глава 9

Лекция 9.
Цифровая фильтрация изображений
Обычно изображения, сформированные оптическими системами, искажаются действием помех. Это затрудняет как
их визуальный анализ человеком-оператором, так и автоматическую обработку на ЭВМ. При решении некоторых
задач обработки изображений в роли помех могут выступать и те или иные компоненты самого изображения.
Например, при анализе изображений различных фаз в аморфном сплаве может стоять задача определения границ
между отдельными фазами, между кластерами в каждой из фаз и т.п. С точки зрения этой задачи отдельные детали
изображения внутри разделяемых областей являются помехой.
Ослабление действия помех достигается
фильтрацией. При фильтрации яркость (9.сигнал) каждой точки исходного изображения, искаженного помехой,
заменяется некоторым другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой.
Идеология фильтрации основывается на рациональном использовании данных как из рабочей точки, так и из ее
окрестности.
Различные процедуры фильтрации в основном применяются:
-для восстановления некоторого “истинного” не искаженного в оптико-электронных системах формирования
изображения;
для улучшения зрительного восприятия тех или иных особенностей исследуемой микроструктуры;
ля поиска нужных фрагментов на электронно-оптических изображениях и привязки их к исходному изображению.
Большинство методов фильтрации может быть описано в терминах либо пространственной, либо частотной области.
Для пространственной фильтрации изображений на ЭВМ используются так называемые маски, по существу
представляющие собой КИХ-фильтры. В ряде алгоритмов аналог маски фильтра называют структурным элементом.
В иностранной литературе для обозначения маски также используют термин скользящее окно (9.sliding window).
В современных программных средствах для пространственной фильтрации пользователю предоставляется
фиксированный набор нескольких вариантов фильтров: для низкочастотной и высокочастотной фильтрации, для
реализации преобразования Собела (пространственное дифференцирование), для реализации преобразования
Лапласа (9.оценка второй производной поля), для градиентных преобразований вдоль выбираемых пользователем
направлений и др. В прикладных системах цифровой обработки изображений для обеспечения приемлемого
быстродействия обычно ограничиваются при задании импульсных характеристик матрицами малого размера:
3х3 либо 5х5 элементов. В этом случае подбором коэффициентов матрицы фильтра удается получить лишь
некоторую аппроксимацию требуемой передаточной функции, тем более грубую, чем сложнее вид нужной частотной
характеристики и чем меньше область задания импульсной характеристики. Если же использовать матрицы
коэффициентов больших размеров, то такая процедура фильтрации требуют неприемлемо больших временных
затрат.
В схеме пространственно-частотной фильтрации (9.ПЧФ) изображений вместо вычисления линейной свертки (в
непрерывном случае)
g  x, y  
 
  f  , h x   , y    d d
  
(9.1)
входной функции f (x, y) с импульсной характеристикой h (x, y) , сначала выполняется переход в частотную область
F u1 , u 2  
 
  f x, y  exp iu1 x  u 2 y  dxdy
(9.2)
  
затем перемножение спектра входного изображения и частотной характеристики (передаточной функции) фильтра
G u1 , u 2   F u1 , u 2 H u1 , u 2 
(9.3)
и затем возврат в пространственную область
1
g  x, y   F G u1 , u 2  
4
 
