Учет неоднородности труда при моделировании

Учет неоднородности труда
при моделировании
монополистической конкуренции
Филатов А.Ю., Соколовский Ю.М.
Иркутский государственный университет,
Институт систем энергетики им.Л.А.Мелентьева
http://math.isu.ru/filatov,
http://polnolunie.baikal.ru/me,
http://fial_.livejournal.com,
alexander.filatov@gmail.com
Экономический рост
и его причины
Экономический рост:
1000-2000: население  в 22 раза, мировой ВВП  в 300 раз.
Причины бурного роста с начала XIX века:
1. Промышленная революция
Рост производительности труда в Западной Европе за 1800-2000 – в 50 раз.
2. Создание единого мирового экономического пространства
Сокращение транспортных издержек за 1800-2000 – в 50 раз.
Сокращение таможенных пошлин за 1930-2000 – в 7 раз, 32%  4,6%.
Рост доли экспорта в ВВП за 1800-2000 – в 17 раз.
Сокращение издержек связи (сотовая связь, интернет…).
3. Урбанизация
Городское население в 1800 / 1910 / 2000 в Европе и США: 10% / 40% / 75%.
1910 г. – 228 крупных городов с населением >100 тыс. жителей.
1800 г. – 98 из них не существовали или были небольшими деревнями.
Деревня – все делают всё (пекут хлеб, шьют одежду…) – очень неэффективно!
Город – всё производится в промышленных масштабах, можно купить.
Подходы к моделированию
Рикардо: причина международной торговли – относительные преимущества
в трудовых ресурсах: «Результат труда 100 англичан нельзя получить 80 англичанами, но он может быть получен 80 португальцами, 60 русскими или 120
восточными индусами».
Хекшер, Олин: причина международной торговли – относительные преимущества в факторах производства (труд, капитал, природные ресурсы, технологии…): «Страна экспортирует товар, для производства которого интенсивно
используется ее относительно избыточный фактор производства».
Главный недостаток: факторы немобильны, товары мобильны???
Главный вывод «торгуют различающиеся страны» сейчас выполняется плохо.
Две теории, применяющиеся в пространственной экономике:
1. Фирма занимает свободные ниши на уже существующих предпочтениях
Hotelling’ 1929 – линейный город; Downs’ 1957 – политическая конкуренция.
Продукт однородный по всем параметрам кроме места продажи!
2. Фирма создает новую разновидность товара и привлекает потребителей
Dixit, Stiglitz, Krugman’ 1977-1980. Продукт – дифференцированный.
Модель
монополистической конкуренции
Chamberlin’ 1933: реальные рынки существуют между
совершенной конкуренцией и монополией
Идеи:
1. Фирмы продают продукты, не являющиеся совершенными заменителями, т.е. они – дифференцированы.
2. Каждая фирма производит единственный вид продукта
с возрастающей отдачей от масштаба и в состоянии назначать цену, превышающую предельные издержки.
3. Число фирм в отрасли достаточно большое, чтобы каждая фирма занимала небольшой объем рынка.
4. Существует свободный вход на рынок и выход с рынка,
прибыль фирм – нулевая.
Эдвард Хастингс
Чемберлин
(1899 – 1967)
Модель Диксита-Стиглица
Джозеф Стиглиц
Авинаш Диксит
(род. 1943).
(род. 1944)
Лауреат Нобелевской Президент Эконометпремии по экономике рического общества и
(2001) за анализ рын- Американской эконоков с асимметричной мической ассоциации
информацией
Базовые предположения модели Диксита-Стиглица:
1. Любовь потребителей к разнообразию (моделируется через CES-функцию
полезности).
2. Возрастающая отдача от масштаба (моделируется через функцию издержек
TC = F + cq).
Недостаток: предположение об однородных фирмах  модель Мелица (2003).
Модель с неоднородным трудом
1. Экономика состоит из двух секторов: сельскохозяйственного (традиционного) и промышленного (современного).
2. В сельском хозяйстве однородный продукт A производится с постоянной
отдачей от масштаба и продается на совершенно конкурентном рынке.
3. В промышленном секторе производится континуум [0, n] разновидностей
горизонтально дифференцированного продукта M с возрастающей отдачей от масштаба. i – индекс, характеризующий разновидность.
4. L потребителей (они же рабочие), чьи предпочтения идентичны и задаются
на верхнем уровне функцией полезности Кобба-Дугласа u  M  A1  .
5. Функция полезности нижнего уровня – CES-функция.
6. L рабочих делятся на промышленных различной квалификации c(i) и
однородных сельскохозяйственных. Доли и распределение квалификации
заданы.
7. Потребности фирмы промышленного сектора в труде: l i   f  ci qi .
8. Суммарные издержки на оплату труда (других издержек нет): TCi   wi l i .
9. В сельском хозяйстве f A  0, cA  1, pA  1, wA  1.
Задача потребителя
1
  1
n

