Глава 2. Алгебраические действия общего типа
реклама
Федеральное агентство по образованию
Волжский политехнический институт (филиал)
Волгоградского государственного технического университета
Н. Д. Бовда
Дискретная математика
Курс лекций
Часть I
Учебное пособие
РПК «Политехник»
Волгоград 2005
УДК 519.1
Рецензенты:
Заместитель директора по научной работе ВГИ ВолГУ
доктор физ.-мат. наук, профессор В.В.Горяйнов
Зав.кафедрой прикладной математики и информатики ВГИ ВолГУ
доктор техн. наук, доцент И.Ю.Мирецкий
Бовда Н. Д.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. Курс лекций. Часть I. Учебное пособие /
ВолгГТУ – Волгоград, 2005г. -96 с.
ISBN 5-230-
Содержит теоретические сведения по темам: множества, алгебраические
действия общего типа и простейшие алгебраические системы, графы.
Учебное пособие предназначено для студентов 1-го курса направления
552800 «Информатика и вычислительная техника», изучающих курс «Дискретная математика».
Библиография - 14 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета
ISBN 5-230©Волгоградский
государственный
технический
университет, 2005 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Введение в теорию множеств ................................................................. 5
§ 1.1. Понятие «множества» ................................................................................ 5
§ 1.2. Способы задания множества ..................................................................... 6
§ 1.3. Операции над множествами...................................................................... 9
§ 1.4. Свойства множественных операций ...................................................... 11
§ 1.5. Декартово (прямое) произведение множеств ....................................... 12
§ 1.6. Некоторые свойства декартова произведения ...................................... 14
§ 1.7. Соответствия между множествами ........................................................ 14
§ 1.8. Композиция двух соответствий .............................................................. 16
§ 1.9. Отображения и функции ......................................................................... 18
§ 1.10. Операции над образами и прообразами отображений и их свойства22
§ 1.11. Равномощность и мощность множеств ............................................... 23
§ 1.12. Бинарные отношения ............................................................................. 28
§ 1.13. Отношение эквивалентности ................................................................ 30
§ 1.14. Отношение упорядоченности ............................................................... 32
§ 1.15. Диаграммы Хассе ................................................................................... 35
Глава 2. Алгебраические действия общего типа ............................................... 36
§ 2.1. Основные понятия .................................................................................... 36
§ 2.2. Способы задания действий ..................................................................... 37
§ 2.3. Свойства действий (операций) ............................................................... 40
§ 2.4. Простейшие алгебраические системы ................................................... 42
§ 2.5. Подгруппы ................................................................................................ 47
§ 2.6. Конечные группы ..................................................................................... 49
§ 2.7. Циклические подгруппы ......................................................................... 50
§ 2.8. Кольца, тела и поля .................................................................................. 55
Глава 3. Введение в теорию графов .................................................................... 60
3
§ 3.1. История и применение ............................................................................. 60
§ 3.2. Основные определения теории графов .................................................. 61
§ 3.3. Способы задания графов ......................................................................... 62
§ 3.4. Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов ............................. 65
§ 3.5. Подграфы .................................................................................................. 67
§ 3.6. Операции над графами ............................................................................ 67
§ 3.7. Маршруты, пути и циклы в графах ........................................................ 69
§ 3.8. Некоторые свойства маршрутов, путей и циклов................................. 71
§ 3.9. Связность и компоненты графа .............................................................. 72
§ 3.10. Циклический и коциклический ранг графа ......................................... 75
§ 3.11. Фундаментальные циклы и разрезы ..................................................... 77
§ 3.12. Специальные графы ............................................................................... 79
§ 3.13. Эйлеровы графы ..................................................................................... 80
§ 3.14. Гамильтоновы графы ............................................................................. 83
§ 3.15. Планарные графы ................................................................................... 85
Задачи и упражнения ...................................................................................... 90
Список литературы .......................................................................................... 95
4
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ
§ 1.1. Понятие «множества»
Начало созданию теории множеств дал немецкий математик Георг Кантор
(1845 – 1918). Понятие «множества» он формулировал следующими словами: «Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью» или «множество это многое, мыслимое в качестве единого».
Это определение нельзя рассматривать как строгое математическое определение. Это лишь описание идеи. Ведь слова «объединение», «совокупность» или «класс» ничем не хуже слова «множество». Понятие «множества»
принимается как основное, первоначальное или исходное, не сводимое к
другим, более ранним понятиям.
Примеры множеств:
1) множество гласных букв в русском алфавите;
2) множество людей, присутствующих в данный момент в данной комнате;
3) множество молекул воды в данном конкретном стакане;
4) множество точек, являющихся вершинами некоторого многоугольника;
5) множество сочетаний из 13 элементов по 7 и т.д..
Все приведенные примеры множеств обладают одним существенным
свойством – эти множества состоят из конечного числа элементов. Конечного в том смысле, что на вопрос «сколько?» всегда можно дать определенный
ответ в виде известного (или в данный момент не известного, но, тем не менее, определенного) целого числа.
Множества, состоящие лишь из конечного числа элементов, называются
конечными множествами.
5
В математике часто приходится сталкиваться с другими – не конечными,
или, как принято говорить, бесконечными множествами. Примерами бесконечных множеств могут послужить числовые множества:
Примеры числовых множеств:
1) ℕ– множество всех натуральных чисел – {1,2,3, …};
2) ℤ – множество всех целых чисел – {…,-2,-1,0,1,2,…};
3) ℚ – множество рациональных чисел (это числа, которые могут быть
представлены в виде дроби, числитель которой – целое число, а знаменатель
– натуральное, т.е. x=a/b , где a-целое, b-натуральное);
4) ℝ – множество вещественных (действительных) чисел (это все рациональные и иррациональные числа);
5) ℂ – множество комплексных чисел (это числа, вида х=a+ib, где a и bвещественные, i–мнимая единица: i2= -1);
6) ℝ2 – множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x,y), –
вся вещественная плоскость;
7) ℝn – n-мерное вещественное пространство, где n – натуральное число, –
множество всех упорядоченных последовательностей из n вещественных чисел («энок») или n-мерное вещественное пространство.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и
обозначается . Пустое множество конечно. Число элементов в пустом множестве равно нулю.
§ 1.2. Способы задания множества
Все элементы некоторого определенного множества обладают некоторым
свойством, общим для всех элементов этого множества. Например: множество всех четных чисел; множество всех белых гусей; множество букв русского алфавита. Поэтому для задания множества можно:
6
1) либо задать свойство, которым должны обладать все его элементы;
2) либо указать (перечислить) все элементы этого множества.
Оба этих подхода, в сущности, представляют одно и то же, разница лишь
во внешнем оформлении.
Тот факт, что х является элементом множества М, записывается так: хМ.
В этом случае говорят, что х входит в М, содержится в М или принадлежит
М. Если х не является элементом множества М, то пишут хМ.
То, что некоторое множество М состоит из элементов x, y, …, t,… записывают так: М={x,y,…,t,…}, где многоточием обозначаются не выписанные
элементы. Например: A={a,b,c}, M={2,4,6,8,10,…}.
Если элементы множества обозначаются при помощи некоторых индексов,
например: х, х,…,х,…, то пишут также: М=х, где =, ,…,,… –
множество индексов.
Совокупность множеств М, М,…,М,… = М - называется системой множеств (где Г=, ,…,,… – индексное множество).
То, что множество состоит из элементов, обладающих некоторым свойством, записывают так: М={x: ………}, где на месте многоточия перечисляют свойства элементов. Читается это так: «множество М состоит из элементов х, таких, что…». Например: M={x: x=a/2 , где а и xℤ}.
Для некоторых числовых множеств имеются свои способы записи:
Отрезок числовой оси: [a, b]={x: a ≤ x ≤ b , где a,b,xℝ и a ≤ b }.
Интервал: (a, b)={x: a < x < b , где a,b,xℝ и a < b }.
Полуинтервал: (a, b]={x: a < x ≤ b , где a,b,xℝ и a < b },
или [a, b)={x: a ≤ x < b, где a,b,xℝ и a < b },
или (-∞, b]={x: x ≤ b и b,xℝ },
или [a, +∞)={x: x ≥ a и a,xℝ }.
7
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же
элементов, т.е. A=B тогда и только тогда, когда для любого элемента aA
следует: aB, и для любого элемента bB следует: bA.
Таким образом, множество однозначно определяется своими элементами и
не зависит от порядка их записи. Например, множество из трех элементов a,
b и c допускает 6 видов записи: {a,b,c}= {a,c,b}= {b,a,c}= {b,c,a}= {c,a,b}=
{c,b,a}.
Если все элементы множества A являются одновременно элементами множества B, то A называется подмножеством или частью множества B.
Пишут AB или ВА, читается: А входит в В, или А содержится в В, или В
содержит А, или В покрывает А. Множество В называется в этом случае
надмножеством А. Таким образом, AB тогда и только тогда, когда для любого элемента aA следует: aB.
Очевидно, если AB и ВА, то А=В.
Пустое множество является подмножеством любого множества, а любое
множество является одним из своих подмножеств.
Если AB и АВ, то А называется собственным подмножеством множества В, а В – собственным надмножеством множества А.
Пишут AB или ВА. Таким образом, AB тогда и только тогда, когда для
любого элемента aA следует: aB, и существует элемент bB такой, что
bA. Символическая запись последней фразы: AB aA => aB и
bB: bA.
Множество всех подмножеств данного множества А называется булеаном
А и обозначается 2А. Число элементов в булеане конечного множества из n
элементов равно 2n.
8
Множество, являющееся надмножеством любого множества в данном рассуждении, называют универсальным множеством или универсумом и обозначают ℧.
§ 1.3. Операции над множествами
Объединением двух множеств A и B (или теоретико-множественной суммой) называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B. Таким образом,
A B {x : ( x A или x B ) или x A и x B } .
℧
B
Объединением системы множеств M ( ) называется
множество
A
M {x : : x M} .
Рис. 1
Для графического изображения операции объединения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна, где множества представлены как замкнутые области, а результат операции показан заштрихованной частью (см.
рис.1).
Пересечением двух множеств A и B (или теоретико-множественным произведением) называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B. Таким образом, A B {x : x A и x B} .
℧
B
Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств показана на рис.2.
A
Пересечением системы множеств M ( ) называется
множество
Рис. 2
M {x : x M}.
Множества называются дизъюнктными (или непересекающимися), если
A B .
Аналогично
для
системы
множеств:
множества
M , M ,, M , дизъюнктны, если любые два из них дизъюнктны.
9
Относительным дополнением множества B до множества A (или теоретико-множественной разностью) называется множество тех ℧
элементов A, которые не являются элементами B, таким образом, A \ B {x : x A и x B} . Диаграмма на рис.3.
A
Очевидно, что если B A, то A B A \ B . И в общем
случае
произвольных
множеств
A
и
B
B
имеет
Рис. 3
место
A A B A \ B.
равенство
℧
Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, таким образом,
A {x : x A} или A ℧ \ A, где ℧ –универсальное множество.
A
Рис. 4
Диаграмма на рис.4.
Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, т.е. A B= (A \ B) (B \ A). ℧
B
Диаграмма на рис.5.
A
Примеры:
1)
Пусть
A a, b, c, d ,
B 0, 1, a, d .
Тогда
Рис. 5
A B 0, 1, a, b, c, d ; A B a, d ; A \ B b, c; B \ A 0, 1; A B 0, 1, b, c.
2) Пусть A 1, 3 - отрезок, B 2, 4 - полуинтервал. Тогда A B 1, 4;
A B 2, 3; A \ B 1, 2; B \ A 3, 4 ; A , 1 3, ; B , 2 4, ;
A B 1, 2 3, 4.
3) Пусть А – множество прямоугольников, В – множество всех ромбов на
плоскости. Тогда
A B ={все прямоугольники и ромбы}; A B ={все квадраты};
А \ В={прямоугольники, за исключением квадратов};
В \ А={ромбы без квадратов}.
10
4) Пусть An x : 0 x 1 , где n натуральное .
n
Рассмотрим систему множеств A1 , A2 , , An , тогда An 0, 1 ; An .
nN
nN
5) Пусть Ax a, b : a 2 b 2 x 2 , где a, b, x вещественные числа .
Тогда Ax ℝ2, Ax 0,0 .
xR
xR
§ 1.4. Свойства множественных операций
1) Для любого множества A A A,
A – свойство «нуля».
2) Для любого множества A A∪℧ = ℧, A∩℧ = A – свойство «единицы».
3) Для любого множества A A A A, A A A – идемпотентность.
4) Для любых множеств А и В A B B A и A B B A – коммутативность.
A B C A B C
и
А, В и С A B C A C B C
и
5) Для любых множеств А, В и С
A B C A B C – ассоциативность.
6)
Для
любых
множеств
A B C A C B C – дистрибутивность объединения и пересечения.
Для системы множеств M A M A и M A M A.
7) Для любого множества A A A – закон двойного отрицания.
8) а) Для любых множеств А и В A B A B и A B A B – законы
де Моргана для абсолютного дополнения.
б) Для любых множеств А, В и С A \ B C A \ B A \ C и
A \ B C A \ B A \ C – законы де Моргана для относительного дополне-
ния.
11
в) Обобщенные законы де Моргана: пусть А – фиксированное множество и
M A . Тогда A \ M A \ M и A \ M A \ M , т.е. до
полнение к объединению равно пересечению дополнений, а дополнение к
пересечению равно объединению дополнений.
9) Если A C и B C A B C .
Если C A и C B C A B .
Если A B B A .
10) Для любых множеств А и В A B A A и A B A A – законы
поглощения.
§ 1.5. Декартово (прямое) произведение множеств
Декартовым произведением двух множеств А и В называют множество
всех упорядоченных пар элементов из А и В. Таким образом, АВ={(a,b):
аA и bВ}.
Обобщение на систему множеств: пусть {A1,A2,A3,…,An} конечная система
множеств, тогда A1 A2 A3 … An ={(a1,a2,…,an): ai Ai , i=1,2,…,n}. Элементы (a1,a2,…,an) называются упорядоченными «энками» или кортежами
длины n. Если множества A1,A2,A3,…,An совпадают и равны A, тогда
A1 A2 A3 … An обозначается An , если A=ℝ ℝℝ…ℝ⇋ℝn – называется n-мерным Евклидовым вещественным пространством, а элементы
этого пространства (a1,a2,…,an) называются n-мерными векторами или точками.
Примеры:
1) A={a, b, c}; B={0, 1} =>AB={(a,0), (a,1), (b,0), (b,1), (c,0), (c,1)}.
2) A=[-2; 2]; B=[1; 3] => AB={(x,y): -2 x 2, 1 y 3} – прямоугольник
на вещественной плоскости.
12
3) A – круг радиуса r, B=[a, b] – отрезок. Тогда AB – цилиндр радиуса r и
высотой (b-a).
4) A и B – окружности с несовпадающими центрами, тогда AB – поверхность тора.
Множества A и B в прямом произведении АВ называют координатными
осями, а элементы xА и yВ – проекциями вектора z=(x,y)АВ на координатные оси или координатами точки z (абсциссой и ординатой соответственно). Будем обозначать их прА z и прВ z.
Пусть множество М АВ, проекцией множества М на ось А называется
множество всех абсцисс векторов из М , проекцией множества М на ось В
называется
множество
всех
ординат
векторов
из
М,
т.о.
прА М={ прА z: zМ}={xА: yВ и (x,y)М} и прВ М={ прВ z: zМ}={yВ:
xА и (x,y)М}.
Для многомерного случая A1 A2 A3 … An , каждое множество Ai
называется i-той координатной осью. Проекция вектора z=(a1, a2,…, an) на iтую координатную ось равна его i-той координате: прi z=ai , где i=1,2,…,n.
Если М A1 A2 … An , то прi М={ прi z: zМ}. Определены также проекции вектора z и множества векторов М на несколько координатных осей с
номерами i1, i2,…,ik: прi1, i2…ik z = ( ai1, ai2,…, aik) – k-мерный вектор и
прi1, i2…ik М = { прi1, i2…ik z: zМ } – множество k-мерных векторов.
Пример:
Тройки вещественных чисел (а1, а2, а3) можно
рассматривать как точку в трехмерном пространстве
(или вектор, проведенный в эту точку из начала координат).
Тогда
прi (а1, а2, а3)=ai,
где
прi,j (а1, а2, а3)=(ai, aj), где i,j=1,2,3. См. рис.6.
13
3
(а1, а3)
а3
(а2, а3)
(а1, а2, а3)
а2
i=1,2,3,
а1
1
Рис.6
(а1, а2)
2
§ 1.6. Некоторые свойства декартова произвед ения
1) АВВА не коммутативно, действительно, пусть А={a,b}; B={0} AB
={(a,0),(b,0)} и BA={(0,a),(0,b)}.
2) Имеет место дистрибутивность как слева, так и справа к объединению и
пересечению:
а) E(A∪B) = (EA) ∪ (EB) и (A∪B) E = (AE) ∪ (BE);
б) E(A∩B) = (EA) ∩ (EB) и (A∩B)E = (AE) ∩ (BE)
3) (A \ B) E = (AE) \ (BE)
4) Если AC и BD AB CD
5) AB = CD A=C и B=D
§ 1.7. Соответствия между множествами
Если элементы множества А некоторым образом сопоставляются элементам множества В, образуя при этом упорядоченные пары связанных элементов, то говорят, что между множествами А и В установлено соответствие, а
правило, по которому образуются такие пары, называют законом или графиком соответствия. Или более строго: соответствием между множествами А и
В называется тройка множеств Г =(G, A, B), где G AB = {(x,y): xA, yB}
– график соответствия Г или закон соответствия. Множество А – называется
областью отправления, а В – областью прибытия соответствия Г.
Если (x,y) G, то говорят, что элемент y соответствует элементу x при Г
или y является образом x относительно G, и обозначают y=G(x); а x называют прообразом y относительно G. Множество всех образов элементов xA
называют
образом
множества
А
в
множестве
В
и
обозначают
Г(А)={yB: xA и (x,y)G}. Множество всех прообразов элементов yB
называют прообразом множества В в множестве А и обозначают Г1
(В)={xA: yB и (x,y)G}.
14
Для всех x из прА G={xA: yB и (x,y)G } A говорят, что соответствие
Г определено для x, и множество прА G ⇋ пр1 G называют областью определения Г. Для всех y из прВ G={yB: xA и (x,y)G} B, говорят, что y является значением, принимаемым соответствием Г, и множество пр В G ⇋ пр2 G
называют областью значений Г.
Если пр1 G = А, то соответствие называют всюду определённым.
Если соответствие всюду определено и при этом пр 2 G = B, то имеет смысл
понятие обратного соответствия и обратного графика.
