Стационарная траектория развития экономики Замкнутая динамическая модель Солоу предполагает, что фондовооруженность производства изменяется со временем и закон изменения есть решение дифференциального уравнения: (замкнутая модель Солоу) dk (15.1) s1 a f k μ nk dt Практический интерес представляют стационарные траектории развития, т.е. траектории для которых k=Const в любой момент времени из интервала (0; T). Такая траектория есть решение алгебраического уравнения, которое представляет собой правую часть уравнения замкнутой динамической модели Солоу (15.1) Стационарная траектория развития экономики Модель стационарной траектории развития имеет вид: s1 af k μ n k 0 (15.2) Можно доказать, что уравнение (15.2) имеет единственное решение k*, если справедливо неравенство μn df 0 s(1 a) dk Решение k* обладает свойством устойчивости: k(t)k* при t ∞, а, следовательно, вся траектория является устойчивой. Все переменные для такой траектории растут с постоянным темпом роста, равным n: K k nt Le 0 ; X f k L e 0 nt ; Y 1 a X ; C 1 s Y Стационарная траектория развития экономики Определение. Если все показатели, характеризующие экономику (X, Y, K, C, L) растут с постоянным темпом роста, то такая экономика имеет сбалансированный рост и называется сбалансированной Вывод. Стационарная траектория развития определяет экономику сбалансированного роста, если k(0)=k* Можно доказать, что траектория сбалансированного роста в модели Солоу является стационарной. Однако, если k(0)≠k*, то решение уравнения (15.1) не определяет стационарную траекторию, а значит, траекторию сбалансированного роста Тем не менее, для любого k0>0 lim(k(t)=k* при t∞ При достаточно больших значениях t траектория роста в модели Солоу приближается к сбалансированной Стационарная траектория развития экономики Задача. Найти стационарные траектории развития для переменных X, Y, K, C, L, если f(k)=bkα. Решение. Подставим производственную функцию Кобба-Дугласа в уравнение (15.2) и найдем из него стационорное значение фондовооруженности k*. s 1 a b k μ n k 0 α s 1 a b k α 1 μ n 0 μ n k bs 1 a 1 α 1 (15.3) Вычислив по (15.3) значение k*, получаем траектории развития всех переменных, подставив k* в выражения: nt K k L0 e ; α nt X b k L0 e ; Y 1 a X ; C 1 s Y Оптимальная постоянная норма накопления в модели Солоу Мы ввели норму накопления s как некоторую часть инвестиций J, приходящуюся на единицу конечной продукции Y: s=J/Y. Очевидно, что s может принимать любое значение в пределах от 0 до 1. Ставится задача найти оптимальную норму накопления для стационарной траектории развития в модели Солоу при максимальном уровне удельного потребления. Это задача математического программирования вида: c 1 s 1 a f k max s 1 a f k μ n k 0 0 s 1 k0 (15.4) Оптимальная постоянная норма накопления в модели Солоу Решение задачи (15.4) проведем методом неопределенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид: Ls,k, λ 1 af k λs1 af k μ nk Необходимое условие экстремума имеют вид: L 1 a λ 1f k 0 s L f f 1 a 1 s λ s1 a μ n 0 k k k L s1 a f k μ nk 0 λ Из уравнения (15.5) следует, что λ=1, т.к. f(k)≠0 (15.5) (15.6) (15.7) Оптимальная постоянная норма накопления в модели Солоу Из уравнения (15.6) при λ=1 получим: df (15.8) 1 a μ n dk Т.к. вторая производная ПФ отрицательна, то левая часть (15.8) убывает до нуля, а правая – Const, то это уравнение имеет единственное решение k*>0. Подставив это решение в (15.7), учитывая (15.8) получим: s df k μn k k dk 1 a f k fk (15.9) Оптимальная постоянная норма накопления в модели Солоу Выражение (15.9) можно записать в виде: s E f (15.10) k где Ек*(f) – эластичность производственной функции f по фондовооруженности в стационарной точке k* 0≤s≤1, т.к. для вогнутой функции эластичность меньше 1 2 2 f d c d k 1 s 1 a 0 2 2 dk dk Следовательно, полученное решение соответствует максимуму «с» Выражение (15.10) называют золотым правилом накопления. Оно впервые было получено Э.Фелипсом Оптимальная постоянная норма накопления в модели Солоу Следствие. Умножим равенство (15.9) на f(k*)L, то после возвращения к переменным K и L получим: F K ,L K s F K ,L K т.е. инвестиции в основные фонды согласно «золотому правилу» накопления равны доходу получаемому от капитала. Уровень удельного потребления растет с тем же темпом, что и уровень рабочей силы, поэтому повышение уровня потребления можно достичь, только за счет улучшения технологических процессов.