Динамика механической системы твердого тела2

Глава 3
Динамика механической системы и
твердого тела
§ 9. Теорема об изменении момента количества
движения системы
9.1. Плоско-параллельное движение или движение
свободного твердого тела
§ 10. Теорема об изменении кинетической энергии
системы
10.1. Поступательное движение системы
10.2. Вращательное движение системы
10.3. Плоско-параллельное движение системы
§ 11. Некоторые случаи вычисления работ
11.1. Работа сил тяжести, действующих на систему
11.2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу
§ 11.3. Работа сил трения, действующих на катящееся
тело
§ 9. Теорема об изменении момента
количества движения системы
 Главным моментом количества движения, или
кинетическим моментом системы, относительно
данного центра О называется величина, равная
геометрической сумме моментов количеств движения
всех точек системы относительно этого центра
K O   momO  mkVk    rk   mkVk 
k
k
 Моментом количества движения системы относительно
координатной оси X называется величина
K OX   momOX  mkVk 
k
Оси Y:
K OY   momOY  mkVk 
k
Оси Z:
K OZ   momOZ  mkVk 
k
Рассмотрим главный момент количества движения
вращающегося тела с угловой скоростью ω
Линейная скорость точки К: Vk  hk
Моментом количества
движения относительно оси Z
ω
z
φ
hK m
momOZ  mkVk   mkVk  hk  mk  hk2 ,
K
K
zK
O
x
yK
K OZ 
Vk
для всего тела
K OZ   momOZ  mkVk   mk  hk2 ,
k
k

J Z  mk  hk
величина
y
xK
k
- момент инерции
тела
относительно оси Z
момент
J Z   (4) - кинетический
вращающегося тела
относительно оси Z
2
Если система состоит из нескольких тел,
вращающихся вокруг одной оси Z, то кинетический
момент системы будет
сист
Z
1Z
1
2Z
2
nZ
n
Если тело поворачивается вокруг мгновенной оси
вращения Оℓ с угловой скоростью ω, то кинетический
момент такого тела
K
 J   J    J 
K O  JO  
Сопоставляя момент количества движения тела K и
количество движения Q видим, что момент инерции
тел J является мерой инертности тел при вращении
Моменты количества движения относительно
осей X и Y
J zx и J yz
K X   J zx  
K Y   J yz 
- центробежные моменты инерции
Докажем эти выражения. Проекции скорости на
оси Х и Y
Vk yk
Vkx  Vk sin   
 yk
hk
Vk xk
Vky  Vk cos  
 xk ,
hk
тогда
K X   momX  mkVk    zk mkVky   mk zk xk  J zx
k
K Y   momY  mkVk  
k
k
k
z m V
k
k
k kx
  mk zk yk  J zy
k
В общем случае вектор K O не направлен по оси ОZ
Но если ось OZ будет главной осью инерции тела
(осью симметрии тела), то
J xz  J yz  0,  K X  K Y  0
K O  K Z  JZ 
и
Если тело вращается вокруг оси, являющейся главной
осью инерции тела, то вектор K O направлен вдоль
оси вращения и численно равен
K O  K Z  JZ 
Теорема моментов, доказанная для одной точки
системы, будет справедлива для каждой из них
Рассмотрим точку системы с массой mk, имеющую
скорость Vk, то для неё


 
 
d 
momO mkVk   momO Fke  momO Fki

dt 
Составляя такие уравнения для всех точек системы и
складывая почленно, получим
d 

e
i
mom
m
V

mom
F

mom
F
O k k
O k 
O  k ,





dt  k
k
 k
по свойству внутренних сил системы
Тогда
dK O
  momO  Fke 
dt
k
i
mom
F
O
 k 0

k
(5)
Теорема моментов для системы
Производная по времени от главного момента
количеств движения системы относительно
некоторого неподвижного центра равна сумме
моментов всех внешних сил системы относительно
того же центра
Проектируем обе части равенства (5) на неподвижные
оси Оxyz, получим
dK X
  momX  Fke 
dt
k
dK Y
  momY  Fke 
dt
k
dK Z
  momZ  Fke 
dt
k
(6)
Уравнения (6) выражают теорему моментов
относительно любой неподвижной оси
Практическая ценность теоремы моментов позволяет
исключать из рассмотрения все наперед неизвестные
внутренние силы
9.1. Плоско-параллельное движение или
движение свободного твердого тела
Пусть Охyz – неподвижные оси координат, по отношению
к которым движется рассматриваемая механическая
система
Cx’y’z’ – оси, перемещающиеся
поступательно вместе с центром
Fik
z’
масс системы С с ускорением aC ,
e
Fинпер
F
k
r’k
равным ускорению центра масс
Вk
C
z
aС y’
Для точки Вk можем записать
x’
теорему моментов относительно
неподвижной точки О
O
x
y