График G-1, элементами которого являются пары (y,x) такие, что (x,y)G
называется обратным к G, т.о. G-1 = {(y,x): (x,y) G}. Обратным соответствием к соответствию Г называется Г-1 = (G-1, B, A).
Понятно, что область определения соответствия Г совпадает с областью
значений Г-1, а область значений Г совпадает с областью определения Г-1, поскольку пр1 G-1 B и пр2 G-1 A.
Если Г-1 = Г, то соответствие называется симметричным. При этом выполняется равенство: (Г-1)-1 = Г.
Пример:
Пусть А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус., англ., фр.} и G={(Иван, рус.); (Иван,
англ.); (Жанн, фр.); (Жанн, англ.); (Билл, англ.)}. Тогда тройка Г=(G, А, В)
задает соответствие между множествами А и В с графиком G (или по закону
G). Пусть Х={Иван, Билл}, тогда образом множества Х будет G(X)={рус.,
англ.}. Если Y={рус., фр.}, то прообразом Y будет множество G-1(Y)={Иван,
Жанн}. Данное соответствие определено для всех элементов множества А,
т.е. область определения пр1 G = А. Любой элемент множества В является
значением соответствия Г, т.е. область значений пр2 G = B. Обратным соответствием будет соответствие Г-1 = (G-1, B, A), где G-1 ={(рус., Иван);
15
(англ., Иван); (фр., Жанн); (англ., Жанн); (англ., Билл)}. Поскольку Г-1 Г, соответствие не является симметричным.
§ 1.8. Композиция двух соответствий
Пусть Г=(G, А, В) и S=(R, B, C) – соответствия.
Композицией графиков R и G называется график R∘G={(x,z): yB и
(x,y)G и (y,z)R}. При этом область значений графика G является областью
определения графика R, т.е. пр2 G = пр1 R. Композицией соответствий S и Г
называется соответствие S∘Г=(R∘G, А, С).
При этом область прибытия Г является областью отправления S. Иными
словами, под композицией понимают последовательное применение двух
соответствий: сначала соответствия Г к элементам множества А, а затем соответствия S к значениям Г.
Свойства композиции.
Следующие свойства справедливы как для композиции графиков, так и
для композиции соответствий с этими графиками. Пусть Г=(G, А, В), S=(R,
B, C) и Р=(Т, D, A) – соответствия.
1) (R∘G)-1= G-1∘R-1
Доказательство: рассмотрим произвольную пару (z,x)(R∘G)-1. Тогда
по определению обратного графика (x,z)R∘G, и по определению композиции yB и (x,y)G и (y,z)R. Отсюда по определению обратного графика
yB и (y,x)G-1 и (z,y)R-1 или, что то же самое: yB и (z,y)R-1 и
(y,x)G-1. Отсюда по определению композиции следует (z,x)G-1∘R-1. Аналогично можно показать, что любая пара (z,x) из G-1∘R-1 принадлежит также и
(R∘G)-1. Отсюда следует: (R∘G)-1= G-1∘R-1 .
2) (R∘G) ∘T = R∘ (G∘T)
16
Доказательство: рассмотрим произвольную пару (x,z)(R∘G) ∘T. Тогда
по определению композиции yA и (x,y)T и (y,z)(R∘G), отсюда yA и
(x,y)T и tB и (y,t)G и (t,z)R . Последнее равносильно тому, что tB и
(yA и (x,y)T и (y,t)G ) и (t,z)R, поэтому tB и (x,t)(G∘T) и (t,z)R,
следовательно, (x,z)R∘(G∘T). Аналогично можно показать, что для любой
пары (x,z)R∘(G∘T) выполняется также: (x,z)(R∘G) ∘T.
3) (R∘G)(A) = R(G(A))
Доказательство: рассмотрим произвольный элемент z(R∘G)(A), т.е. z
является образом некоторого элемента хA или, что то же самое, xA и
z=(R∘G)(x) или (x,z)(R∘G). Поэтому xA и yB и (x,y)G и (y,z)R (по
определению композиции). Таким образом, z=R(y) и y=G(x) и, следовательно,
xA и z=R(G(x)) или zR(G(A)). Далее для завершения доказательства все
рассуждения проводим в обратном порядке.
График вида А={(x,x): xA} называется диагональю АА.
Очевидно, пр1А=пр2А=А. Соответствие А=(А, А, А) называется тождественным соответствием для А. Очевидно, А-1=А, и Г∘А = В∘Г = Г, где
В=(В, В, В) и Г=(G, A, B).
Пример:
Даны множества А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус, англ, фр} и C={0, 1, 2}. И
графики G={(Иван, рус); (Иван, англ); (Жанн, фр); (Жанн, англ); (Билл, англ)}
и R={(рус, 0); (англ, 1); (фр, 2)} соответствий Г=(G, А, В) и S=(R, B, C). Тогда
композицией соответствий S и Г будет соответствие S∘Г=(R∘G, А, С) между
множествами А и С с графиком R∘G={(Иван, 0); (Иван, 2); (Жанн, 1);
(Жанн, 2); (Билл, 2)}
17
§ 1.9. Отображения и функции
Соответствие f=(G, А, В) называется однозначным, если для всякого элемента xпр1G существует не более одного (а может быть и вовсе ни одного)
значения yпр2G. Всюду определенное и однозначное соответствие называется функцией или отображением множества А в множество В. Если А и В
числовые множества, то функция называется числовой.
Для отображений чаще используются обозначения вида: f : или
f
. Пару (х, у) G чаще обозначают y = f(x), и поскольку отображение –
это частный случай соответствия, то определены все ранее введенные понятия: образа и прообраза для элементов и множеств, области определения и
области значений отображения (или функции), а также понятия композиции
отображений, обратного отображения, тождественного отображения, симметричного отображения.
Отображение (функция) называется постоянным, если х х следует f(x1) = f(x2). Элемент х называется неподвижной точкой отображения,
если f(x) = x.
Отображение f : AB называется инъективным или взаимно-однозначным
отображением множества А в В, если для х х f(x1) f(x2). Т.е.
каждый образ имеет только один прообраз. Подчеркнем, что не все элементы
множества В обязаны иметь прообраз (должны быть чьими-нибудь образами).
Отображение называется сюрьективным (или сюрьекцией или отображением множества А на множество В), если f(A) = B или yB xA (один или
несколько) и y=f(x), т.е. все элементы множества В являются чьими-нибудь
образами (имеют по крайней мере один прообраз).
18
Отображение называется биективным (биекцией или взаимно однозначным отображением A на B), если оно одновременно инъективно и сурьективно.
Пример:
Сos: [0; ] ℝ – инъективное отображение.
Сos: ℝ [-1; 1] – сюрьективное, но не инъективное отображение.
Сos: [- ; 0] [-1; 1] – биективное отображение.
Сos: ℝ ℝ – не сюрьективное и не инъективное отображение.
Биекция множества A на А называется подстановкой множества A. Тождественное отображение IA(x)=x, где xA, является частным случаем подстановки.
Утверждение: 1) Если f : AВ и g : ВС – две функции, то g ∘ f: A→C –
тоже является функцией.
Действительно, т.к. композиция – это последовательное применение отображений, то для произвольного элемента xA с помощью функции f можно
получить не более одного элемента y=f(x) B. В свою очередь, для элемента
yB с помощью функции g можно получить не более одного элемента
z=g(y)C. Тем самым, для каждого xA с помощью (g∘f) можно получить не
более одного элемента zC, следовательно, (g∘f) – функция и (g∘f)(x)=
g(f(x)).
2) Пусть f : AВ – функция. Для того, чтобы f -1: ВА было функцией,
необходимо и достаточно, чтобы f было биективным отображением. В этом
случае f –1 называется отображением, обратным к f, или обратной функцией.
При этом f -1 – биективно, f -1∘ f =IA – тождественное отображение А и
f ∘ f -1 =IB – тождественное отображение В.
19
Отображение f : AВ называется обратимым слева (справа), если существует отображение fЛ-1: ВА ( fП-1: ВА ) такое, что f Л-1∘ f =IA ( f ∘ f П-1 =IB ).
Критерий обратимости слева (справа)
Для того, чтобы отображение f : AВ было обратимым слева (справа),
необходимо и достаточно чтобы оно было инъективным (сюрьективным).
Примеры отображений:
1) Пусть f(x) = x2+1 и g(x) = 2–x – две числовые функции, определенные на
множестве ℝ. Тогда область значений f(x) – это множество B={xℝ: x1}, а
g(x) – множество ℝ. Отображение f:ℝB – сюрьекция, а g:ℝℝ – биекция.
Композиция (g∘f )(х)=g(f (х)) = 2–( x2+1) = 1– x2; (f ∘g)(х) =f (g(х)) =(2–x)2+1 =
5–4x+ x2. Обратное отображение g –1(х)= 2–x, т.е. g(x) – симметричная функция. И (g ∘ g-1)(х) = (g -1∘ g )(x) = х. Отображение f(x) не имеет обратной
функции, но обратимо справа, как сюрьекция. При этом fП1-1(х)= x 1 или
fП2-1(х)= x 1 , где xB и имеются в виду только положительные значения
корня. Для каждого из fПk-1(х) (k=1,2) композиция (f ∘ fПk-1)(х)=IB(x)=x.
Образ х=2 для f(x) = f(2) =5; для g(x) = g(2) = 0.
Если множество А=[-1; 2], то образ f (A) = [1; 5] и g(A) = [0; 3]
Уравнение f(x) = x не имеет корней, поэтому f(x) не имеет неподвижных
точек. Неподвижной точкой g(x) является x = 1.
2) Пусть f и g: ℝ2 ℝ2 осуществляет параллельные переносы всех точек
плоскости, причем f переносит каждую точку на 2 единицы вправо (на восток), а g на 2 единицы вверх (на север). Тогда f –1 переносит каждую точку
плоскости на 2 единицы влево (на запад), а g-1– на 2 единицы вниз (на юг).
Композиция f ∘ g – осуществляет параллельный перенос каждой точки к северо-востоку на 2 2 ед., аналогично g ∘ f то же самое. А (f ∘ g)-1 и (g ∘ f )-1
20
переносят точки к юго-западу на 2 2 ед.. Композиции f ∘ f –1 и g ∘ g-1 оставляют каждую точку плоскости на месте. Оба отображения биективны.
3) «Подобие плоскости» – это функция f : ℝ2 ℝ2, изменяющая все длины
в одно и то же число раз = r>0, где длины измеряются относительно некоторой фиксированной точки плоскости zℝ2, обычно это точка с координатами
(0,0). Тогда при r>1 функция f задает растяжение, а при r<1 – сжатие с центром z. Эта функция взаимно-однозначна. Отображение f –1, обратное к растяжению с коэффициентом r>1, есть сжатие с коэффициентом 1/r и тем же
центром.
4) Пусть A={1, 2, 3, 4} и f и g – две подстановки множества A. Запишем
каждую подстановку в виде двух строк, где в первой строке перечислим элементы множества A, а во второй – соответствующие им элементы f(ai) и g(ai):
1 2 3 4
1 2 3 4
и g
– такая запись подстановок является традиционной.
f
3
4
2
1
2
4
3
1
Тогда
g f 1
1 2 3 4
,
g f
3
1
4
2
1 2 34 ,
f 1 g 1
2 41 3
1 2 3 4
,
f g
4
1
2
3
f
1 2 3 4
,
f 1
4
3
1
2
1 2 3 4
1
,
g g 1 f 1
2 3 4 1
1 2 34 и
g 1
4 1 32
и,
наконец,
1 2 3 4
– тождественная подстановка множеf f 1 f 1 f g g 1 g 1 g
1
2
3
4
ства A.
5) «Стереографическая проекция». Рассмотрим отображение f : Aℝ2, где
Аℝ3 – сфера без северного полюса N,
ℝ2 – плоскость, параллельная экватору и
касающаяся сферы в точке S. Каждой
точке х сферы (за исключением N) функция f ставит в соответствие точку плосРис. 7
21
кости у, в которой луч Nx пересекает плоскость. См. рис.7. Тогда:
а) образом произвольной параллели сферы будет окружность с центром в
точке S, образ экватора – окружность вдвое большего радиуса, чем сфера;
б) образом произвольного меридиана будет прямая, проходящая через S;
в) прообраз произвольного луча из S есть полуокружность, проходящая
через S и N, за исключением точки N;
г) прообразом произвольного прямолинейного отрезка на плоскости является дуга некоторой окружности, по которой плоскость, проходящая через N
и отрезок, пересекает сферу.
§ 1.10. Операции над образами и прообразами отображений и их свойства
Поскольку образы и прообразы отображений являются множествами, то
над ними определены все множественные операции: объединение, пересечение, абсолютное и относительное дополнение. Все ранее перечисленные
свойства этих операций остаются в силе и для этого случая. Кроме того,
имеют место следующие свойства:
Пусть f : и А1, А2 А и В1, В2 В. Тогда:
1) f(A1∪A2) = f(A1)∪f(A2).
2) f -1(B1∪B2) = f -1(B1)∪f -1(B2).
3) f(A1∩A2) ⊆ f(A1)∩f(A2). Для подтверждения этого свойства рассмотрим
А1={(x,y): x=y} и A2={(x,y): y=x+1} – две параллельные прямые на плоскости.
Пусть f : ℝ2 ℝ – проекция на ось х. Тогда f(A1) = ℝ и f(A2) = ℝ и
f(A1)∩f(A2) = ℝ ; но A1∩A2 = и f(A1∩A2) =, т.к. проекция пустого множества есть множество пустое, т.о. ⊆ℝ.
4) f -1(B1∩B2) = f -1(B1) ∩ f -1(B2).
22
5) f(A1) \ f(A2) ⊆ f(A1\ A2) . В подтверждение рассмотрим тот же пример,
что и пункте 3. f(A1) \ f(A2) = ℝ \ ℝ = и A1\ A2 = A1 => f(A1\ A2) = ℝ. Таким
образом, ⊆ℝ.
6) f -1(B1) \ f -1(B2) = f -1(B1\B2).
7) Если A1⊆ A2 => f(A1) ⊆ f(A2) и если В1⊆ В2 => f -1(B1) ⊆ f -1(B2).
8) (f -1◦ f)(A) ⊆ А и (f ◦f –1)(В) = В∩ f(A).
9) В∩ f(A)= f (A ∩ f –1(В)). Действительно, т.к. В∩ f(A) = (f ◦f –1)(В), то по
свойству композиции (f ◦f -1)(В)= f (f -1(В)), и т.к. f -1(В) ⊆ А, то f -1(В)=
A ∩ f-1(В) => f (f -1(В))= f (A ∩ f –1(В))= В∩ f(A).
Заметим, что если f – взаимно-однозначное отображение, то в пунктах 3, 5
и 8 имеет место равенство.
§ 1.11. Равномощность и мощность множеств
Два множества А и В называются равномощными или эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие или если существует биекция А на В. Обозначение: А~В. Мощность –
это то общее, что имеется у всех равномощных между собой множеств. Будем обозначать мощность множества А так: Р(А) или |A|.
Некоторые свойства равномощности:
1) Рефлексивность: А~А для любого множества А.
2) Симметричность: для любых множеств А и В, если А~В, то В~А.
3) Транзитивность: для любых множеств А, В и С, если А~В и В~С, то А~С.
Для доказательства каждого из этих свойств достаточно указать биекцию
между множествами. Так в первом случае – это тождественное отображение
А на А.
Утверждение: два конечных множества равномощны или эквивалентны
тогда и только тогда, когда у них одинаковое число элементов.
23
Таким образом, мощность характеризует количество элементов множества. И для конечного множества, состоящего из n элементов, его мощность
равна n. Для бесконечных множеств понятие «мощности» аналогично понятию «числа элементов», говорят, что бесконечные множества имеют бесконечную мощность. Итак, каждому множеству можно сопоставить некоторый
объект – «мощность», называемый также «кардинальным числом», причем
|A| = |В| А~В и |A| < |В| C B: |A| = |C| и |C| |B|. Вообще говоря, множество может иметь одинаковую мощность со своим собственным подмножеством.
Примеры:
1) А={1,2,3,4,5…} и B={1,4,9,16,25…} А~В, т.к. существует биективное
отображение А на В по закону f(x)=x2, где xА.
2) Функция f(x)=10x устанавливает равномощность отрезков [0;1] и [0;10].
3) Два любых отрезка [a,b] и [c,d], а также два любых интервала (a,b) и
(c,d) равномощны. Действительно, запишем уравнение прямой, проходящей
через точки (а,с) и (b,d):
d c
xa ba
x a c , где
. Тогда функция y
ba
yc d c
x[a,b], взаимно однозначно отображает [a,b] в [c,d], а функция
x
ba
y c a , где y[c,d], отображает [c,d] в [a,b] и тоже взаимно одноd c
значно.
4) Интервал (-/2; /2) ~ ℝ, т.к. y = tg(x), где x(-/2; /2) – биекция.
5) Любое конечное множество, состоящее из k элементов, равномощно отрезку натурального ряда {1,2,3,,k}. Поэтому элементы конечного множества могут быть перенумерованы: а1,а2,,аk.
Теорема 1.11.1. Конечное множество не равномощно никакому собственному подмножеству и никакому собственному надмножеству.
24
Теорема 1.11.2. Число элементов конечного множества всегда больше числа элементов любого его собственного подмножества. Или мощность
конечного множества всегда больше мощности любого его собственного
подмножества.
Теорема 1.11.3. Любое подмножество конечного множества само
конечно. Любое надмножество бесконечного множества само бесконечно.
Из последней теоремы следует, что отрезок [0,1] – бесконечное множество, т.к. является надмножеством бесконечного множества чисел вида 1/n,
где n – натуральное.
Бесконечное множество, равномощное множеству всех натуральных чисел
называется бесконечно–счетным. Т.е. счетность множества есть не что иное,
как возможность перенумеровать все элементы множества при помощи
натуральных чисел так, чтобы все числа были использованы и различным
элементам соответствовали различные числа. Конечные множества и счетно–бесконечные называются просто счетными.
Свойства счетных множеств.
1) Любое подмножество счетного множества само счетно.
2) Объединение конечного числа счетных множеств – счетное множество.
3) Объединение счетного числа конечных множеств – счетное множество.
4) Объединение счетного числа счетных множеств – счетное множество.
Действительно, обозначим множества М1, М2,, а элементы i–го множества: mi1,mi2,. Существует лишь конечное число элементов mik, для которых
i+k=2, аналогично существует лишь конечное число элементов mik: i+k=3 и
т.д.. Перенумеруем сначала все элементы, для которых i+k=2 (например, по
возрастающим значениям i), затем (с помощью последующих чисел) все элементы, для которых i+k=3 и т.д.. При этом каждый элемент mik получит номер и различные mik будут иметь различные номера.
