Лекция № 4 Тема: Численное моделирование 1. Содержание лекции:

Сегодня: ________________ 2009 г.
Лекция № 4
Тема: Численное моделирование
Содержание лекции:
1. Численное моделирование
2. Модели физических процессов. Задачи Кеплера.
а) уравнения движения планет
б) движение по окружности
в) эллиптические орбиты
г) астрономические единицы
Введение
Мы применяем законы движения Ньютона к
движению планет и выделяем некоторые на
первый взгляд неожиданные следствия из
законов Ньютона.
Движение планет имеет особое значение,
поскольку в прошлом оно сыграло важную роль в
формировании механистического взгляда на
Вселенную.
Немногие теории оказали столь же огромное
влияние на западную цивилизацию, как
ньютоновы законы движения и всемирного
тяготения, связывающие в единое целое
движение звезд и земных объектов.
Законы Кеплера
Большую часть наших знаний о движении планет
объединили в себе законы Кеплера, которые можно
сформулировать следующим образом:
1 закон Кеплера: Всякая планета движется по
эллиптической орбите, в одном из фокусов которой
находится Солнце.
2 закон Кеплера: Скорость планеты возрастает по
мере удаления от Солнца таким образом, что прямая
соединяющая
Солнце
и планету,
в равные
промежутки
времени
«заметает»
одинаковую
площадь (или Радиус-вектор, проведенный от Солнца
к планете, за равные промежутки времени описывает
равные площади).
Законы Кеплера
3 закон Кеплера: Для всех планет,
вращающихся вокруг Солнца, отношение
Т2/R3 одинаково
(Т – период обращения планеты вокруг Солнца, R
– большая полуось эллипса)
(или Квадраты времен обращения планет вокруг
Солнца относятся как кубы больших полуосей их
орбит).
Иоганн Кеплер (27.12.1571-15.11.1630)
Немецкий астроном, открывший
законы движения планет.
Родился в бедной протестантской
семье.
После
обучения
в
монастырской школе в 1589 поступил
в
духовную
семинарию
при
Тюбингенской академии (позднее
университет), которую окончил со
степенью бакалавра.
В 1591 поступил в Тюбингенскую
академию,
где
завершил
своё
образование. Профессор математики
и астрономии М. Местлин частным
образом познакомил Кеплера с
гелиоцентрической системой мира Н.
Коперника, хотя сам был вынужден
преподавать
астрономию
в
соответствии
с
геоцентрической
системой Птолемея.
По окончании академии в 1593 Кеплер получил степень магистра, но, обвинённый в
свободомыслии, не был допущен к богословской карьере, а направлен преподавателем
математики в гимназию г. Грац (Австрия). Там Кеплер написал своё первое крупное
сочинение "Тайна Вселенной" (1596), в котором пытался установить числовую
зависимость между расстояниями планет от Солнца и размерами правильных
многогранников. Эта книга не имеет научного значения, но уже в ней Кеплер проявил себя
последовательным приверженцем теории Коперника. Религиозные преследования со
стороны католиков побудили Кеплера покинуть Грац; в 1600 он переехал в Прагу к
знаменитому астроному Т. Браге, после смерти которого (1601) получил материалы его
многолетних высокоточных наблюдений.
Иоганн Кеплер (27.12.1571-15.11.1630)
Важнейшим сочинением Кеплера явилась "Новая
астрономия" (1609), посвященная изучению движения Марса
по наблюдениям Тихо Браге (датский астроном) и
содержащая первые два закона движения планет,
установленные
для
Марса
на
основе
обширных
вычислений. В 1612 Кеплер переехал в Линц, где в 1619
появилась
"Гармония
Мира",
в которой
он
дал
формулировку третьего закона, объединяющего теорию
движения всех планет в стройное целое.
Работа Кеплера "Сокращение коперниковой астрономии"
(ч. 1-3, 1618-22) содержит вывод, что первые два закона,
установленные для Марса, относятся ко всем планетам и к
движению Луны вокруг Земли, а третий закон прилагается и
к 4 спутникам Юпитера. В этой работе Кеплер изложил
теорию и способы предсказания солнечных и лунных
затмений; стремясь опорочить учение Коперника, Ватикан
сразу же внёс это сочинение Кеплера в список запрещенных
книг.
Уравнения движения планет
Движение Солнца и Земли является примером задачи
двух тел. Эту задачу можно свести к задаче одного тела
двумя методами.
В основе самого простого метода лежит тот факт, что
масса Солнца во много раз больше массы Земли.
Следовательно, с хорошей точностью можно считать
Солнце неподвижным и связать с ним начало системы
координат.
Движение двух тел с массами т и М, полная
потенциальная энергия которых зависит только от
расстояния между ними, можно свести к эквивалентной
задаче о движении одного тела приведенной массы m,
определяемой формулой
Mm
m
mM
(1)
Уравнения движения планет
Поскольку масса Земли m = 5,99·1024 кг, а масса
Солнца М = 1,99·1030 кг, то понятно, что для
большинства практических целей приведенная масса
Солнца и Земли равна массе Земли. Поэтому ниже мы
рассмотрим только задачу об одной материальной точке
массой т, движущейся вокруг неподвижного силового
центра, который мы примем за начало системы
координат.
Закон всемирного тяготения Ньютона
утверждает, что частица массой М притягивает
другую частицу массой m с силой
(2)
GMm
F
r
3
r
где вектор r направлен от тела с массой М к телу с
массой т, а G - постоянная тяготения, которая, как
экспериментально установлено, равна
G = 6,67 ·10-11 м3/кг·с2
(3)
Уравнения движения планет
Рассмотрим задачу об одной материальной точке
массой т, движущейся вокруг неподвижного силового
центра, который мы примем за начало системы
координат.
Закон всемирного тяготения Ньютона
утверждает, что частица массой М притягивает
другую частицу массой m с силой
GMm
F 3 r
r
где вектор r направлен от тела с массой М к телу с
массой т, а G - постоянная тяготения, которая, как
экспериментально установлено, равна
G = 6,67 ·10-11 м3/кг·с2
(2)
(3)
Уравнения движения планет
Отрицательный знак в формуле (2)
означает, что гравитационная сила является
силой притяжения, т.е. стремится
уменьшить расстояние r между телами.
Закон (2) относится только к телам
пренебрежимо малых пространственных
размеров.
Ньютон
не
публиковал
свой
закон
всемирного тяготения 20 лет, хотя он изобрел
интегральное исчисление и показал, что закон
(2) применим также к любой однородной сфере
или массовой сферической оболочке, если
расстояние r измерять от центра каждой
массы.
Уравнения движения планет


