритма Excel
Шаг 1. Занесем в столбцы:
A – время t;
B – координата y;
C – скорость ;
D – ускорение a.
Занесем в ячейки E2–G2 параметры:
E2 – интервал времени t: 0,001;
F2 – отношение коэффициента трения к массе /m: 0;
G2 – ускорение свободного падения g: 9,815;
Составление алгоритма Excel
Шаг 2. Занесем в ячейки A2–C2 начальные значения:
A2 – начало отчета по времени: 0;
B2 – начальная координата y(0): 10;
C2 – начальная скорость (0): 0.
Шаг 3. Занесем в ячейки формулы:
(формулы начинаются со знака "=")
Формулы Excel
Математическая
формула
Формула Excel
t  t  t
N 1
A3=A2+E$2
y N  y N 1   N 1t
B3=B2+C2*E$2
 N   N 1  aN 1t
C3=C2+D2*E$2
N
a N 1   g 

m
 N 12
D2= -G$2-F$2*C2*C2
Таблица Excel
Падение без сопротивления воздуха
Интервал
времени
t (с)
0,1
Вычисленное
время падения
t (с)
1,4
Вычисленная
скорость в момент
падения  (м/с)
14
0,01
1,43
14,0
0,001
1,427
14,01
0,0001
1,4275
14,011
Теоретическое
1,42748
14,0107
(h = 10 м)
t  2h / g
  2 gh
Сопротивление воздуха
 = Cx S  / 2
Сx шара – 0,4
Плотность воздуха  – 1,3 кг/м3
Площадь круга
S  R
Объем шара
4
3
V R
3
2
Параметры ядра и пули
Плотность железа – 7,9103 кг/м3.
Радиус 100 фунтового ядра (45 кг) – 11 см.
=Cx S  /2= 0,53,14(0,11)21,3/2 = 1210-3 кг/м.
/m (ядра)=0,2710-3 м-1.
Радиус полуфунтовой пули – 19 мм.
 = Cx S /2 = 0,53,14(0,019)21,3/2 = 0,3710-3 кг/м,
/m (пули) = 1,6410-3 м-1.
Опыт Галилея
Ядро будет падать 3,356 с, а пуля – 3,398 с.
В отсутствие воздуха оба тела падали бы 3,348 с.
Скорость ядра в момент удара 32,6 м/с
(при отсутствии воздуха скорость была бы 32,9 м/с),
пуля к этому времени разгоняется только до 31,1 м/с
(скорость пули в момент падения – 31,4 м/с)
и находится над землей на высоте 1,3 метра
Опыт Галилея с падением двух тел
1632 г. – Диалог о двух главнейших
системах мира – Птоломеевой и
Коперниковой
«...я считал бы бесспорным, что если
одним
ядром
выстрелить
<горизонтально> из пушки, а другому
дать упасть с той же высоты отвесно
вниз, то оба они достигнут земли в
одно и то же мгновение, хотя первое
пройдет расстояние, быть может, в
десять тысяч локтей, а второе –
только в сто...».
Баллистические траектории
A – время t, B – координата x, C – скорость x,
D – координата y, E – скорость y, F – полная скорость ,
G – ускорение ax, H – ускорение ay.
Начальные условия :
I2 – интервал времени t: 0,001;
J2 – отношение /m: 0,1;
K2 – ускорение свободного падения g: 9,815;
A2 – начало отчета времени: 0;
B2 – начальная координата x(0): 0;
C2 – начальная проекция скорости x(0): 10;
D2 – начальная координата y(0): 0;
E2 – начальная проекция скорости y(0): 10.
Баллистические траектории
Математическая формула
Формула Excel
t N  t N 1  t
A3=A2+I$2
xN  xN 1   x , N 1t
B3=B2+C2*I$2
 x , N   x , N 1  a x , N 1t
C3=C2+G2*I$2
y N  y N 1   y , N 1t
D3=D2+E2*I$2
 y , N   y , N 1  a y , N 1t
E3=E2+H2*I$2
 N   x2, N   y2, N
a y,N

 x , N  N
m

  g   y , N  N
ax, N  
m
F2=КОРЕНЬ(C2*C2+E2*E2)
G2=-J$2*C2*F2
H2=-K$2-J$2*E2*F2
Баллистические траектории
5
Y (м)
4
3
2
0.01
0.03
0
0.1
0.3
1
1.0
0
0
5
10
X (м)
15
20
Зависимость дальности полета от
угла броска
Угол
(град)
Дальность
полета (м)
30
35
37
38
39
40
42
45
8,60 8,86 8,90 8,91 8,91 8,91 8,88 8,76
 / m  0,1м-1,   14,1м/с
Оптимальный угол броска
/m (м-1)
Оптимальный
угол броска
(град)
0
0,01 0,03
0,1
0,3
1
45,0 43,9 42,2 38,7 34,5
30
Баллистические траектории
45
15
30
Y (м)
10
23
5
0
15
0
10
20
X (м)
 / m  0,1м-1,   141м/с
30
31 октября 2008 года 17-30
Лекция С.Б. Рыжикова
на физическом факультете МГУ
sbr@rambler.ru
•Вечерняя физическая школа (8-9 классы) [бесплатная]
Запись на лекции 31 октября
•Образовательный сайт Московского института открытого
образования http://phys.olymp.mioo.ru