25
5) Если А и В – счетные множества, то А В – счетное. Действительно, т.к.
АВ={(аi,bj): aiA, bjB}, то для нумерации таких пар можно воспользоваться той же идеей, т.е. перенумеровать сначала пары, для которых i+j=2, затем
с помощью следующих натуральных чисел пары, для которых i+j=3 и т.д..
6) Множество рациональных чисел счетно. Действительно, т.к. ℚ={x:
x=a/b, где aℤ и bℕ}, то хℚ х является корнем уравнения bx–a=0.
Рассмотрим h=b+|a|, перенумеруем сначала все рациональные корни, для которых h=1, затем новые корни, получающиеся при h=2 и т.д..
7) Множество полиномов с рациональными коэффициентами счетно. Сопоставим каждому полиному последовательность (а1, а2, ,аn), составленную из его коэффициентов. Далее поступим аналогично тому, как это было
сделано в пункте 6.
8) Множество всех алгебраических чисел (корней полиномов с рациональными коэффициентами) счетно.
Множество называется множеством мощности континуум, если оно равномощно множеству точек отрезка [0,1].
Теорема 1.11.4. (Кантора) Множество точек отрезка [0,1] несчетно.
Доказательство: (от обратного) пусть это множество счетно. Это ознаx1 0, x11x12 x13 x1 j
x2 0, x21x22 x23 x2 j
x j 0, x j1 x j 2 x j 3 x jj
чает, что все точки отрезка можно перенумеровать: х1, х2,
х3, , хj, . Каждое число xj из этого промежутка можно
представить в виде бесконечной десятичной дроби с периодом, не равным 9, причем единственным образом.
Т.е. xj = 0,xj1xj2xjj, где xjk – это k-ая цифра десятичной
дроби, представляющей число xj. Построим теперь число b=0,b1b2b3bj
таким образом, чтобы цифра b1х11, b2х22, b3х33, , bjхjj, . Очевидно, это
можно сделать, например, взяв каждое bi=1, если xii1, и bi=2, если xii=1. По-
26
нятно, что число b[0,1], более точно b[0.1; 0.3]. Поэтому оно находится
среди чисел х1, х2, х3, , хj, ., занимая в этой последовательности некоторое
определенное,
например,
k-ое
место.
Т.е.
b=xk
и
0,b1b2b3bk=0,xk1xk2xk3xkk. Но тогда b1=xk1, b2=xk2, b3=xk3, , bk=xkk, ,
что невозможно, т.к. выбор bj осуществлялся так, чтобы bjхjj. Полученное
противоречие доказывает теорему.
Из этой теоремы следует, что всякий отрезок [a,b] числовой прямой имеет
мощность континуум, поскольку [a,b]~[0,1], т.к. f(x)=a+(b–a)x, где х[0,1] –
биекция. Кроме того, всякий интервал (a,b) имеет мощность континуум, поскольку (a,b)~(0,1), а (0,1)~[0,1]; в последнем случае закон биективного
отображения может быть, например, таким:
1 , если x 0
2
1 , если x 1
3
f x
x, если x 0 и x 1 n , где n натуральное
1 n 2 , если x 1 n , если n 1
Отсюда также следует, что множество всех вещественных чисел имеет
мощность континуум. А также множество всех иррациональных чисел (и иррациональных чисел, содержащихся в любом интервале числовой прямой)
несчетно, т.к. оно получается из несчетного множества удалением из него
счетного подмножества. Поэтому между любыми двумя вещественными
числами найдется иррациональное число и даже несчетно много их.
Из всех бесконечных множеств счетные множества являются «наименьшими».
Теорема 1.11.5. Всякое бесконечное множество содержит счетное
подмножество.
Доказательство: (по индукции) Пусть М – бесконечное множество. Тогда М. Выберем какой-нибудь элемент из М и обозначим его а1. Пусть в
27
М выбрано уже таким образом n различных элементов: а1, а2, , аn. Так как
M – бесконечно, то множество An=M \ {а1, а2, , аn}, и можно выбрать
элемент из An и обозначить его аn+1. Ясно, что аn+1 отличается от всех ранее
выбранных, и множество {а1, а2, , аn}∪ {аn+1} счетно и является подмножеством М.
Теорема 1.11.6. (О равномощности бесконечного множества собственному подмножеству) Всякое бесконечное множество равномощно своему некоторому собственному подмножеству.
Доказательство: по предыдущей теореме множество М содержит счетное подмножество A={а1,а2,,аn, }. Пусть В=М \ А . Определим отображение f: MM следующим образом:
f (ai ) ai 1 , если ai A, i 1,2,
f (b) b, если b B
Очевидно, что f является биективным отображением множества М на его
собственное подмножество М \ {a1}, что и доказывает теорему.
§ 1.12. Бинарные отношения
N–местным отношением или n–местным предикатом ρ на множествах
A1,A2,,An, называется любое подмножество декартова произведения
A1A2An. При n=2 отношение называется бинарным. Бинарные отношения чаще рассматриваются, как отношения между элементами одного и того
же множества. Пусть это множество М, тогда MM={(a,b): a,bM}.
То, что два элемента a и b находятся в отношении , записывается так:
(a,b) или ab, или a~b() – читается: «a находится с b в отношении ».
Общая теория бинарных отношений распадается на ряд направлений, изучающих отношения, обладающие теми или иными свойствами.
28
Бинарное отношение называется рефлексивным, если любой элемент
множества М находится в этом отношении с самим собой, т.е. aM
a~a().
Отношение называется транзитивным, если a, b, с M, для которых
a~b() и b~с(), обязательно следует, что a~с().
Отношение называется симметричным, если из a~b() всегда b~a();
Отношение называется антисимметричным, если одновременное выполнение a~b() и b~a() возможно только в случае, когда a=b. (Заметим,
что пара (a,b), удовлетворяющая данному условию, может вообще не существовать.)
Пример:
1) На множестве натуральных чисел рассмотрим отношение , согласно
которому a~b(), если a и b взаимно простые числа. Т.о. отношение
={(2,3); (2,5)}; (2,7); (5,6),…}, а пара (6,9) . Понятно, что такое отношение
не является рефлексивным, т.к. никакое натуральное число не является взаимно простым с самим собой, например, (5,5). Рассматриваемое отношение не является также и транзитивным, т.к. существуют пары, например,
(6,5) и (5,12), но пара (6,12). Очевидно, что – симметричное отношение, т.к. всегда, если a взаимно просто с b, то и b взаимно просто с a. Однако, оно не антисимметрично, т.к. из того, что (5,6) и (6,5) не следует,
что 5=6.
2) Пусть на множестве В={1, 2, 3, 4} задано бинарное отношение Р={(1,1);
(2,3); (3,3); (2,4); (3,4); (4,2)}. Данное отношение не является рефлексивным,
т.к. в множестве Р отсутствуют пары (2,2) и (4,4). Отношение Р не является
также транзитивным, поскольку, например, пары (3,4) и (4,2) имеются в Р, а
пара (3,2) отсутствует. В виду отсутствия пар (3,2) и (4,3) отношение не сим-
29
метрично. Однако и антисимметричным оно не является, т.к. в нем содержатся пары (2,4) и (4,2), но 42.
Для бинарных отношений, также как и для графиков соответствий определены понятия области значений, области определения, обратного и тождественного отношений, а также композиции отношений. Так для последнего
отношения Р областью определения и областью значений является множество В, обратным отношением является Р–1={(1,1); (3,2); (3,3); (4,2); (4,3);
(2,4)}. Найдем композицию Р ∘ Р={(1,1); (2,3); (2,4); (3,3); (3,4); (2,2); (3,2);
(4,3)}, по этой композиции можно судить о транзитивности отношения Р: если Р ∘ Р Р, то отношение транзитивно, поскольку в нашем случае это не
так, то данное отношение не транзитивно.
§ 1.13. Отношение эквивалентности
Бинарное отношение , заданное на множестве М, называется отношением
эквивалентности или просто эквивалентностью, если оно рефлексивно,
транзитивно и симметрично. Для обозначения этого отношения чаще используется запись ab без указания .
Значение этого отношения заключается в том, что с помощью него множество разбивается в объединение попарно непересекающихся подмножеств
(классов эквивалентности).
Пусть «» – эквивалентность на множестве М. Подмножество Ка М, состоящее из всех элементов М, эквивалентных элементу аМ, называется
классом эквивалентности элемента а по отношению «», т.е. Ка={ х: ха,
где а, х М }.
Утверждения:
1) Два класса эквивалентности множества М либо совпадают, либо не пересекаются.
30
Действительно, если два класса эквивалентности КаМ и Кb М имеют
общий элемент сМ, то для любого элемента хКа следует: ха и ас и сb и
по транзитивности xb. Значит, xКb и наоборот. Следовательно, Ка=Кb. Теперь предположим, что классы Ка и Кb пересекаются, тогда они имеют общий элемент сМ, такой что сКа и сКb. Но тогда, как было доказано,
Ка=Кb.
2) Любой элемент множества М попадает в один и только один класс эквивалентности. Поэтому множество М разбивается на попарно непересекающиеся классы эквивалентных между собой элементов.
Множество всех классов эквивалентности для М по отношению «» называется фактор–множеством и обозначается М/. А процесс разбиения М на
классы эквивалентности называется факторизацией.
Примеры:
1) Отношение равенства на любом множестве является эквивалентностью.
Соответствующее ему разбиение на классы есть объединение всех одноэлементных подмножеств данного множества.
2) На множестве всех целых чисел рассмотрим отношение , согласно которому (x,y), если х и у имеют одинаковые знаки. Ясно, что это отношение
рефлексивно, транзитивно и симметрично, следовательно, – эквивалентность. Тогда соответствующая факторизация множества ℤ /=ℤ ∪ℤ ∪{0},
-
+
т.к. число 0 эквивалентно только себе.
3) На множестве всех натуральных чисел рассмотрим отношение , согласно которому (x,y), если они имеют одинаковый остаток при делении
на одно и то же фиксированное натуральное число m, или как говорят, сравнимы по модулю m: (x mod m) = (y mod m). Заданное отношение – эквивалентность. По этому отношению множество ℕ разбивается на классы чисел,
31
сравнимых по модулю m. Это следующие классы:
K0 – числа, делящиеся на m без остатка, т.е. К0={xℕ: x mod m =0};
K1 – числа, дающие при делении на m остаток 1, т.е. К1={xℕ: x mod m =1};
K2 – числа, дающие при делении на m остаток 2, т.е. К2={xℕ: x mod m =2};
………
Km–1 – числа, дающие остаток m–1, т.е. Кm–1={xℕ: x mod m =m–1}.
Тогда факторизация множества ℕ /(mod m) =K0∪K1∪K2∪…∪Km-1. Классы Кi называются также классами вычетов.
§ 1.14. Отношение упорядоченности
Бинарное отношение, заданное на множестве М и обладающее свойствами
рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, называется отношением частичной упорядоченности или просто упорядоченностью. Множество М в этом случае называется упорядоченным. Упорядоченность называется строгой, если отношение не рефлексивно. Упорядоченность
называется линейной, если для любых элементов а, b М => либо (a,b),
либо
(b,a).
Множество
М
в
этом
случае
называется
линейно–
упорядоченным или цепью.
Для обозначения отношения упорядоченности обычно используют знаки
(или ), (или ). При этом ab равнозначно ba, и запись a<b означает, что
ab и ab. Если a<b, то говорят, что а предшествует b (находится перед b), а
b следует за а (находится после а). Т.о., для любых двух элементов цепи обязательно должно выполняться одно из двух: либо a b, либо b a.
Примеры:
1) На множестве М={a,b,c} рассмотрим отношение R={(a,a); (a,b); (b,b);
(c,b); (c,c)}. Это отношение рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.
Ввиду этого R является отношением частичной упорядоченности и М – ча-
32
стично упорядоченное множество (ч.у.м.). Линейно упорядоченным это
множество не является, т.к. например, ни пара (a,c), ни пара (c,a) отношению
R не принадлежит.
2) Множество натуральных чисел линейно упорядочено отношением .
Утверждение: если множество М упорядочено или линейно–упорядочено,
то и каждое его подмножество упорядочено тем же отношением.
Пусть А М и М – упорядоченное множество. Элемент хМ называется
верхней (нижней) границей множества А, если для аА => а ≤ х ( х ≤ а ).
Множество А в этом случае называется ограниченным сверху (снизу). Естественно, что А может иметь не одну верхнюю (нижнюю) границу, а множество верхних (нижних) границ. Тогда наименьшая из верхних границ А
называется верхней гранью множества А и обозначается sup(А) – супремум.
Аналогично, наибольшая из нижних границ множества А называется нижней
гранью А и обозначается inf(А) – инфимум. (Иначе говоря, верхняя грань А
есть нижняя граница множества всех верхних границ А, а нижняя грань А
есть верхняя граница множества всех нижних границ А.)
Линейно–упорядоченное множество называется вполне упорядоченным,
если у каждого его непустого и ограниченного снизу подмножества есть
нижняя грань. Иными словами, упорядоченное множество является вполне
упорядоченным, если любое его непустое подмножество имеет первый элемент. Элементы вполне упорядоченного множества носят название трансфинитов или трансфинитных чисел.
Примеры:
1) Ряд натуральных чисел является вполне упорядоченным, т.к. в любом
его непустом подмножестве есть первый элемент (нижняя грань).
2) Множество целых чисел не является вполне упорядоченным в «естественном порядке», т.к. в нем самом нет первого элемента. Однако, его мож-
33
но вполне упорядочить, если расположить его элементы, например так: 0, 1, 1, 2, -2, 3, -3,… или так: 1, 2, 3,…, 0, -1, -2, -3,…, где положительные числа
предшествуют всем остальным.
Сечением вполне упорядоченного множества называется всякое его разбиение на два непустых непересекающихся подмножества А и В таких, что для
любых элементов а А и b В следует, что а<b. Тогда множество А называется левым (или нижним) классом, а В – правым (или верхним) классом.
Свойство полноты в терминах сечений можно определить так: пусть дано
произвольное сечение упорядоченного множества М=А∪В и А∩В= и А,
В, и для любых элементов а А и b В следует, что а<b. Тогда существует
элемент х М такой, что aх и хb для любых элементов а А и b В.
Например, свойство полноты по отношению имеется в каждом из множеств: ℕ, ℤ, ℝ. Но его нет в ℚ, т.к. имеется сечение ℚ на классы: А={ xℚ:
x0 или х2<2 } и B=ℚ \ A, где в А нет верхней грани, а в В нет нижней грани.
Однако, если присоединить к В вещественное число 2, то в А появится
верхняя грань.
Центральной теоремой об упорядоченных множествах считается теорема
Цермело (1904г.). Согласно этой теореме всякое множество можно вполне
упорядочить. Эта теорема является следствием так называемой «аксиомы
выбора», которая также была сформулирована Цермело (нем. матем. 1871–
1953). Суть аксиомы заключается в следующем: если дано бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выбрать по
одному элементу, не указывая заранее закона выбора. Важность вполне упорядоченных множеств состоит в возможности применения метода индукции
в случае любых вполне упорядоченных множеств.
34
§ 1.15. Диаграммы Хассе
Диаграмма Хассе – это графическое изображение конечных частично или
линейно упорядоченных множеств.
Пусть М – упорядоченное множество и элементы x, yM, причем x<y. Говорят, что y покрывает x, если не существует элемента zM такого, что
x z y.
На диаграмме Хассе элементы множества М изображаются в виде точек.
Две точки x и y соединяются отрезком прямой в том и только том случае, когда y покрывает x. При этом точку x рисуют ниже точки y.
Примеры.
1) M ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } упорядочено отношением . Тогда его диаграмма
выглядит так, как показано на рисунке 8. Такая диаграмма характерна для
линейно упорядоченных множеств.
2) M = 2{ a, b, c } = { , { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c }}
упорядочено отношением включения – « ». Тогда его диаграмма выглядит
как на рисунке 9.
3) M ={ 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 } упорядочено отношением P={ (x, y) :
y делится на x }. Его диаграмма Хассе изображена на рисунке 10 и совпадает
с предыдущей диаграммой с точностью до обозначения элементов. Между
элементами этих множеств можно установить биективное отображение, сохраняющее имеющуюся упорядоченность элементов. Говорят, что такие
множества изоморфны (подобны) между собой относительно заданных на
них отношений порядка.
6
5
4
3
2
1
Рис.8
{a,b,c}
{a,b}
{a,c}
{a}
{b}
{105}
{b,c}
{c}
{15}
{21}
{35}
{3}
{5}
{7}
{1}
Рис.9
Рис.10
35
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ДЕЙСТВИЯ
ОБЩЕГО
ТИПА
§ 2.1. Основные понятия
Пусть А – непустое множество и n 1. Тогда n –арным действием (или n –
местной операцией) на множестве А называется отображение некоторого
A
A
A в А.
подмножества декартова произведения
n раз
Обозначение: φⁿ: Аn А.
Могут рассматриваться также нуль–арные действия (операции), которые
по определению отмечают некоторый элемент из А. При n = 1 операция
называется унарной, например, а–1. При n = 2 – бинарной, например a+b. При
n = 3 – тернарной, например, нахождение центра тяжести векторов на плоскости f(x,y,z)=(x+y+z)/3. И т.д.. Чаще всего рассматриваются бинарные операции, для которых по определению некоторым парам элементов x, yA (или
каждой паре элементов в частном случае), взятых в определенном порядке,
сопоставляется третий элемент zA, называемый результатом выполнения
операции над операндами x и y.
Отметим, что действие всегда задается на определенном множестве, поэтому в этом смысле сложение на множестве натуральных чисел и сложение
на множестве рациональных чисел – разные действия, т.к. отличаются множествами, на которых они заданы.
На одном и том же множестве может быть задано несколько действий.
Множество всех действий (операций), заданных на множестве А, называется сигнатурой А, т.е. Ω(А)= {φ˚, φ¹, φ²,…} – сигнатура А. Множество А вместе с заданной на нем сигнатурой, возможно пустой, называется универсальной алгеброй или алгебраической системой и обозначается (А, Ω).
36
Для обозначения бинарного действия могут употребляться следующие
формы записи: z = φ(x, y) или z = xy, если zA – результат некоторого действия над x и yA, а «» – обозначение действия (традиционно для обозначения действия используются знаки: +, –, , :, /, *, , и т.д., при этом, используемое обозначение не обязательно показывает совпадение действия с
известным элементарным действием). Запись вида z = x*y или z = xy, или
z = xy называется мультипликативной, а z = x + y – аддитивной. При этом
используется обычная терминология: операнды называются сомножителями
(слагаемыми), а результат – произведением (суммой), хотя само действие
может не иметь ничего общего с обычным умножением или сложением чисел.
