УМК МСС ч 4 модуль 6 л 20

МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ
СРЕД
1
Численные методы
решения задач механики
сплошных сред
4. Турбулентность.
Пограничный слой
Автор курса лекций:
Породнов Борис Трифонович, д. ф.-м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики
УГТУ-УПИ
Екатеринбург 2008
2
Модуль 6
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
2008. Численные методы…Лекция 20
3
Содержание
•Лекция 21. Устойчивость стационарного
движения вязкой среды
•Лекция 22. Интегральное уравнение
Кармана. Отрыв пограничного
слоя и кризис сопротивления
2008. Численные методы…Лекция 20
4
Лекция 20
Устойчивость
стационарного движения
вязкой среды
2008. Численные методы…Лекция 20
Цели изучения:
• Уравнения Прандтля для пограничного слоя:
– уравнения Прандтля в безразмерном виде,
– вязкая сила для полубесконечной пластинки,
– толщина пограничного слоя,
– толщина вытеснения,
– длина разгонного участка в плоской и круглой
трубе.
2008. Численные методы…Лекция 20
6
Содержание
11.1. Уравнения Прандтля для пограничного слоя:
11.1.1. Оценка слагаемых в уравнениях сохранения,
11.1.2. Уравнения Прандтля в безразмерном виде,
11.1.3. Обтекание полубесконечной пластинки,
11.1.4. Толщина вытеснения,
11.1.5. Разгонный участок в трубе.
10.3. Особенности турбулентного движения:
10.3.1. Характерные особенности турбулентного движения,
10.3.2. Критерий устойчивости.
2008. Численные методы…Лекция 20
7
11.1. Уравнения Прандтля для пограничного слоя
11.1.1. Оценка слагаемых в уравнениях сохранения
• Как отмечалось в теме 10, движение среды при больших числах Рейнольдса можно
рассматривать как движение идеальной среды, подчиняющейся уравнениям Эйлера.
Однако такое рассмотрение заведомо неверно вблизи поверхности обтекаемого тела.
При обтекании неподвижного тела с большими скоростями скорость среды (газа)
уменьшается до нуля на его поверхности в тонком пристеночном слое, который
называют пограничным слоем. Пограничный слой характеризуется большими
градиентами скоростей, перпендикулярными к поверхности тела, что свидетельствует о
больших силах вязкости, определяющих движение среды в этом слое.
• Поэтому всю область движения обтекающей тело среды можно разделить на две
области: область тонкого пристеночного пограничного слоя, в которой движение в
основном определяется вязкостью среды, и вся остальная область движения вне
пограничного слоя, в которой среда движется как идеальная. На такую возможность
выделения двух областей при обтекании средой тел указывал еще Д. И. Менделеев.
• Поскольку пограничный слой предполагается тонким, т.е. его толщина
δ
значительно меньше размеров обтекаемого тела l (δ << l), то движение среды в
пограничном слое можно рассматривать как плоское движение. Рассмотрим
стационарное изотермическое движение вязкой несжимаемой среды в пограничном
слое. Система уравнений сохранения имеет вид:
 x
 x
1 P   2 x  2 x 
,
x
 y

 v

x
y
 x  x 2 y 2 
2
2
 y
 y
1 P    y   y 
x
y

v
 2 ,
x
y
 y  x 2
y 
υ x υ y

 0.
x
y
(11.1.1)
8
Оценка слагаемых в уравнениях
сохранения
• Пусть ось x направлена вдоль поверхности обтекаемого тела (рис. 11.1). Оценим
порядок слагаемых в уравнениях (11.1.1) в пограничном слое. Очевидно скорость υх
внутри пограничного слоя порядка скорости набегающего потока υ∞, а координата х
порядка характерного размера l , т.е.
υ
υ
υx ~ υ ,
x
x

~
.
(11.1.2)
• Из третьего уравнения системы (11.1.1) - уравнения
непрерывности оценка дает


y
0,

l
 y ~ 
 y   x ,
,
(11.1.3)
l
l
поскольку δ << l .
•Остальные слагаемые уравнений (11.1.1) имеют
порядок:
 x 2
 x 2
 2 x 
 2 x 
Рис. 11.1
x
x
~
l
,
y
y
Подставляя эти оценки в уравнения (11.1.1), получим:
2

