Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки х 0 . Определение 1. U ( х0 ) Функция f(x) называется если непрерывной в точке х0 , 1) она имеет предел в точке х 0 , 2) этот предел равен значению функции f(x) в точке lim f ( x) f ( x0 ) x x0 х0 . Замечания. Для непрерывной функции символ lim предельного перехода и символ f функции можно менять местами. 1. lim x x0 lim f ( x) f ( lim x) x x0 x x0 2. Пусть x x0 f ( x0 ) A const lim f ( x) B const x x0 AB Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция f(x) в точке х 0 имеет разрыв. Приращение аргумента и функции Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности U ( х0 ) ( х . x х0 . х0 x U ( х0 ) точки х 0 . ) x - приращение аргумента y f ( x0 x) f ( x0 ) y - приращение функции f в точке х 0 , отвечающее приращению аргумента х точки х 0 . Замечание. Условие непрерывности f(x) в точке х 0 . lim f ( x) f ( x0 ) x x0 lim f ( x0 x) f ( x0 ) x 0 lim [ f ( x0 x) f ( x0 )] 0 x 0 lim y 0 x 0 Определение непрерывности через приращения аргумента и функции Определение 3. Функция f(x) называется если непрерывной в точке х0 U ( x0 ), приращение y функции в этой точке, отвечающее приращению х аргумента, стремится к нулю при х 0 . lim y 0 x 0 Пример. Показать, что функция yx непрерывна в любой точке х0 2 числовой оси. Решение. y ( x0 x) x0 2 x0 x (x) 2 x(2 x0 x) 2 2 y 0 при х 0 lim y 0 x 0 Определение непрерывности на языке Определение 2. Функция f(x) называется если непрерывной в точке х0 , для любого числа 0 существует число 0 такое, что для всех x U ( х0 ) , удовлетворяющих условию x x0 выполняется неравенство f ( x) f ( x 0 ) 0 ( , x0 ) 0 : x, x x0 f ( x) f ( x0 ) Определение непрерывности по Гейне Пусть функция f(x) задана на произвольном множестве пусть точка х0 E. Определение 4. ERи Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 , если для любой последовательности точек {xn }, xn E, сходящихся к точке х0 E , соответствующая последовательность значений функции { f ( x n )} сходится к точке f ( x0 ). Пример. Функция Дирихле 1, x Q D( x) 0, x I По определению Гейне функция Дирихле не является непрерывной в любой точке х0 R. lim y 0 lim f ( x) f ( x0 ) x 0 x x0 Определение 1 Определение2 Непрерывность в точке Определение 4 x n x0 f ( x n ) f ( x0 ) Определение 3 0 ( , x0 ) 0 : x, x x0 f ( x) f ( x0 ) Локальные свойства функции, непрерывной в точке Теорема 13. Если функция f (x ) 1) непрерывна в точке х 0 , 2) f ( x0 ) A ( f ( x0 ) то существует такое A) 0 , что f ( x) A ( f ( x) A) для всех x из интервала ( х0 , x0 ). Доказательство. f ( x0 ) A Пусть Зададим f ( x0 ) A h, h 0 h 2 По определению непрерывности f(x) в точке х0 0 ( , x0 ) 0 : x, x x0 f ( x) f ( x0 ) h f ( x) f ( x0 ) 2 h h f ( x) f ( x0 ) 2 2 x ( х0 , x0 ) h h h A A f ( x) f ( x0 ) A h 2 2 2 f ( x) A x ( х0 , x0 ) Устойчивость знака непрерывной функции Теорема 14. Если функция f (x ) 1) непрерывна в точке 2) f ( x0 ) 0, х0 , то существует окрестность ( х0 , x0 ) точки х 0 , в которой функция f (x ) 1) не обращается в нуль f ( x) 0 2) сохраняет один и тот же знак (знак