Помехоустойчивое кодирование Вероятность ошибочного декодирования Модель двоичного симметричного канала p p p 1 p P p 1 p Замечание Чтобы гарантировать обнаружение до s ошибок, минимальное расстояние Хэмминга в блоковом коде должно быть dmin = s + 1. Геометрическая интерпретация нахождения dmin при обнаружении ошибок Замечание Чтобы гарантировать исправление до t ошибок, минимальное расстояние Хэмминга в блоковом коде должно быть dmin = 2t + 1. Геометрическая интерпретация нахождения dmin при исправлении ошибок Вероятность ошибки • Вероятность ошибочного слова веса i равна p (1 p) i n i • Вероятность ошибки веса i равна n i n i p (1 p) i Вероятность ошибочного декодирования • Ошибочное слово совпадает с некоторым кодовым словом (то есть вектор ошибки - кодовое слово) 1 2 2 Вероятность ошибочного декодирования Вероятность ошибочного декодирования Рош где Ai n A p (1 p) i i d min i – число кодовых слов веса i. n i Пример Данные кодируются (7,4)-кодом Хэмминга Канал с АБГШ, отношение сигнал/шум – 6дБ – это эквивалентно вероятности ошибки двоичного символа, равной 0,023. Скорость передачи – 16 кбит/сек Пример Решение. Кодовое слово будет передаваться без ошибок, если все 7 двоичных символов переданы верно. Pбезош (1 p) 7 (1 0,023) 7 0,85 Pош 7 0,0233 0,977 4 7 0,0234 0,977 3 0,0237 7,9 10 5 Вероятность ошибочного слова •Пример. Рассмотрим код с повторением C = {000, 111}. Вероятность правильного декодирования для слова 000 есть (1 - p)3 + 3p(1 - p)2, для слова 111 есть (1 - p)3 + 3p(1 - p)2. Тогда Perr (C) = 1 - ((1 - p)3 + 3p(1 - p)2) есть вероятность ошибочного слова. •Пример. Пусть p = 0.01, тогда Perr (C) = 0.000298 и лишь одно слово из 3555 дойдет до получателя с ошибкой. Вероятность ошибочного слова •Вероятность ошибочного слова t Рerr 1 Bi p (1 p ) i i 1 где Bi - количество ошибочных слов веса i. n i