ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ Лекция 8 27 октября 2009 Методы решения нелинейных систем уравнений Задача интерполяции (гладкого восполнения функций) 3. Методы решения нелинейных систем уравнений Метод Ньютона f ( x) 0 x n 1 x n 1 n n fx (x ) f (x ) r f (x ) n n 3. Методы решения нелинейных систем уравнений Теорема о сходимости метода Ньютона Пуст в окрестности корня существуют 2 все вторые производные f m ( x) xi x j и 2 f m ( x) C2 xi x j 3. Методы решения нелинейных систем уравнений Теорема о сходимости метода Ньютона Отображение равномерно невырождено, то есть f 1 ( x) C x 1 Тогда метод Ньютона сходится в этой окрестности, его скорость квадратична 3. Методы решения нелинейных систем уравнений Доказательство xn1 xn f x1 ( xn ) f ( xn ) x n x n r n 1 r f x ( x )x ... n n n 3. Методы решения нелинейных систем уравнений Доказательство r n1 C C2 x . C2C1 r n 2 2 C2C1 C r 0 n 2 q 1 4. Задача интерполяции Общая постановка Пусть задана совокупность узлов интерполяции или сетка на некотором отрезке [a, b]. N tn n0 Совокупность узлов Сеточная проекция функции f(t) на [a, b], т.е. таблица, f n f (tn )nN0 ; эту таблицу задает оператор ограничения на сетку или рестрикции (от английского restriction) R. 4. Задача интерполяции Задача состоит в том, чтобы по таблице {fn} восстановить непрерывную функцию. Обозначим ее через F(t). Разумеется, она отличается от исходной функции f(t), причем такое восстановление неоднозначно и осуществляется оператором интерполяции I. Сама функция F(t) называется интерполирующей или интерполянтом. Необходимо оценить потерю информации при действии этого оператора, т. е. величину зависящую от типа оператора интерполяции и свойств f(t), в частности, ее гладкости. 4. Задача интерполяции f (t ) f n n 0 F (t ). N R I 4. Задача интерполяции Интерполяция обобщенными полиномами N F (t ) un n (t ) n 0 4. Задача интерполяции Интерполяция обобщенными полиномами u0 0 (t0 ) u1 1 (t0 ) u N N (t0 ) f0 , u0 0 (t1 ) u1 1 (t1 ) u N N (t1 ) f1 , u0 0 (t N ) u1 1 (t N ) u N N (t N ) f N , 4. Задача интерполяции (0 , 0 ) (0 , 1 ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) C = A*A . . ( N , 0 ) ( N , 1 ) N jk (k , j ) k (ti ) j (ti ) i 0 (0 , N ) . (1 , N ) . . . ( N , N ) . 4. Задача интерполяции Алгебраическая интерполяция u0 u1t0 . u N t0N f 0 , u0 u1t1 . u N t1N f1 , . N f , u u t . u t 0 1 N N N N 4. Задача интерполяции Теорема. Пусть среди сеточных узлов нет кратных. Тогда решение задачи алгебраической интерполяции существует и единственно, т.е. для любой сеточной функции, определенной в N+1 узле, существует единственный полином степени не выше N, принимающий в заданных точках заданные значения. 4. Задача интерполяции Доказательство 1 1 det 1 t0 t02 t1 t12 tN 2 tN N (ti t j ), i j 4. Задача интерполяции Конструктивное решение задачи интерполяции – полином в форме Лагранжа Интерполяционный базис N ln (t ) N t tj i 0 t in n ti 4. Задача интерполяции Полином в форме Лагранжа N LN (t ) n 0 N f n ln (t ), 4. Задача интерполяции Теорема об остаточном члене интерполяции RN (t ) f (t ) LN (t ) 4. Задача интерполяции Теорема об остаточном члене интерполяции Пусть функция f(t) имеет на отрезке [a, b] N + 1 ограниченную производную. Тогда N 1 ( N 1) RN (t ) (t t j ) f ( ) ( N 1)! j 0 4. Задача интерполяции Доказательство ( x t0 )( x t1 ) ( x t N ) ( x) f ( x) LN ( x) RN (t ) , (t t0 )(t t1 ) (t t N ) имеет, по крайней мере, N + 2 нуля Их можно указать. Точки х = tn (n = 0, …, N) — нули, поскольку f(tn) = L(tn), а последнее слагаемое обращается в них в нуль. 4. Задача интерполяции Доказательство (продолжение) N 1 ( x t0 ) d ( N 1) ( N 1) ( N 1) () f () L () RN (t ) N 1 (t t0 ) dx ( N 1) L () 0; d N 1 ( x t0 ) ( x t N ) N 1 ( t t ) ( t t ) dx N N ( N 1) x () 0; ( N 1)! N (t t j ) j 0 . ( x tN ) (t t N ) 4. Задача интерполяции f Доказательство ( N 1) () RN (t ) ( N 1)! N 0, (t t j ) j 0 f ( N 1) () N RN (t ) (t t j ) ( N 1)! j 0 4. Задача интерполяции Следствие – экстраполяция функций t t N , t N RN (t ) N 1 max [t0 , t N ] f ( N 1) () t t N , t N 2 RN (t ) ( N 2) N 1 N 2 (k n) ~ ( N 2)! n 0 max [t0 , t N 2] f ( N 1) () , 4. Задача интерполяции Минимизация остаточного члена за счет выбора узлов инетерполяции N 1 RN (t ) (t t j ) f ( N 1) () ( N 1)! j 0 4. Задача интерполяции Нули полинома Чебышева ab ba 2m 1 tm cos , 2 2 n Или сетка из экстремумов полинома Чебышева ab ba m tm cos , 2 2 n 4. Задача интерполяции Связь алгебраической интерполяции на Чебышевской сетке и тригнометрической интерполяцией 4. Задача интерполяции Обусловленность задачи интерполяции LN (t ) N n 0 f nlnN (t ) N N (t ), f l nn n 0 4. Задача интерполяции Обусловленность задачи интерполяции N (t , f ) N N (t ) f l nn n 0 max N (t , f ) l N ; t a ,b N t[ a , b ] lN max n 0 max f n , t a ,b lnN (t ) , 4. Задача интерполяции Функция Лебега и постоянная Лебега (данной сетки) L x N li x lN sup L x x a ,b 4. Задача интерполяции Постоянная Лебега – норма оператора алгебраической интерполяции! 4. Задача интерполяции Приведем (без доказательства) примерные оценки роста постоянной Лебега в зависимости от числа узлов сетки. Константа Лебега растет примерно как lN ~ 2N для равномерной сетки и lN ~ ln(N) для сетки с чебышевским набором узлов. Доказано, что рост константы Лебега для последней сетки асимптотически стремится к минимально возможному, и сетка с чебышевскими узлами близка к оптимальной для задач интерполяции. 4. Задача интерполяции Вопросы?