n


CES-функция полезности: M    qi  di     qi  1  di 
,




0

0

  0; 1,   1;  ,   1 1   ,    1  .
Крайние случаи:
  0,   1 – независимые товары, функция полезности Кобба-Дугласа: M   qi
  1,    – совершенные заменители, линейная функция полезности: M   qi
Задача потребителя – максимизация полезности от приобретения дифференцированного продукта при условии, что на него тратится доля  дохода I:
n
 qi 
 1 
n
di  max,
0
0
Функция Лагранжа:
n
 qi 
0
 pi qi di  I
n



di    I   pi qi di   max,
0



p j  
 .
pi  
 1 
qi  

q j  
1
 1

qi    pi .

Задача фирмы
Задача фирмы – максимизация прибыли:
 i   pi qi   wi  f  ci qi   qi  pi   wi ci   wi  f  max .
p i 
Большое число участников рынка  цена, установленная на один товар,
не влияет на спрос на другой товар  qi   const * pi  .
1

 i   const * pi   pi   wi ci   wi  f  max , pi   pi  wi ci   max ,
p i 
p i 

wi ci .
1    pi   pi  1 wi ci   0, pi  
 1
В долгосрочном равновесии прибыль всех фирм равна нулю:
f   1
 

 1  wi  f , qi  
.
 i   qi  pi   wi ci   wi  f  0, qi wi ci 
ci 
  1 
Связь заработной платы и производительности труда:
 w j c j  
wi   c j  
c j  qi   p j  
  

 ,
 

 
w j   ci  
ci  q j   pi  
 wi ci  


Размер фирмы по числу рабочих:
l i   f  ci qi   f  f  1  f .
 1 
Модель с двумя типами
промышленных рабочих
L рабочих делятся на
α1 L высококвалифицированных промышленных, ci   c1  c.
α2 L низкоквалифицированных промышленных, ci   c2   c,   1.
(1–α1–α2) L сельскохозяйственных.
Полученные параметры равновесия:


p1 
w1c, p2  
w2c,
n1  1L f ,
n2   2 L f ,
 1
 1
TR1  TC1    1  fw, TR2  TC2  fw,
q1  f  1 c , q2  f   1 c ,
1   2  0,
l1  l2  f .
w1    1  w, w2  w,
Суммарный доход населения:
W  1Lw1   2 Lw2  1  1   2 L *1  1L  1  w   2 Lw  1  1   2 L.
Равновесный уровень заработной платы (из баланса предл. и спроса в с/х):
 1  1   2
.
1  1   2 L  1   1L  1  w   2 Lw  1  1   2 L , w 
1   1  1    2
 1  1   2
 1  1   2
, w2  w 
.
k1    1  , w1  k1w 
1   1   2 k1
1   1k1   2
Сравнительная статика
f
c
L


1
2

Табл.1.
p1

+






Влияние параметров модели на возникающее равновесие
p2
q1
q2
TR1 TR2
w1
w2
n1
n2
+
+
+
+
–
–



+
–
–






+
+







–








–
–







+








+

















+ – зависимости в форме прямой или обратной пропорциональности;
 возрастающие или убывающие зависимости общего вида;
 пары переменных, связь между которыми отсутствует.
l
+



+



Модификация с фиксированным
уровнем заработной платы
Институциональные ограничения, не позволяющие разграничивать эффективных и неэффективных рабочих (Echazu, Lugovskyy’ 2007):
1. Централизованно зафиксированный уровень зарплаты (ЕТС).
2. Действия профсоюзов.
3. Отсутствие у фирмы информации о качестве конкретного работника на момент заключения контракта.
Схема стимулирования высококвалифицированных рабочих:
1. Зарплата установлена на едином низком уровне.
2. Прибыль неэффективных фирм равна нулю.
3. Прибыль эффективных фирм положительна.
4. За счет прибыли эффективные фирмы платят премии своим сотрудникам
(при CES-функции полезности схема распределения прибыли неважна).
Равновесие в модели
с фиксированной зарплатой
Полученные параметры равновесия:


p1 
wc,
p2  
wc,
 1

1
q1  f   1  1 c , q2  f   1 c ,


l1  f 1    1  1 , l2  f .
1 L
2L
n1 
,
n

2
f
f 1    1  1 
TR1  p1q1  fw  1 ,


TR2  fw,
TC1  fw 1    1  1 , TC2  fw,
 1  fw   1  1 ,
 2  0.
Доходы высококвалифицированных рабочих:
1
w  1
I1  w  
.
l1 1    1  1
Равновесный уровень заработной платы (из баланса предл. и спроса в с/х):