§ 2.2. Способы задания действий
1) Указать закон (формулу), выделяющий те пары элементов из А, для которых определен результат, и то, как строится результат для каждой такой
пары, т.е. z = φ(x, y).
2) Непосредственно перечислить все результаты действия. Наиболее удобным представлением в таком случае является так называемая таблица Кэли
(таблица умножения при мультипликативной записи). Слева и сверху этой
прямоугольной таблицы выписываются все элементы множества, а на пересечении строк и столбцов – результат действия над соответствующими элементами или знак «–», если результат не определен. Теоретически такая таблица может быть построена для любого множества, конечного и даже
бесконечного, практически рассматриваются только конечные множества и
конечные таблицы.
37
Пусть на множестве А задано действие «», и В А. Тогда В называется
замкнутым по отношению к действию, если для любых элементов
x, y В xyВ.
Например, рассмотрим действия сложения и вычитания на множестве целых чисел, т.е. ( ℤ, + ) и ( ℤ, – ), и множество натуральных чисел ℕ ℤ. Тогда
ℕ замкнуто по отношению к сложению и не замкнуто по отношению к вычитанию, поскольку не для любых пар натуральных чисел x и y результат
(x-y)ℕ.
Пусть имеются множества с действиями: ( А, ○) и ( В, ◊). Множества А и В
называются изоморфными относительно действий «○» и «◊», если существует биективное отображение f : А В такое, что для любых элементов а1
и а2 из А и соответствующих им элементов b1 и b2 из В, где b1= f(а1) и
b2= f(а2), результат (а1○ а2) определен, т.е. А, тогда и только тогда, когда результат (b1◊ b2)В и при этом f(а1○ а2)= (b1◊ b2), т.е. результаты также соответствуют друг другу.
Смысл и значение понятия изоморфизма заключаются в том, что изоморфные множества с действиями являются одинаковыми относительно этих
действий. Если в таблице Кэли одного из них элементы расположены в том
же порядке, в каком расположены соответствующие им элементы второго, то
таблицы Кэли обоих множеств окажутся совпадающими с точностью до обозначения элементов. Это означает, что действия в изоморфных множествах,
по–существу, совершенно одинаковы.
Примеры:
1) А={ 2, 3, 4, 5 } и В={ 2, 4, 5, 10 }. Рассмотрим (А, +) и (В, ) со следующими таблицами Кэли:
38
+ 2 3 4 5
2
4
5
10
Существует биекция f : А В,
2 4 5 – –
2
4
– 10
–
где f ={ (2,2); (3,5); (4,4); (5,10) } и
3 5 – – –
4
–
–
–
–
f(а1+а2)= f(а1) f(а2) для любых
4 – – – –
5
10 –
–
–
элементов а1 и а2 из А, т.о. (А, +)
5 – – – –
10
–
–
–
изоморфно (В, ) относительно
–
заданных на них действий.
2) Рассмотрим множество натуральных чисел со сложением: (ℕ, +) и множество всех отрицательных четных целых чисел со сложением: (М, +), где
М={ x: xℤ.<0 и x mod 2=0 }. Покажем, что они изоморфны относительно
действий. Действительно, биекция f : ℕ М, заданная законом f(x)= -2x,
устанавливает этот изоморфизм. Т.к. для любых двух натуральных чисел x и
y f(x+y)=f(x)+f(y), поскольку –2(x+y)=(–2x)+(–2y).
3) Рассмотрим множество положительных вещественных чисел с умножением ( ℝ>0, ) и множество всех вещественных чисел со сложением ( ℝ, +).
Тогда изоморфизм устанавливается законом f(x)=ln(x), т.к. по свойствам логарифма ln(xy)=ln(x)+ln(y) для любых x, yℝ>0.
4) Рассмотрим (ℕ, +) и ( S, ), где S={ 21, 22, 23, 24, … }. Множества изоморфны относительно действий, т.к. для любых пар натуральных чисел x, y и
соответствующих им 2x и 2y S 2x+y=2x2y.
5) (ℕ, +) неизоморфно (ℤ, +), т.к. в множестве целых чисел имеется элемент х=0, для которого выполняется х+х=х. В множестве натуральных чисел
элементов с таким свойством нет.
Ввиду одинаковости действий для изоморфных множеств (в рассмотренном выше смысле) можно отвлечься от природы элементов, составляющих
эти множества, и рассматривать их как одну алгебраическую систему, изучая
сами действия и их свойства.
39
Замечания:
1. Свойства действий при изоморфизме сохраняются. Т.е. если действие
«○» в множестве А было дистрибутивным, то и действие «◊» в изоморфном
множестве В также дистрибутивно.
2. Понятие изоморфизма очевидным образом распространяется на алгебраические системы с несколькими действиями. Две универсальные алгебры
(А, Ω) и (В, Ω1), где А и В – множества, а Ω и Ω1 – сигнатуры, изоморфны относительно своих сигнатур, если А и В изоморфны относительно каждой пары действий i и i из Ω и Ω1 соответственно.
3. Если каждое из двух множеств с действиями изоморфны некоторому
третьему множеству с действиями, то первые два изоморфны между собой
относительно соответствующих действий.
Общая теория алгебраических действий распадается на ряд теорий, изучающих множества с тем или иным количеством действий, обладающих теми или иными свойствами (теория групп, полей, колец, алгебры Ли, булева
алгебра, теория графов и т.д.).
§ 2.3. Свойства действий (операций)
Пусть в множестве А определено действие, обозначаемое «∘».
Действие называется неограниченно-применимым, если результат действия
х○у определен для любой пары элементов х, уА, т.е. х○уА.
Действие называется коммутативным, если для любой пары элементов х,
уА, для которых определен результат z=х○уА, обязательно определен и
результат z=у○хА, и при этом z=z (т.е. х○у=у○х).
Действие называется ассоциативным, если для любой тройки элементов х,
у, zА, для которой определены результаты (х○у) и ((х○у)○z), обязательно
40
определены и результаты (у○z) и (х○(у○z)), и наоборот. Причем выполняется
равенство ((х○у)○z)= (х○(у○z)).
Действие называется обратимым, если для любой пары элементов х, уА
всегда существуют такие u, vА, что определены результаты (х○u) и (v○х) и
выполняются равенства (х○u)=y (обратимо справа) и (v○х)=y (обратимо слева).
Действие называется сократимым справа, если для любой тройки элементов х, у, zА, для которой определены результаты (х○z) и (у○z), равенство
(х○z)=(у○z) выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Аналогично, действие называется сократимым слева, если для любой тройки элементов х, у,
zА, для которой определены результаты (z○x) и (z○y), равенство (z○x)=(z○y)
выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Если действие сократимо как
справа, так и слева, то оно называется сократимым.
Элемент епА называется нейтральным справа относительно данного действия, если для любого хА результат (x○еп) определен и равен х. Аналогично, элемент елА называется нейтральным слева относительно данного действия, если для любого хА результат (ел○x) определен и равен х. Элемент
еА называется нейтральным относительно данного действия, если он является нейтральным как справа, так и слева одновременно, т.е. (е○x)=(x○е)=х
для любого хА. При мультипликативной записи нейтральный элемент
называется единицей и обозначается «1», при аддитивной записи – нулем и
обозначается «0».
Элемент xА называется обратным к элементу хА, если определены результаты (х○х)и (х○х) и имеет место равенство (х○х)=е (обратный справа)
и (х○х)=е (обратный слева), где е – нейтральный элемент. Из этого опреде-
41
ления следует, что (х)=х. При мультипликативной записи обратный элемент
обозначается «х-1», а при аддитивной – «–х».
Элемент xА называется идемпотентным, если результат (х○x) определен
и равен х.
Заметим, что относительно данного действия в множестве может существовать лишь один нейтральный элемент. Действительно, если предположить, что е1 и е2 два нейтральных элемента, то для любого элемента хА, в
том числе и для х=е2 (е1○е2)=(е2○е1)=е2. И аналогично, для х=е1
(е2○е1)=(е1○е2)=е1. Отсюда следует, что е1=е2 и, кроме того, обратным элементом к нейтральному является он сам.
§ 2.4. Простейшие алгебраические системы
Алгебраические системы определяются множеством и заданными на нем
действиями, обладающими теми или иными свойствами. Среди алгебраических систем некоторые выделяются в виду их особой важности и имеют особые наименования.
Множество, с заданным на нем бинарным действием называется группоидом или оперативом. Группоид называется частичным, если действие не
обладает свойством неограниченной применимости; мультипликативным,
если используется мультипликативная запись действия, и аддитивным в случае аддитивной записи действия.
Множество, в котором задано неограниченно – применимое и ассоциативное действие, называется полугруппой. Таким образом, полугруппа – это
группоид с ассоциативным действием. При мультипликативной записи – с
ассоциативным умножением, при аддитивной – с ассоциативным сложением.
Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.
Множество, в котором задано неограниченно – применимое, ассоциативное и обратимое действие, называется группой. Таким образом, группа – это
42
полугруппа с обратимым действием, т.е. для любых элементов x, yG
найдутся элементы u, vG такие, что x○u=y и v○x=y. Группа (полугруппа)
называется абелевой, если действие коммутативно. Для абелевых групп чаще
используется аддитивная запись действия, т.е. x, y, zG (x+y)+z=x+(y+z),
x+y=y+x и x, yG u, vG: x+u=y и v+x=y.
Теорема 2.4.1. (О группе)
1. В любой группе существует единица (нейтральный элемент) и при том
только одна. Для любого элемента группы существует обратный элемент и
при том только один.
2. Если в полугруппе существует нейтральный элемент и для любого её
элемента существует обратный, то она является группой.
Доказательство:
1. Докажем сначала существование нейтрального элемента относительно
действия в группе. Т.к. действие в группе обратимо, то для любых элементов
x, yG найдутся элементы u, vG такие, что x○u=y и v○x=y. В том числе для
у=х найдется е'G и е'○x=х, «домножим» обе части равенства x○u=y на е'
слева, тогда е'○(x○u)=е'○у, но по ассоциативности е'○(x○u)=(е'○x)○u = x○u=у,
т.о. у= е'○у и е' – левая единица. Аналогично, для у=х найдется е''G и
x○е''=х. «Домножим» равенство v○x=y справа на е'', тогда (v○x)○е''= v○(x○е'')=
v○x=у, т.о. у=у○е'' и е'' – правая единица. Единственность нейтрального элемента была доказана ранее.
Теперь докажем существование и единственность обратного элемента для
каждого элемента группы. В определении обратимости действия для любых
элементов x, yG, а значит, в том числе и для у=е найдутся элементы u, vG
такие, что x○u=е и v○x=е, т.е. u – обратный для х справа, а v – обратный слева. Покажем, что u=v. Действительно, умножим 1-ое на v слева, а 2-ое на u
справа. Тогда v○(x○u)= v○е и (v○x)○u= e○u. По ассоциативности левые части
43
обоих равенств одинаковы и, следовательно, v○е= e○u. Отсюда v=u, т.е. обратные элементы совпадают.
2. Пусть теперь G – полугруппа, еG – нейтральный элемент и для любого
элемента хG существует обратный элемент хG, т.е. х○х= х○х = е. Рассмотрим произвольный элемент уG и элементы u=х○y и v=y○х. Последние
два равенства «умножим» на х слева и справа соответственно, тогда x○u =
х○(х○y) = (х○х)○y = е○y = у и v○x = (y○х)○х = у○(х○х) = у○е = у. Тем самым, действие обратимо, как слева, так и справа, и G –группа.
Ввиду этой теоремы, можно дать эквивалентное определение группы:
Группа – это множество, в котором задано неограниченно – применимое и
ассоциативное действие, существует нейтральный элемент относительно
этого действия и для любого элемента имеется обратный.
Примеры алгебраических систем
1. Рассмотрим (ℕ,+). Так как сложение в множестве натуральных чисел
неограниченно–применимо и ассоциативно, но нейтрального элемента по
сложению не существует и ни у какого элемента нет обратного, то это полугруппа. Рассмотрим (ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+), (ℂ,+). Все перечисленные множества
образуют группу по сложению, т.к. имеется нейтральный элемент – это ноль
и для всякого числа х имеется обратное число, равное (-х).
2. Рассмотрим (ℕ,). Умножение во множестве натуральных чисел неограниченно–применимо и ассоциативно. Нейтральный элемент по умножению равен 1, обратный элемент имеется только у 1, поэтому это моноид.
(ℤ,) – также моноид, (ℚ,), (ℝ,) – моноиды, здесь обратные имеют все
элементы, кроме нуля, поэтому ℚ\{0} и ℝ\{0} образуют группы по умножению.
44
3. Рассмотрим 2М – булеан произвольного множества М. Тогда (2М,∪) –
моноид. Так как объединение любых двух подмножеств М снова будет подмножеством М, т.е. объединение неограниченно–применимо. Для любых
трех А, В, С М (А∪В)∪С=А∪(В∪С), т.е. объединение ассоциативно,
нейтральным элементом относительно объединения является – пустое
множество. Обратных элементов нет (кроме ). Аналогично (2М,∩) – моноид, поскольку пересечение неограниченно–применимо на 2М и ассоциативно.
Нейтральным элементом относительно пересечения на 2М является само
множество М, но обратный элемент есть только для М.
4. Множество всех векторов на плоскости относительно операции сложения векторов образует группу, т.к. сложение векторов неограниченно–
применимо, ассоциативно, нейтральным элементом является вектор нулевой
длины, обратным элементом для каждого вектора по сложению является вектор той же длины, но противоположного направления.
5. Множество всех многочленов с коэффициентами, являющимися элементами произвольной группы, относительно операции сложения многочленов образует группу, т.к. для любых многочленов f(x) = a0 + a1x +
a2x2+…+anxn и g(x) = b0 + b1x + b2x2+…+bnxn их сумма (f(x)+g(x)) = (a0+b0) +
(a1+b1)x + (a2+b2)x2+…+(an+bn)xn – также многочлен. Сложение ассоциативно, нейтральный элемент – многочлен, все коэффициенты которого равны
нулю, обратным к произвольному многочлену f(x) является многочлен [–f(x)],
все коэффициенты которого имеют противоположные знаки.
6. Прямоугольные матрицы размера mn, составленные из элементов произвольной группы, по отношению к операции сложения матриц образуют
группу. Действительно, для любых матриц А и В размера mn, результат
сложения этих матриц также будет матрицей размера mn. Ассоциативность
сложения матриц следует из ассоциативности сложения их элементов.
45
Нейтральным элементом по сложению является нулевая матрица (составленная из одних нулей). Обратная к произвольной матрице Аmn составлена из
тех же элементов, что и Аmn, но с противоположными знаками.
7. Квадратные невырожденные (определитель которых не равен нулю)
матрицы размера nn с вещественными элементами образуют неабелеву (в
отличие от всех предыдущих примеров) группу по отношению к операции
умножения матриц. Здесь нейтральным элементом является так называемая
единичная (по главной диагонали – единицы, в остальных местах – нули)
матрица размера nn. Для каждой матрицы Аnn обратная может быть найдена по формуле An1n
присоединенная
A11
~ A12
A
A1n
1
~
~
A , где det A – определитель матрицы Аnn и A –
det A
матрица,
определяемая
следующим
образом:
An1
An 2
, где Аij – алгебраическое дополнение элемента aij
Ann
A21
A22
A2 n
матрицы Аnn.
8. Группа преобразований – это множество всех биективных отображений
произвольного множества Х на себя: F = { f: XX }, относительно операции
композиции отображений. Действительно, если f и g – произвольные биекции Х на Х, то и результат композиции (f ∘ g) тоже биекция Х на Х. По свойствам композиции имеется ассоциативность, нейтральным элементом является тождественное отображение ={ (x,x): xX } такое, что для любого
отображения fF имеет место равенство: f ∘ = ∘ f = f. И для любого отображения fF существует обратное отображение f–1F , что f ∘ f–1= f–1∘ f = .
Эта группа не является коммутативной.
46
а) Пусть Х={ 1, 2,,n }. Тогда биекции этого множества на себя – это различные перестановки элементов Х, так называемые подстановки. Композиция двух подстановок также является подстановкой, нейтральный элемент –
1 2 n
тождественная подстановка e
и у каждой подстановки имеется об1 2 n
1 2 3 4
1 2 3 4
ратная, например, для g
обратная подстановка g 1
и
4 1 2 3
2 3 4 1
g ∘ g-1= g–1∘ g = e. Группу подстановок называют также симметрической
группой n-ой степени и обозначают обычно Sn. Эта группа не коммутативна.
б) Пусть Х – вещественная плоскость. Тогда множество всех поворотов
плоскости Х вокруг фиксированной точки образует абелеву группу относительно композиции поворотов. Действительно, ассоциативность поворотов
следует из того , что соответствующие углы при этом складываются:
(+)+=+(+). Нейтральным элементом является поворот на 0 градусов.
Обратный поворот – это поворот на тот же угол, но в другом направлении.
Если к поворотам добавить еще и отражение относительно всех прямых,
проходящих через ту же фиксированную точку, то получится уже неабелева
группа.
§ 2.5. Подгруппы
Непустое подмножество Н элементов группы G называется подгруппой,
если оно само образует группу относительно действия в G.
Из этого определения следует, что для любых элементов a, bH результат
действия (a b) также принадлежит Н, нейтральный элемент eH является
также нейтральным и в группе G. И, в силу единственности обратного элемента в группе, ясно, что обратный элемент для любого элемента h из Н будет обратным для h также во всей группе G.
47
Теорема 2.5.1. (О подгруппе) Непустое подмножество Н группы G
является подгруппой тогда и только тогда, когда 1) для любых элементов a,
bH результат действия (a b) также принадлежит Н; и 2) для любого элемента hН обратный элемент h–1 также принадлежит Н.
Доказательство. Необходимость следует из определения подгруппы.
Для доказательства достаточности покажем, что нейтральный элемент
группы принадлежит подмножеству Н, т.е. еН. Т.к. по пункту 2 для любого
элемента аН а-1Н, то по пункту 1 результат (аа-1)Н, но (аа-1) =е –
нейтральный элемент группы. Таким образом, еН, что и требовалось доказать. И, следовательно, Н – подгруппа G. (Ассоциативность действия переходит автоматически с G на Н).
Примеры подгрупп:
1) Аддитивная группа четных чисел является подгруппой группы ( ℤ , + )
целых чисел по сложению, последняя в свою очередь является подгруппой
группы ( ℚ , + ) рациональных чисел по сложению, которая в свою очередь
является подгруппой группы ( ℝ , + ) вещественных чисел по сложению. Все
аддитивные группы чисел являются подгруппами группы комплексных чисел по сложению.
