расчет эл. цепей - Камышинский технологический институт

А. Г. Сошинов, А. В. Исаев, С. В. Поляков
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ
Z1
I1
а
I2
I4
Z2
U
I3
Uab
Z3
b
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ»
А. Г. Сошинов, А. В. Исаев, С. В. Поляков
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ
Учебное пособие
РПК «Политехник»
Волгоград
2006
1
УДК 621. 3. 049 (075. 8)
С 69
Рецензенты: Б. Х. Гайтов, Б. К. Сивяков
Сошинов А. Г., Исаев А. В., Поляков С. В. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ: Учеб.
пособие / ВолгГТУ, Волгоград, 2006. – 124 с.
ISBN 5-230-04865-4
Изложены основы теории линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами в установившемся режиме. В пособие включены
также примеры решения типовых задач по основным разделам теории
линейных цепей.
Предназначено для студентов, обучающихся по инженерно-техническим направлениям и специальностям факультета «Промышленные
технологии».
Ил. 119.
Табл. 2.
Библиогр.: 11 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Анатолий Григорьевич Сошинов, Андрей Викторович Исаев,
Сергей Владимирович Поляков
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ
Учебное пособие
Под редакцией авторов
Темплан 2006 г., поз. № 16.
Подписано в печать 17. 01. 2007 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 7,75. Усл. авт. л. 7,63.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
© Волгоградский
государственный
технический
университет, 2006
ISBN 5-230-04865-4
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие разработано в соответствии с принятыми государственными образовательными стандартами высшего профессионального
образования и учебными планами направлений подготовки бакалавров и
дипломированных специалистов технического профиля, которые в разделе общепрофессиональных дисциплин федерального компонента содержат курс «Электротехника и электроника».
В учебном пособии изложены основные теоретические основы и методы анализа линейных электрических цепей в установившихся режимах.
В состав пособия входит много примеров наглядно иллюстрирующих
каждый метод расчета.
Цель учебного пособия помочь студентам освоить методику расчета
линейных электрических цепей постоянного и переменного тока и способствовать глубокому пониманию явлений, происходящих в электрических цепях, а также в различных электротехнических устройствах.
В приложении приведены: лизинг расчета некоторых задач в
MathCAD и правила выполнения условных графических обозначений.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам заведующему кафедрой электротехники Кубанского государственного технологического университета, заслуженному деятелю науки и техники РФ,
профессору Б.Х. Гайтову и заведующему кафедрой электротехники и
электроники Саратовского государственного технического университета
профессору Б.К. Сивякову за предложения и замечания, которые были
учтены при подготовке учебного пособия к изданию.
3
1. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ, ЕЁ ЭЛЕМЕНТЫ И ПАРАМЕТРЫ
1.1. Электрический ток
Электрический ток – это явление направленного движения свободных носителей электрического заряда.
В качестве частиц способных переносить электрический заряд могут
быть либо электроны как, например, в металлах, либо ионы (заряженные
атомы и молекулы), как то, в электролитах и газах.
Опытным путем была установлено явление переноса электрическим
током частиц металла с одного электрода на другой. Это направление,
обратное направлению движения электронов, и было выбрано в качестве
положительного направления электрического тока в приемнике, т.е. от
«плюса» к «минусу».
Численно ток определяется как предел отношения количества электричества, переносимого заряженными частицами через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени t при  t  0 .
i  lim
 t 0
q
,
t
(1.1)
где  q  q   q  – сумма положительных и отрицательных зарядов,
переносимых в противоположные стороны через рассматриваемое поперечное сечение проводника. Ток измеряется в амперах [А].
Электрический ток может быть постоянным (направление тока не
изменяется) или переменным, т.е. меняющимся в зависимости от времени
по величине и направлению.
1.2. Напряжение
Электрический потенциал точки электрического поля – это физическая величина численно равная работе, совершаемой силами поля при
переносе единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Единица измерения – вольт [В]
d 
dA
.
q
(1.2)
При перемещении заряженных частиц из одной точки поля в другую
(из одного конца проводника в противоположный) силами поля совершается работа пропорциональная изменению электрического потенциала.
Поэтому, при решении задач важны не абсолютные значения потенциа4
лов точек поля, а разность потенциалов при этом выбор точки с нулевым
потенциалом определяется лишь удобством решения данной задачи.
Uab
а
b
i
Рис. 1.1. Участок электрической цепи
Напряжение – величина численно равная работе, совершаемой электрическим полем напряженностью Е при переносе единичного положительного заряда из точки а в точку b. Единица измерения – вольт.
b
u   Е dl .
(1.3)
a
Для участка цепи (рис.1.1) напряжение между точками a и b может
быть определено, как разность потенциалов  a и  b.
u ab  а  b .
(1.4)
За положительное направление напряжения приемника (падение
напряжения) принято от зажима с большим потенциалом к зажиму с
меньшим потенциалом.
Электрическое напряжение может быть как постоянным, так и переменным, то есть его величина может меняться во времени по абсолютному значению и направлению.
1.3. Мощность и энергия
При перемещении по участку электрической цепи элементарного
электрического заряда dq под действием напряжения u силами электрического поля совершается работа. Единица измерения – джоуль [Дж]
d A  u  dq .
(1.5)
Учитывая, что d q  i  d t , получим
d A  u  i  dt .
(1.5а)
Мощность – работа сил электрического поля по перемещению заряда dq, совершаемая за единицу времени:
р
dA
 u i.
dt
5
(1.6)
Единица измерения – ватт [Вт]. Мощность р величина алгебраическая и может быть положительной (при совпадающих по направлению 
U и i – одинаковые знаки перед действительной частью (пп. 2, 2.6)) или
отрицательной (если направления U и i противоположны). В первом случае (р > 0) элемент электрической цепи потребляет энергию (является
приемником), во втором (р < 0) – отдает энергию (является источником).
Энергия, поступившая в приемник за время от t1 до t2 , определяется
t2
W   рdt .
(1.7)
t1
Она может быть только положительной и измеряется в джоулях.
1.4. Пассивные и активные элементы электрической цепи
1.4.1. Резистор. Сопротивление электрическое
Резистором называется элемент электрической цепи (раздел 1.5), в
котором происходит необратимое преобразование электрической энергии
в тепловую.
Условное изображение резистора приведено на рис. 1.2.
R
..i
u
Рис. 1.2. Условное изображение резистора
Обозначение R применяют в электротехнике, как для обозначения элемента цепи, так и для количественной оценки сопротивления, равного отношению напряжения на данном элементе, к току, проходящему через него.
u
(1.8)
i
Эта формула определяет з а ко н Ом а , установленный в 1826г. Величина сопротивления измеряется в омах [Ом].
Величину обратную сопротивлению
R
1
(1.9)
R
называют проводимостью. Размерность проводимости – сименс
[См].
G