  Gu1 , u 2  expi u1 x  u 2 y  du1 du2
  
(9.4)
Основным преимуществом схемы ПЧФ по сравнению с прямой схемой является большая гибкость в реализации
линейных преобразований с требуемыми свойствами. Как правило, эти свойства формулируются именно на языке
частотных характеристик и, следовательно, наиболее естественным образом могут быть обеспечены в схеме ПЧФ.
Процедуры ПЧФ достаточно просто реализуются в когерентных оптических системах обработки изображений. В
1964 г. Вандер-Люгт предложил использовать для согласованной фильтрации в когерентной оптической системе
маску, расположенную в фурье-плоскости. Возможность реализации в реальном времени имеет решающее значение
для практического применения любого метода оптической корреляции, и ключевым устройством здесь является
пространственный светомодулятор (ПСМ), который позволяет ввести сигнал, или изображение, в форме некоторой
картины модуляции амплитуды и фазы световой волны по поперечному сечению оптического пучка. В начале 90-х
годов был построен и прошел испытание портативный макет коррелятора, обладающий способностью быстрого
переключения между четырьмя фиксированными голографическими фильтрами при использовании диодных
лазерных источников. В качестве входного устройства использовались ПСМ на жидкокристаллических оптических
вентилях (с оптической адресацией) фирмы Hughes Aircraft. Достижение в области техники и теории за последнее
десятилетие привели к быстрой эволюции корреляционных устройств, работающих в реальном времени и
обладающих высокими потенциальными возможностями для практического применения в обработке изображений.
Принципиально оптические системы позволяют осуществить корреляции изображений с частотой кадров до 1000 с-1
и при объеме установки не более 0.03 м 3.
Цифровые схемы ПЧФ изображений стали широко применяться после разработки в 1965 г. алгоритма быстрого
преобразования Фурье. В настоящее время на ЭВМ класса Pentium III – 800 MHz (9.ОЗУ - 256 Мбайт) при обработке
матриц размера [2048x2048] время полного цикла преобразований фильтрации с переходом в частотную область и
возвратом в пространственную не превышает 10 секунд. Основные применения процедуры ПЧФ в обработке
изображений связаны с согласованной фильтрацией и реставрацией изображений.
Для согласованной фильтрации разработаны методы так называемой чисто фазовой фильтрации (ЧФФ), когда
используется только фазовая часть согласованного фильтра. ЧФФ открывает гораздо более широкие возможности
для поиска нужного фрагмента на электронно-оптическом снимке, поскольку имеет значительно более высокий
корреляционный максимум и требует меньшего объема данных, необходимых для записи фильтра. Еще меньшую
память требует так называемый двоичный чисто фазовый фильтр (ДЧФФ). ЧФФ имеет большие перспективы и при
реализации в когерентных оптических системах обработки и распознавания изображений.
Задача реставрации электронно-оптических изображений обычно представляет собой задачу получения после
некоторой обработки нового изображения, в котором устранены искажения истинного изображения, связанные с
плохой настройкой и несовершенством электронно-оптических систем наблюдения. В литературе в связи с задачей
реставрации исследовались различные модели реальных устройств и процессов: модели оптических систем, модели
фотографических процессов, модели цифровых преобразователей, модели шумов фотодетекторов и шумов
зернистости фотоматериалов, модели устройств отображения и т.д. Часто ухудшение качества изображения
обусловлено его размытием. Размытие - это сужение полосы частот изображения в процессе его записи. Оно
вызывается движением регистрирующего устройства по отношению к изучаемому объекту или
несфокусированностью оптических систем микроскопов, устройств ввода изображений в ЭВМ. В настоящее время
разработаны методы восстановления изображений по искаженным и зашумленным снимкам.
Некоторые полезные преобразования не удается осуществить с приемлемым для пользователя качеством на классе
линейных систем. Такова ситуация, когда необходимо, например, удалить импульсный шум, не размывая других
деталей изображения. Для реализации подобных преобразований используются эвристические алгоритмы,
основанные на специальном анализе информации в скользящем окне конечного размера. Эти алгоритмы, широко
представленные в литературе по обработке изображений, получили обобщающее название нелинейных,
подчеркивающее лишь тот факт, что выходные значения не являются в строгом смысле линейной сверткой.
Все линейные алгоритмы фильтрации приводят к сглаживанию резких перепадов яркости изображений, прошедших
обработку. Этот недостаток, особенно существенный, если потребителем информации является человек,
принципиально не может быть исключен в рамках линейной обработки. Дело в том, что линейные процедуры
являются оптимальными при гауссовском распределении сигналов, помех и наблюдаемых данных. Реальные
изображения, строго говоря, не подчиняются данному распределению вероятностей. Причем, одна из основных
причин этого состоит в наличии на изображениях разнообразных границ, перепадов яркости, переходов от одной
текстуры к другой и т. п. Поддаваясь локальному гауссовскому описанию в пределах ограниченных участков, многие
реальные изображения в этой связи плохо представляются как глобально гауссовские объекты. Именно это и служит
причиной плохой передачи границ при линейной фильтрации. Вторая особенность линейной фильтрации - ее
оптимальность, как только что упоминалось, при гауссовском характере помех.
Обычно этому условию отвечают шумовые помехи на изображениях, поэтому при их подавлении линейные
алгоритмы имеют высокие показатели. Однако, часто приходится иметь дело с изображениями, искаженными
помехами других типов. Одной из них является импульсная помеха. При ее воздействии на изображении
наблюдаются белые или (и) черные точки, хаотически разбросанные по кадру. Применение линейной фильтрации в
этом случае неэффективно - каждый из входных импульсов (по сути - дельта-функция) дает отклик в виде
импульсной характеристики фильтра, а их совокупность способствует распространению помехи на всю площадь
кадра. В этом случае применение нелинейного медианного фильтра устраняет высокочастотный шум в местах
однородного поведения основного сигнала и при этом не размывает естественные резкие границы между участками
с различными уровнями интенсивности.
9.1. Линейная фильтрация изображений
9.1.1.Пространственная фильтрация изображений.
Пользователю предлагаются на выбор несколько процедур линейной фильтрации, осуществляемых с помощью
матриц взвешивающих коэффициентов размера. Прежде всего, это процедуры, направленные на подавление шумов.
Изображения могут повреждаться шумами и помехами различного происхождения: шумами видеодатчиков, шумом
зернистости фотоматериала, ошибками в каналах передачи. Поскольку шум пространственно декоррелирован, то в
его спектре, как правило, содержаться более высокие частоты, чем в спектре неискаженного шумами изображения.
Отсюда следует, что НЧ фильтрация является достаточно эффективным средством подавления шумов. На рис. 3
приведены матрицы масок для подавления шумов, рекомендуемые в литературе, и предоставляемые пользователю
данного программного пакета.
Рассмотренные выше усредняющие фильтры относится к фильтрам нижних частот, и их работа сопровождается
размытием изображения. В пакете процедур пространственной фильтрации пользователю предлагается и фильтр
Гаусса, также относящийся к НЧ фильтрам. В отличие от усредняющего фильтра он в меньшей степени размывает
обрабатываемое изображение. Маска фильтра такова, что центральный элемент маски имеет наибольшее значение,
а) 1/9
1