2) Мультипликативная группа ( ℝ >0, ) положительных вещественных
чисел по умножению является подгруппой мультипликативной группы
( ℝ \ {0}, ) вещественных чисел без нуля и не является подгруппой ( ℝ ,+ ),
т.к. у них разные нейтральные элементы.
3) Подмножество {e} является подгруппой любой группы. Сама группа
также является одной из своих подгрупп.
4) Пересечение любого числа подгрупп группы G является подгруппой
группы G.
48
5) Множество поворотов правильного n-угольника вокруг центра на угол
2k
, где k=0,1,2,…– является подгруппой группы подстановок Sn и называn
ется группой самосовмещений.
§ 2.6. Конечные группы
Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного
числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком.
Любая подгруппа конечной группы конечна. И если НG – подгруппа группы G, то для любого элемента аG множество На={х: x=h◦a, для любых
hH} называется левым классом смежности для G относительно Н. Понятно, что число элементов в На равно порядку Н. (Аналогично можно сформулировать определение аН – правого класса смежности относительно Н).
Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому
любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся
левых (правых) классов смежности по Н.
Действительно, если два класса Нa и Hb, где a, bG, имеют общий элемент
х, то существует tH такое, что x = t◦a. И тогда левый класс для х: Нх={y:
y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Ha, но a= t-1◦x и Нa={y: y=h◦a= h◦(t-1◦x) = (h◦t-1)◦x}
Hx. Отсюда Нх = Нa. Аналогично можно показать, что Нх = Нb. И, следовательно, Нa = Нb. Если же классы Нa и Hb не имеют общих элементов, то они и
не пересекаются.
Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется
разложением группы по подгруппе Н.
Теорема 2.6.1. Порядок конечной группы делится на порядок любой
её подгруппы.
49
Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа
Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н.
В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково
и равно порядку Н. Поэтому, если n – порядок группы G, а k – порядок подгруппы Н, то n=mk, где m – число классов смежности по Н в разложении
группы G.
Если для любого элемента aG Нa = аН (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем
группы G.
Утверждение: если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н
является нормальным делителем G.
§ 2.7. Циклические подгруппы
Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о
«произведении» трех элементов (а◦b◦c) =(а◦b)◦c = а◦(b◦c). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а1◦а2◦…◦аn =
a a ◦ а = a = a ◦
n1
n
i 1
i 1
i
n1
i
n
i 1
m
n
i 1
i
i
i m1
ai .
Произведение n одинаковых элементов группы называется степенью элемента и обозначается an=
a. Это определение имеет смысл для любого
n
i 1
натурального n. Для любого элемента группы aG обозначают а0=е –
нейтральный элемент группы G. А отрицательные степени элемента a-n
определяют как (a-1)n или (an)-1, где a-1 – обратный элемент к а. Оба определения
a-n
совпадают,
т.к.
an ◦(a-1)n
=
(а◦а◦ ◦а)◦(a-1◦a-1◦ ◦a-1)
=
а◦а◦◦(а◦a-1)◦a-1◦◦a-1 =еn =e. Таким образом, (a-1)n = (an)-1.
В аддитивной группе аналогом степени элемента an будет n-кратное к
нему, обозначаемое обычно na, которое не стоит воспринимать как произве-
50
дение n на а, поскольку nℕ и, возможно, nG. Т.о. na⇋ a
a , где nℕ,
n
и 0а=е⇋0, и (-n)a = -(na) = n(-a) для любого натурального n, где (-a) – обратный к aG.
Легко показать, что при выбранных обозначениях для любых целых чисел
m и n и для любого aG выполняются известные свойства: а) при мультипликативной записи an ◦am = an +m и (an)m = anm; б) при аддитивной записи
na+ma = (n+m)a и n(ma)=(nm)a.
Рассмотрим подмножество группы G, составленное из всех степеней произвольного элемента gG. Обозначим его Аg. Таким образом, Аg ={g0, g1, g-1,
g2, g-2,}. Очевидно, Аg является подгруппой группы G, т.к. для любых элементов х,уАg следует, что (х◦у)Аg, и для любого элемента хАg найдется
х-1Аg, кроме того, g0=еАg.
Подгруппа Аg называется циклической подгруппой группы G, порожденной
элементом g. Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой, порожденной элементом g.
Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка.
Если среди элементов циклической группы имеются равные, например,
gk=gm при k>m, то gk-m=e; и, обозначив k-m через n, получим gn=e, nℕ.
Наименьший натуральный показатель n такой, что gn=e, называется порядком элемента g, а сам элемент g называется элементом конечного порядка.
Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.
Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими.
51
Так как любой элемент конечной группы имеет конечный порядок, то все
конечные группы являются периодическими. Кроме того, периодическими
являются все циклические подгруппы конечной группы, поскольку они конечны, и каждый элемент конечного порядка n порождает циклическую
группу того же порядка n, состоящую из элементов {g0, g1, g2,, gn-1}. Действительно, если бы число элементов было бы равно некоторому k<n, тогда
gk=e=gn, что противоречит выбору n, как наименьшей степени такой, что
gn=e; с другой стороны, k>n также невозможно, т.к. в этом случае имелись бы
одинаковые элементы.
Утверждение: 1) все степени g0, g1, g2,, gn-1 различны, т.к. если бы имелись равные, например, gi=gj (i>j), то gi-j=e, но (i-j)<n, а по определению n –
наименьшая степень такая, что gn=e.
2) Всякая другая степень g, положительная или отрицательная, равна одному из элементов g0, g1, g2,, gn-1, т.к. любое целое число k можно представить выражением: k=nq+r, где q,rℤ и 0r<n, r – остаток и gk=gnq+r= gnq gr=
(gn)q gr= eq gr= gr.
Примеры:
1) Всякая группа обладает единственным элементом первого порядка {e},
порождающим циклическую подгруппу первого порядка, состоящую из одного элемента е.
1 2 3
2) Рассмотрим группу подстановок S3, состоящую из элементов: e
,
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, b
, c
, d
, f
. Порядок S3=6. Поa
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
e . Порядок элерядок элемента а равен 2, т.к. a 2
1 3 2 1 3 2 1 2 3
52
1 2 3 1 2 3 1 2 3
мента b также равен 2, т.к. b 2
e . Порядок элемента
2 1 3 2 1 3 1 2 3
с
равен
3,
1 2 3 1 2 3 1 2 3
f
c 2
2
3
1
2
3
1
3
1
2
т.к.
и
1 2 3 1 2 3 1 2 3
e . Порядок элемента f также равен 3, т.к.
c 3 c 2 c
3
1
2
2
3
1
1
2
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
c и f 3 f 2 f
e . И,
f 2
3 1 2 3 1 2 2 3 1
2 3 1 3 1 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
наконец, порядок d равен 2, т.к. d 2
e . Тем самым,
3
2
1
3
2
1
1
2
3
циклические подгруппы S3, порожденные элементами e, a, b, d, c и f, соответственно равны: {e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f} и {e, f, c}, где последние две
совпадают. Заметим также, что порядок каждой циклической подгруппы делит порядок группы без остатка. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.7.1. (Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента (т.к. порядок элемента и порядок циклической
подгруппы, порожденной им, совпадают).
Отсюда также следует, что любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу группы. (Т.к. gm=gnk=ek=e, где m
– порядок группы, n – порядок элемента g, k – целое число).
В группе S3 подгруппа Н={e, c, f} является нормальным делителем, а подгруппы 2-го порядка нормальными делителями не являются. Это легко проверить, найдя левый и правый классы смежности по Н для каждого элемента
группы.
Например,
На={е ◦ а, с ◦ а, f ◦ a}
аН={а
для
=
элемента
а
и
{а, b, d}
левый
правый
класс
смежности
класс
смежности
◦ е, а ◦ c, а ◦ f} = {а, d, b} совпадают. Аналогично для всех остальных
элементов S3.
53
3) Множество всех целых чисел со сложением образует бесконечную циклическую группу с порождающим элементом 1 (или –1), т.к. любое целое
число кратно 1.
4)
Рассмотрим
множество
корней
n-ой
степени
из
единицы:
2k
2k
Еn= k n 1 Cos
i Sin
, k 0, 1,, n 1 . Это множество является
n
n
группой относительно операции умножения корней. Действительно, произведение любых двух элементов k и m из En, где k, m n-1, также будет элементом
En,
поскольку
2k
2k
2m
2m
i Sin
i Sin
Cos
Cos
n
n
n
n
Cos
k m
=
2(k m)
2(k m)
2r
2r
= Cos
i Sin
i Sin
r , где r=(k+m) mod n
n
n
n
n
и r n-1; умножение ассоциативно, нейтральный элемент
k
1
0
n-1
Рис. 11
е=0=1 и для любого элемента k имеется обратный
2k
2k
1
i Sin
и k k 0 1. Эта группа
n
n
k1 Cos
циклическая, её порождающим элементом является перво-
образный корень 1 Cos
2
2
. Нетрудно видеть, что различными
i Sin
n
n
являются все степени: 10 , 11 , 12 , , 1n1 , далее для kn корни начинают повторяться. На комплексной плоскости корни 10 , 11 , 12 , , 1n1 расположены
на окружности единичного радиуса и делят её на n равных дуг, как показано
на рисунке 11.
Последними двумя примерами исчерпываются по существу все циклические группы. Поскольку справедлива следующая теорема.
54
Теорема 2.7.2. Все бесконечные циклические группы изоморфны
между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой.
Доказательство. Пусть (G, ∘ ) – бесконечная циклическая группа с порождающим элементом g. Тогда существует биективное отображение
f: ℤ G такое, что для любых целых чисел k и m их образы f(k) и f(m), равные соответственно gk и gm, являются элементами G. И при этом
f(k+m)=f(k)∘f(m), поскольку gk+m=gk∘ gm.
Пусть теперь (G, ∘ ) – конечная циклическая группа порядка n с порождающим элементом g. Тогда каждому элементу gkG единственным способом
можно сопоставить элемент kEn (0k<n), по правилу f(gk)=k. И при этом
для любых gk и gmG следует, что f(gk∘ gm)= f(gk) ∘ f(gm), поскольку f(gk∘ gm)=
f(gk+m)= f(gr), где r=(k+m) mod n, и f(gr)=r=km. Понятно, что такое сопоставление является биективным отображением.
§ 2.8. Кольца, тела и поля
Следующими по важности алгебраическими системами являются кольца,
тела и поля, которые представляют множества с заданными на них одновременно несколькими действиями. Эти действия, как и в случае групп и полугрупп, могут быть весьма разнообразными. И для обозначения этих действий
в общем случае лучше всего было бы употреблять какие–либо отвлеченные
от установившихся понятий значки, например: «∘», «*», «» и т.п.. Однако,
по сложившейся традиции, в алгебраических системах с двумя действиями
приняты обозначения «+» и «» (или «») и при этом используется обычная
терминология для этих действий: «сложение» и «умножение». Хотя сами эти
действия могут и не иметь ничего общего со сложением и умножением
обычных чисел.
55
Алгебра вида (М, +, ), которая по «сложению» является абелевой группой, а по «умножению» полугруппой, называется кольцом, если оба действия
связаны законом дистрибутивности.
Таким образом, кольцо – это непустое множество, на котором определены
действия типа сложения и умножения со свойствами:
а) сложение ассоциативно, обратимо и коммутативно, а также неограниченно применимо на М;
б) умножение неограниченно применимо и ассоциативно на М;
в) оба действия связаны соотношением: для любых x, y и z из М следует
(x+y)z=xz+yz и z(x+y)=zx+zy – двусторонняя дистрибутивность «умножения» относительно «сложения».
Множество М, рассматриваемое по отношению к «сложению», называется
аддитивной группой кольца.
Кольцо называется коммутативным, если «умножение» на М коммутативно.
Нейтральный элемент аддитивной группы кольца называется нулем кольца
и обозначается 0K.
Таким образом, для любого элемента x из М следует: x+0K= 0K+x = x и
x+(-x)= (-x)+x=0K. При этом для каждого элемента x из М и любого натурального числа n определен n-кратный элемент nx=
x
x , 0-кратный опредеn
ляется как 0x=0K., а обратный к n-кратному: -(nx)=n(-x).
Свойства кольца, связанные с действием «умножения»:
1) Для любого элемента хM следует х0K= 0Kх=0K.
Доказательство: действительно, по дистрибутивности х0K= х(0K+0K)=
х0K+х0K. Добавим к левой и правой частям этого равенства обратный элемент: (-х0K). Тогда х0K+(-х0K)= х0K+ х0K+(-х0К). В левой части имеем:
56
0К(х+(-x))= 0K+0K = 0K, в правой части: х0K+ 0K(х+(-x))= х0K+0K= х0K. Таким
образом, 0К= х0K. Аналогично можно показать, что 0Kх=0K.
2) Из предыдущего также следует, что действие «умножения» в кольце необратимо, за исключением лишь случая, когда кольцо состоит из одного
лишь элемента 0K. Действительно, ни при каком zM для х0K не имеет места ни z0K= х, ни 0Kz=x.
Элементы x, yM такие, что х0K и y0K и xy=0K называются делителями
нуля. Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.
Делители нуля в кольце всегда необратимы.
Если кольцо обладает нейтральным элементом по умножению, не совпадающим с нулем кольца, то оно называется кольцом с единицей.
Подмножество I кольца М называется его двусторонним идеалом, если оно
само является кольцом относительно действий на М, и если для любого элемента х из М и для любого yI следует: xyI и yxI, т.е. правый и левый
классы смежности относительно I являются подмножествами I.
Так множество четных чисел является идеалом кольца целых чисел. И вообще множество чисел, кратных любому целому числу k, является идеалом
кольца целых чисел.
Примеры:
1) (ℤ, +, ) – коммутативное кольцо целых чисел, являющееся областью
целостности. По сложению – абелева группа, по умножению – абелева полугруппа. Умножение дистрибутивно относительно сложения.
2) Множества ℚ, ℝ, ℂ образуют кольца по сложению и умножению.
3) Множество четных чисел, а также множество целых чисел, кратных
произвольному целому числу а: {…, -na,…,-2a, -a, 0, a, 2a,…,na,…} – явля-
57
ется коммутативным кольцом относительно обычных действий сложения и
умножения.
4) Алгебраические системы (ℕ, +, ) и (ℚ>0, +, ) кольцами не являются.
5) Множество многочленов а0+а1х+ а2х2++ аnхn с коэффициентами из некоторого кольца является кольцом относительно почленного сложения и
почленного умножения многочленов.
6) Множество классов вычетов по модулю m относительно сложения и
умножения классов образует коммутативное кольцо классов вычетов по модулю m и обозначается ℤm. Рассмотрим этот пример более подробно.
ℤm ={K0, K1, , Km-1}, где Ki={xℤ: x mod m = i }, i=0,1,,m-1. И для любых i и j{0,1,,m-1} сложение классов определяется так: Ki+Kj={ x+y: xKi,
yKj и (x+y) mod m = (i+j) mod m }=Kr, где r= (i+j) mod m . Нейтральным элементом по сложению является класс K0, обратным по сложению для любого
класса Ki ( 1 i m-1 ) является класс Km-i, а для класса K0 – сам K0. Сложение классов коммутативно, ввиду коммутативности сложения целых чисел, и
ассоциативно. Таким образом, (ℤm, +) – абелева группа. Произведение классов
определяется
так:
Ki Kj=={ xy:
xKi,
yKj
и
(xy) mod m =
(ij) mod m }Kr, где r= (ij) mod m . Тем самым умножение классов неограниченно применимо. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность умножения классов относительно их сложения следует из аналогичных
свойств умножения целых чисел. Кроме того, класс K1 является нейтральным
элементом по умножению классов вычетов по модулю m. Таким образом
(ℤm, ) – абелев моноид и (ℤm, +, ) – коммутативное кольцо с единицей.
Рассмотрим
кольцо
(ℤ4, +, ),
где
ℤ4={ K0, K1, K2, K3 }
и
K0={ xℤ: x mod 4=0 }, K1={ xℤ: x mod 4=1 } и т.д.. Таблицы Кэли для сложения и умножения классов:
58
+ K0 K1 K2 K3
K0 K1 K2 K3
Из таблиц видно, что
K0 K0 K1 K2 K3
K0 K0 K0 K0 K0
0К=K0,
т.к.
для
любых
K1 K1 K2 K3 K0
K1 K0 K1 K2 K3
i=0,1,2,3 Ki+0К= 0К+Ki =Ki и
K2 K2 K3 K0 K1
K2 K0 K2 K0 K2
Ki·0К= 0К·Ki= K0
K3 K3 K0 K1 K2
K3 K0 K3 K2 K1
строка и первый столбец
(первая
таблицы сложения совпадают с шапкой этой таблицы; первая строка и первый столбец таблицы
умножения состоят из одного и того же элемента: K0). Коммутативность действий видна из того, что каждая таблица симметрична относительно главной
диагонали. Элемент K2 является делителем нуля, т.к. K2·K2=K0=0К. Нейтральный элемент по умножению – K1, поскольку вторая строка и второй столбец
таблицы умножения совпадают с шапкой. У всех элементов, кроме K0 и K2
имеются обратные по умножению: для K1 – сам K1, для K3 – сам K3.
Кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный
по умножению, называется телом.
Из последнего определения и теоремы о полугруппе ненулевые элементы
тела образуют группу, которая называется мультипликативной группой тела.
Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: абелеву аддитивную группу и мультипликативную группу.
Коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент
имеет обратный, называется полем. Таким образом, поле – это тело с коммутативным умножением. Аналогичным образом вводится понятие мультипликативной группы поля – это множество ненулевых элементов поля, которые
образуют абелеву группу по умножению.
Примеры:
1) ℚ, ℝ, ℂ – образуют поля относительно обычного сложения и умножения. ℤ – поля не образует, т.к. относительно умножения никакие элементы,
59
кроме «+1» и «-1», не имеют обратных. Но ℤ образует область целостности,
т.к. нет делителей нуля, т.е. из равенства ab=0 следует: либо а=0, либо b=0.
2) Множество квадратных невырожденных матриц фиксированного размера с вещественными элементами относительно операций сложения и
умножения матриц образует тело.
3) Кольцо классов вычетов ℤp является полем, если p – простое число. Оно
называется полем вычетов по модулю p. Легко показать, что у каждого ненулевого элемента имеется обратный. Например, в поле ℤ7 обратными друг к
другу являются элементы: K1 и K1, K2 и K4, K3 и K5, K6 и K6.
ℤp – простейший пример конечного поля. Конечные поля называют полями Галуа и обозначают GF(p). Свойства полей Галуа используются в теории
кодирования. Одним из важнейших таких свойств является то, что мультипликативная группа поля Галуа является циклической группой порядка (p-1).