Направления синусоидальных токов и напряжений определяются по знаку перед действительной частью соответствующего комплекса.
6
Мощность (пп. 2.9.1), поступающая на резистор
рR  u i  R i2  G u 2 .
(1.10)
Одним из способов определения величины сопротивления является
определение параметра R как отношение мощности к квадрату тока, проходящего через него.
р
R  2R .
i
Электрическая энергия, поступающая в резистор R за время t и превращающаяся в тепло, равна
t
t
t
0
0
0
WR   р R dt   i 2 R dt   Gu 2 dt .
(1.11)
В общем случае электрическое сопротивление резистора зависит от
величины протекающего через него тока. Зависимость u = f (i) называется вольтамперной характеристикой элемента.
Реально все резисторы нелинейные, но с определенной степенью
точности или на отдельных участках вольт – амперной характеристики
резистор можно считать линейным, то есть имеет место линейная зависимость между напряжением и током.
1.4.2. Индуктивность. Катушка индуктивности
Индуктивная катушка – элемент электрической цепи, способный
накапливать энергию магнитного поля.
Потокосцеплением  (размерность – Вебер [Вб]) называется сумма
магнитных потоков (k), сцепленных (пронизывающих) с определенным
числом витков k:
   kk .
(1.12)
k
Индуктивность L – физическая величина, характеризующая способность индуктивного элемента накапливать энергию магнитного поля.
Обозначение L применяют в электротехнике и для обозначения самого
элемента.