числа f ( x0 )). Доказательство следует из теоремы 13, если задать A 0. f ( x0 ) A 0 x U ( х0 , ) ( f ( x0 ) A) f ( x0 ) 0, 0 x U ( х0 , ) sgn f ( x) sgn f ( x0 ) Основные элементарные функции и их непрерывность Степенная функция y x , R x0 Область определения: Монотонно возрастает, если y yx 0 и монотонно убывает, если 0. y 1/ 2 1 0 yx 3 / 2 1 1 х 0 1 х y Z y x3 1 1 y yx 1 0 1 1 1 y 2 x x Область определения: х 1 Область определения: Z 0 x0 y y 1 1 х 1 y x 1 1 0 1 0 1 p 0 q х q q нечётное чётное 1 х x x0 4 Показательная функция x y a , a 0, a 1 x Монотонно возрастает, если a 1 и монотонно убывает, если 0 a 1 Область определения: y y y a (a 1) x y a x (0 a 1) 1 1 0 х а- основание степени 0 х Логарифмическая функция y log a x, a 0, a 1 x0 Область определения: y y log a x(0 a 1) y 0 1 х 1 0 Монотонно возрастает, если х y log a x(a 1) a 1 и монотонно убывает, если 0 a 1 а- основание логарифма y log a x обратная функция для y ax Тригонометрические функции y sin x y cos x Область определения: синусоида y y sin x x T 2 Периодическая 1 х 0 2 3 2 2 1 y cos x y Область определения: Периодическая x T 2 1 2 0 1 2 3 2 х Тригонометрические функции y tg x y ctg x y Область определения: x (2k 1) , k 0,1,2,... 2 Периодическая T y tg x х 2 0 2 3 2 y y ctg x х 2 0 2 3 2 Область определения: x k , k 0,1,2,... Периодическая T Обратные тригонометрические функции y sin x x [ , ] y arcsin x 2 2 y y sin x 1 0 монотонно возрастает . х 2 2 y arcsin x 1 Область определения: Область значений: y x [1,1] x [ 2 , ] 2 2 х 0 1 1 2 Функции, которые получены из основных с помощью конечного числа арифметических операций или операций взятия функции от функции, применённое конечное число раз, называются элементарными функциями . Утверждение. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения. Доказательство. y cos x x | sin x || x | x Покажем непрерывность функции Докажем неравенство Пусть BC 2 sin x OA 1 AOB AOC 2 BC BC BC 2 x AOB x, 0 x 2 sin x 2x sin x x В | sin x || x | x (0, ) 2 О А | sin( x) || sin x || sin x | | x || x | | sin x || x | x ( ,0) С 2 sin 0 0 | sin x || x | x ( , ) 2 2 x ( , ) | x | 1 | sin x | 1 x . 2 2 2 | sin x || x | x y cos x Возьмём x R. x Зададим приращение х. x x y cos( x x) cos x 2 sin( x ) sin 2 2 x x x x | y || 2 sin( x ) sin | 2 | sin( x ) | | sin | 2 2 2 2 x x | x | | x | | sin( x ) | 1 | sin | | y | 2 1 | x | 2 2 2 2 0 | y || x | По теореме о пределе промежуточной функции lim | y | 0 x 0 y cos x непрерывна в любой точке R. Замечательные пределы 1-й замечательный предел S OAB S сектораOAB S OAC 1 2 sin x R 2 R 2 x 1 2 R tgx 2 2 sin x x tgx sin x 0 AOB x, 0 x x (0, ) x 2 1 1 sin x cos x sin x 1 cos x x Верно для x (0, ) и верно для x ( ,0) 2 sin( x) sin x 2 Разделим на x Функция x sin x 1 lim x x 0 2 В О . С А OA 1 cos( x) cos x y cos x непрерывна в любой точке x, в том числе в точке x=0. lim cos x cos 0 1 x 0 По теореме о пределе промежуточной функции lim x 0 sin x 1 x 2-й замечательный предел lim (1 x) n 1 n ( 1 ) e lim n n x 0 n x n 1, n N n x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x