1
1

1
1
1
1

1
1
, б) 1/10
 1 1 1


1
2
1

 , в) 1/16
 1 1 1


1 2 1


2
4
2


1 2 1


Рис. 9.1. Матрицы коэффициентов линейных фильтров, используемых для подавления шумов
он соответствует пику распределения Гаусса. Значения остальных элементов уменьшаются по мере удаления от
центрального элемента. Уменьшение происходит в соответствии с распределением Гаусса. Маска формируется с
использованием следующих соотношений:
h g (i , j )  e
h (i , j ) 
 ( i 2  j 2 ) /( 2 2 )
(9.5)
h g (i , j )
M
N
  h g (i ,
j)
(9.6)
r 1 c 1
где пользователем задаются: M и N – размеры маски;  - среднеквадратичное отклонение распределения Гаусса.
Отметим, что низкочастотная фильтрация приводит к эффекту размытия изображения, моделируя с некоторым
приближением режим расфокусировки в изображающих системах микроскопов.
Высокочастотная фильтрация, напротив, “фокусирует” изображение, удаляя размытость и подчеркивает резкие
детали. Маска фильтра, повышающего резкость изображения, в рассматриваемом пакете создается следующим
образом:
  a a 1  a 
1 
h
a  1 a  5 a  1

(a  1) 
  a a  1  a 
(9.7)
где а – параметр в диапазоне [0,1], который задается пользователем.
Данный класс преобразований фактически является одним из возможных вариантов численной аппроксимации
процедуры двумерного дифференцирования . Будучи знакопеременной функцией, результат преобразования
визуализируется по желанию пользователя либо на фоне положительной постоянной составляющей либо в виде
распределения модуля производной. Актуальность данного класса преобразований для специалистов в физике
твердого тела обусловлен наличием во многих реальных физических приборах “дифференциальных” режимов
наблюдения исследуемого физического поля.
К классу линейных преобразований в рассматриваемом программном обеспечении также относятся восемь процедур
оценивания пространственных градиентов вдоль различных направлений (условно названы: “север”, “северовосток”, “восток” и т.д.). Как и в рассмотренном выше случае, они могут наблюдаться на фоне постоянной
составляющей либо как распределения модулей. Градиентные преобразования часто включают в системы по
обработке изображений для получения чисто зрительных эффектов. Градиентные преобразования могут также
представлять интерес, как средство имитации режимов “косого” освещения в металлографических микроскопах.
Фильтр Лапласа относится к ВЧ фильтрам и предназначен для выделения границ (перепадов) во всех направлениях.
Маска фильтра конструируется следующим образом:
 a
 4
4 1  a
h