.
(1.13)
i
Индуктивность всегда больше нуля и измеряется в генри [Гн].
В зависимости от вебер-амперной характеристики различают линейный (L= const)и нелинейный индуктивный элемент.
L
7
По закону электромагнитной индукции изменение потокосцепления
пронизывающего витки катушки индуктивности вызывает появление в
ней электродвижущей силы (ЭДС)
eL  
d
.
d t
(1.14)
Знак минус указывает на то, что по закону Ленца, ЭДС противодействует изменению потокосцепления, то есть ЭДС индукции противодействует изменению тока.
Для линейного индуктивного элемента:
di
.
dt
Падением напряжения на катушке индуктивности называется величина
e L  L
di
.
(1.15)
dt
Положительное направление uL совпадает по направлению с полоdi
жительным направлением i. Таким образом, uL пропорционально
.
dt
u L  e L  L
L
i
uL
eL
Рис. 1.3. Условное обозначение катушки индуктивности
На рис. 1.3 приведено условное обозначение элемента индуктивности L и положительного направления тока i, падения напряжения uL и
ЭДС самоиндукции eL .
Мгновенная мощность (пп. 2.9.1, 2.9.3), поступающая в катушку индуктивности, равна
di
.
(1.16)
dt
Мощность связана с процессом изменения энергии магнитного поля.
Энергия, накопленная в магнитном поле катушки индуктивности, начиная с момента времени t=0 при i=0
p L  u Li
рL  L i
или

ЭДС – работа сторонних сил по переносу положительного единичного заряда из одной
точки поля в другую (по проводнику).
8
t
t
L i2
0
0
2
WL   р L dt   L idi 

2
.
2L
(1.17)
1.4.3. Емкость. Конденсатор
Конденсатор – элемент электрической цепи, способный накапливать
энергию в электрическом поле. Конденсатор характеризуется емкостью
С.
Обозначение С применяют в электротехнике как для обозначения
элемента цепи, так и для количественной оценки емкости как отношения
заряда q к напряжению на этом элементе.
C
q
.
uC
(1.18)
Емкость измеряется в фарадах [Ф].
В общем случае зависимость заряда от напряжения на конденсаторе
нелинейная, то есть емкость зависит от напряжения. Если конденсатор
образован двумя пластинами, то изменение напряжения приложенного к
ним, вызывает изменение заряда на пластинах: к пластине, потенциал которой возрастает, поступит дополнительный положительный заряд, а к
пластине, потенциал которой снизится, поступит такой же отрицательный заряд.
Ток – производная заряда во времени
i
du
dq
C C .
dt
dt
du C 
Отсюда
(1.19)
1
idt .
C
Проинтегрировав, получаем
1 t
 idt ,
C 
1t
u с  u с 0   i dt .
C0
uC 
i
(1.20)
(1.21)
C
uc
Рис. 1.4. Условное обозначение конденсатора
Условное обозначение емкости и положительные направления тока и
напряжения приведены на рис. 1.4.
Мощность, поступающая в емкость, равна
9
p с  u сi  C u с
d uс
.
dt
(1.22)
Когда заряд положителен и возрастает, то ток положителен, и в емкость поступает электрическая энергия извне. Когда заряд положителен,
но убывает, т.е. ток отрицателен, то энергия, ранее накопленная в электрическом поле емкости, возвращается во внешнюю цепь.
Энергия электрического поля в произвольный момент времени t (при
условии, что при t=0 емкость не была заряжена) определится
t
uс
0
0
WC   Pс d t   Cu с d u с 
Cu с2 q 2