У силы тяготения имеются два свойства общего
характера:
ее величина зависит только от расстояния между телами,
направление совпадает с линией их соединяющей.
Такие силы называются центральными.
Из предположения о центральности силы следует, что
орбита Земли лежит в плоскости (x, у), а угловой момент L
сохраняется и направлен по третьей оси (z).
Запишем Lz в виде
Lz  (r  mv) z  m( x y  y x )
(4)
где использовано определение векторного произведения
L = r · р, а р = mv.
Кроме того, движение ограничивается условием
сохранения полной энергии Е, равной
1 2 GmM
E  m 
2
r
(5)
Уравнения движения планет
Рис. 1. Тело массой т движется под действием
центральной силы F.
Примечание: cos  = x/r и sin  = y/r позволяют записать
уравнения движения в компонентах, что удобно для численного
моделирования.
Уравнения движения планет
Если связать систему координат с телом массой М, то уравнение
движения принимает вид
2
d r
mGM
m 2  3 r
dt
r
Для целей численного моделирования удобно записать силу
декартовых координатах (рис. 1):
mGM
mGM
Fx   2 cos   3 x
r
r
mGM
mGM
Fy   2 sin   3 y
r
r
(6)
в
(7а)
(7б)
Уравнения движения планет
В результате уравнения движения в декартовых
координатах принимают вид
где
d 2x
GM
 3 x
2
dt
r
(8а)
d 2x
GM
 3 y
2
dt
r
(8б)
r 2  x2  y 2
Уравнения (8а) и (8б) – пример «системы
дифференциальных уравнений», потому что каждое
уравнение содержит как х, так и у.
Движение по окружности
Поскольку большинство орбит мало отличается от
круговых, полезно получить условия движения тел по
круговой орбите.
Величина ускорения а связана с радиусом круговой
орбиты r и скоростью тела  соотношением
2
(9)
a
r
Ускорение всегда направлено к центру и обусловлено
гравитационной силой. Следовательно, имеем
(10)
m 2 mMG
r
или