  1
,
1  1   2 L  1   1Lw




Lw

1




L
2
1
2
 1
1    1


 1
 1  1   2

w

.
k2 
,
 1
1    1k 2   2
1    1
Сравнительная статика в модели
с фиксированной зарплатой
Табл.2. Влияние параметров модели с фиксированной зарплатой на равновесие
p1
p2
q1
q2 TR1 TR2 I1
I2
n1
n2
l1
l2
–












–
+







 


Отличия от базовой модели:
1. Увеличение различий между секторами благоприятно сказывается на эффективном секторе: укрупнение фирм, снижение цен, расширение поставок.
2. Усиление взаимозаменяемости ведет к укрупнению фирм обоих секторов.
3. При усилении взаимозаменяемости уровень зарплат не только падает, но с
некоторого критического значения начинает возрастать.
4. При усилении взаимозаменяемости в эффективном секторе не наблюдается
неограниченного роста доходов.
5. При очень высоких значениях  оба сектора выравниваются из-за падения
прибыли.
Сопоставление базовой модели и
модели с фиксированной зарплатой
Б – равновесное значение больше в базовой модели.
Ф – равновесное значение больше в модели с фиксированной зарплатой.
Табл.3. Сопоставление базовой и модифицированной модели
p1
p2
q1
q2
Б
Ф
Ф
=
TR1 TR2 TC1 TC2 w1
Ф
Ф
Ф
Ф
Б
w2
I1
I2
n1
n2
l1
l2
Ф
Б
Ф
Б
=
Ф
=
Последствия фиксации зарплаты:
1. Выравнивание доходов в эффективном и неэффективном секторах, несмотря
на попытки уменьшить эффект с помощью распределения прибыли.
2. Увеличение разрыва в ценах секторов. Товары эффективного сектора благодаря сокращению расходов на зарплату становятся еще более доступными, а
в неэффективном секторе рост зарплат увеличивает его неэффективность.
3. Укрупнение фирм эффективного сектора при одновременном сокращении
разнообразия предоставляемых продуктов, что уменьшает достигаемое значение полезности потребителей.
Модификация «деиндустриализация
неэффективного сектора»
Если равновесная зарплата в неэффективном секторе промышленности ниже
зарплаты в сельском хозяйстве, часть неквалифицированных рабочих «уезжает в деревню». Миграция продолжается до выравнивания зарплат.
Поиск доли населения , «переезжающего в деревню»:
1   1k   2  *1   1  1   2  
1  max 0; 1   1k1   2    1  1   2  – доля в базовой модели.
 2  max 0; 1   1k2   2    1  1   2  – доля в модифицированной модели.
Сопоставление моделей:
k1  k2
 1   2
Деиндустриализация неэффективного сектора при фиксации уровня зарплаты по промышленности будет ниже, чем в базовой модели. Это может
в некоторой степени компенсировать сокращение разнообразия и не вполне справедливое перераспределение доходов в пользу рабочих низкой квалификации.
Численный пример
Табл.4. Равновесие в примере f  1, c  1, L  120,   2,   3, 1  0,25,  2  0,25.
 = 0,7
 = 0,5
 = 0,5, деинд.
Базов. Фикс. Базов. Фикс. Базов. Фикс.
Цена продукции
Объем производства
Выручка фирмы
Издержки фирмы
Заработная плата
Доходы рабочих
Число фирм
Спрос на труд
Доля переезжающих
p1
p2
q1
q2
TR1
TR2
TC1
TC2
w1
w2
I1
I2
n1
n2
l1
l2
Δ
4,295
5,411
2
1
8,589
5,411
8,589
5,411
2,863
1,804
2,863
1,804
10
10
3
3
3
6
8
1
24
6
18
6
2
2
2,667
2
3,333
10
9
3
1,841
2,319
2
1
3,681
2,319
3,681
2,319
1,227
0,773
1,227
0,773
10
10
3
3
1,286
2,571
8
1
10,286
2,571
7,714
2,571
0,857
0,857
1,143
0,857
3,333
10
9
3
2,381
3
2
1
4,762
3
4,762
3
1,587
1
1,587
1
10
10
3
3
0,073
1,5
3
8
1
12
3
9
3
1
1
1,333
1
3,333
10
9
3
0,042
Обобщение: произвольное число
типов промышленных рабочих
Задано распределение квалификации рабочих:
Число рабочих, необходимых для производства единицы продукции на i-фирме:
ci    i  c,  i  1;   , с – показатель самого квалифицированного рабочего.
Соответствующий уровень зарплат:
  1 
wi    i 
w, w – зарплата самого квалифицированного рабочего.
Простейший случай – линейно возрастающие издержки:  i   1    1 .
n
f   1