.
2
2C
(1.23)
1.4.4. Источник электродвижущей силы (ЭДС)
Идеализированный источник ЭДС – активный элемент электрической цепи, напряжение, на зажимах которого не зависит от протекающего
сквозь него тока. Величина работы, затрачиваемой сторонними силами на
перемещение единицы положительного заряда от зажима (–) к зажиму
(+), называется электродвижущей силой (ЭДС) источника и обозначается,
в общем случае, e(t). На рис. 1.5 приведена схема замещения реального
источника ЭДС. Внешняя характеристика источника постоянной ЭДС
(обозначается E) – зависимость выходного напряжения от тока в цепи,
представлена на рис. 1.6 (1а).
Стрелка источника ЭДС показывает направление возрастания потенциала. При этом условно положительное направление падения напряжения на источнике ЭДС будет встречным относительно стрелки. Идеализированный источник ЭДС – источник бесконечной мощности. При
U = const и неограниченном росте тока (короткое замыкание) I  
мощность Р  , так как Р = UI.
uЕ
iRвн
н
+
+
uЕ
i
e(t)
–
+
Rвн
–
Рис. 1.5. Схема замещения реального источника ЭДС
u
Uхх
2б
2a
1a
10
3
1б
Рис. 1.6. Внешняя характеристика источника ЭДС (1):
идеального (1а) и реального (1б); источника тока (2): идеального (2а) и реального (2б);
линеаризованный источник (3)
Для реального источника ЭДС характерно снижение величины выходного напряжения с ростом тока (рис. 1.6 кривая 1б). Это снижение
объясняется наличием у источника внутреннего сопротивления Rвн. Различают источники постоянного напряжения (ЭДС) и источники, напряжение на зажимах которых является функцией времени.
1.4.5. Источник тока
Идеализированный источник тока – активный элемент электрической цепи, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах.
Стрелка источника тока показывает направление протекания тока. При
этом условно положительное направление падения напряжения на источнике тока будет встречным относительно стрелки (рис. 1.7).
Идеализированный источник тока – источник бесконечной мощности (рис. 1.6 кривая 2а).
i
ui
–
+
i
iвн
+
I
i(t)
Рис. 1.7. Идеальный источник тока
u
Gвн
Рис. 1.8. Схема замещения
реального источника тока
При неограниченно большом сопротивлении цепи (имеется разрыв
внешней цепи R  ) и I = const мощность Р = I2R бесконечно увеличивается, то есть Р  . Для реального источника тока характерно снижение величины тока с ростом сопротивления во внешней цепи (рис. 1.6
кривая 2б). Это снижение объясняется наличием у источника внутренней
проводимости Gвн. Различают источники постоянного тока (обозначение
J) и источники, ток которых есть функция времени (обозначение i(t)).
11
Во многих практических расчётах используется так называемый линеаризованный источник – источник, вольтамперная характеристика которого представляет собой прямую проведенную через две точки, соответствующие работе источника в режиме холостого хода (I = 0, U = Uxx) и
в режиме которого замыкания (U = 0, I = Iк) (рис. 1.6 кривая 3).
1.5.
Электрическая цепь и электрическая схема
Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов,
образующих пути для протекания электрического тока.
Элемент электрической цепи – отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи и выполняющее в ней определенную функцию.
Активные элементы электрических цепей – источники электрической энергии, преобразующие в электрическую энергию другие виды
энергии (механическую, химическую и др.).
Пассивные элементы электрических цепей – элементы электрической
цепи, преобразующие электрическую энергию в другие виды энергии.
Все элементы электрических цепей разделяют на две группы: линейные и нелинейные.
Ветвь
Узел
Контур
Контур
Контур
Узел
Контур
Узел
Рис. 1.9. Схема замещения электрической цепи
Электрической схемой называется графическое изображение электрической цепи.
Ветвь – совокупность последовательно соединенных элементов
электрической цепи, через которые протекает один и тот же ток (рис.
1.9).
Узел – место соединения трех и более ветвей.
Контур – любой замкнутый путь вдоль ветвей электрической цепи.
Пример 1.1
По схеме рис. 1.10 определить число ветвей, число узлов и число независимых контуров.
12
Элементы Э1, Э2, Э3, Э4 , Э6 образуют пять ветвей цепи, шестая ветвь
образована последовательно соединенными элементами Э5 и Э7. Точка соединения ветвей Э1, Э3, Э6 образует узел а, ветви Э1, Э4 , и ветвь (Э5,7) образуют узел b, ветви Э2, Э4 , Э6 образуют узел с, ветви Э1, Э4 и ветвь Э5,7 образуют узел d. Таким образом, рассматриваемая схема содержит четыре узла.
b
Э
b
ЭЭ6
1
a
c
Э3
d
Э
4
Э
7
Э
2
Э
5
Рис. 1.10. К примеру 1.1
Рассматриваемая схема имеет семь ко н т ур о в : I-й контур образован
элементами Э1, Э4 , Э6; II-й контур образован элементами Э2, Э3 , Э6; III-й
контур образован элементами Э2, Э4 , Э5, Э7; IV-й контур образован элементами Э1, Э4 , Э2, Э3; V-й контур образован элементами Э6, Э4,Э7, Э5;
Э3; VI-й контур образован элементами Э1, Э7,Э5, Э2 , Э6; VII-й контур образован элементами Э1, Э7, Э5; Э3. Независимыми контурами в этой схеме
могут быть контуры: I, II, III или I, II, VI.
Пример 1.2
По схеме рис. 1.11 определить число ветвей, число узлов и число независимых контуров.
Соединенные последовательно элементы R1 и E1 образуют ветвь,
элементы R2 и E2, так же образуют ветвь, а вся цепь содержит шесть ветвей. Цепь имеет четыре узла – a, b, c, d.
Количество контуров – 7, количество независимых контуров – 3.
Для усвоения изложенного материала решить задачи раздела I.
R
R2
b
1
E1
a
R3
R5
E2
R4
c
d
R6
Рис. 1.11. К примеру 1.2
1.6. Законы электрических цепей
1.6.1. Закон Ома
13
Для пассивного участка электрической цепи
a
Uab
I
R
a
b
+
R
b
Uab
Рис. 1.12. Пассивный участок электрической цепи:
U ab  I R; I 
U ab  a   b

