Теория импульсивных движений

ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 10:
ТЕОРИЯ ИМПУЛЬСИВНЫХ ДВИЖЕНИЙ
1. Ударные силы и импульсы
F
Явление удара вызывается силами большой величины,
действующими на систему в течение столь малого промежутка
времени  , что точки системы не успевают переместиться сколь
Fср
нибудь заметным образом. Такие силы называют ударными.
Движение системы под действием ударных сил называют
импульсивным движением. При аналитическом представлении
импульсивного движения промежуток времени  , в течение
которого оно происходит, считается бесконечно малым, ударная
0
сила – бесконечно большой, а ее импульс (ударный импульс) –
конечной величиной.
I

t

I   F(t )dt
0
Так как точки системы во все время удара  имеют конечные скорости, то при   0
их перемещениями можно пренебречь и характеризовать импульсивные движения
векторами скоростей точек в моменты, предшествующий и следующий за ударом.


Эти скорости называются скоростью до удара v и скоростью после удара v
2. Аксиомы
mk w k  Fk


dt
mk  v k  v k   I k
входят только
ударные силы!
0
Основное соотношение теории импульсивных движений (заменяет 2-й з-н Ньютона)
Другие аксиомы теории импульсивных движений аналогичны обычным аксиомам
динамики:
1) ударные импульсы, сообщаемые друг другу двумя материальными точками, равны
по величине и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в
противоположные стороны;
2) два ударных импульса, приложенных к точке, складываются по правилу
параллелограмма;
3) полный ударный импульс для каждой точки системы складывается из ударных
импульсов активных сил и ударных импульсов реакций связей.
3. Главный вектор и главный
момент ударных импульсов
mk  v k  v k   I ke  Iik , k  1,
внешние импульсы
n
внутренние импульсы
n
Главный вектор ударных импульсов
n
n
S   I k   I   I   I ke
k 1
Главный момент ударных импульсов
n
k 1
e
k
n
k 1
n
k 1
k 1
i
k
k 1
LO   rk  I k   rk  I ke
4. Задачи теории
импульсивного движения
Цель исследования импульсивного движения состоит в определении кинематического
состояния системы после удара, если известно ее состояние до удара.
При этом различают две основные задачи:
1) по заданным ударным импульсам определить изменение скоростей точек системы;
2) по заданному изменению скоростей точек системы определить ударные импульсы.
Иногда требуется также определить ударные импульсы реакций связей.
5. Теорема об изменении
количества движения
n
n
n
Q  Q   mk v   mk v   I ke  S



k
k 1

k
k 1
k 1
изменение количества движения системы при ударе равно главному вектору внешних
ударных импульсов
Q  Mv C
M  v C  v C   S

импульсивное движение центра инерции системы происходит так же, как импульсивное
движение материальной точки, масса которой равна массе системы и к которой
приложены все внешние ударные импульсы, действующие на систему
Пример. Снаряд, летевший со скоростью v ,
разорвался в воздухе на два осколка равных масс.
Скорость первого осколка направлена под углом к
направлению первоначального движения и имеет
величину 2v. Найти скорость второго осколка
S0 
v2  4v sin

2
, 

2


2
6. Теорема об изменении
кинетического момента
А- произвольный центр
rk
- Радиус вектор k-ой точки относительно А
n
K A   rk  mk v k
k 1
K A  K A  L A
изменение кинетического момента системы относительно любого центра равно
главному моменту внешних ударных импульсов относительно этого центра
Пример. Два шкива вращаются вокруг параллельных
осей. На них намотана ненатянутая лента. В некоторый
момент лента натягивается, вследствие чего происходит
удар. Требуется определить послеударные угловые
скорости 1 и  2 шкивов и величину I ударного
импульса силы натяжения ленты, считая, что после
удара лента остается натянутой. Моменты инерции
шкивов относительно их осей вращения равны J 1и J 2
ТИКМ для 1-го шкива
ТИКМ для 2-го шкива
натянутость ленты
J1  1  1    Ir1
J 2  2  2   Ir2
1r1  2 r2
r1
r2
1  2 J 1r21  J 2 r12


r2
r1
J 1r22  J 2 r12
J 1 J 2  r11  r22 
I
J1r22  J 2 r12
7. Теорема об изменении
кинетической энергии
Теорема. Изменение кинетической энергии при импульсивном движении
равно сумме скалярных произведений каждого ударного импульса на
полусумму скоростей точки его приложения непосредственно перед ударом
и после него:
v k  v k n i v k  v k
T  T  I 
  Ik 
2
2
k 1
k 1


n
e
k
Доказательство
mk  v k  v k   I k
mk
  v k  v k 
 v    v    I   v
 2
k
 2
k
2 T  T

k


k
 v k 
  I  v
n
k 1
k

k

 v k 
1 n
T   mk vk2
2 k 1
8. ТИКЭ:
пример 1
Находящемуся в покое однородному стержню
массы m и длины l ударом по одному из его
концов сообщен импульс I в
перпендикулярном к стержню направлении.
Найти изменение КИ
v0

B
I
O
A
1-й способ
mv0  I
1
l
ТИКМ KO 
ml 2  I
12
2
ТИКД
v0  I / m
6I

ml
mv02 KO
I2
T

2
2
2
m
2-й способ
Iv A I 
l  I I
I2
T 
  vO     4  2
2
2
2  2 m
m

9. ТИКЭ:
пример 2
То же самое, что в предыдущем примере если
один из концов стержня шарнирно закреплен
IB
B
ТИКМ
1
KO  ml 2  I  l
3

2
Iv
I
I
I
3
I
T   A  l   3 
2
2
2 m 2m
ударный импульс шарнира B
mv0  I  I B
l
3
mv0  m   I
2
2
IB 
I
2
3I
ml
I

O
A
10. Удар по свободному
твердому телу
Задача об импульсивном движении свободного твердого тела сводится к нахождению
изменения в результате удара скорости центра масс и угловой скорости вращения
относительно центра масс.
Примем за начало координат центр масс, оси направим вдоль главных осей инерции
S   S x , S y , S z  , L   Lx , Ly , Lz  , A, B, C
Заданы
v C  vC   v x , v y , vz  , ω  ω   p, q, r 
Найти
m  v C  v C   S
vx 
S
Sx
S
, v y  y , vz  z ,
m
m
m
K  K  L
p
K   K    Ap, Bq, Cr 
L
Lx
L
, q y, r z
A
B
C
Если тело совершает плоское движение, например, параллельно плоскости Оху, то из
шести соотношений остаются только три:
vx 
S
Sx
L
, vy  y , r  z
m
m
C
11. Пример 1
Пример 1. Твердое тело, имеющее форму пластинки, совершает
произвольное движение в своей плоскости. Точку Р пластинки внезапно
останавливают (шарнирно закрепляют). Где должна находиться точка Р,
чтобы пластинка остановилась?
G –центр масс
 S , S  компоненты ударного импульса, возникающего
x
y
при закреплении точки P   x, y 
vx  vx  vx  v, v y  0  0  0
Lz  xS y  yS x  mvy
r  
S x  mv, S y  0
x- произвольна
vx 
S
Sx
L
, vy  y , r  z
m
m
C
Точка Р должна лежать в полуплоскости у < 0 на прямой, параллельной
направлению скорости центра масс и отстоящей от него на расстояние C
mv
12. Пример 2
Пример 2. Горизонтальным кием ударяют бильярдный шар
в его меридианной плоскости. На какой высоте h над
центром шара следует бить, чтобы после удара шар
двигался без скольжения?
mv  I
2
mR 2  Ih
5
v  R
h
2
R
5
Sy
Sx
L
vx  , v y  , r  z
m
m
C
13. Удар по телу с одной
неподвижной точкой
Задача об импульсивном движении сводится к нахождению 1) изменения в результате
удара угловой скорости вращения тела 2) ударного импульса реакции в точке
закрепления.
Примем за начало координат точку О закрепления, оси направим вдоль главных осей
инерции
S   S x , S y , S z  , L   Lx , Ly , Lz  ,
Заданы
I   I x , I y , I z  , ω  ω   p, q, r 
Найти

m  v  v   S  I

C

C

C
OC   X , Y , Z 
Ly
Lx
L
p  ,q  ,r  z
A
B
C

K K L

C
A, B, C

v  ω  OC
v  ω  OC
I  mω  OC  S
I x  qZ  rY  S x
I y  rX  pZ  S y
I z  pY  qX  S z
14. Удар по телу с
неподвижной осью
Пусть твердое тело вращается вокруг оси, проходящей через его неподвижные точки О и
O1. К телу прикладывается ударная сила с импульсом I. Требуется найти изменение
угловой скорости вращения тела, а также ударные импульсы реакций в точках О и O1
Примем за начало координат точку О закрепления, ось
Oz проходит через O1 , ось Ox перпендикулярна
направлению ударного импульса
I   0, I y , I z 
G   xG , yG , zG 
P*   x* , y* , z* 
 Jx

J    J xy
 J
 xz
 J xy
Jy
 J yz
 J xz 

 J yz 
J z 
Найти I   I x , I y , I z  , I   I x, I y , I z , ω  ω  ω   0,0, r 
mω  OG  I  I  I
Jω  OP*  I  OO1  I
h