r2
1/ 2
 MG 
 

r


(11)
Движение по окружности
Выражение (11), связывающее радиус и скорость, и есть
общее условие любой круговой орбиты.
Можно также найти зависимость периода Т от радиуса
круговой орбиты. Используя соотношение
T
2r

(12)
вместе с формулой (11), получим
 3
4 r
T 
GM
2
Формула (4.13) представляет собой частный случай
третьего закона Кеплера, поскольку радиус r соответствует
большой полуоси эллипса.
(13)
Эллиптические орбиты
Поскольку известно, что наиболее общим видом орбиты
является эллипс, подводя итог нашему обсуждению,
опишем свойства эллиптической орбиты. Простое
геометрическое определение параметров эллипса
приведено на рис. 2.
Оба фокуса эллипса, F1 и F2 обладают тем свойством,
что для любой точки Р, лежащей на этой кривой, сумма
расстояний от фокусов F1P + F2P постоянна.
В общем случае у эллипса имеются две неравные
взаимно перпендикулярные оси. Более длинная ось
называется большой осью; половина этой оси – большая
полуось а. Короткая ось называется малой осью эллипса;
малая полуось b в два раза короче. В астрономии принято
описывать эллиптическую орбиту величиной а и
эксцентриситетом е, который равен отношению
расстоянии между фокусами к длине большей оси.
Эллиптические орбиты
Поскольку F1P + F2P = 2а, то легко показать (рассмотрев точку
Р с координатами х = 0, у = b), что
b2
e  1 2
a
(14)
причем 0 < е < 1. В частном случае b = а эллипс
превращается в окружность и е = 0.
Величина эксцентриситета для орбиты Земли равна 0.0167.
Рис. 2. Определение эллипса с
помощью большой и малой
полуосей а и b. Эксцентриситет е
определен на рисунке. Начало
декартовой системы координат О
совпадает с центром эллипса.
Астрономические единицы
Поскольку работать на компьютере с очень
малыми или очень большими числами (например, G и
М) по меньшей мере неудобно, желательно выбрать
такую систему единиц, в которой величина
произведения GM была бы порядка единицы. Для
описания движения Земли принято в качестве
единицы длины выбирать большую полуось земной
орбиты.
Эта
единица
длины
называется
астрономической единицей (а.е.), она равна
1 а.е. = 1,496  1011м.
(15)
В качестве единицы времени принимается один
год = 3,15  1017 с. В этих единицах Т = 1 год, а = 1 а.е., и
можно записать
4 2 a
2
( а.е.)3/год2
(16)
GM 
 4
Τ