.
R
R
(1.24)
Напряжение uab имеет двоякое толкование. Во-первых, как падение
напряжения на участке аb электрической цепи, то есть напряжение, которое необходимо приложить к данному участку электрической цепи с сопротивлением R, что бы по нему протекал ток I. Положительное направление падения напряжения указывается по направлению тока данного
участка. (рис. 1.12а). И, во-вторых, как напряжение, приложенное к
участку аb электрической цепи. При этом направление напряжения uab
указывает направление уменьшения потенциала (условно от “+” к “–”)
(рис. 1.12б).
Для участка цепи, содержащего ЭДС принято, что ток течет в
направлении от большего потенциала к меньшему: c > a (рис. 1.13). Источник ЭДС, за счет преобразования других видов энергии, напротив,
поддерживает движение электронов в противоположном направлении:
 b <  а , таким образом, направление падения напряжения на источнике
ЭДС будет обратным по сравнению с направлением протекающего по
нему тока.
Если участок ас рассматривается как источник ЭДС для внешней цепи, то направление Uaс будет встречным относительно тока (рис. 1.14).
Если под напряжением Uaс понимают падение напряжения на участке ас (приложенное к участку ас напряжение), то его направление и
направление протекающего тока будут совпадать (рис. 1.14).
Uса
Uсb
с
+
I
R
Uса
bUсb
с
+
E
а
–
Рис. 1.13. Участок цепи, содержащий источник ЭДС
I
–
Uсb
с
RН
Uас14
Uсb
+
b
+
а
Рис.1.14. Замкнутый контур
I 
U са   Е
R

с   b   E
.
R
(1.25)
При определении тока участка цепи можно воспользоваться несложным правилом: в числителе – все что способствует нарастанию тока
(ЭДС, напряжение на концах участка – совпадение их направлений с
направлением тока) берут со знаком ‘+’, все что препятствует (встречные
направления) – со знаком ‘–’; в знаменателе – суммарное сопротивление
ветви:
для рис. 1.13:
I
для рис.1.14:
I
с  а  E U ca  E

