Предел и непрерывность функции одной переменной Понятие функции X ,Y R f : X Y Функцией называется отношение f : X Y , при котором каждому элементу множества X ( x X ) соответствует единственный элемент множества Y ( y Y ). y = f(x) Х – область определения функции; x – аргумент; E { y Y : y f ( x), x X } -множество значений функции. Равенство функций Функции f и g равны, если 1) области определения совпадают; 2) f ( x) g ( x) x X . Пример: f ( x) x x 2 g ( x) x 2 0 x 1 f ( x) g ( x) Примеры. 1. Последовательность {a n }. f :N R f ( n) a n 2. y n! («эн-факториал») f : Z R f (n) 1 2 3 4 ... n 0! 1 3. 1, если х 0 x sgn x 1, если х 0 x 0, если х 0 4. y [x] наибольшее целое число, не превосходящее x: [ x] n n x n 1 Аналитическое задание функции • явно заданные функции: пример: y x 2 5x 2 y f (x) • неявно заданные функции: F ( x, y ) 0 пример: x 2 y 2 1, y 0 • параметрически заданные функции: пример: x cos t , y sin t x (t ) y (t ) область определения = область существования {x X : f ( x) R и конечные} Примеры: y 1 x 2 y sin x 1 x 1 x Графический способ задания функции {x, f ( x)} xOy Контрпример: Функция Дирихле 1, x Q D( x) 0, x I Табличный способ задания функции x x1 x2 x3 x 4 ... xn y y2 y3 y 4 ... yn y1 Элементарные свойства функций • • • • • монотонность; четность/нечетность; периодичность; нули функции; и т.п. Предел функции в точке f ( x) A при xa lim f ( x) A xa Определение (Коши) Число А называется пределом функции f(x) в точке a , если для любого 0 , которое может быть сколь угодно малым, найдется такое 0, что при всех x , x a, удовлетворяющих условию xa верно неравенство f ( x) A . lim f ( x) A xa (lim f ( x) A) x a 0 ( ) 0 : x, 0 x a f ( x) A Примеры. 1. Показать, пользуясь определением предела, что lim (2 x 3) 5 x 1 Функция y 2x 3 0 определена всюду, включая точку а=1:f(1)=5. (2 x 3) 5 | 2 x 2 | 2 | x 1 | | x 1 | 2 f (x) 5 | x 1 | 2 2 lim (2 x 3) 5 x 1 Геометрическая интерпретация определения предела x a a x a x (a , a ) f ( x) A A f ( x) A f ( x) ( A , A ) Число А есть предел f(x) при x, стремящемся к а, если для любой - окрестности точки А найдется такая - окрестность точки а, что для любого значения x ≠ а, попадающего в - окрестность точки а, значение функции y=f(x) принадлежит - окрестности точки А. U ( a, ) ( a , a ) U ( A, ) ( A , A ) (lim f ( x) A) xa 0 (U ( A, ) U (a, ) : x U (a, ) f ( x) U ( A, )) Замечание. Значение функции в точке a не влияет на предел функции в точке. Пример 1. Найти x lim . x 0 x Решение: x 1, x 0 f ( x) x не определена, x 0 f ( x) g ( x), x0 x lim lim 1 1 x 0 x x0 g ( x) 1 Найти Пример 2. lim f ( x) x0 Решение: x 2 , x 0 f ( x) 1, x 0 g ( x) x 2 , x f ( x) g ( x), x0 lim g ( x ) 0 x 0 0 0 : x 0 | x | | x 2 | x 0 | x | | x 2 || x | 2 lim f ( x ) 0 x 0 Эквивалентное определение предела по Гейне Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к а, если для любой последовательности . xn a f ( xn ) A. lim f ( x) A x a {xn} a { f ( xn )} A Пример. Показать, что функция 1 f ( x) sin , x 0 x не имеет предела в точке x=0. 1 0 n 1 0 2n 2 f ( x) sin sin n 0 sin( 2n) 1 2 1 в точке x=0 не имеет предела. x Теоремы о пределах Теорема 1(единственность предела) Если функция f(x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный. Доказательство: Пусть lim f ( x) A. x a Докажем, что B A lim f ( x) B. xa 0 : 0x, x a | x a | | f ( x) B | | f ( x) B | | ( f ( x) A) ( B A) | || f ( x) A | | B A || | f ( x) B | || B A | | f ( x) A ||| B A | | f ( x) A | lim f ( x ) A xa 0 0 : x a | x a | | f ( x) A | | B A| 2 | B A| 2 | B A| | B A| | f ( x) B || B A | 2 2 | f ( x) A | lim f ( x) B. xa Ограниченные функции Определение. Функция y = f(x) называется ограниченной в окрестности точки a , если существует такое М >0 (М = const) и 0 такие,что | f ( x) | M x U (a, ) (a , a ) Теорема 2 (ограниченность функции, имеющей предел) Если функция f(x) определена в окрестности точки a и имеет в точке a конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Доказательство: Пусть lim f ( x) A. x a 0 0 : x a | x a | | f ( x) A | 1 | f ( x) A | 1 | f ( x) | | A ||| f ( x) | | A ||| f ( x) A | | f ( x) || A | | f ( x) A || A | 1 M max{| A | 1, | f (a) |} x U (a, ) (a , a ) | f ( x) | M Пример. Функция 1 f ( x) sin , x 0 x ограничена в окрестности | sin x0 1 | 1 , x, x 0 x Предела в точке x 0 не имеет. Теорема 3 (переход к пределу в неравенстве) Если f ( x) ( x) для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и каждая из функций f (x ) и (x ) в точке a имеет предел, то lim f ( x) lim ( x) xa xa Теорема 4 (предел промежуточной функции) Если ( x) f ( x) ( x) для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и каждая из функций (x ) и (x ) в точке a имеют один и тот же предел A, то функция f (x ) в точке a имеет предел, равный этому же числу А. lim ( x ) lim ( x) A xa xa lim f ( x) A xa Определение предела функции в бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого 0 найдется такое число М > 0, что как только | x | M , верно неравенство | f ( x) A | lim f (x) A 0 M ( ) 0 : x, х M f (x) A x lim lim x x f ( x) A 0 M ( ) 0 : x, x M f ( x) A f ( x) A 0 M ( ) 0 : x M f ( x) A ; lim f ( x ) A x lim f ( x) A x и lim f ( x) A x График функции y=f(x) асимптотически приближается к прямой y=A при x Пример. Функция f ( x) 1 x2 1 x Показать, что lim f ( x) 0 x Решение: 0, 0 1 1 0 2 x 1 | x | 1 | x | N | f ( x) 0 | 1 1 2 ( x 1 ) x2 1 1 N 1 1 0 2 x 1 1 lim f ( x) 0 x Предел функции • • • • • • • Понятие функции. Определение предела функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Переход к пределу в неравенстве. Предел промежуточной функции. Определение предела функции в бесконечности.