Порождающий элемент этой группы называется примитивным. Так в поле
GF(7) примитивным элементом является класс K3. Действительно, K30=K1,
K32=K2, K33=K6, K34=K4, K35=K5, K36=K1, таким образом, степени элемента K3
исчерпывают все ненулевые элементы ℤ7. Заметим, что класс K2 не является
примитивным элементом в ℤ7, т.к. среди его степеней нет, например, класса
K3. Тогда как в полях GF(3), GF(5), GF(11) и т.д. класс K2 – примитивный
элемент.
Глава 3. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРАФОВ
§ 3.1. История и применение
Начало теории графов как математической дисциплины было положено
Эйлером в его знаменитом рассуждении о кенигсбергских мостах (1736 г.)
Однако, она не находила применения в течение почти 100 лет. Интерес к
теории возник благодаря исследованиям электрических сетей, моделей кри-
60
сталлов и структур молекул. В 1847 г. Кирхгофом была разработана теория
деревьев, которая послужила важным аналитическим средством для исследования электрических цепей. Законы Кирхгофа для напряжений и токов в
цепи полностью определяются контурами и сечениями графа этой цепи и не
зависят от природы используемых элементов. Поэтому тщательное изучение
понятий контура, сечения и дерева графа дало толчок многим открытиям в
теории цепей и, кроме того, внесло большой вклад в теорию графов.
Характерно то, что в терминах графов формулируются многие понятия и
задачи прикладных областей: теории игр и программирования, теории передачи сообщений, транспортных сетей, электрических цепей, организационной структуры общества, а также биологии и психологии. В области вычислительной техники теория графов занимает особое место. Она предоставляет
большие возможности для построения эффективных алгоритмов и анализа
их сложности, дает готовые решения многим задачам вычислительной техники, например, для задачи оптимизации компиляторов. В то же время исследования в каждой из прикладных областей приводят к развитию самой
теории графов.
§ 3.2. Основные определения теории графов
Граф – математический объект, описываемый двумя множествами:
G=( V, E ), где V – так называемое множество вершин, а E – множество дуг.
Элементами множества дуг являются упорядоченные пары вершин, т.е.
E={ ( a, b): aV, bV }, т.о. множество Е является подмножеством декартова
произведения VV. Порядок вершин в парах может и не учитываться, тогда
элементы множества Е называют ребрами, а сам граф – неориентированным
графом, в противном случае – ориентированным или Орграфом. В некоторых случаях рассматриваются так называемые смешанные графы, в них
множество Е состоит из элементов обоих видов: дуг и ребер.
61
Обозначим вершины v1, v2, v3, , а ребра e1, e2, e3, . Вершины vi и vj,
определяющие ребро ek, называются концевыми вершинами ребра ek=(vi, vj), а
в случае орграфа – началом и концом дуги ek соответственно. Говорят также,
что ребро ek (дуга) инцидентно вершинам vi, vj или, что вершины vi, vj инцидентны ребру (дуге) ek. Такие вершины называют смежными. Ребра называют смежными в случае, когда они имеют общую концевую вершину. Например, ek=(vi, vj) и em=(vi, vl) – смежные ребра.
В множестве ребер графа допускается более, чем одно ребро с одинаковыми концевыми вершинами. Такие ребра называются параллельными или
кратными. Например: ek=(vi, vj) и em=(vi, vj) – кратные ребра.
Если обе концевые вершины ребра совпадают, то такое ребро называется
петлей. Например: ek=(vi, vi) – петля.
Граф без петель и параллельных ребер называется простым, в противном
случае – мультиграфом.
Граф, не имеющий ребер, называется пустым, а не имеющий вершин (а
значит и ребер) – нуль-графом.
Простой граф, у которого любая пара вершин смежна, называется полным.
Количество вершин в графе называется порядком графа.
Степенью или валентностью вершины называется число инцидентных ей
ребер. Будем обозначать степень вершины vi – deg(vi). Вершина нулевой степени называется изолированной. Вершина степени 1 называется висячей, а
ребро, инцидентное ей, называется висячим ребром. Заметим, что петля добавляет двойку к степени вершины.
§ 3.3. Способы задания графов
Рассмотрим три способа задания графов: графический, аналитический и
матричный.
1) Графический способ.
62
Вершины изображают точками на плоскости, а ребра – линиями, соединяющими соответствующие точки. Для изображения дуги используется линия
со стрелкой, указывающей направление от начала к концу дуги.
На рисунке 12 изображен смешанный граф
e1
v1
e3
e2
v2
v4
с вершинами v1, v2,, v6, ребрами e1, e2, e3, e5
e5
и дугой e4. Смежные вершины v1, v2, инци-
e4
v6
v3
v5
денты ребру e1. Вершины v1, v3, инциденты
параллельным ребрам e2 и e3. Вершине v4 ин-
Рис. 12
циденты петля e5 и дуга e4, причем v4 являет-
ся началом дуги e4, а v5 – концом этой дуги. Степень вершины v1 равна 3,
вершины v2 – 1, вершины v3 – 2, вершины v4 – 3, вершины v5 – 1, вершины v6
– 0. Таким образом, вершины v2 и v5 – висячие, а вершина v6 – изолированная. В случае дуги e4 точнее было бы говорить о полустепенях исхода и захода вершин v4 и v5, а именно: полустепень исхода вершины v4 равна 3, вершины v5 – 0, полустепень захода вершины v4 равна 2, вершины v5 – 1.
2) Аналитический способ.
Граф задают перечислением элементов множества вершин и множества
ребер. Для графа, изображенного на рисунке 12, эти множества:
V={v1, v2, v3, v4, v5, v6}
и
Е={e1, e2, e3, e4, e5},
где
e1=(v1, v2),
e2=(v1, v3),
e3=(v1, v3), e4=(v4, v5), и e5=(v4, v4).
3) Матричный способ.
Имеется несколько вариантов задать граф матрицей. Наиболее употребимыми являются матрица инциденций и матрица смежности.
а) Матрица инциденций – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин, а число столбцов – числу дуг (ребер) графа. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:
63
1, если vi является начальной вершиной дуги e j
I i , j 1, если vi является конечной вершиной дуги e j
0, если v и e не инцидентны
i
j
Таким образом, для графа на рисунке 12 матрица инциденций такова:
e1 e2 e3 e4 e5
v1 1 1 1 0 0
v2 1 0 0 0 0
I= v3 0 1 1 0 0
v4 0 0 0 1 1
v5 0 0 0 -1 0
v6 0 0 0 0 0
По этой матрице легко судить о наличии в графе параллельных ребер (два
одинаковых столбца), петли (одна единица в столбце), дуги (значения разных знаков в столбце), изолированной вершины (нулевая строка), висячих
вершин (одно ненулевое значение в строке).
б) Матрица смежности вершин – это квадратная матрица, размер которой
определяется числом вершин в графе. Элементы этой матрицы определяются
1, если пара (vi , v j ) E
так: Si , j
. Если в графе имеются параллельные реб0
,
если
пара
(
v
,
v
)
E
i
j
ра, то соответствующий элемент матрицы смежности полагают равным числу этих ребер. Так матрица смежности для графа на рисунке 12 такова:
v1
v2
S= v3
v4
v5
v6
По виду этой матрицы также
v1 v2 v 3
0 1 2
1 0 0
2 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
несложно
v4 v5 v6
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 0
0 0 0
0 0 0
судить о наличии в графе кратных
ребер, дуг, петель, висячих и изолированных вершин.
64
Понятно, что любая квадратная матрица с целыми неотрицательными коэффициентами может быть интерпретирована как граф, а значит, изучение
графов можно свести к изучению матриц такого типа. Вообще изучение графов можно расширить, рассматривая матрицы не только с целыми, но и с неотрицательными вещественными элементами. Такие матрицы, например, могут соответствовать графу, представляющему схему дорог, в котором
расстояние между вершинами vi и vj равно длине соответствующей дороги.
Подобные матрицы называют обычно матрицами весов.
Представление графов матрицами очень удобно при решении задач на
компьютере.
§ 3.4. Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов
Теорема 3.4.1. Сумма степеней вершин в неориентированном графе
четна и равна удвоенному числу ребер.
Доказательство: поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам,
оно добавляет двойку к сумме степеней вершин графа. Следовательно, все
ребра дают вместе сумму вдвое большую их числа.
Аналогичная теорема может быть сформулирована и для орграфов: сумма
полустепеней исхода всех вершин равна сумме их полустепеней захода и
равна числу дуг орграфа.
Теорема 3.4.2. Число вершин нечетной степени в любом графе четно.
Доказательство: пусть число вершин в графе равно n. Не нарушая
общности, предположим, что степени первых r вершин v1, v2,,vr четны, а
степени оставшихся n-r вершин нечетны. Тогда общая сумма степеней всех
вершин равна
n
r
i 1
i 1
deg(vi ) deg(vi )
n
deg(v ) . По теореме 1 левая часть это-
i r 1
i
го равенства – четное число. Первая сумма в правой части также четна, т.к.
65
u
v
l
w
p
r
x
y
z
Рис.13
m
n
q
каждое слагаемое в этой сумме четно по предположению. Следовательно, и
вторая сумма в правой части тоже четна. Но так как каждое слагаемое в этой
сумме нечетно по предположению, то число этих слагаемых должно быть
четным. Поскольку число этих слагаемых совпадает с числом вершин нечетной степени, то число последних четно.
При изображении графов имеется большая свобода в размещении вершин
и в выборе формы соединяющих их ребер (дуг). Поэтому может оказаться,
что один и тот же граф представляется различными чертежами.
Два графа G1 и G2 называются изоморфными, если существует биективное
отображение между множествами их вершин и ребер такое, что соответствующие друг другу по этому отображению ребра графов G1 и G2 инцидентны соответствующим друг другу по этому же отображению парам вершин этих графов.
Другими словами, если вершины vi и vj графа G1 соответствуют вершинам
vi и vj графа G2, то ребро еk=( vi, vj ) в G1 должно соответствовать ребру
еk=( vi, vj ) в графе G2 и наоборот.
Согласно определению, графы, изображенные на рисунке 13, изоморфны.
Соответствие между множествами вершин и ребер таково:
для вершин: u l , v m, w n, x p, y q, z r
(u, x) (l , p), (u, y ) (l , q), (u, z ) (l , r )
для ребер: (v, x) (m, p), (v, y ) (m, q), (v, z ) (m, r )
( w, x) (n, p), ( w, y ) (n, q), ( w, z ) (n, r )
66
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
Рис. 14
§ 3.5. Подграфы
Подграфом графа G=(V, E) называется граф G=(V, E), у которого множества вершин и ребер V и E являются такими подмножествами множеств V и
E соответственно, что ребро (vi, vj)E тогда и только тогда, когда вершины vi
и vjV. Граф G называется собственным подграфом графа G, если V V и
E E. Если все вершины графа G присутствуют в его подграфе G, т.е. V=V,
то G называется остовным подграфом G.
Подграф без изолированных вершин называется реберно-порожденным
подграфом. Множество вершин реберно-порожденного подграфа полностью
определяется множеством его ребер.
Если же множество вершин подграфа полностью определяет множество
его ребер, то такой подграф называется вершинно-порожденным. Заметим,
что множество ребер вершинно-порожденного подграфа является таким
максимальным подмножеством множества ребер графа, что концевые вершины всех этих ребер принадлежат подграфу.
На рисунке 14 изображены: (а) исходный граф; (б) собственный подграф;
(в) остовный подграф; (г) реберно-порожденный подграф; (д) вершиннопорожденный подграф.
§ 3.6. Операции над графами
67
v3
v2
v1
e3
e2
v1
e1
v4 e5
v5
v4
=
e4
e1
e2
e4
v6
v3
v2
v1
e3
v5
e5 v4
v6
Рис. 17
1)
Объединение
двух
графов
v3
v2
v1
=
e5
e1
e1
есть
граф
есть
граф
v1
e1
v6
v4 e6
v5
v4
G=(V, E)
v1
∩
e3
e2
и
G=(V, E)
v4
Рис. 16
S=(V∪V,E∪E).
v3
v2
v1
e3
e2
∪
e1
v1
v5
v4
v4
=
e5
e4
e5
v6
e6
e4 e2
e3
e1
e6
v6
v3
v2
v1
v5
v4
Рис. 15
На рисунке 15 показано объединение двух графов.
2)
Пересечение
двух
графов
и
G=(V, E)
G=(V, E)
S=(V∩V,E∩E). См. рис.16.
3) Кольцевая сумма двух графов GG есть граф, не имеющий изолированных вершин и состоящий только из ребер, присутствующих либо в G, либо в G, но не в обоих графах одновременно. Т.о. это ЕЕ ребернопорожденный граф. См. рис.17.
4) Относительное дополнение подграфа до графа – это граф, в который
входят те ребра основного графа, которых не было в подграфе, а множество
вершин совпадает с множеством вершин основного графа. См. рис.18.
5) Абсолютное дополнение – это дополнение до полного графа на том же
множестве вершин. Так для графа, изображенного в правой части равенства
v3
v2
v4
v1
v3
v3
v5
68
v2
\
v2
v4
=
v1
Рис. 18
v5
v1
v5
v2
v4
v1
Рис. 19
v5
на рис.18, абсолютное дополнение будет изображаться так, как показано на
рис.19.
6) Удаление ребра – ребро удаляется из графа, а инцидентные ему вершины остаются. См.рис.20.
e1
v1
v2
v1
v2
\ {e1} =
e2
v3
v4
e3
e2
v3
e3
v4
Рис. 20
7) Удаление вершины – вершина удаляется из графа вместе со всеми инцидентными ей ребрами. См. рис.21.
e1
v1
v2
e4
e2
v3
v4
e2
v1
e5
e1
\ {v4} =
e5
e3
v2
e2
v4
e4
e2
e6
e1
e6 e3
e5
e4
Рис. 22
v2
v3
Рис. 21
v5
v3
e1
v1
v2
v5 – это результат
e3
отождествления
v4
вершин v1 и v3.
8) Отождествление (замыкание) вершин – при замыкании двух вершин,
эти вершины удаляются из графа и заменяются одной новой, при этом ребра,
инцидентные исходным вершинам, теперь будут инцидентны новой вершине.
9) Стягивание ребра – ребро удаляется, а его концевые вершины отождествляются. На рисунке 23 последовательно стягиваются ребра е1, е3, е2.
§ 3.7. Маршруты, пути и циклы в графах
Маршрутом в графе G=(V, E) называется конечная последовательность
смежных ребер вида: (v0,v1), (v1,v2), (v2,v3), ,(vk-1,vk), или маршрутом можно
e2
v1
e1
e5
v2
e6 e3
e2
e6
e1
e5
v5
v3
e4
v4
e4
v2
e3
e3
v5
v469
e2
e6
e5
e4
Рис. 23
e6
e2
v6
e4
v7
e5
считать такую последовательность вершин: (v0,v1,,vk), что любая пара вершин (vi-1,vi), где 1 i k является ребром графа G. Такой маршрут называется
(v0-vk)–маршрутом, а вершины v0 и vk –начальной и конечной или терминальными вершинами маршрута. Все другие вершины маршрута называются
внутренними. Заметим, что ребра и вершины в маршруте могут повторяться.
Маршрут называется открытым, если его концевые вершины различны, и
замкнутым или циклическим в противном случае.
Открытый маршрут называют цепью, если все ребра в нем различны (вершины могут повторяться).
Цепь, в которой не повторяются вершины, называется путем (простой цепью).
Замкнутая цепь называется циклом, замкнутый путь – простым циклом (в
орграфе – контуром). Ребро графа называется циклическим, если в графе существует цикл, содержащий это ребро.
Неорграф без циклов называется ациклическим, орграф без контуров –
бесконтурным.
Длиной маршрута (пути, цикла) называется число содержащихся в нем ребер. Наименьшая из длин простых циклов называется обхватом графа.
Пример:
Для графа на рис.24: открытый маршрут: (v2,v4,v1,v2,v3,v4,v1)
Замкнутый маршрут: (v2,v3,v5,v4,v3,v2)
v3
Открытая цепь: (v2,v5,v1,v2,v4)
v2
v4
Замкнутая цепь (цикл): (v2,v4,v1,v2,v3,v5,v2)
Путь: (v2,v5,v1,v4,v3)
v1
Простой цикл: (v2,v5,v1,v3,v2). Обхват графа равен 3.
70
v5
Рис. 24
§ 3.8. Некоторые свойства маршрутов, путей и циклов
а) В пути все вершины, кроме терминальных, имеют степень 2, а терминальные – 1.
б) Любая вершина цикла имеет степень 2 или другую четную степень.
в) Число вершин в пути на единицу больше, чем ребер, а в простом цикле
число ребер равно числу вершин.
г) Если S – матрица смежности графа G, то (i,j)-ый элемент матрицы Sk равен числу (vi-vj)маршрутов длины k.
Пример: по заданной матрице смежности определить число маршрутов длины 3 между любой парой
вершин в графе.
Вычислим последовательно степени матрицы S.
0
1
S2 S S
0
1
0 0 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1
1
3
2
S S S
1
1
1 0 0 0
2 0 1 1
0 1 1 0
0 1 2 1
0 0 1 1
0 1 1 3
1 0 0 1
1 0 0 2
v1
S= v2
v3
v4
1 0 0
2 0 1
0 1 1
0 1 2
0 1 2
1 2 3
2 0 1
3 0 1
v1
0
1
0
1
v2
0
0
1
1
v3
0
1
0
0
v4
1
1
0
0
v4
v1
v2
v3
Рис. 25
Из полученной матрицы S3 следует, что имеется один (v1-v1)-маршрут длины 3, три (v2-v1)-маршрута длины 3, один (v3-v1)-маршрут длины 3, два
(v4-v1)-маршрута длины 3 и т.д.. Все маршруты легко восстанавливаются по
матрицам S3, S2 и S. Восстановим, например, (v3-v1)-маршрут: элемент S 33,1 ,
равный единице, был получен в результате умножения элементов S32, 4 и S 4 ,1 , в
свою очередь элемент S32, 4 получился путем умножения S3, 2 и S2, 4 . Тем самым, в формировании элемента S 33,1 участвовали элементы S3, 2 , S2, 4 и S 4 ,1
71
матрицы смежности, поэтому (v3-v1)-маршрут есть последовательность вершин (3,2,4,1). Наглядным подтверждением полученного решения является
рисунок 25.
§ 3.9. Связность и компоненты графа
Две вершины графа называют связанными, если между ними существует
путь. Любая вершина по определению связана сама с собой.
Неорграф называется связным, если любая пара вершин в нем связана. Орграф называется связным, если соответствующий ему неорграф связен. Орграф называется сильно-связным, если для любой пары несовпадающих вершин vi и vj существуют оба маршрута (vi-vj) и (vj-vi).