(a  1)  4
 a
 4
1 a
4
1
1 a
4
a 
4 
1 a

4 
a 
4 
(9.8)
где а – параметр в диапазоне [0,1], задаваемый пользователем. Преобразование Лапласа реализует дискретный
вариант вычисления второй производной двумерного поля. Оно не является, строго говоря, линейным, хотя и
использует при вычислениях линейную свертку с матрицей постоянных коэффициентов. Преобразование Лапласа
приводит к увеличению контраста точек максимума второй производной, которые согласно психофизиологическим
исследованиям, существенно задействованы в механизмах восприятия человеком зрительных образов.
Лапласиан – гауссиана также относится к ВЧ фильтрам, но в отличии от фильтра Лапласа выделяет более резкие
перепады. Маска фильтра создается по формуле
h (i , j ) 
(i 2  j 2  2 2 )h g (i, j )
2
6
M
N
 h g (i, j )
r 1 c 1
где M и N – размеры маски;  - среднеквадратичное отклонение распределения Гаусса.
Вычисления hg осуществляются по формуле (9.5).
(9.9)
Наконец, пользователю предоставляются средства для формирования произвольных линейных фильтров. В
специальном окне дисплея схематически отображается текущая конфигурация матрицы коэффициентов a (i. j)
формируемого фильтра. Поля матрицы могут модифицироваться пользователем с клавиатуры. При этом программа
рассчитывает и выводит на дисплей в небольшом окне полутоновое изображение частотной характеристики фильтра.
Если характеристика фильтра удовлетворяет пользователя, то можно непосредственно выполнить спроектированное
линейное преобразование. Установленная конфигурация пользовательского фильтра сохраняется вплоть до
очередной модификации.
9.1.2. Пространственно-частотная фильтрация изображений.
В рассматриваемом комплексе программных средств система пространственно-частотной фильтрации (СПЧФ)
предназначена для обеспечения задач реставрации и улучшения изображений микроструктуры. Реализованы обе
схемы – оптическая на базе КОП и цифровая на базе PC ЭВМ. Оптическая фильтрация осуществляется с
применением голографических либо синтезированных на ЭВМ масок-фильтров.
Программное обеспечение СПЧФ предоставляет пользователю следующие возможности:
- проектирование передаточных функций H u1 ,u 2  для ПЧФ;
олнение процедур цифровой ПЧФ над изображениями;
тез масок для оптической реализации спроектированных ПЧФ.
Расчет фурье-спектра от исходного изображения в программе осуществляется по формуле дискретного
преобразования Фурье (ДПФ):
1 N 1
 2

Fm n   f kl exp  i mk  nl 
N k ,l 0
 N

,
m, n  0, N  1
(9.10)
где
f kl - отсчеты входного изображения; Fm n - комплексные амплитуды гармоник с частотами ( u1  2m N ;
u 2  2n N ).
Результирующий спектр, представляется матрицей комплексных отсчетов N  N , как и исходное изображение.
С точки зрения организации вычислений в программе удобно оперировать неотрицательными номерами гармоник
( u1 , u2  0, N  1 ). При визуализации спектра лучше их представлять в интервале ( u1 , u 2   N 2 , N 2  1 ),
когда нулевая частота привычно для пользователя позиционируется точно в центр картинки. Учитывая свойство
периодичности ДПФ [194], оба эти представления эквивалентны. В программе вычисления (9.3.5) проводятся с
использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. По результатам расчета на дисплей ЭВМ выводится
изображение амплитудной части спектра. По требованию пользователя возможна визуализация спектра на
вспомогательном телемониторе либо сохранение спектра в файле на диске. Также пользователю предоставляются
возможности по проведению измерений на изображении и его спектре (см. рис. 4). Визуальный анализ амплитудного
спектра Фурье и различные процедуры измерения помогают пользователю лучше сориентироваться в выборе вида
передаточной функции фильтра, способной обеспечить “оптимальную” фильтрацию исследуемого класса
изображений. Для этих же целей служит подсистема расчета и визуализации некоторых статистик спектра, включая
рассмотренные в главе 3 интегральные частотные характеристики.
Программа предоставляет пользователю средства для формирования частотной характеристики H u1 ,u 2 
требуемого вида. В этом случае проектируемая передаточная функция

H м од u1 ,u 2представляется
инацией элементарных передаточных функций трех типов: “глобальных”, “локальных” и “полосовых”:
б)
а)
Рис. 9.2. Процесс измерения интенсивностей и их характеристик в изображении (а) и в спектре Фурье (б)
n1
H модu1 , u2    H
i 1
i
глоб
n2
n3
l
u1 , u2    H u1 , u2    H пол
u1 , u2 
j 1
j
лок
l 1
(9.11)
где n1 , n 2 , n 3 определяют количество фильтров каждого типа, задействованных в полной модели. Теперь
рассмотрим чисто амплитудную фильтрацию. В этом случае в программе глобальные фильтры аппроксимируются с
помощью аналитической зависимости H u  вида:

H  H0
H 0  N
2

H u   

H N  H0
H 0 
2



u
1  cos
uc


 ,


u
1  sin
uc



 ,

при u  u c
(9.12)
при u  u c
uc
где частота u определяется на отрезке 0,   . Для дискретных схем цифровой фильтрации граничная частота
u   соответствует предельной частоте анализируемых периодичностей – частоте Найквиста. Функция H u 
монотонно возрастает либо убывает на всей области определения. Параметры
задают значения функции на краях: H 0  H 0 , H N  H   . Параметр
H0 и HN
uc
определяет “частоту среза”, где функция принимает промежуточное значение H u c   1 2 H 0  H N 
Параметр  определяет крутизну изменения H u  на частоте среза. Программа в специальном
информационном окне указывает текущие значения
H 0 , H N , uc , 
и отрисовывает график функции H u 
соответствующей данной конфигурации параметров (рис.3.5).
Пользователь имеет возможность модифицировать значения параметров в информационном окне, добиваясь
требуемого вида H u 
Таким образом, удается сформировать произвольные низкочастотные и высокочастотные фильтры. После
определения оптимальных параметров необходимо уточнить, как система должна интерпретировать функцию
2
2
H u  : как радиальное сечение сферически симметричного фильтра H симмu1 , u2   H u1  u2
как профиль “горизонтального” фильтра H гор u1 , u2   H u1  , как профиль “вертикального” фильтра


H вер u1 , u2   H u2  , либо как профиль фильтра, ось симметрии которого ориентирована под некоторым углом
к горизонтальной оси частот.
В режиме моделирования “локальных” фильтров программа выводит изображение амплитудного фурье-спектра от
тестового объекта и предлагает пользователю разместить на нем систему круглых подобластей-масок произвольного
размера. Частотная характеристика полагается всюду равной единице, за исключением указанных областей. Для
каждой области возможно указать, каким образом в ней должен быть преобразован спектр тестового объекта:
а)
б)
Рис .9.3.. Формирование глобальных масок для пространственно-частотной фильтрации:
а) – НЧ фильтр, б) – ВЧ фильтр
- выровнен к среднему значению по области;
- выровнен к среднему значению по внешней границе области;
- усилен/ослаблен с коэффициентомK u
В любом случае, результат преобразования спектра в подобласти может интерпретироваться как перемножение
отсчетов спектра входного сигнала на некоторую частотную характеристику, и, таким образом, процедура
фильтрации с использованием локальных фильтров остается в классе линейных.
Имеется также возможность в явном виде задать значение коэффициента усиления/ослабления K u
вне выделенных областей, включая случай полного обнуления спектра
Ku  0
Локальные фильтры в рассматриваемой схеме используются: для удаления на изображениях паразитных
гармонических “наводок”; для подчеркивания в изображении слабо выраженных, но объективно присутствующих в
изображении гармонических составляющих и т.д. На рис.3.6 показаны процедуры установки кольцевых и локальных
масок соответственно. Если результаты пробной фильтрации удовлетворяют пользователя, необходимо выполнить
фиксацию параметров фильтра в файле на диске для последующего использования. На этом работа подсистемы
проектирования ПЧФ завершается.
Далее подсистема СПЧФ непосредственно обеспечивает проведение цифровой пространственно-частотной
фильтрации изображений, получаемых средствами комплекса. Пользователь имеет возможность выбрать один из
ранее спроектированных фильтров, оптимальный для данного класса изображений, после чего программа в
автоматическом режиме выполняет все преобразования согласно схеме пространственно-частотной фильтрации.
Результат фильтрации отображается на дисплее либо вспомогательном телемониторе и, при необходимости,
сохраняется в файле на диске. Для проектирования более широкого класса фильтров пользователю предлагается в
программе пункт меню “Аналитическое моделирование”. Здесь пользователь может задать комплексную функцию
пропускания транспаранта в аналитическом виде.
а)
б)
Рис. 9.4.. Формирование локальных (а) и кольцевых (б) масок для
пространственно-частотной фильтрации изображений
При этом отдельно задаются в виде соответствующих аналитических выражений с требуемым числом условий и
ограничений как амплитудная часть функции пропускания, так и ее фазовая часть. Пользователь имеет возможность
составить библиотеку из наиболее часто используемых им аналитических выражений.
Программа также позволяет проектировать различные фильтры для сверток, согласованной, инверсной и
регуляризированной инверсной фильтраций, которые рассматриваются в следующих разделах. Получаемые таким
образом амплитудные фильтры могут быть либо сфотографированы с экрана монитора, либо выведены на
фотопечать, и затем после оптического уменьшения использоваться в качестве масок-фильтров в когерентных
оптических системах пространственно-частотной фильтрации. Запись амплитудно-фазовых фильтров может быть
осуществлена либо в виде фурье-голограмм, синтезированной по методу Вандер-Люгта, либо в виде цифровых
голограмм.