§ 9. Вычеты и их применение Нули функций ОПР 25. Точка z = a, [a ∊ D − области определения f( z )], называется нулем функции f( z ), если f( a )=0 . ОПР 26. Точка z = a, называется нулем порядка m если в разложении f( z ) в ряд Тейлора в окрестности z = a коэффициенты с0=с1= …= сm-1=0, сm≠0, т.е. ряд Тейлора имеет вид f ( z ) = сm( z − a )m + сm+1 ( z − a )m+1 + … ИЛИ если f( z ) можно представить как f ( z ) = ( z – a )m j ( z ) удобное правило: Точка z = a является нулем порядка m <=> f( a ) = f ’( a ) = f ’’( a ) = … = f (m−1)( a ) = 0, f (m)( a ) ≠ 0. или lim z a f z const m ( z a) Особые точки ОПР 27. Точка z = a называется особой точкой для функции f( z ), если в ней нарушается аналитичность f( z ) . ОПР 28. Точка z = a называется изолированной особой точкой (и.о.т.) для функции f( z ), если существует некоторая окрестность точки z = a в которой нет других особых точек. Таблица типов особых точек Тип особой точки z=aс Признак Определение У.о.т. (устранимая особая точка) Лорановское разложение не содержит главной части Полюс порядка т Главная часть лорановского разложения содержит конечное число членов f z c0 c1 z a cn z a n , f z cm ( z a )m cm1 ( z a )m1 c1 za 0 z a R lim f z z a const lim f z z a c z a , n n r za R n 0 cm 0 С.о.т. Главная часть лорановского разложения содержит (существенн бесконечное число членов о особая n f z c n z a cn z a n точка) n 1 n 0 lim f z не z a существуе т удобное правило для вычисления порядка полюса: Чтобы точка z = a была полюсом порядка m функции f( x ) <=> чтобы 1 эта точка являлась нулём кратности m аналитической в z = a функции f z вычеты 1 ОПР 29. Значение интеграла 2 i f z dz вдоль контура , обходящего в положительном направлении единственную особую точку z = a функции f( z ) называется вычетом функции f( z ) относительно точки a. Обозначают: res f z z a 1 2 i f z dz 9.1 Теорема 9.1. Вычет равен коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана функции f ( z ) в окрестности z = a res f z c1 z a 9.2 Способы вычисления вычетов относительно конечных особых точек f z C1 0 1) Если z = a – устранимая особая точка, С–1=0 => res z a 2) Если z = a – полюс порядка m. Тогда res f z z a m1 d 1 lim m 1! z a dz m1 f z z a m 9.3 res f z lim z a f z в частности если z = a – простой полюс, то z a z a 3) Если z = a – существенно особая точка функции f( z ), надо воспользоваться формулой res f z C 1 и разложить функцию f( z ) в ряд Лорана. z a У.о.т. (устранимая особая точка) Лорановское разложение не содержит главной части Полюс порядка т Главная часть разложенияc содержит конечное число членов c лорановского c n m m 1 1 c z a , 0 za R f z za n m m 1 ( z a) ( z a) С.о.т. (существенн о особая точка) f z c0 c1 z a cn z a , n n 0 Главная часть лорановского разложения содержит бесконечное число членов f z c n z a n cn z a n n 1 n 0 lim f z z a const lim f z z a lim f z z a не существует Бесконечно удаленная особая точка ОПР 30. Значение интеграла 1 2 i f z dz вдоль контура , обходящего в отрицательном направлении особую точку z = ∞ функции f( z ) называется вычетом функции f( z ) относительно бесконечно удаленной точки . Обозначают: res f z b1 9.4 z Теорема 9.2. (Основная теорема о вычетах ). Если f( z ) – функция, аналитическая в замкнутой области G G , за исключением конечного числа изолированных особых точек, лежащих в области G (но не на Г ), то интеграл равен n f z 2i res f z k 1 z ak 9.5 Теорема 9.3. Если f( z ) – функция, аналитическая в расширенной комплексной плоскости, исключая конечное число изолированных особых точек z0=∞, z1, z2, …, zn то сумма всех ее вычетов относительно особых точек, включая z = ∞, равна n нулю res f z 0 9.6 k 0 z zk