;
R
R
а  с  E U aс  E  U са  E


.
R
R
R
В общем случае для участка цепи
I
 Uca   E c  a    E

.
R
R
(1.26)
1.6.2. Первый закон Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа основан на том, что в узле электрический
заряд не накапливается и не расходуется.
I1
I3
R1
R3
I2
I4
R2
R4
Рис. 1.15. Узел электрической цепи
Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
15
I  0 .
(1.27)
Например, для схемы, представленной на рис. 1.15
I1  I 2  I3  I 4  0 .
Или
I1  I 2  I3  I 4 .
Отсюда следует иное звучание з а ко на К ир х го фа : сумма подходящих к узлу токов равна сумме токов отходящих от узла.
При составлении уравнения согласно первому закону Кирхгофа
(1.27) подходящие к узлу токи берутся с одним знаком (например, положительным), а отходящие – с противоположным ему знаком (например,
отрицательным).
1.6.3. Второй закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма падений напряжений на элементах контура
равна алгебраической сумме ЭДС входящих в данный контур.
U  E .
U2
R1
Е1
I2
I2
RR22
R3
Е1
R5
U1RНаправление
обхода
U3
R23
i1
RR
41
Е2 I3
I4
U1
U134
(1.28)
R5
U
U
Рис. 1.16. Контур электрической цепи
При составлении уравнения
согласно второму закону Кирхгофа (рис.
21
1.16), для рассматриваемого контура произвольно выбирают направление
его обхода.
Правило знаков: Если направление падения напряжения на пассивном элементе совпадает с направлением обхода контура, то в уравнении
(1.28) оно учитывается со знаком ‘+’, то же и для источников ЭДС.
Например, для схемы (рис. 1.16) уравнение, составленное согласно
второму закону Кирхгофа запишется как
U1  U 2  U 3  U 4  E1  E 2 или
I1R 1  I 2 R 2  I 3 R 3  I 4 R 4  E1  E 2 .
16
2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
2.1. Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи
В настоящее время в качестве основного электрического сигнала
промышленных и бытовых электросетей выбрана синусоидально изменяющаяся величина: ток, напряжение, ЭДС.
Такой выбор обоснован тем, что получение и преобразование переменного тока значительно проще и дешевле, нежели постоянного.
Рассмотрим основные способы представления синусоидальных величин.


u  Um sin t   U  ;
i  I m sin t  i ,
e  E m sin  t  е ;
где:
e, u, i
Im , U m , Em
2

 2f
T
1
f
T
Т
i , u , е
(2.1)
– мгновенные значения ЭДС, напряжения и тока;
– амплитудные значения соответствующих величин;
– круговая (циклическая) частота;
– частота – физическая величина, определяющая число
колебаний в единицу времени (Гц);
– период синусоидальной величины – время одного
полного колебания (с);
– начальные фазовые углы
Процесс изменения мгновенного значения синусоидальной величины может рассматриваться либо относительно времени (по оси абсцисс
откладывается t), либо относительно полного фазового угла (по оси абсцисс откладывается t)
Анализируя несколько гармонических сигналов, в большинстве случаев опускают конкретные значения начальных фазовых углов, рассматривая лишь их соотношения – фазовые сдвиги.
На рис. 2.1 представлены два синусоидальных сигнала – ток и
напряжение. Начальный фазовый угол тока i – положительны; для синусоиды напряжения u отрицательный.
Угол фазового сдвига между этими сигналами можно определить как
 = u – i;
 >0.
17
(2.2)
В данном примере ток опережает напряжение.
Im
Um
i, u
 i
Т/2
Т
/2

t
t
u
Рис. 2.1. Синусоидальные сигналы тока и напряжения
Если выбрать за начало наблюдения момент времени t1, то значение
начальных фазовых углов синусоид тока и напряжения изменится, однако, величина фазового сдвига (разности фаз) останется прежней.
2.2. Представление синусоидальной величины комплексными
числами
2.2.1. Определение комплексного числа
Комплексным числом Z  a, jb  называется упорядоченная пара
действительных чисел а и b где
a = Re( Z ) – действительная часть комплексного числа Z,
b = Im( Z ) – мнимая часть комплексного числа Z,
j – мнимая единица ( j 2 = –1).
Пример 2.1
Для каждого из заданных комплексных чисел найти действительную
и мнимую части.
Z1  4  j3
действительная часть комплексного числа Re( Z1 ) = 4;
мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = 3.
Z2  3  j5
действительная часть комплексного числа Re( Z2 ) = 3;
мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = 5.
Z3   j 2
18
действительная часть комплексного числа Re( Z3 ) = 0;
мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = 2.
Z4  4
действительная часть комплексного числа
Re( Z1 ) = 4;
мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = 0.
+j
b
M
Z