Солнечная система в миниатюре
До сих пор наше численное моделирование движения планет по
орбитам ограничивалось задачей двух тел в поле центральных сил.
Однако Солнечная система не является системой двух тел,
поскольку между всеми планетами действуют гравитационные
силы. Несмотря на то, что силы взаимодействия между планетами
малы по сравнению с гравитационной силой Солнца, они могут
приводить к наблюдаемым эффектам. Например, существование
планеты Нептун было предсказано на основании несовпадения
экспериментально измеренной орбиты Урана и предсказанной
орбиты, рассчитанной на основе известных сил.
Присутствие других планет означает, что полная сила,
действующая на каждую планету, уже не является центральной.
Более того, поскольку орбиты планет не лежат строго в одной
плоскости, исследование Солнечной системы, если необходимы
точные расчеты, должно проводится в трехмерной геометрии. Для
простоты мы рассмотрим модель двумерной Солнечной системы,
состоящей из двух планет, которые вращаются вокруг Солнца.
Солнечная система в миниатюре
Уравнения движения двух планет с массами т1 и т2 можно
записать в векторной форме следующим образом (рис. 3):
d 2r1
m1MG
m1m2G
m1 2   3 r1 
r21
3
dt
r1
r21
(17а)
d 2r2
m2 MG
m1m2G
m1 2  
r2 
r21
3
3
dt
r2
r21
(17б)
где r1 и r2 - радиус-векторы, направленные от солнца
к планетам 1 и 2,
а r21 = r2 – r1 - вектор, направленный от планеты 1 к планете 2.
Солнечная система в миниатюре
Рис. 3. Система координат, применяемая в задаче.
Планеты с массами т1 и т2 обращаются вокруг «солнца» с массой М.
Движение точки под действием центральных сил
Содержательная постановка
Требуется исследовать параметры движения космического
корабля вблизи планеты. Масса, начальное положение и
начальная скорость корабля известны.
Концептуальная
постановка
Рис.1
Космический корабль массой
т движется из положения с
координатами х0, у0 с
начальной скоростью v0 под
действием силы притяжения F,
направленной к неподвижному
центру. Требуется определить
координаты и компоненты
вектора скорости космического
корабля как функций времени,
а также траекторию его
движения.
Движение точки под действием центральных сил
-
-
-
Построение модели выполняем при
следующих допущениях:
Объектом исследования является космический корабль,
принимаемый за материальную точку.
Параметрами модели являются координаты (х, у) и скорость v
корабля.
Движение корабля происходит в одной плоскости и подчиняется
основному уравнению динамики (второму закону Ньютона):
mdv/dt = F.
Величина (модуль) силы притяжения к центру определяется
законом всемирного тяготения F = mM/r2,
где  = 6,672·10-11 Н· м2/кг2 - гравитационная постоянная,
r  x 2  y 2 - расстояние между точкой массой m и центром
притяжения, имеющим массу М.
Движение точки под действием центральных сил
Математическая постановка
Найти решение задачи Коши для следующей системы
уравнений
mM
 dvx
m dt  Fx    r 2 cos(),

m dv y  F    mM sin( ),
y
 dt
r2
при начальных условиях
x(0) = x0, y(0) = y0, vx(0) = vх0, vy(0) = vy0
dx
 vx ,
dt
dy
 vy ,
dt
(1)
(2)
Движение точки под действием центральных сил
Решение задачи
Принимая во внимание, что cos() =x/r, sin() =у/r
и сокращая в (1) массу корабля, получаем
Mx
 dvx
 dt  Fx    r 3 ,

 dv y  F    My ,
y
 dt
r3
dx
 vx ,
dt
dy
 vy ,
dt
Решение задачи будем искать с использованием численного метода
Эйлера. Заменим производные их разностными аналогами:
Mx
 vx (t  t )  vx (t )



,
3

t
r

 v y (t  t )  v y (t )    My ,

t
r3
x(t  t )  x(t )

t
y (t  t )  y (t )

t
Движение точки под действием центральных сил
Из полученной системы разностных уравнений
можно выразить скорости и перемещения:
v x (t  t )  v x (t )  Mx (t )t r 3 (t ),

3
v
(
t


t
)

v
(
t
)


My
(
t
)

t
r
(t ),
 y
y

 x(t  t )  x(t )  v x (t )t ,
 y (t  t )  y (t )  v (t )t ,
y

r (t )  x 2 (t )  y 2 (t )