Бинарное отношение связности в неорграфе (сильной связности в орграфе)
является отношением эквивалентности на множестве вершин, поскольку оно
рефлексивно, симметрично и транзитивно. И по теореме о разбиении множества на классы эквивалентности, множество вершин графа можно разбить на
такие непересекающиеся подмножества, что в каждом из этих подмножеств
вершины будут попарно связаны между собой и не связаны с вершинами никаких других подмножеств. Вершинно-порожденные подграфы каждого из
подмножеств в этом разбиении называются компонентами графа (сильными
компонентами в орграфе). Таким образом, справедливо следующее утверждение: любой неорграф разбивается единственным образом на попарно непересекающиеся компоненты (или, как говорят, в прямую сумму своих компонент, а орграф – в прямую сумму сильных компонент).
3
4
7
3
4
9
1
2
5
6
8
Рис. 26
72
1
2
5
На рисунке 26 изображены два графа: неорграф (слева) связным не является и состоит из четырех компонент – {1,2,3}, {4,5}, {6,7,8} и {9}. Орграф (справа)
Рис. 27
связен, но не сильно-связен, имеет три сильные компоненты – {1,2,3}, {4} и {5}.
Свойства связных графов
1) Связный граф состоит из одной компоненты, а число компонент в несвязном графе всегда больше единицы.
2) Изолированная вершина является компонентой.
3) В связном графе любые два пути максимальной длины имеют общую
вершину.
4) Удаление циклического ребра не нарушает связности графа.
Связный граф без циклов называется деревом. Граф, каждая компонента
которого является деревом, называется лесом. На рисунке 27 изображен лес,
состоящий из двух деревьев.
Теорема 3.9.1. (Оценка числа ребер в простых графах)
Пусть G=(V, E) – простой граф с в вершинами и k компонентами. Тогда
число его ребер р удовлетворяет неравенству: в k р
в k в k 1
2
Доказательство: 1) рассмотрим левую часть неравенства. Если граф
связен, то число его компонент k равно 1. Удалим из графа все циклические
ребра, в результате этого будет получено дерево. Дальнейшее удаление ребер
из дерева будет нарушать связность. Поэтому среди всех связных простых
графов дерево имеет наименьшее число ребер. Но число ребер в дереве равно максимальной длине пути, построенного на в вершинах, и по свойствам
путей равно (в-1). Тем самым, в связном графе число ребер р в-1 , что совпадает с оценкой снизу при k=1. Пусть теперь G несвязный граф. Тогда он
73
разбивается на k связных компонент, для каждой из которых число ребер
рi вi-1, где i=1,2,,k и рi, вi – это число ребер и вершин в i-ой компоненте.
k
Но в вi и
i 1
k
р
i 1
i
р, а
k
1 k . Поэтому р в-k, и левая часть неравенства
i 1
доказана.
2) Теперь рассмотрим правую часть неравенства (оценку сверху). Если
граф связен, то добавим к нему новые ребра, соединяя все пары несмежных
вершин. В результате этого будет получен полный граф. Дальнейшее добавление ребер к полному графу будет нарушать его простоту. Поэтому среди
всех связных простых графов полный граф имеет наибольшее число ребер.
Для подсчета этого числа воспользуемся теоремой о степенях вершин в графе. Поскольку каждая вершина полного графа смежна со всеми остальными
его вершинами, то степень каждой вершины равна (в-1), а сумма степеней
всех вершин равна в(в-1). По теореме о степенях вершин это число равно
удвоенному числу ребер, поэтому число ребер в полном графе равно
в в 1
в в 1
. И число ребер в связном графе р
, что совпадает с оцен2
2
кой сверху при k=1. Пусть теперь G – несвязный граф. Тогда число ребер в
каждой i-ой компоненте рi
вi вi 1
. Однако, простое суммирование этого
2
неравенства по числу компонент, как это было сделано в первом пункте доказательства, ничего не даст, поэтому выполним над графом следующую
процедуру. Выберем произвольно две компоненты: i-ую и j-ую. Можно считать, что число вершин выбранных компонент вi вj > 1. Заменим i-ую компоненту на полный граф с числом вершин (вi +1), а j-ую компоненту – на
полный граф с числом вершин (вj -1). Общее число вершин в выбранных
74
компонентах при этом не изменится, а число ребер изменится на величину,
1 в 1 в 1 1 в в 1 1 в 1 в в 1 в 1 1
i
i
i
i
j
j
j
j
2
2
равную
1 вi2 вi вi2 вi 1 в 2j в j в 2j в j 2в j 2 вi в j 1 1
2
2
Таким образом, выполненная процедура только увеличивает число ребер.
Будем выполнять её над выбранными компонентами до тех пор, пока от j-ой
компоненты не останется одна изолированная вершина. Затем выберем другую пару компонент с числом вершин больше единицы в каждой. И выполним над этой парой такую же процедуру. И т.д. до тех пор, пока не будет получен граф, в котором с (k-1) компонента являются изолированными
вершинами и одна компонента – полный граф на (в-k+1) вершинах. Число
ребер в полученном графе равно 1 в k в k 1 , и оценка сверху дока2
зана.
Следствие. Любой простой граф с в вершинами и числом ребер, большим, чем 1 в 1 в 2 связен.
2
§ 3.10. Циклический и коциклический ранг графа
Цикломатическим числом или циклическим рангом графа называется
наименьшее число ребер, которое необходимо удалить из графа так, чтобы в
нем не осталось ни одного цикла. После такого удаления ребер из связного
графа будет получено дерево, называемое остовным деревом или остовом
графа (в случае несвязного графа – остовный лес). Заметим, что число вершин в остове совпадает с числом вершин графа. Относительное дополнение
остова до исходного графа образует так называемое ко-дерево (ко-лес) для
данного остова. Ребра остова называют ветвями, а ребра ко-дерева (ко-леса)
(а)
(б)
Рис. 28
75
(в)
– хордами.
На рисунке 28 (а) изображен несвязный граф, а на рисунках (б) и (в) его
остовный лес и соответствующий ему ко-лес.
Обозначим цикломатическое число графа (G), число ребер р, число вершин в и число компонент k. Тогда из определения цикломатического числа
следует, что р - (G) = в –1 для связного графа и р - (G) = в – k для несвязного графа. Отсюда (G) = р - в+1 для связного и (G) = р - в+k для несвязного
графов соответственно. Цикломатическое число характеризует связность
графа или, как говорят, является мерой связности. Заметим также, что число
хорд в ко-лесе равно (G).
Нетрудно установить, что цикломатическое число дерева равно нулю, а
простого цикла – единице.
Число ветвей в остове (в – k) называют коциклическим рангом графа или
рангом разреза и обозначают *(G). Заметим, что (G) +*(G)= р.
Разделяющим множеством простого графа называют такое подмножество
его ребер, удаление которого увеличивает число компонент графа.
Разрезом (коциклом) в графе называется такое разделяющее множество,
никакое собственное подмножество которого не является разделяющим. Таким образом, удаление разреза из графа увеличивает число его компонент в
точности на единицу. Если разрез состоит из единственного ребра, то он
называется перешейком или мостом.
3
1 5 6
7
8
2
Рис. 29
Для графа на рисунке 29 множества ребер {1,2,5} и
4
{3,4,6,7,8} являются разделяющими множествами. А множества {1,2} и {3,6,7,8} – разрезами.
Следующая теорема устанавливает связь между остовами и
разрезами, а также между ко-лесом и циклами в графе.
76
Теорема 3.10.1. Пусть Т – остовный лес графа G, а K – соответствующий ему ко-лес. Тогда (а) всякий разрез в G имеет общее ребро с Т, и
(б) каждый цикл в G имеет общее ребро с K.
Доказательство: (а) Пусть С – разрез графа G, удаление которого разбивает одну из компонент графа на два подграфа Н и Р. Поскольку Т –
остовный лес, то в нем обязательно содержится ребро, соединяющее некоторую вершину из Н с некоторой вершиной из Р. Это и есть ребро разреза С.
(б) Пусть теперь С – цикл в G, не имеющий общих ребер с К. Тогда из
определения ко-леса К следует, что все его ребра С должны содержаться в Т,
а это невозможно, т.к. в Т нет циклов.
Связь между циклами и разрезами устанавливается следующей теоремой.
Теорема 3.10.2. Любой цикл и любой разрез связного графа имеют
четное число общих ребер.
Доказательство: пусть С – цикл и S – разрез в графе G. Удаление ребер
S из G разбивает его на два связных подграфа Н и Р. Если цикл С содержится
полностью в одном из этих подграфов, то число общих ребер С и S равно нулю, что не противоречит четности. Если же С не содержится целиком ни в Н,
и ни в Р, то число общих ребер должно быть больше нуля. Будем передвигаться по циклу, начиная из вершины v1Н. Тогда, перемещаясь в Р, мы
должны будем пройти через ребро, принадлежащее S, но т.к. движение по
циклу должно закончиться в v1, то существует обратное ребро из Р в Н, также принадлежащее S. А это возможно только в том случае, когда С и S имеют четное число общих ребер.
§ 3.11. Фундаментальные циклы и разрезы
Пусть Т – остов графа и К – соответствующий ему ко-лес.
Если добавить к Т любую хорду hК, то получим единственный цикл, который называется фундаментальным циклом относительно хорды h. Понят-
77
но, что все циклы, получаемые таким способом, т.е. путем добавления к Т
различных хорд из К, попарно различны и их число равно числу хорд в К, и
равно (G). Множество всех фундаментальных циклов относительно хорд К
называется фундаментальной системой циклов относительно остова Т.
На рисунке 30 (а) и (б) изображен граф и его остов, а на рисунке 30 (в) –
фундаментальная система циклов относительно этого остова.
2
1
3
5
(а)
2
4
3
1
2
5
(б)
4
1
2
5
3
5
3 2
5
(в)
4
3
4
Рис. 30
Если удалить из Т любую ветвь b, то одна из компонент Т разобьется на
две новые компоненты, каждая из которых является деревом. Обозначим
множества вершин новых компонент V1 и V2. Заметим теперь, что хорды из
К, соединяющие вершины из V1 и V2, в совокупности с ветвью b образуют
разрез графа G. Этот разрез называется фундаментальным разрезом относительно ветви b остова Т. Множество всех разрезов, полученных таким
способом, т.е. удалением по отдельности каждой ветви из Т, называется фундаментальной системой разрезов относительно остова Т. Очевидно, что
все разрезы в этом множестве попарно различны и их число совпадает с числом ветвей в Т и равно (в-k).
2
2
3
2
3
На рисунке 31 изоб-
3
ражены
1
(а)
5 1
5
(б)
4
5
(в)
4
5
Рис. 31
(г)
4
ные
фундаменталь-
разрезы
графа,
изображенного
на
рис.30(а), относительно его остова на рис.30(б). Рис. 31(а) – фундаментальный разрез относительно ветви (1,5); рис. 31(б) – ф.р. относительно ветви
78
(2,5); рис. 31(в) – ф.р. относительно ветви (3,5) и рис. 31(г) – ф.р. относительно ветви (4,5).
Важной особенностью фундаментальных циклов (разрезов) является то,
что любой цикл (разрез) в графе можно представить в виде кольцевой суммы
некоторых фундаментальных циклов (разрезов). В этом смысле они образуют базис подпространства всех циклов (разрезов) графа G.
§ 3.12. Специальные графы
Граф называется r-валентным или r-однородным, если любая его вершина
имеет степень, равную r.
Например, цикл является 2-валентным графом. На рисунке 32 (а) изображен 3-валентный граф Петерсона, графы Платоновых тел: (б)–куба,
(а)
(б)
(е)
(в)
(г)
(д)
Рис. 32
(в)-тетраэдра, (г)–додекаэдра, (д)–4-валентный граф октаэдра и (е)–5валентный граф икосаэдра.
Любой полный граф Кn, где n – число вершин, является (n-1)-регулярным.
Граф G=(V, E) называется двудольным, если множество его вершин V
можно разбить на два непересекающихся
V1
V2
K4,3
Рис. 33
подмножества V1 и V2, что каждое ребро
графа имеет одну концевую вершину в V1, а
вторую в V2. См. рис.33 слева. При этом не
обязательно, чтобы каждая пара вершин из V1 и V2 была соединена ребром.
Если же это так, то граф называется полным двудольным графом и обознача-
79
ется обычно Km,n, где m и n – число вершин в V1 и V2 соответственно. См.
рис.33 справа.
В полном двудольном графе число вершин равно m+n, а число ребер mn.
Полный двудольный граф вида K1,n называется звездным.
Граф G=(V, E) называется k-дольным, если множество его вершин V можно разбить на k попарно непересекающихся подмножеств V1, V2,, Vk, что
любое ребро имеет одну концевую вершину в Vi, а вторую в Vj, где ij. Полным k-дольным графом называется такой k-дольный граф, что любая вершина Vi смежна с любой вершиной из Vj, где ij и i, j=1,2,,k.
Объединение звездного графа K1,n-1 и цикла Cn-1 называется колесом и обозначается Wn.
§ 3.13. Эйлеровы графы
Знаменитая задача Эйлера о Кёнигсбергских мостах, сформулированная на
языке графов в 1736 г., дала начало математической теории графов. Это игровая задача, суть которой заключается в следующем: в городе Кёнигсберге
на реке Преголя имеется два острова, которые соединяются
между собой и берегами семью мостами, как показано на
рис.34. Прогуливаясь по городу и начиная движение из любой
Рис. 34
точки, требуется пройти по каждому мосту ровно по одному
разу и вернуться в исходную точку.
Сопоставим каждому участку суши вершину графа, а кажB
дому мосту – ребро. Тогда «план города» будет выглядеть
C
D
A
Рис. 35
так, как показано на рис.35. И задачу можно теперь переформулировать для графов: найти в связном графе такую замкну-
тую цепь, которая проходит через каждое его ребро или, как говорят, покрывает все ребра графа. Такая цепь называется эйлеровой цепью или эйлеровым
циклом, а графы, в которых такая цепь существует, называются эйлеровыми
80
графами. Очевидно, что граф, изображенный на рис.35, эйлеровым не явля2
1
3
10 9
11 6
8
7
12
4
5
Рис. 36
ется. Граф на рисунке 36 – эйлеров, и соответствующая
эйлерова цепь – это последовательность ребер (1,2,,12).
Граф называется полуэйлеровым, если в нем существует открытая эйлерова цепь, т.е. цепь, покрывающая все
ребра графа, у которой начальная и конечная вершины не совпадают. И,
наконец, граф называется неэйлеровым, если в нем не существует ни открытой, ни замкнутой эйлеровой цепи. На рис.37 (слева) – полуэйлеров граф, на рис.37 (справа) – неэйРис. 37
леров граф.
Теорема 3.13.1. Связный граф является эйлеровым тогда и только
тогда, когда любая его вершина имеет четную степень.
Доказательство: (а) пусть граф является эйлеровым и С – эйлеров
цикл. Тогда, проходя по ребрам С через любую вершину графа, мы увеличиваем её степень на 2, но т.к. каждое ребро графа встречается в С ровно один
раз, то степень каждой вершины будет четным числом.
(б) Пусть теперь каждая вершина графа имеет четную степень, т.е.
deg(vi)2 для любого номера вершины i. Следовательно, в графе нет висячих
вершин, и он не является деревом. Поэтому в графе должен быть хотя бы
один цикл, пусть это С1. Рассмотрим граф G1=G \ C1. Каждая вершина G1
должна иметь четную степень, так как все вершины C1 имеют степень 2. Однако, возможно, что G1– несвязный граф. Если G1 состоит только из изолированных вершин, т.е. deg(vi)=0 для любого i, то цикл C1– эйлеров и теорема
доказана, если же это не так, то каждая компонента G1– является связным
графом с вершинами четной степени, и в каждой компоненте существует хотя бы один цикл. (Можно считать, что G1 состоит из изолированных вершин
и одной связной компоненты). Пусть это циклы C21 ,C22 ,,C2k. Рассмотрим
81
k
теперь граф G2=G1 \ C2 , где C2= i1 C2i . Так же, как и раньше степень каждой
вершины графа G2– четная, либо равна нулю. Если G2 состоит только из изолированных вершин, то в графе имеется эйлеров цикл, который можно получить так: идем по ребрам цикла C1 до тех пор, пока не встретим вершину,
принадлежащую какой-нибудь компоненте графа G1 (такие вершины обязательно есть, т.к. исходный граф связный). Далее идем по циклу этой компоненты, а затем снова продолжаем двигаться по ребрам C1, пока не встретим
вершину следующей компоненты и переходим на ребра цикла этой компоненты, затем опять движемся по C1 до следующей компоненты и т.д., обойдем все ребра графа в точности по одному разу и вернемся в исходную вершину. Если G2 имеет неизолированные вершины, то они образуют связные
компоненты, в каждой из которых есть по крайней мере один цикл
k
C31,C32,,C3k. Далее рассмотрим граф G3=G2 \ C3, где C3= i1 C3i . Если G3 состоит только из изолированных вершин, то теорема доказана, и по описанной процедуре можно указать эйлеров цикл. В противном случае удаляем из
G3 все циклы и действуем так до тех пор, пока не будет получен граф, состоящий только из изолированных вершин.
Следствие 1: семейство ребер эйлерова графа можно разбить на непересекающиеся по ребрам циклы.
Следствие 2: каждая вершина эйлерова графа содержится хотя бы в одном цикле.
Теорема 3.13.2. В любом связном графе с 2k нечетными вершинами
имеется семейство из k цепей (не пересекающихся по ребрам), которые в совокупности покрывают все ребра графа.
Доказательство: обозначим нечетные вершины: A1, A2, , Ak, B1, B2, ,
Bk – всего 2k вершин. Добавим к графу k ребер (A1, B1), (A2, B2),, (Ak, Bk).
82
Теперь все вершины имеют четную степень, и существует эйлеров цикл.
Удаляя добавленные k ребер, мы разобьем этот цикл на k цепей, содержащих
все ребра исходного графа.
Следствие. Граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда в
нем имеется ровно две вершины нечетной степени. Очевидно, одна из этих
вершин будет начальной для открытой эйлеровой цепи графа, а другая – конечной.
Рассмотрим алгоритм Флёри построения эйлеровой цепи в эйлеровом графе.
Пусть G – эйлеров граф, тогда следующая процедура всегда возможна и
приводит к эйлеровой цепи графа G. Выходя из произвольной вершины,
идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая лишь следующие
правила: 1) стираем ребра по мере их прохождения и стираем также изолированные вершины, которые при этом образуются; 2) на каждом этапе идем
по мосту только тогда, когда нет других возможностей.