0
a
+1
Рис. 2.2. Графическое изображение комплексных чисел на комплексной плоскости
Комплексные числа графически изображаются в виде точки на комплексной плоскости (рис. 2.2) с координатами: a – на оси действительных
значений, j b – на оси комплексных значений, либо радиусом-вектором
(далее – комплексный вектор).
Комплексный радиус-вектор – направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с началом координат, а координатами его конца
являются комплексные числа.
Применяются три формы представления комплексного значения:
– алгебраическая форма;
– тригонометрическая форма;
– показательная форма.
2.2.2. Алгебраическая форма представления комплексного числа
Комплексное число представленное в алгебраической форме имеет
вид
Z  a  jb ,
(2.3)
Длина или модуль комплексного вектора определяется по его
проекциям на оси исходя из прямоугольного треугольника (рис. 2.2)
Z  ZM  a 2  b 2 .
(2.4)
Аргументом  комплексного числа называется угол между действительной осью и комплексным вектором.
Если  > 0, то угол отсчитывается в направлении против движения
часовой стрелки, если  < 0, – наоборот.
19
Аргумент  связан с действительной и мнимой частями комплексного числа соотношением
  arctg
b
a
b

  arctg a ,

  arctg b  ,

a
a0
(2.5)
a0
Если два комплексных числа отличаются только знаком перед мнимой частью, то такие комплексные числа называются сопряженными.
Для любого комплексного числа Z  а  jb существует сопряженное
комплексное число, обозначаемое Z  a  jb .
Пример 2.2
Для каждого из заданных комплексных чисел найти модуль, аргумент и сопряженное комплексное число.
Z1  4  j3 :
модуль комплексного числа
Z1M  Re Z 1 2  Im Z 1 2  42  32  5 ;
аргумент комплексного числа
Im Z 1
3
 1  arctg
 arctg  36,87  ;
Re Z 1
4
сопряженное комплексное число
Z1*  4  j 3 .
модуль комплексного числа
Z2M 
аргумент комплексного числа
 2  arctg
Z2  3  j5 :
 32  52
 5,83 ;
сопряженное комплексное число
3
 30,96  ;
5
Z*2  3  j5 . Z3   j 2
модуль комплексного числа
Z 3M 
аргумент комплексного числа
 3  arctg
 22
2;
сопряженное комплексное число
2
 90  ;
0
Z*3  j 2 ;
Z4  4 ;
модуль комплексного числа
Z4M 
аргумент комплексного числа
 4  arctg
20
42
4;
0
 0 ;
4
так как рассматриваемое число действительное, то сопряженное
комплексное число отсутствует.
2.2.3. Тригонометрическая форма представления
комплексного числа
Проекции комплексного вектора на действительную и мнимую оси
определяются
а  ZM  cos ; b  ZM  sin  .
(2.6)
Подставив эти значения в (2.3), получим тригонометрическую форму
записи комплексного числа
Z  ZM  cos   j ZM  sin  .
(2.7)
2.2.4. Показательная форма представления комплексного числа
Показательная форма удобна для выполнения операций умножения
и деления над комплексными числами.
Используя формулу Эйлера e j  cos  jsin  , можно комплексного
числа,
записанные
в
тригонометрической
форме
Z  ZM cos   jsin  , представить в показательной форме


Z  ZM  e j .
(2.8)
Пример 2.3
Задано комплексное число Z  10 3  j10 . Представить данное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить в виде
вектора на комплексной плоскости.
+j
10
Z

0
10 3
+
Рис. 2.3. Графическое изображение комплексного числа
21
Решение
Z  10 3  j10 – алгебраическая форма. Проекция на ось действительных значений равна 10 3 , на ось мнимых значений – 10 (рис. 2.3).
Модуль комплексного числа – ZM определяется формулой (2.4)
Z M  (10 3 ) 2  10 2  20 .
Аргумент комплексного числа определяется формулой (2.5)
1  arctg
10
 arctg
10 3
1
3


= (30°).
6
Комплексное число Z в тригонометрической форме согласно формуле (2.7) запишется в виде


Z  20  cos  j 20  sin .
6
6
Комплексное число Z в показательной форме согласно формуле
(2.8) запишется в виде
o
Z  ZM  e j  20е j30 .
Пример 2.4
Задано комплексное число Z  10 3  j10 . Изобразить данное число
в виде вектора на комплексной плоскости и представить в тригонометрической и показательной формах.
+j
10 3
0

+
Z
–10
Рис. 2.4. Графическое изображение комплексного числа
Решение
Z  10 3  j10 – алгебраическая форма.
Проекция на ось действительных значений равна 10 3 , на ось мнимых значений равна –10 (рис. 2.4).
22
Модуль ZM определяется как
Z M  (10 3 ) 2  10 2  20 .
Аргумент комплексного числа определяется соотношением
10
1