(3)
Движение точки под действием центральных сил
Анализ результатов
На рис.2 показаны траектории движения космического аппарата,
полученные решением системы уравнений (3) при различных
начальных скоростях.
При проведении расчетов принято: М = 6 • 1024 кг (масса Земли),
космический корабль находится в начальной точке с координатами
х(0) = 0 м, у(0) = 6,4 • 106 м.
Начальная скорость направлена по горизонтали вправо. Шаг
интегрирования t выбран равным 0,01 с.
Поскольку радиус Земли R равен 6,37 • 106 м, ускорение g
свободного падения оценивается величиной 9,81 м/с 2 (приближенные
значения);
для орбиты, находящейся над поверхностью планеты на высоте
h = 30000 м, первая и вторая космические скорости соответственно
равны:
v1  g ( R  h)  7923 м/с и vII  2 g ( R  h)  11206 м/с
Движение точки под действием центральных сил
Рис 2. Траектории движения космического корабля при разных начальных
скоростях: vx(0) = 7500 м/с (a), vx(0) = 7923 м/с (б), vx(0) = 10000 м/с (в)
и vx(0) = 11206 м/с (г); во всех вариантах vу(0) = 0 м/с; пунктиром обозначена
поверхность планеты
Пример
Содержательная постановка
Исследовать движение планеты в системе двух звезд. Массы
планеты, звезд, их начальное положение и скорости известны.
Рис.3.
Концептуальная постановка
Планета массой т движется из
положения с координатами х0, у0 с
начальной скоростью v0 под
действием сил притяжения F1 и F2
звезд неподвижной двойной
системы. Положения и массы звезд
определяются величинами Х1, У1,
M1, и Х2, Y2, M2 соответственно.
Требуется определить координаты и
скорость планеты как функций
времени, а также траекторию ее
движения.
Движение точки под действием центральных сил
Построение модели выполняем при следующих допущениях:
- Объектом исследования является планета, принимаемая за
материальную точку.
- Параметрами модели являются координаты (x, y) и скорость v
планеты.
- Движение планеты происходит в одной плоскости и
подчиняется основному уравнению динамики (второму закону
Ньютона): mdv/dt = F.
- Величина (модуль) силы притяжения к центру звезды определяется
законом всемирного тяготения F = mM/r2, где  - гравитационная
постоянная, r - расстояние между центром планеты и центром
звезды.
Движение точки под действием центральных сил
Математическая постановка
Найти решение задачи Коши для следующей системы уравнений:
где
mM1
mM 2
 dv x
m dt    r 2 cos(1 )   r 2 cos( 2 ),

1
2

m dv y    mM1 sin(  )   mM 2 sin(  ),
1
2
 dt
r12
r22
dx
 vx ,
dt
(4)
dy
 vy ,
dt
r1  ( x  X 1 ) 2  ( y  Y1 ) 2 , r2  ( x  X 2 ) 2  ( y  Y2 ) 2 .
При начальных условиях
x(0) = x0, y(0) = y0, vx(0) = vх0, vy(0) = vy0
(5)
Движение точки под действием центральных сил
Решение задачи
Для решения задачи используем численный метод. Заменяем
производные разностным аналогом и получаем следующую систему
разностных уравнений:
v x (t  t )  v x (t )  M 1 ( x(t )  X 1 ) t r 31(t ) 

3


M
(
x
(
t
)

X
)

t
r

2
2
2 (t ),
v (t  t )  v (t )  M ( y (t )  Y )t r 3 (t ) 
y
1
1
1
 y
 M ( y (t )  Y )t r 3 (t ),
2
2
2

