Криптосистема RSA

Шифрование с
открытым ключом:
Криптосистема RSA
Докладчик: Евгений Сеппель (344 гр. 5/6 у.г.)
Математико-механический факультет СПбГУ
О системе
Создана в 1977 г. Ronald Rivest, Adi Shamir и Leonard
Adleman.
Использует принцип открытого ключа
Гиви
Логоваз
2
Недостатки классических
систем
Необходимо предварительно обменяться ключом.
В противном случае перехват всего разговора
приведёт к расшифровке.
Гиви
Логоваз
Сарумян
3
Недостатки классических
систем
Ключ должен являться секретом общающихся
сторон.
Гиви
Логоваз
Фёдор
Михайлович
«Доброжелатель»
4
Как будет работать RSA?
Создание открытого ключа
Опубликование открытого ключа
Посылка шифрограммы владельцу
открытого ключа
Гиви
Сообщение
Сообщение
Логоваз
О. Ключ
Логоваза
Открытый
Ключ
Доска объявлений
Открытый
Ключ
О. Ключ
Гиви
5
Поподробнее....
Пусть PГ PЛ – открытые ключи, SГ SЛ –
секретные ключи
D – множество всех возможных сообщений. И
SЛ(M), PЛ(M), где M  D суть перестановки.
(Каждая из них может быть быстро вычислена если
известен P или S)
Необходима взаимная обратность
перестановок одного владельца:
SЛ(PЛ(M)) = M
PЛ(SЛ(M)) = M  M  D
Никто кроме владельца не должен уметь
находить S() за разумное время!!!
6
Поподробнее....
Схема шифрования
Логоваз
М
PГ
Гиви
C
C
Сарумян
SГ
М
???
Схема подписи
Логоваз
М
PГ
Гиви
C
S
C
S
М
SГ
=?
7
RSA
Берём 2 больших простых числа p,q (~100 знаков)
n:=p*q произведение простых чисел
Пусть (n) – функция Эйлера (Число элементов в
Zn) (n) = (p-1)(q-1)
Возьмём небольшое e взаимно простое с (n)
Найдём d=e-1mod (n) (оно  и однозначно по
mod)
Теперь
P = (e,n)
S = (d,n)
D=Zn
e
P(M) = M mod n
d
S(C) = C mod n
8
Время
Заметим, что если числа d,n имеют порядка  


имеет O(1) бит, то преобразование P
потребует O(1) умножений по модулю n (O(2) битовых
операций), а преобразование S – O() умножений
(O(3) битовых операций). Мы пользуемся методом
повторного возведения в квадрат.
Теорема P() S() задают взаимно обратные
перестановки D.
P(S(M)) = S(P(M)) = Med mod n.
e и d взаимно обратны по mod (n) =>
ed = 1+k(p-1)(q-1) для некоторого k
По малой теореме Ферма
Med  M(Mp-1)k(q-1)  M*1k(q-1)  M
9
Надёжность
Трудно разложить n на p и q!
Если легко разложить=> легко взломать
Если трудно разложить =?> трудно взломать
Задача восстановления секретного ключа эквивалентна
задаче разложения на множители модуля: можно
использовать d для поиска сомножителей n, и наоборот,
можно использовать n для поиска d.
10
Взлом
Можно(?) найти метод вычисления корня степени e из
mod n.
С = Me mod n, => корнень степени e из mod n = M.
Но мы так ещё не умеем....☻
Если на основе одного и того же e относительно
небольшой величины шифруется много связанных
сообщений, есть возможность вскрыть сообщения.
Упомянутые атаки — единственные способы
расшифровать все сообщения, зашифрованные данным
ключом RSA.
восстановление исходной информации по ее криптограмме;
вычисление закрытого ключа по известному открытому;
формирование электронной цифровой подписи сообщения
без знания закрытого ключа;
создание фальшивого электронного документа,
соответствующего известной подписи.
11
Взлом
Успехи:
В конце 95 года удалось практически реализовать
раскрытие шифра RSA для 500-значного ключа. Для
этого с помощью Интеpнета было задействовано
1600 компьютеров. (три-пять лет -- практическое
время взлома) рекомендации по длине ключа n:
- 768 бит — для частных лиц;
- 1024 бит — для коммерческой информации;
- 2048 бит — для особо секретной информации
12
Список Литературы
Т.Кормен. «Алгоритмы: Построение и анализ»
-- М. МЦНМО, 2002
Б.Шнайер. «Прикладная Криптография» 2-е
издание
S. Goldwasser. «Lecture notes on Cryptography»
2001
Э.А. Гирш. Конспект лекций 3-го семестра 2
курса потока матообеспечения. Мат-мех. 2004.