n 1 n n 1 x n n 1 x n x n n 1 n 1 1 1 1 1 1 lim lim n 1 n 1 n 1 x n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 e lim lim n n n n n Пусть x . Зададим t ( x 1). x 1 1 1 lim 1 lim x t 1 x t lim 1 x 1/ x x 0 ( t 1) y t lim t 1 t 1 lim 1 e y y e 1 при n . ( 1 ) n Нам известен предел последовательности Докажем для x R. Рассмотрим случай x : x 1 x n 1 1 e x по т. 4 1 lim 1 e x x x t ( t 1) t 1 lim t t lim (1 x) x 0 1 x t 1 t 1 1 1 lim 1 1 e t t t e Операции над непрерывными функциями Арифметические операции над непрерывными функциями Теорема 15. Пусть функция f (x ) и (x ) определены в некоторой окрестности точки x 0 . Если f (x ) и (x ) непрерывны в точке x 0 , то также непрерывны в точке x 0 их сумма разность произведение частное f ( x) ( x), f ( x) ( x), f ( x) ( x), f ( x) ( x) ( ( x0 ) 0). Доказательство. Пусть Докажем для f ( x) ( x) f (x ) и (x ) непрерывны в точке x0 и ( x0 ) 0. По теореме 14 (устойчивость знака непрерывной функции) U ( x0 ) окрестность точки x0 : ( x) 0 x U ( x0 ) F ( x) f ( x) ( x) определена в окрестности lim f ( x) f ( x0 ) x x0 U ( x0 ). lim ( x) ( x0 ) 0 x x0 По теореме о пределе частного f ( x ) f ( x0 ) F ( x0 ) lim F ( x) lim x x0 x x0 ( x ) ( x0 ) По определению непрерывности f ( x) Функция F ( x) ( x) непрерывна в точке x0 . Сложная функция. Непрерывность сложной функции E R. Пусть функция u (x ) задана на множестве E1 {u R : u ( x) x E} -множество значений u. Пусть функция y f (u ) задана на множестве Функция y f [ ( x)] E1 R. - сложная функция от x. y f (u ) f [ ( x)] . y E2 u (x) . Пример. u sin x y e ye cos x u . x E1 E u x Переход к пределу под знаком непрерывной функции Теорема 16. Если 1) функция u (x ) в точке x 0 имеет предел, равный числу А, 2) функция y f (u ) непрерывна в точке u A, то функция y f [ ( x)] в точке равный f ( A). x 0 имеет предел, y f (u ) Доказательство. непрерывна в точке u=A. 0 0 : u, u A f (u) f ( A) По условию A lim ( x) x x0 0 0 : x, x x0 ( x) A u A f [ ( x)] f ( A) lim f [ ( x)] f ( A) x x0 lim f [ ( x)] f [lim ( x)] x x0 x x0 Правило перехода под знаком непрерывной функции. Пример. Показать, что ln( 1 x) lim 1 x 0 x Решение. ln( 1 x) ln( 1 x) x Функция y ln( 1 x) Функция y 1 ln u 1 x -сложная: 1 x y ln u u (1 x) 1 x непрерывна в точке u=e. lim (1 x) x e x x0 1 x 1 ln( 1 x) lim lim ln( 1 x) ln[ lim (1 x) x ] ln e 1 x x0 x x0 x x0 x Непрерывность сложной функции Теорема 17. Если функция u (x) непрерывна в точке x 0 , а функция y f (u ) непрерывна в точке u 0 ( x0 ), то сложная функция y f [ ( x)] непрерывна в точке x0 . Доказательство. Функция u (x) непрерывна в точке x0 lim ( x) ( x0 ) u0 x x0 Функция y f (u ) непрерывна в точке u 0 По теореме 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции lim f [ ( x)] f (u 0 ) f [ ( x0 )] x x0 Функция y f [ ( x)] непрерывна в точке x0 . Непрерывность функции • • • • • определения непрерывности в точке, локальные свойства непрерывности, основные элементарные функции, замечательные пределы, арифметические операции над непрерывными функциями, • сложная функция и её непрерывность.