2
1 P    


 v   ,
l
l
 x  l 2  2 
2
l2

2
l2

~
l
,
x 2
~
l2
1 P    
 v
 .
 y  l 3  2 
,
y 2
~
2
(11.1.4)
Сравним слагаемые в скобках в правой части уравнения (11.1.4):
 2 υx
x 2
 2 υx  δ 
    1 .
y 2  l 
2
9
.
Уравнения Прандтля
для пограничного слоя
• Используя последнюю оценку, первым слагаемым в скобках в (11.1.4) можно
пренебречь. Если среда не вязкая (ν = 0), то вторыми слагаемыми в этих уравнениях
можно пренебречь, и тогда отношение поперечного градиента к продольному равно
P
y
P υ2 δ l
 2 2  1 .
x
l υ
Такого же порядка отношение любых соответствующих слагаемых в уравнениях
(11.1.4). Поэтому можно не рассматривать второе уравнение (11.1.4), вообще полагая
∂P/∂y = 0, свидетельствующее о том, что давление поперек пограничного слоя
постоянно и не зависит от y. С такими оценками система уравнений (11.1.4) принимает
 x
 x
 2 x
 x  y
1 P
P
вид:
(11.1.5)



v
,
 0,

 0.
x
x
y
y
 x
y 2
y
x
y
• Обозначим скорость вне пограничного слоя через u = u (x, y). Рассмотрим линию
тока, ограничивающую пограничный слой. Можно полагать, что с внешней стороны
эта линия находится в идеальной среде, и для нее справедливо уравнение Бернулли:
P u2

 const ,
ρ 2
1 P
du
 u .
ρ x
dx
(11.1.6)
С учетом этих соотношений уравнения движения вязкой несжимаемой среды в
пограничном слое имеют вид:
 x
 x
 2 x
du
x
 y
u
v 2 ,
x
y
x
y
P
 0,
y
 x  y

 0.
x
y
(11.1.7)
•Систему уравнений (11.1.7) называют уравнениями Прандтля для пограничного слоя.
10
11.1.2. Уравнения Прандтля в
безразмерном виде
• Задача об обтекании тела идеальной вязкой несжимаемой средой при больших
числах Рейнольдса распадается на две задачи. Во-первых, необходимо решить задачу об
обтекании тела несжимаемой средой, т.е. найти распределение скорости в поле течения
около тела. Причем, так как пограничный слой тонок (δ << l), то можно и не
увеличивать толщину тела на толщину пограничного слоя, а рассматривать обтекание
реального тела. Если первая задача решена, то известна скорость u = u (x, y).
• Граничными являются условия: υx  υy  0 при у = 0 , υ x  u при у = δ. Подставляя
u = u(x, y) на поверхности тела в уравнения (11.1.7), можно найти компоненты скорости
υx и υy в пограничном слое как функции координат, а, следовательно, и силы
вязкости, действующие на поверхность тела со стороны движущейся среды.
• Приведем уравнения Прандтля к безразмерному виду. Для этого воспользуемся
следующими масштабами измерения пространственных координат и компонент
скоростей:

 l
l
x  lx* , y 
y* ,  x   * ,  y    y , u    u* , Re   . (11.1.8)
v
Re
Re
Здесь l – характерный размер обтекаемого тела, υ∞– характерная скорость – например,
скорость набегающего потока. После подстановки соотношений (11.1.8) в уравнения
Прандтля (11.1.7) получим: υ2 υ υx  υ Re υ υ υx  υ2 u u*  v υ Re  2 υx ,
l
x
x*
Re
l
y
y*
Re υ y
l
υ υx υ

 0,
l x*
Rel y*
*
x*
P
 0.
y
l2
y*2
(11.1.9)
11
Толщина пограничного слоя
• Деля первое уравнение (11.1.9) на  2 l , а второе на   l , получим следующие
уравнения Прандтля для безразмерных величин:
 x*
x
x  y
u*  2x
P
(11.1.10)
 x
  y
 u*

,


0
,
 0.
2
x*
y*
x*
y*
x*
y*
y
• Из уравнений (11.1.10) видно, что безразмерные уравнения не содержат
коэффициента вязкости среды. Не содержат коэффициента вязкости и граничные
условия: при y  0 ,  x  0 x  0 ; y    y  0 y  0
• Общее решение системы (11.1.10) имеет вид:
(11.1.11)
  f x , y  ,   f x , y  .
x
1
*
*
y
2
*
*
• Очевидно, где-то в пограничном слое безразмерная координата y * будет порядка
единицы, т.е. y * ~ 1 . Тогда при помощи соотношений (11.1.8) можно оценить порядок
толщины пограничного слоя:
y Re
l
y* 
, y ~  , y* ~ 1 ,  ~
.
(11.1.12)
l
Re
• Т.о., толщина пограничного слоя прямо пропорционально увеличивается с
увеличением характерного размера l и уменьшается обратно пропорционально корню
квадратному от числа Рейнольдса или скорости набегающего потока.
12
11.1.3. Обтекание полубесконечной
пластинки
• В качестве примера рассмотрим стационарное обтекание вязкой несжимаемой
средой тонкой полубесконечной пластинки (рис.11.2).
• Пусть пластинка расположена вдоль набегающего
потока. Решение первой части задачи известно: при
обтекании пластинки идеальной средой она вообще не
оказывает никакого влияния на набегающий поток, т.е.
однородный поток остается однородным около и после
пластинки и поэтому на пластинке выполняется условие
u  x, y   υ  const , du / dx  0 .
Рис. 11.2
• В этом случае для определения безразмерных компонент скорости движения среды
внутри пограничного слоя из (11.1.10) получаем следующие уравнения Прандтля:
(11.1.13)
x
x  2x
x  y
x
x
  y
x

y2
,
x

y
 0.
Граничные условия имеют вид: y*  0 , x*  0 , υx  υ y  0 ; y  δ , υx  1.
• Из безразмерных уравнений Прандтля (11.1.13) следует, что решение системы
можно записать в следующем общем виде:

Re
(11.1.14)
x  x  f1 x* , y*  ,  y   y
 f 2 x* , y*  .
*


13
Определение компонент скоростей
• В силу бесконечности пластинки решение (11.1.14) не должно зависеть от
характерного размера l. Это значит, что функции f1 и f2 должны зависеть от таких
комбинаций x *и y * , которые бы не содержали размер l. Такой комбинацией является
y*
υ
y Re

y  .
vx
x* l x / l
(11.1.15)
Точно так же должен отсутствовать размер l и в определении
 y υy . Это возможно
только тогда, когда множитель перед функцией f2 имеет следующее значение:
y 

Re
* y 
 x
Re x
f 2  x* , y*  
 y 
v
 x  f 2  *  .
x
 x* 
(11.1.16)
Т. о., искомые компоненты скорости υх и υу равны:

 x   f1  y

 
 ,
vx 
y 
  
v
 x  f 2  y   .
x
vx 

(11.1.17)
• При помощи уравнения непрерывности в (11.1.13) можно выразить производную
f1’ через f2’ или наоборот. Тогда, используя первое уравнение Прандтля в (11.1.13),
можно получить нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для
неизвестной производной f2’ . Это уравнение с использованием граничных условий
может быть решено только численно и приводит к следующим результатам.
Например, сила вязкого трения σxy на единицу площади поверхности пластины равна
 x
  f
 3
(11.1.18)
 xy  
  

 0,332
.
y y 0
x y y 0
x
14
( yx  δ)
Сила вязкого трения
• Интегрируя (11.1.18) вдоль пограничного слоя по x от 0 до l, получим силу вязкого
трения Fx, действующую на обе стороны пластинки единичной ширины:
l
(11.1.19)
Fx  2 σ xy dx  1,328 ηρlυ3 .
• Толщину пограничного слоя 0на пластинке можно оценить следующим образом. На
границе пограничного слоя y   , а  x    . Тогда υ* порядка единицы при любых
x. Это, в свою очередь, может быть тогда, когда безразмерный аргумент функции f1 на
границе пограничного слоя ( y  δ ) будет равен некоторому числу, постоянному для
всего пограничного слоя. Тогда получим:
δ
υ
 const ,
vx
δ  const
vx
.
υ
(11.1.20)
• Из (11.1.20) видно, что толщина пограничного слоя увеличивается вдоль пластинки
пропорционально корню квадратному из расстояния от передней кромки пластинки и
коэффициента кинематической вязкости. С увеличением же скорости набегающего
потока толщина пограничного слоя уменьшается.
15
11.1.4. Толщина вытеснения
• Вообще толщина пограничного слоя есть величина неопределенная. Скорость среды
в пограничном слое плавно переходит в скорость вне пограничного слоя. Никакой
резкой границы между двумя областями движения в действительности, конечно,
не существует. Для определенности при сравнении
результатов различных методов расчета пользуются
понятием толщины вытеснения  * . Определение
толщины
вытеснения
очевидно
из
рис.11.3.
Приравнивая
площадь  * 
и площадь,
заключенную между асимптотой  x    и кривой ,
 x   x  y  получим
Рис. 11.3
1 
(11.1.21)
 *      x dy .