, l i   f , n  L f .
wi ci  , qi  
Расчетные формулы: pi  
ci 
 1
Суммарная зарплата рабочих промышленного сектора:
 1 
n
L n  i
 1  1

W   l i wi di 
w 1    1
di  Lw
.
n 0 n
 1

0
Равновесный уровень заработной платы (из баланса предл. и спроса в с/х):


 1    1
 1  1
.
1   L  1   Lw
 1   L  , w 
1
1      1
 1


i
Численный пример
Табл.5. Равновесие в примере
f  1, c  1, L  120,   2,   3,   0,5,   0,6.
i
c(i) w(i) p(i) q(i) TR(i)
0
0,5
1,5
2,5
3,5
…
20
1
1,025
1,075
1,125
1,175
…
2
1,924
1,892
1,833
1,778
1,728
…
1,212
2,885
2,909
2,956
3,001
3,045
…
3,635
2
1,951
1,860
1,778
1,702
…
1
5,771
5,677
5,499
5,335
5,183
…
3,635
Доля переехавших:
  0,05.
Изменение числа фирм:
n  20  18.
Изменение характеристики неоднородности труда:
  2  1,9.
Табл.6-7. Равновесия в примере
f  1, c  1, L  120,   2,   3,   0,5,   0,5.
i
c(i) w(i) p(i) q(i) TR(i)
0
0,5
1,5
2,5
3,5
…
20
1
1,025
1,075
1,125
1,175
…
2
1,282
1,262
1,222
1,186
1,152
…
0,808
1,924
1,940
1,971
2,001
2,030
…
2,424
2
1,951
1,860
1,778
1,702
…
1
3,847
3,785
3,666
3,557
3,455
…
2,424
i
c(i)
w(i)
p(i)
q(i)
TR(i)
0
0,5
1,5
2,5
3,5
…
18
1
1,025
1,075
1,125
1,175
…
1,901
1,534
1,509
1,462
1,419
1,378
…
1
2,302
2,321
2,358
2,394
2,429
…
2,851
2
1,951
1,860
1,778
1,702
…
1,052
4,603
4,528
4,387
4,256
4,134
…
3,000
Модель «объединение стран»
2c2
Страны моделируются
в соответствии с изло- 1c1
женной моделью.
Случай равномерного
распределения качества рабочих в диапазоне
c1
[ci; ici ].
1. Страна 1
2. Страна 2
3. Страна 1 + Страна 2
Варианты:
1. Отсутствие транспортных издержек и пошлин.
2. Транспортные издержки
и таможенные пошлины
разных видов.
c2
2c2
α 1 L1
α 2 L2
1c1
c2
c1
1 L1
c2  c1
 c c
α1L1 1 L1   2 L2 1 1 2 α1L1+α2L
 1c1  c1
 2c2  c2
Эффекты объединения стран
1. Увеличение разнообразия и рост полезности.
2. Выравнивание цен в объединенных странах.
3. Возможная деиндустриализация в стране с неэффективным промышленным
сектором.
Численный пример
L1  100, c1  1,  1  2, 1  0,6.
Развитая страна:
f  1,   2,   2 3.
Развивающаяся страна: L2  100, c2  1,2,  2  10,  2  0,4.
До объединения:
i
c(i)
w(i)
p(i)
q(i)
i
c(i)
w(i)
p(i)
q(i)
0
…
30
1
…
2
1,609
…
1,138
3,219
…
4,552
После объединения:
i
c(i)
w(i)
p(i)
0
…
30
1
…
2
2,974
…
2,103
5,948
…
8,412
1
…
0,5
0
…
20
1,2
…
12
6,243
…
1,974
14,98
…
47,38
0,833
…
0,083
q(i)
i
c(i)
w(i)
p(i)
q(i)
1
…
0,5
0
…
20
1,2
…
12
2,715
…
0,858
6,516
…
20,60
0,833
…
0,083
Спасибо
за внимание!
http://math.isu.ru/filatov,
http://polnolunie.baikal.ru/me,
http://fial_.livejournal.com,
alexander.filatov@gmail.com