 x(t  t )  x(t )  v (t )t ,
x

 y (t  t )  y (t )  v y (t )t ,

r1 (t )  ( x(t )  X 1 ) 2  ( y (t )  Y1 ) 2 ,

r2 (t )  ( x(t )  X 2 ) 2  ( y (t )  Y2 ) 2 ,
(6)
Движение точки под действием центральных сил
Анализ результатов
Траектории движения планеты в системе двух неподвижных звезд при
различных исходных данных приведены на рис. Значения
исходных данных выбраны произвольно и не соответствуют
параметрам реальных систем.
При проведении расчетов по формулам (6) принято, что первый центр
притяжения М1, находится в начале системы координат (Х1 = Y1 =
0), второй центр притяжения М2 расположен в точке Х2 = 3 • 106 м,
Y2 = 3 • 106 м, планета находится в начальной точке с координатами
х0 = 4,8 • 106 м, у0 = 6,4 • 106 м и имеет начальную скорость,
направленную
по
горизонтали
вправо
(vy0 = 0). Шаг интегрирования по времени t во всех вариантах
принят равным 1 с.
Движение точки под действием центральных сил
Рассмотрены следующие варианты движения планеты:
М1 = 2 • 1023 кг, М2 = 2 • 1023 кг, vx0 = 1,2 • 103 м/с (рис. 4, а );
М1 = 5 • 1022 кг, М2 = 2,5 • 1023 кг, vx0 = 1,25 -103 м/с (рис. 4,б);
М1 = 2 • 1024 кг, М2 = 2 • 1024 кг, vx0 = 6 • 103 м/с (рис. 4, в );
М1 = 2-1024 кг, М2 = 2• 1024 кг, vx0 = 5• 103 м/с (рис. 4, г).
Приведенные результаты показывают, что движение планеты
под действием двух центральных сил оказывается в значительной
степени неустойчивым. Сравнительно небольшие изменения
исходных данных приводят к качественному изменению характера
движения планеты (сравните рис. 4, а и 4,б, рис. 4, в и 4, г).
Движение точки под действием центральных сил
Рис. 4. Некоторые траектории движения планеты в поле действия
двух центральных сил
Движение спутников по эллиптическим орбитам
Движение спутников по эллиптическим орбитам
Теория движения планет, изложенная Кеплером, полностью
применима к движению искусственных спутников Земли и
космических кораблей (разумеется, с выключенными двигателями).
Приведенная анимация показывает движение спутника по
эллиптической орбите.
Мы можем видеть на этой анимации, что в соответствии с
первым законом Кеплера, Земля расположена в одном из фокусов
орбиты и, в соответствии со вторым законом Кеплера, спутник
движется быстрее в перигее (ближайшая к Земле точка орбиты), чем
в апогее (наиболее удалённая от Земли точка орбиты).
В отличие от геостационарной орбиты, спутники на
эллиптических орбитах могут "видеть" полюса Земли. В апогее
спутник как бы зависает над Землёй, обеспечивая в течение
нескольких часов связь внутри того района Земли, над которым он
расположен. Затем спутник уходит из апогея, и его заменяет новый
спутник, движущийся по той же орбите. Таким образом, над
выделенным участком Земли обеспечивается устойчивая и
непрерывная телекоммуникационная связь.
Геостационарная орбита
Геостационарная орбита
Двигаясь по круговой орбите радиуса r, на спутник действует
сила земного тяготения GmM/r2, где G - постоянная тяготения,
m - масса спутника и M - масса планеты (Земли в нашем случае).
Согласно второму закону Ньютона сила тяготения равна
центростремительной силе m2/r. Отсюда получаем выражение для
скорости движения спутника по круговой орбите:
 =(GM/r)1/2
Период обращения спутника вокруг Земли Tсп равен длине
орбиты 2r, делённой на скорость движения спутника  :
Tсп=2r/ =2 (r3/GM)1/2
Если этот орбитальный период Tсп равен периоду вращения Земли
вокруг собственной оси (примерно 24 часа), то спутник будет "висеть"
над одним и тем же районом Земли, а такая орбита называется
геостационарной.
Геостационарная орбита лежит в плоскости экватора Земли. Её
радиус составляет 42164 км, что примерно в 6 раз больше радиуса
Земли. Небесные координаты спутника на геостационарной орбите
остаются постоянными и мы можем легко направить на него
параболическую антенну (например, для приема спутникового
телевидения).
Низкоорбитальные круговые орбиты.
"Иридиум"
Низкоорбитальные круговые орбиты.
"Иридиум"
Когда радиус орбиты меньше чем радиус геостационарной
орбиты, спутник будет обгонять вращение Земли и в этом случае
необходимо использовать механизм слежения параболической
антенны за положением спутника, что достаточно сложно и дорого
для массового применения. Однако, спутники на низких орбитах
обеспечивают более мощный сигнал по сравнению с сигналом
геостационарных спутников и его можно принимать даже на
антенну
мобильного
телефона.
Поэтому
возникла
идея
использовать несколько спутников на одной и той же орбите,
которые, заменяя друг друга, будут поддерживать непрерывную
связь над каким-то районом Земли.
Такой принцип был использован в телекоммуникационной
системе "Иридиум", которая состоит из 66 низкоорбитальных
спутников: по 11 спутников на 6 орбитах, как показано на анимации.
Каждый спутник обеспечивает связь над участком Земли,
показанном на анимации светлым пятном. Мы можем видеть, что,
перекрываясь, пятна покрывают всю поверхность Земли. Это
означает,
что
такая
спутниковая
система
обеспечивает
непрерывную связь из любой точки Земли.
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода