Однонаправленная модель для несбалансированных панелей

ЛЕКЦИЯ 5
НЕСБАЛАНСИРОВАННЫЕ
ПАНЕЛИ
Несбалансированные панели
1.
2.
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей
Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей
1.
2.
3.
Within - оценка
Between – оценка
GLS - оценка
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. Within - оценка.
В несбалансированных панелях имеются пропуски в
наблюдениях над некоторыми объектами в отдельные
моменты времени.
Пусть пропуск данных имеет случайный характер, для
первого объекта имеется T1 наблюдений, для второго
объекта - T2 наблюдений и т.д., для n-го объекта имеется
Tn наблюдений.
yit  xitT   i  it
ˆ

W ithin  X QX
T

1
X T Qy
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. Within - оценка.
Матрица Q сохраняет диагональную структуру, но
размерность диагональных блоков, относящихся к
отдельному объекту, различается.
n
1 
Q  I T  diag  J Ti 
i
Ti i1
i
yit  yi  xit  xi   it  
1
yi 
Ti
Ti
y
t 1
it
1
xi 
Ti
Ti
x
t 1
it
1
i 
Ti
Ti

t 1
it
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. Within - оценка.

Var ( ˆW ithin)    X QX
2
ˆ 
T
RSS W ithin
2
n
T  n  k
i
i 1

RSS  y Qy  y Qx x Qx
T

1
T
T

1
xT Qy
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. Between-оценка.
ˆ
Between

 X PX
T

1
T
X Py
n
1 
P  diag  J Ti 
Ti i1
yi  x    i   i
T
i
Var ( ˆ
Between

)    X PX
2
T

1
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. GLS-оценка.




Пусть  i ~ 0,  2 и  it ~ 0,  2 независимые одинаково
распределенные величины, не зависят друг от друга и от
регрессоров
T
1
1
T
1
ˆGLS  ( X  X ) X  y
 1 0  0 


 0 2  0 




0 


 0  0  
n



i  2 ITi   2 JTi  2Qi  2  Ti 2 P
1
Qi  I Ti  J Ti
Ti
Pi 
1
J Ti
Ti
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. GLS-оценка.
 11
0

0 


1
 0
2

0 
 1  




0



1
 0

0  n 

1
  i  Qi  i Pi
2
i 
 2
 2  Ti 2
GLS-преобразование в несбалансированных панелях
означает следующую модификацию:

  

T

yit  1  i yi  xit  1   i xi   it  1  i

Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. GLS-оценка.
Переход к доступному GLS-оцениванию требует получения
оценок ˆ 2 , ˆ2 и ˆi .
RSS W ithin
Из within-регрессии
ˆ2 
n
T  n  k 1
Из OLS-регрессии
i 1

uˆ T Puˆ  ˆ2 (n  1  tr X T QX
ˆ 2 

1

 T
X PX  n tr X QX
 Ti 
T
1
i 1
n
 Ti 
i 1
Отсюда
i
ˆi 
n
1
Ti 2

n i1
ˆ2
ˆ2  Tiˆ 2


1

X J n X 
 Ti
i 1

T
Однонаправленная модель для
несбалансированных панелей. Тестирование
Тест на индивидуальные эффекты:
H 0 :  2  0
H a :  2  0
При точном подходе:
F
RSS Between n  k 
~ F n
 n

nk ,Ti nk 1
RSS W ithin   Ti  n  k  1
i 1
 i 1

При асимптотическом подходе:
 D1 
 


  Ti 
2
 D2 
T
T


ˆ
ˆ


u

u


 i1 
n
  
1 
 
LM 
12
T
H
n
n
Ti n
ˆ
ˆ
u
u



 

i 1
2  Ti 2   Ti  
D 
 T
i 1
 i1

Матрица Dt получается из единичной матрицы In путем вычеркивания строк,
соответствующих объектам, наблюдения по которым отсутствуют в момент t.
n
2
0
Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей
1.
2.
3.
Within - оценка
Between – оценка
GLS - оценка
Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей. Within - оценка.
Рассматривается модель:
yit  xitT   i  t  it
ˆW ithin  X T QX  X T Qy
1
Q  I nT  P

PD D D
T

1
DT
Пусть Nt – количество объектов, наблюдаемых в момент t. Определим
объединенную матрицу
 D1 D1in

 D2
D  ( D1 , D2 )  
T

 Nt ( nT )

i 1
D
 T







DT in 
Где Dt – матрицы, получаемые из единичной матрицы In вычеркиванием
строк, наблюдения по которым отсутствуют в момент t.
Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей. Within - оценка.
QD  I  P(D)
PD   D( DT D) 1 DT
Определим:
Доказано, что
P( D)  P( D1 )  PQ( D1 ) D2 


Q( D)  Q( D1 )  Q( D1 ) D2 D2T Q( D1 ) D2  D2T Q( D1 )
Отсюда:
ˆ

W ithin  X Q ( D ) X
T

1
X T Q( D) y
Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей. Between-оценка.
Преобразующая матрица равна P(D).
Оценка:
ˆ
Between

 X P( D) X
T

1
X T P( D) y
Двунаправленная модель для несбалансированных
панелей. GLS-оценка.




Пусть  i ~ 0,  2 , t ~ 0,  2  и  it ~ 0,  2 независимые
одинаково распределенные величины, не зависят друг от
друга и от регрессоров
uit  i  t  it
В векторной форме:
u  D1  D2  
Тогда:



T
T 
    I T    D1 D    D2 D     I T  1 D1 D1  2 D2 D2    2 
  Nt

 Nt
t 1
 t 1

2
2
T
1
1   2  2
2
T
2
2
2   2  2
Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей. GLS-оценка.
Доказано, что
~ 1 T
  V  VD2 P D2 V
1

V  I T  D1 TI n  ( 2  2 ) I n
 Nt

1
D1T
t 1
ˆ
GLS
1
1
1
 (X  X ) X  y
T
T
Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей. Тестирование.
Тестирование на индивидуальные эффекты
H a :  2  0
H 0 :  2  0
При точном подходе:
F
RSS Between n  k 
~
 n

RSS W ithin   Ti  n  T  k  1
 i 1

F
n
Ti nT k 1
n k ,
i 1
При асимптотическом подходе:
 

LM 1   Ti  2  Ti 2   Ti  
i 1
i 1

  i1
n
n
n
1
2
 uˆ T D1 D1T uˆ 

 1 
12
T
H0
 uˆ uˆ

Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей. Тестирование.
Тестирование на временные эффекты
H 0 :  2  0
H a :  2  0
При точном подходе:
F
RSS Between periods T  k 


  Ti  n  T  k  1
 i 1

n
RSS W ithin
~ F
T k ,
n
Ti nT k 1
i 1
При асимптотическом подходе:
 

2
LM 2   N t  2  N t   N t  
t 1
t 1

  t 1
T
T
T
1
2
 uˆ T D2 D2T uˆ 
2



1



1
T
 H0
 uˆ uˆ

Двунаправленная модель для
несбалансированных панелей. Тестирование.
Тестирование отсутствия индивидуальных и временных
эффектов
H 0 :  2   2  0
При точном подходе:
F
( RSS Betweenindividuals  RSS Between periods) n  T  2k 


  Ti  n  T  k  1
 i 1

n
RSS W ithin
~
F
nT 2 k ,
При асимптотическом подходе:
2
LM  LM1  LM 2 

2
H0
n
Ti nT k 1
i 1
Однонаправленная модель
ошибки с гетероскедастичностью
Рассматриваем модель
uit  i  it
yit  xitT   i  
Пусть i ~ 0, i2  независимые величины, компоненты
ошибки не зависят друг от друга и от регрессоров.
Наличие гетероскедастичности вносит изменения только
в GLS-оценивание.
Однонаправленная модель ошибки с
гетероскедастичностью
Спектральное разложение матрицы:
 
   2 I nT  diag i2

2
2
2

J


Q

diag


T

T


i
i 1
n
 2  1  Q  diag  i in1 
i 
 2
 2  Ti2
1
JT
T

n
i 1
J
Однонаправленная модель ошибки с
гетероскедастичностью
GLS-преобразование в случае
гетероскедастичности означает следующую
модификацию уравнений регрессии

  

T

yit  1  i yi  xit  1  i xi   it  1  i

Состоятельное оценивание параметров модели требует,
чтобы данные росли не только по n, но и по T. Поэтому
моделирование с гетероскедастичностью имеет смысл,
только когда период наблюдения в панели – достаточно
длинный
Однонаправленная модель ошибки с
гетероскедастичностью
Оценки параметров модели:
RSS W ithin
2
ˆ 
nT  n  k  1
1 T 2
ˆ  ˆ 
uˆit

T  k t 1
2
i
2
RSS W ithin
1 T 2
ˆ
ˆ
 
 uit  nT  n  k  1
T  k t 1
2
i
ˆi 
ˆ2
ˆ2  Tˆ i2
Однонаправленная модель ошибки с
гетероскедастичностью
Доступная GLS-оценка с гетероскедастичностью
T
yit  1  ˆi  yi   xit  1  ˆi  xi    it  1  ˆi 



 