§ 3.14. Гамильтоновы графы
В 1859г. ирландский математик сэр Уильям Гамильтон придумал игру–
головоломку. Основой её был правильный додекаэдр, сделанный из дерева.
Каждая вершина этого додекаэдра была помечена названием одного из
крупных городов (Брюссель, Франкфурт, Дели и т.д.). Задача состояла в
нахождении пути вдоль ребер додекаэдра, проходящего через каждый город
в точности по одному разу.
Сопоставляя додекаэдру его граф, см. рис.32(г), ту же задачу можно переформулировать так: найти на графе замкнутый путь, проходящий через все
вершины графа (или покрывающий все вершины графа). Такой путь называется гамильтоновым циклом, а графы, в которых он имеется, называются га-
(а)
83
(б)
Рис. 38
(в)
мильтоновыми. Если путь, покрывающий все вершины графа, не замкнут, то
граф называется полугамильтоновым.
На рис.38(а) изображен негамильтонов граф, 38(б) – полугамильтонов и
38(в) – гамильтонов граф. Заметим, что гамильтонов цикл, вообще говоря, не
покрывает всех ребер графа, поскольку в каждой вершине он проходит в
точности по двум ребрам.
Хотя между эйлеровыми и гамильтоновыми графами имеется некоторая
аналогия, однако, теории для них имеют мало общего. И трудность этих двух
задач различна. Для гамильтоновых графов нет такого простого критерия,
как для эйлеровых. Имеются лишь достаточные условия того, чтобы простой
граф был гамильтоновым. Одним из них является теорема Дирака.
Теорема 3.14.1. (Дирака) Если в простом графе с n вершинами (n3)
степень любой вершины больше, либо равна n/2, то граф является гамильтоновым.
Теорема 3.14.2. Если в простом графе с n вершинами (n3) для любой пары несмежных вершин vi, vj выполняется условие deg(vi)+deg(vj)n, то
граф является гамильтоновым. (Если deg(vi)+deg(vj)n-1, то граф – полугамильтонов.)
Классическим примером задачи поиска гамильтоновых циклов является
известная задача о коммивояжере (странствующем торговце). Коммивояжеру
необходимо посетить несколько городов, расстояния между которыми известны. Нужно найти кратчайшую дорогу, проходящую через все пункты и
возвращающуюся в исходный пункт. Здесь каждому городу сопоставим вершину графа, дороге между городами – ребро. Ребру приписываем заданное
расстояние, которое, очевидно, можно рассматривать как функцию двух
вершин f(vi,vj). Если вершины vi,vj несмежны, то f(vi,vj)=. Таким образом,
84
длина гамильтонова цикла L= i0 f (vi , vi1 ) . Найти цикл, для которого L миn1
нимальна. Не известно до сих пор никакого эффективного алгоритма для
решения этой задачи. Для конечного случая её можно решить простым перебором. Отметим, что для полного графа на n вершинах существует
(n 1)!
2
гамильтоновых циклов, т.е. сложность задачи очень быстро возрастает с ростом числа вершин.
§ 3.15. Планарные графы
Укладкой графа на произвольной поверхности называется такое изображение его на этой поверхности, что ребра графа пересекаются только в его
вершинах. Сферической укладкой называется укладка графа на сфере. Плоской укладкой называют укладку графа на плоскости.
Граф, имеющий плоскую укладку, называется плоским. Граф, изоморфный
плоскому, называется планарным. На рис.39
(а)
(а) изображен планарный граф, (б) и (в) –
(б)
(в)
Рис.39
две его плоские укладки.
Теорема 3.15.1. Любой
простой
планарный граф можно уложить на плоскости так, чтобы его ребра были
прямолинейными отрезками.
Укладка графа на плоскости равносильна его укладке на сфере, поскольку
существует взаимно–однозначное соответствие точек сферы и плоскости,
устанавливаемое стереографической проекцией.
Два основных непланарных графа: полный граф К5 и полный двудольный
граф К3,3 называют графами Куратовского.
Теорема 3.15.2. Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, стягиваемого к одному из графов Куратовского.
85
Укладка планарного графа на плоскости делит её на области,
g2
g3
называемые гранями. Если грань имеет конечную площадь,
Рис. 40
назовем её конечной, иначе – бесконечной гранью. На рис.40 ко-
g1
g4
нечные грани – это g1, g2, g3, а g4 – бесконечная грань. Соотношение между
числом вершин, ребер и граней в планарном графе было установлено Эйлером.
Теорема 3.15.3. (Формула Эйлера) Если связный граф планарен и
имеет v вершин, r ребер и g граней, то v – r + g = 2.
Доказательство проводится индукцией по числу ребер.
Пусть r=0. Тогда в планарном связном графе имеется только одна вершина
и одна бесконечная грань. И утверждение теоремы верно.
Пусть теперь теорема верна для любого связного планарного графа с (r -1)
ребрами. Добавим к графу еще одно ребро е. При этом возможно три случая:
а) е – петля, тогда число вершин остается неизменным, число граней увеличивается на единицу, и, поскольку число ребер также увеличилось на единицу, формула остается верной;
б) е соединяет две различные вершины графа. Тогда одна из граней расщепляется на две, добавляя единицу к g. Число вершин неизменно, а число
ребер увеличилось на единицу. И теорема верна.
в) е – висячее ребро. Тогда число вершин увеличивается на единицу, число
граней остается прежним и, поскольку число ребер также увеличилось на
единицу, формула снова верна.
Следствие 1. Пусть G – планарный граф с v вершинами, r ребрами, g
гранями и k компонентами. Тогда v – r + g = k +1.
Доказательство. Применяя теорему Эйлера для каждой отдельной
компоненты, получим: (*) vi – ri + gi = 2, где i=1,2,,k – номер компоненты.
86
k
k
i 1
i 1
При этом v vi , r ri . И, поскольку для каждой компоненты учитываk
ется бесконечная грань, то общее число граней g gi k 1 . Просуммируi 1
ем
(*)
по
числу
компонент:
k
k
k
k
v r g 2 .
i 1
i
i 1
i
i 1
i
Отсюда
i 1
v r g k 1 2k или v r g k 1. И утверждение доказано.
Следствие 2. Если G – связный простой планарный граф с r ребрами, g
гранями и v вершинами, где v 3 , то r 3v 6 .
Доказательство. По теореме о степенях вершин в графе
v
deg(v ) 2r .
i 1
i
Заметим, что каждое ребро ограничивает не более двух граней. Назовем степенью грани число ребер на её границе. Заметим, что понятие степени грани
аналогично понятию степени вершины, в связи с чем можно сформулировать
аналогичное утверждение о степенях граней:
g
deg( g ) 2r ,
i 1
i
где gi – i-ая
грань. Поскольку граф простой, т.е. не имеет петель и параллельных ребер, и
число вершин v 3 , то степень каждой грани также должна быть больше,
либо
равна
g
deg( g ) 3g
i
i 1
трем.
Т.е.
deg(gi)3
для
любого
i=1,2,,g.
Поэтому
и отсюда 2r 3g . Но из теоремы Эйлера число граней
g r v 2 . Т.о. 2r 3r v 2 и отсюда 3v 6 r , что и требовалось дока-
зать.
Следствие 3. Графы Куратовского K5 и K3,3 не являются планарными.
Доказательство. Число ребер в K5 равно 10, число вершин – 5. И по
следствию 2 получим: 910, что не верно. Поэтому K5 не может быть планарным. Для графа K3,3: r=9, v=6, а число граней по теореме Эйлера должно
быть равно 9-6+2=5. Заметим, что в графе K3,3 нет циклов, короче 4. Поэтому
87
степень каждой грани deg( g i ) 4 и
g
deg( g ) 2r
i 1
i
g
deg( g ) 4 g .
i 1
i
С другой стороны
и отсюда 2r 4 g . Т.е. 2 9 4 5 , что не верно. Поэтому K3,3
не может быть планарным.
Следствие 4. В любом простом планарном графе имеется по крайней
мере одна вершина степени не более 5.
Доказательство. Пусть граф имеет r ребер и v вершин. Если степень
v
каждой вершины больше 5, то по теореме о степенях вершин 2r 5 , т.е.
i 1
2r 5v или 2r 6v . Отсюда r 3v , что противоречит следствию 2, где
r 3v 6 . Поэтому не все вершины графа имеют степень больше 5, и в графе
имеется вершина, степень которой меньше, либо равна пяти.
Свойства планарных графов используются в электротехнике. Части электрических цепей, наносимые на одну сторону непроводящей пластины, назовем «печатными схемами». Графы, соответствующие печатным схемам
должны быть планарными, поскольку проводники не изолированы и не
должны пересекаться. При производстве электрических схем радиоэлектронных устройств путем печатного монтажа важно знать, сколько понадобится печатных схем для комплектования всей электрической сети устройства. Наименьшее число планарных графов, объединение которых даст граф
всей сети, называется толщиной графа. Толщина графа эквивалентна числу
скрещиваний проводников и является мерой его непланарности. Так толщина планарного графа равна 1.
Из следствия 2 теоремы Эйлера получается оценка снизу для толщины
r
графа, а именно: толщина простого графа T (G )
, где r и v – число
3v 6
ребер и вершин в графе, а фигурные скобки обозначают ближайшее справа
88
целое число. Эта оценка довольно грубая, но, тем не менее, с помощью неё
часто можно получить точные результаты. Так, например, для полного графа
K5 толщина, равная 2, полученная по этой оценке, является истинным значением.
89
Задачи и упражнения
1. Даны множества: А={ 2; 5; 8}; B={ a; b; c }, C=( 2; 5 ]. Найти: 1) AB;
2)AC; 3)AB; 4)AC; 5)A \ C; 6)C \ A; 7)AC; 8)AB; 9) AC
(нарисовать); 10) С .
2. Найти 1)
M
nN
n
,
M
nN
n
– объединение и пересечение по всем натуральным
индексам n для множеств: (а) Mn={ xℝ: |x|n };
1
1
(б) Mn={ xℝ: x ; 1 ; (в) M n = {x ℝ : x n}.
n
n
3. Найти
Ar , Ar –
rR
объединение и пересечение по всем вещественным
rR
индексам r для множеств:
а
Ar x R : x r ;
б
Ar x R : x r ;
в
Ar x R : x 2 r 2 ;
г
Ar x R : x 2 r 2 ;
д
Ar x R : x 2 r 2 ;
e
Ar x R : x 2 r 2 ;
з
Ar x R : x 2 r 2 1 ;
ж
Ar x R : x 2 r 2 1 ;
и
Ar x, y R 2 : x 2 y 2 r 2 ;
к
Ar x, y R 2 : x 2 y 2 r 2 ;
л
Ar x, y R 2 : rx y 0 ;
м
Ar x, y R 2 : rx y 0 .
4. Докажите тождество двумя способами: а)используя диаграммы Эйлера–
Венна; б) используя только определения операций над множествами.
а
A A A A A, A A ;
б
A B B A, A B B A, A B B A ;
в A B C A B C , A B C A B C ,
A B C A B C
г A B C A B A C , A B C A B A C ,
A B C A B A C ;
90
д A B A B, A B A B ,
A \ B C A \ B A \ C, A \ B C A \ B A \ C ;
e A B \ C A B \ A C A B \ C ;
ж A B \ C A \ C B \ C ;
з A \ B \ C A \ C \ B \ C ;
и A \ B \ C A \ B A C .
5. Доказать, что
a
A B A B ;
б A B A B A B;
в A B C B C A A C B .
6. Определить операции , , \ через: (а) , ; (б) , ; (в) , \ .
7. Доказать, что нельзя определить: (а) \ через и ; (б) через и \ .
8. Найти число различных собственных разбиений множества, состоящего
из четырех элементов.
Собственным разбиением множества A называется такое его разбиение на
непустые и попарно непересекающиеся подмножества A , A , , что
A A A , и при этом количество этих подмножеств более одного.
9. Найти число различных двухэлементных подмножеств множества, состоящего из четырех элементов. Сколько подмножеств из k элементов имеет
множество, состоящее из n элементов (k n) ?
Решить систему уравнений:
10.
a
A X B
, где A, B и C данные множества и B A C ;
A X C
б
A \ X B
, где A, B и C такие, что B A, A C ;
X
\
A
C
в
A\ X B
, где A, B и C такие, что B A C ;
A
X
C
91
A X
Показать, что система уравнений
имеет решение тогда и
B X
11.
только тогда, когда B A ; при этом условии решением системы является
любое множество X такое, что B X A .
A X B X
При каких А, В и С системы имеют решение? a
A X C X
12.
A \ X X \ B
X \ A C \ X
б
A X B \ X
C X X \ A
в
Выписать все элементы декартового произведения трех множеств:
13.
A 1, 1; B a, b, c; C 0, 2 .
Найти
14.
геометрическую
интерпретацию
следующих
множеств:
(а) [a,b][c,d], где [a,b] и [c,d] – отрезки вещественной оси; (б) [a,b]2;
(в) [a,b]3; г a, b A, где A x, y : x 2 y 2 1, x, y R ; д R n .
Сколько элементов в декартовом произведении пяти конечных мно-
15.
жеств, состоящих из k1, k2, k3, k4 и k5 элементов?
Сколько различных последовательностей длины 5 можно составить из
16.
элементов множества {-1, 0, 1}?
Каково должно быть разбиение конечного множества A на два непу-
17.
стых и непересекающихся подмножества A1 и A2, чтобы декартово произведение A1 A2 имело наибольшее число элементов?
Доказать, что a A B C A C B C ;
18.
б
A B C A B A C ;
г
A B \ C A B \ A C ;
в A \ B C A C \ B C ;
д A B C D A C B C A D B D ;
e U 2 \ A B U \ A U U U \ B
ж A B C D A C B D
92
19.
Доказать, что A B C D A C B D . При каких A, B, C и
D получается равенство?
20.
Даны две числовые функции: f(x)=3–x; g(x)=x2–4. Найти: 1) f g ;
2) g f ; 3) f 1 ; 4) g 1 ; 5) f g ; 6) g f . Для множеств A=[–0.5; 2] и
1
1
B=[0; 5] найти f(A), g(A), f–1(B), g-1(B). Найти также неподвижные точки
отображений f и g.
21.
Отображение множества натуральных чисел в себя задано следующим
законом:
10 n, если n 10
, где n– любое натуральное число.
f ( n)
4
n
,
если
n
10
Найти образ f(ℕ) множества всех натуральных чисел.
22.
Найдите область определения, область значений бинарного отношения
Р. Определите, является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным,
симметричным, антисимметричным. (а) P={(x,y): x2=y, где x и y – натуральные числа}; (б) P={(x,y): x2+y2=1, где x и y – целые числа }
23.
Даны два множества: А={ a,b,c } и B={ 1,2,3,4 } и два бинарных отно-
шения: Р1АВ и Р2В2, где Р1={ (a,1); (a,2); (b,3); (b,4); (c,3); (c,4) } и
P2={ (1,1); (1,4); (2,1); (2,2); (2,4); (3,3) }. Найдите: Р1-1, Р2-1, (Р2Р1),
(Р2Р1)-1, (Р1-1Р2-1). Определите, является ли отношение Р2 рефлексивным,
транзитивным, симметричным, антисимметричным.
24.
Выясните, какими свойствами обладает действие:
(а) умножение на множестве натуральных чисел;
(б) вычитание на множестве натуральных чисел;
(в) сложение на множестве натуральных чисел.
25.
Определите, какими свойствами обладают действия обычного сложе-
ния и умножения, заданные на множестве М, образует ли множество М
93
группу относительно какого-нибудь из этих действий, если множество М
(а) { –1, 0, 1}; (б) { –1, 1}.
26.
Определите, образует ли множество М={ 0, 1 } группу относительно
0, если x y
следующего действия: x y
, где x и yM.
1
,
если
x
y
27.
Составьте таблицу Кэли для сложения и умножения классов вычетов
по модулю 5. Классифицируйте данную алгебраическую систему. Найдите
порождающий элемент мультипликативной группы этой системы.
28.
Введя необходимые обозначения, запишите мат-
рицу смежности и матрицу инциденций для графа,
изображенного на рис.41.
29.
Найдите число ребер в абсолютном дополнении
Рис.41
графа на рис.41. Нарисуйте это дополнение.
30.
Определите степень каждой вершины в графе на рис.41 и число марш-
рутов длины 3 между любой парой вершин.
31.
Определите циклический и коциклический ранг графа на рис.41, нари-
суйте один из его остовов, изобразите соответствующее этому остову кодерево, а также систему фундаментальных циклов и систему фундаментальных разрезов относительно выбранного остова.
32.
Определите, является ли граф на рис.41 эйлеровым или полуэйлеро-
вым. И, если это так, то найдите в графе эйлерову или полуэйлерову цепь
соответственно. Определите также, является ли этот граф гамильтоновым,
и укажите гамильтонов путь, если это так.
33.
Определите, является ли граф на рис.42 планарным. И, если
это так, то нарисуйте какую-нибудь его плоскую реализацию.
94
Рис.42
Список литературы
1. В.Н. Нефедов, В.А. Осипова «Курс дискретной математики». М., МАИ,
1992.
2. Я.М. Ерусалимский «Дискретная математика». М., Вузовская книга, 2001.
3. С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова «Элементы дискретной математики»,
Москва, ИНФРА-М, 2002.
4. О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский «Дискретная математика для
инженера». М., «Энергия», 1980.
5. Ф.А. Новиков «Дискретная математика для программистов». СПб: Питер,
2001.
6. И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов». М., Физматлит, 2002.
7. Е.С. Ляпин, А.Я. Айзенштат, М.М. Лесохин. «Упражнения по теории
групп». М., Наука, 1967.
8. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев «Алгебра и теория чисел». М., «Просвещение»,
1974.
9. Дж.Л. Келли «Общая топология». М., «Наука», 1968.
10. Н. Бурбаки «Теория множеств». М., «Мир», 1965.
11. П.С. Александров «Введение в общую теорию множеств и функций», М.,
ОГИЗ Гостехиздат, 1948.
12. Р. Уилсон «Введение в теорию графов». М., «Мир», 1977.
13. М. Свами, К. Тхуласираман «Графы, сети и алгоритмы». М., «Мир»,
1984.
14. О. Оре «Теория графов». М., «Наука», 1980.
95
Наталья Дмитриевна Бовда
Дискретная математика
Курс лекций
Часть I
Учебное пособие
Редактор Е. М. Марносова
Темплан 2005г. , позиция №
Лицензия ИД № 04790 от 18.05.2001
Подписано в печать
Формат 60х84 1/16
Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. – 5,58
Уч.-изд.л. 5,76
Тираж 300 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет
400131, Волгоград, просп. им. В.И.Ленина, 28
РПК «Политехник» Волгоградского государственного
технического университета
400131, Волгоград, ул. Советская, 35
