Семинар по теме 2 «Числовые множества и функции»

Семинар 1 по теме «Числовые множества и
функции»
1.1. Преобразования графиков
Основными элементарными функциями считаются: степенная
функция: у = х a, показательная функция: у = ах, а > 0, а ≠ 1,
логарифмическая функция: y = log a x, а > 0, а ≠ 1,
тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x,
y = ctg x, обратные тригонометрические функции :
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Элементарной называется функция, полученная из основных
элементарных функций конечным числом их композиций и
арифметических операций.
Рассмотрим построение эскизов графиков функций путем качественного анализа с наименьшим числом вычислений.
Допустим, что построен график функции y = f(x), x X.
Приведем таблицу, с описанием того, как изменяется этот
график при определенном преобразовании функции f(x) или
ее аргумента.
Функция
Преобразование, которое следует провести с
графиком у = f(x) на плоскости XOY
f(x)+A А≠0 Сдвиг вверх по оси 0Y графика функции у = f(x) на А
единиц, если А >0, и сдвиг вниз на |А| единиц, если А<0.
f(х-а) а≠0 Cдвиг вправо по оси ОХ на а единиц, если а > 0,
сдвиг влево на |а| единиц, если а < 0.
k·f(x), k>0,
k≠1
f(kx), k>0,
k≠1
-f(x)
Растяжение вдоль оси OY относительно оси ОХ в k раз, если
k > l, сжатие вдоль оси OY в l /k раз, если 0 < k < l.
Сжатие вдоль оси ОХ относительно оси OY в k раз, если
k > l, и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Симметричное отображение графика относительно оси ОХ.
|f(x)|
Часть графика, расположенная ниже оси ОХ, симметрично
отражается относительно этой оси, остальная часть остается
без изменения.
f(-х)
Симметричное
f(|x|)
Стереть часть графика функции у = f(x), лежащую слева
от оси OY; оставить часть графика у = f(x), лежащую
справа от оси ОY и на ней; часть графика функции у = f(x),
расположенную в области х ≥0, симметрично отобразить
относительно оси OY в область х < 0.
отображение графика относительно оси OY.
Построение графика функции y=C·f(ax+b)+D в общем случае сводится к ряду
преобразований (сдвиг, сжатие, отображение и т. д.) графика функции f(x).
Представим у в виде
Для построения графика этой функции необходимо с графиком функции f(x)
произвести следующие преобразования:
1. Сжать или растянуть график функции f(x) вдоль оси ОХ, если а >0;
симметрично отобразить относительно оси OY и сжать или растянуть вдоль оси
ОХ, если а <0.
2.Сдвинуть по оси ОХ полученный график функции f(ax) на b/a влево, если,
b/a >0 и вправо, если b/a <0.
3. Сжать или растянуть полученный график функции f[a(x+b/a)] вдоль оси OY,
если С>0; симметрично отобразить относительно оси ОХ и сжать или растянуть
вдоль оси OY относительно оси ОХ, если С<0.
4. Сдвинуть полученный график функции C·f[a(x+b/a)] на D вверх, если
D>0, и вниз на |D|, если D<0.
Последовательность этих преобразований при построении графика функции у
C·f[a(x+b/a)]+D можно представить символически в виде цепочки
На практике удобнее построение графика функции C·f[a(x+b/a)]+D
начинать с написания цепочки
Отсюда видно, график какой функции в этой цепочке является базовым для
построения графика последующей функции.
Пример
1. Построим эскиз графика функции
y = log3 (1—2x).
Решение. Напишем цепочку преобразований:
Итак, построение эскиза графика функции y=log3(1—2х) начинается с построения графика y1=log3 x, затем сжатия этого
графика вдоль оси ОХ относительно оси OY в два раза, затем
симметричного отображения относительно оси ОY и, наконец,
сдвига полученного графика на 1/2 вправо вдоль оси ОХ (см.
рис. 1).
Рис. 1.
Замечание. Чтобы избежать ошибок при построении
графиков, следует подчеркнуть еще раз, что величина сдвига
вдоль оси ОХ определяется той константой, которая
прибавляется непосредственно к аргументу х, а не к
аргументу ах. Поэтому для нахождения этой константы
выражение ах+b сначала преобразуется к виду a(x+b/a)
В связи с этим рекомендуется операцию сдвига вдоль
оси ОХ проводить после операций сжатия или
растяжения вдоль оси ОХ относительно оси OY.
Пример 2. Построим эскиз графика функции
Решение. Напишем цепочку преобразований
Последовательно эскизы смотри на рис. 2.
Рис. 2.
Пример 3. Построим эскиз графика функции
Решение. Напишем цепочку преобразований:
Последовательно эскизы смотри на рис. 3.
Рис. 3.
Аналогичным методом строятся эскизы графиков
применением и других преобразований.
функций с
Пример 4. Построим эскиз графика y= log1/2|1 — 2·||x| —1||.
Решение. Напишем цепочку преобразований:
Эскизы смотри на рис. 4.
Рис. 4.
Обратные тригонометрические функции и их графики.
Рассмотрим функцию y = sin x. Эта функция, рассматриваемая на всей
числовой прямой, не является монотонной. Чтобы говорить об обратной
функции, выделим участок монотонности функции y=sin x. Одним из участков
монотонности этой функции является отрезок
Функцию, обратную
для функции y = sin x,
, обозначим через y = arcsinx, т. е. у =
= arcsin x означает, что x=siny и
. Если рассмотрим
функцию у = sin z на другом участке, например π/2≤ z ≤ 3π/2, то существует
обратная функция, которая выражается через функцию y= arcsin z следующим
образом: у=π—arcsin z (почему?). Аналогично, рассматривая функцию y=cos x
на промежутке [0, π], определяется обратная функция y=arcos x, т. е. запись
y=агссоs x: означает, что x=cos y и
Для функции y=tgx на промежутке
определяется обратная функция
y=arctg x. т. е. запись y=arctg x означает, что x = tg y и - π /2<у< π /2. Для
функции y=ctg x на промежутке (0, π ) определяется обратная функция
y=arcctg x, т. е. запись y=arcctgx означает, что x=ctg y и 0<у< π.
При построении графиков с использованием свойств взаимнообратных функций следует помнить. Что графики взаимнообратных функций симметричны относительно биссектрисы
первого-третьего координатного угла.
Пример 5. Построим эскиз графика функции
Решение. Пишем цепочку преобразований:
Последовательно эскизы графиков смотри на рис. 5.
Рис. 5.
Пример 6. Построим эскиз графика функции
Решение. Пишем цепочку преобразований:
Последовательно эскизы графиков изображены на рис. 6.
Рис. 6.