 
d
momO mkVk   momO Fke , (7)
dt
Относительно точки С необходимо добавить переносную
силу инерции


 
 
d
ин
momC mkV 'k   momC Fke  momC Fпер
dt
i
i
т.к. momO  Fk   momC  Fk   0
z’
z
x’
O
x
F ik
e
Fинпер
F
k
r’k
Вk
C
a y’
С
y
(8)
Просуммируем по всем точкам
тела уравнения (7) и (8)
dK O
  momO  Fke 
dt
k
dK C
  momC  Fke    momC  Fkинпер  ,
dt
k
k
причем
K C   momC  mkV 'k  ,
k
здесь V’k – скорости точек системы по отношению к
подвижным осям СX’Y’Z’,
т.к. оси движутся поступательно, то для любой из точек
Вk системы ak пер  aC , тогда F ин  m a
и
k пер
k C
momC  Fkинпер   rk '  mk aC    mk rk ' aC ,
учтем, что
m r '  M r
k k
C
'
k


ин
mom
F


m
r
'
k
C  k пер 
  k k   aC   M rC ' aC  0,
 k

т.к. точка С является началом координат СX’Y’Z’
В результате
dK C
  momC  Fke 
dt
k
(9)
Для системы, движущейся свободно или плоскопараллельно, т.е. подвижная система отсчета
совершает поступательное движение вместе с центром
масс системы, теорема моментов относительно центра
масс сохраняет тот же вид, что и относительно
неподвижного центра
В любой другой подвижной системе отсчета будет
либо rC '  0, либо не будут равны нулю силы инерции
ин
Кориолиса Fкор  0, и теорема моментов относительно
центра масс не будет совпадать с (5)
Следствия
1. Пусть на механическую систему действуют внешние
e
силы, такие что
 mom  F   0,
O
k
k
тогда главный момент количеств движения системы
относительно этого же центра будет численно и по
направлению постоянен
K O  const
2. Пусть внешние силы, действующие на систему,
таковы, что
mom F e  0,

Z
 
k
k
тогда главный момент количеств движения системы
относительно этой же оси будет величиной постоянной
K Z  const
Внутренние силы изменить главный
момент количеств движения механической
системы не могут!!!
 Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг
неподвижной (или проходящей через центр масс) оси
K Z  J Z   и если
Z, тогда по (4)
 mom  F   0,
Z
e
k
то
k
J Z    const
, =>
J Z    const
, =>
a) если система не изменяема (абсолютно твердое тело),
то
и   const
J Z  const
б) если система изменяема, то под действием
внутренних или внешних сил отдельные точки системы
могут удаляться от оси, что вызовет увеличение
момента инерции системы, или приближаться к оси и
уменьшить момент инерции
Т.к.
J Z    const ,
то при  J z ,  
и  Jz ,  
§ 10. Теорема об изменении
кинетической энергии системы
Кинетической энергией системы (Т) называется
скалярная величина, равная сумме кинетических
энергий всех точек системы
mkVk2
T 
2
k
(10)
Кинетическая энергия является характеристикой
поступательного и вращательного движений системы
Существенно положительная и не зависит от
направления движения частей системы
Если под действием внутренних сил будут
изменяться модули скоростей точек системы, то при
этом будет изменяться величина кинетической энергии
системы
10.1. Поступательное движение системы
Все точки тела или системы движутся с одинаковыми
скоростями, равными скорости центра масс
 Tпост
mkVk2 
MVC2
 VC2

  m 

k 2
2
 k
2
k
Tпост
MVC

2
2
(11)
При поступательном движении кинетическая
энергия системы равна половине массы системы,
умноженной на квадрат скорости её центра масс
10.2. Вращательное движение системы
Если тело вращается вокруг какой-либо оси OZ, то
скорость любой его точки Vk   hk ,
где hk – расстояние от точки до оси вращения, а ω –
угловая скорость тела. Подставляя в (10) это значение и
вынося общие множители, получим
ω
2
2
2
mk Vk
mk hk 
Tвр  


2
2
k
k
J kZ 2 J Z 2


2
2
k
hk
Vk
k
J Z 2
(12) Tвр 
2
Кинетическая
энергия тела,
совершающего
вращательное
движение
10.3. Плоско-параллельное движение системы
Скорости всех точек системы в каждый момент
времени распределены так, как если бы тело вращалось
вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и
проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС),
2
тогда
Tппд
Vk
ω
Р
k
JP 

,
2
JP – момент инерции
относительно оси, проходящей
через МЦС. Это переменная
величина, т.к. МЦС меняется,
ω – мгновенная угловая
скорость системы
Введем постоянный момент инерции JC относительно
2
центра масс J P  J C  M d , здесь d = РС
Tппд
но
2
2
2

J


  JC  M d 2 
 C
 M d2 ,
2
2
2
  d    PC  VC
JC 
MV


2
2
2
Tппд
- скорость центра масс
2
C
(13)
Кинетическая энергия системы, совершающей
плоское движение, складывается из кинетических
энергий поступательного движения центра масс и
вращательного относительно центра масс
Пусть механическая система совершает некоторое
движение, тогда для каждой точки системы должна
выполняться теорема об изменении кинетической
энергии
2
 mkVk 
e
i
d

dA
F

dA
F



k 
k 
 2 
Просуммируем по всем точкам системы
 mkVk2 
e
i
d 

dA
F

dA
F
   k    k 
k
 k 2  k
или
dT   dA Fk e    dA  Fk i 
k
(14)
k
Теорема об изменении кинетической энергии системы
в дифференциальной форме
Проинтегрируем уравнение (14)
 
 
dT   dA Fk e   dA Fk i
T1
k
k
s
 dT    F
k
T0
или
k
0
e
s
 d r    Fk  d r
i
k
 
0
 
T1  T0   A Fk e   A Fk i
(15)
Теорема об изменении кинетической энергии системы
в интегральной форме
Изменение кинетической энергии системы при
некотором её перемещении равно сумме работ на
этом же перемещении всех действующих на систему
внешних и внутренних сил
§ 11. Некоторые случаи вычисления
работ
11.1. Работа сил тяжести, действующих на систему
 
A P   pk zk 0  pk zk1  P  zC 0  zC1    PhC
k
k
Р – вес системы;
hC – вертикальное перемещение центра масс системы
Работа сил тяжести, действующих на систему,
есть работа их главного вектора Р на перемещении
центра масс системы (центра тяжести тела)
 
A P   PhC
(16)
11.2. Работа сил, приложенных к
вращающемуся телу
Пусть тело вращается вокруг какой-либо оси OZ c
угловой скоростью ω. Элементарная работа
приложенной к телу силы F
 
dA  F ds  F hk d   momZ F d 
ω
hk – расстояние от точки до оси вращения
Будем называть величину
dφ
hk
ds k
Fτ
F
 
M Z  momZ F
вращающим моментом
относительно оси OZ
Тогда
ω
dA  M Z  d 
(17)
При повороте на конечный угол
1
dφ
hk
ds k
Fτ
F
A   M Z  d
(18)
0
В случае постоянного вращающего
момента
A  M Z  1
(19)
11.3. Работа сил трения, действующих на
катящееся тело
N
VC
C
B
а) качение без скольжения по
твердой поверхности
dA  Fтр  dsB
Fтр
P
Т.к. точка В совпадает с МЦС, то
и
VB  0
dsB  VB  dt  0 ,  dA  0
(20)
б) качение по деформирующейся поверхности
Сопротивление качению создает пара сил N и Р, момент
которой
M  N  AB  N  .
 
dA  M  d
ds
При качении колеса угол его поворота d   C
R
По (19) работа вращающего момента
dsC – элементарное перемещение центра колеса, а
δ – коэффициент трения качения,
R N
тогда
C
Q
δ
Fтр
A
B
P
dAкач  N  d   
N 
Aкач  
 sC
R
N 
dsC .
R
(21)