0
В рассматриваемой выше задаче толщина вытеснения равна:
*  1,72
vx

.
(11.1.22)
• В отличие от (11.1.20) в данной формуле численное значение константы получено
при численном решении нелинейного дифференциального уравнения для функции f2 .
16
11.1.5. Разгонный участок в трубе
Применим понятие о пограничном слое к оценке длины разгонного участка
в трубе. Пусть из некоторого резервуара среда поступает в плоскую трубу, имея
на входе почти однородное по сечению трубы распределение скорости. По мере
продвижения вдоль трубы профиль скорости становится все более вытянутым и,
наконец, после прохождения некоторого участка трубы Lразг профиль скорости
становится параболическим, соответствующим точному решению задачи об
установившемся ламинарном движении среды в трубе (рис.11.4)
•
• Можно рассматривать такую задачу следующим
образом. Очевидно, в начале трубы (участок 1 на
рис.11.4) на ее стенке только начинает формироваться
пограничный слой, тогда как внутри трубы среда
движется с одинаковой по высоте трубы скоростью.
По мере продвижения вдоль трубы толщина
пограничного слоя растет (участок 2 и 3), и после
того, как она становится равной полувысоте трубы (на
участке 4 на рис. 11.4), можно
Рис. 10.4
полагать, что профиль скорости становится параболическим, определяемым формулой
Пуазейля. Тогда, используя (11.1.22), получим формулу для определения длины
разгонного участка: h
vLразг
h02
1
h
 *   1,72
, Lразг 
 h Re ,
Re 
.
(11.1.23)
2

4  3,0v 12
v
17
Длина разгонного участка в круглой трубе
• Так при числе Рейнольдса, равным 600, длина разгонного участка равна ~50h. Это
означает, что только на расстоянии пятидесяти высот от входного сечения плоского
канала движение в трубе будет подчиняться теоретическим формулам, полученным для
ламинарного движения. Более точное аналитическое решение задачи о длине разгонного
участка для цилиндрической трубы с диаметром d дает результат:
1
(11.1.24)
Lразг  d  Re .
8
• Из сравнения (11.1.23 и 24) следует, что длина разгонного участка в цилиндрической
трубе в 1.5 раза больше, чем в плоской трубе единичной ширины. Это связано с тем, что
при одинаковом расходе среды профиль скорости в цилиндрической трубе более вытянут
за счет сужения потока стенками. В плоской трубе сужение потока осуществляется
только параллельными нижней и верхней стенками.
18
Выводы
Введены основные определения и получены
основные законы сохранения, описывающие
турбулентное движение вязкой среды:
• Условие устойчивости движения среды между
коаксиальными цилиндрами.
• Критерий устойчивости – критическое число
Рейнольдса.
• Особенности турбулентного движения.
• Уравнения Рейнольдса для осредненного движения.
• Тензор турбулентных напряжений.
• Коэффициент турбулентной вязкости..
2008. Численные методы…Лекция 20
19
Информационное обеспечение лекции
•
1.Бабаков А.В., Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Численное
исследование течения вязкого теплопроводного газа у тупого тела
конечных размеров.- Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1975, №3, с.
112-123.
•
2. Бабаков А.В. Численное моделирование некоторых задач
аэрогидродинамики.-М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 56.
•
3. Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Консервативный метод
потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким
теплопроводным газом.- ЖВМ и МФ, 1973, 13, №2, с. 385-397.
•
4. Самарский А.А. О консервативных разностных схемах.- В кн.:
Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с.129-136.
2008. Численные методы…Лекция 20
20
Справочные данные
Курс лекций является частью учебно-методического
комплекса «Численные методы расчета задач механики
сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная
среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на
кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
электронный адрес: porodnov@dpt.ustu.ru
21