1  arctg
 arctg
  = –(30°).
6
10 3
3
Z  20  cos


 j 20  sin
6
6
– тригонометрическая форма.
o
Z  ZM  e j  20е j30
– показательная форма.
Пример 2.5.
Задано комплексное число Z  10 3  j10 . Изобразить данное число на комплексной плоскости и представить его в тригонометрической и
показательной формах.
+j

– 10 3
0
Z
–10
Рис. 2.5. Графическое изображение комплексного числа
Решение
Модуль ZM определяется как (рис. 2.5)
Z1  (10 3 ) 2  10 2  20
Аргумент комплексного числа определяется
1  arctg
10
 10 3
Z  20  cos
 arctg
1
3


  = 210°
6


 j 20  sin – тригонометрическая форма.
6
6
o
Z  ZM  e j  20е j210 – показательная форма.
Для усвоения изложенного материала решить задачи раздела 4.2.
23
Таблица 2.1.
Взаимные преобразования различных форм
представления комплексного числа
Формы виз
Алгебраической
Алгебраическую
Z  a  jb
ZM  a 2  b 2
Тригонометрическую
Тригонометрической
а  ZM  cos  ;
b  ZM  sin 
Показательную
а  ZM  cos  ;
b  ZM  sin 
;
b

a0
  arctg a ,

  arctg b  , a  0

a
ZM  a 2  b 2
Показательной
Z  Z M  cos  
ZМ ;
 j Z M  sin 

;
ZМ ;
b

  arctg a , a  0

  arctg b  , a  0
a


Z  ZM  e j
2.2.5. Основные математические операции над
комплексными числами
Сложение (Вычитание)
Заданы два комплексных числа Z1 и Z 2 . Для сложения (вычитания)
достаточно сложить (вычесть) соответственно действительные и мнимые
их части. Для этой цели наиболее удобно представлять комплексные числа в алгебраической форме. Геометрический смысл этих операций сводится к сложению (вычитанию) векторов Z1 и Z 2 , построенных на комплексной плоскости.
Зададимся двумя комплексными числами: Z1  a  jb и Z2  c  jd
Z1  Z2  (a  c)  j(b  d) .
Разность:
Z1  Z2  (a  c)  j(b  d) .
Сумма сопряженных комплексных чисел – действительное число.
Сумма:
Z1  Z1  a  jb  a  jb  a  a   jb  b  2a
24
(2.9)
Пример 2.6
Произвести сложение и вычитание и построить вектор, соответствующий сумме (разности) следующих комплексных чисел: Z1  1  j3 и
Z 2  3  j2 .
Решение
Сумма двух комплексных чисел Z1 и Z 2 определяется следующим
образом
Z  Z1  Z2  1  j3  3  j2  1  3  j3  2  4  j
Графически вектор суммы двух комплексных чисел Z определяется диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах Z1
и Z 2 , как на сторонах (рис. 2.6, а).
+j
+j
–Z2
Z1
Z
Z
0
Z1
0
+1
Z2
+1
Z2
б)
a)
Рис. 2.6 Графическое определение вектора суммы двух комплексных чисел:
а – Z = Z1 + Z2; б – Z = Z1 – Z2
Разность двух комплексных чисел Z1 и Z 2 определяется как
ZР  Z1  Z2  1  j3  3  j2  1  3  j3  2  2  j5 .
Графически вектор разности двух комплексных чисел ZР определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах Z1 и
 Z2  , как на сторонах (рис. 2.6, б).
Умножение (Деление)
Для умножения (деления) комплексных чисел наиболее удобно
представлять их в показательной форме. Чтобы перемножить (разделить)
два комплексных числа нужно перемножить (разделить) их модули и
сложить (вычесть) аргументы. Заданы два комплексных числа
25
Z1  Z1M  e j1 и Z2  Z2M  e j2 . Произведение этих чисел определится
формулой
(2.10)
Z  Z1  Z2  Z1M  Z2M  e j12
Если комплексные числа заданы в алгебраической форме Z1  a  jb
и Z2  c  jd , то для выполнения операции умножения возможен либо
переход к показательной форме, либо как умножение двух многочленов с
учетом, что j2  1 .


Z  Z1  Z 2  a  j b   c  j d   a c  j2 b d  jb c  a d  
 a c  b d   jb c  a d 
(2.11)
Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа


Z1 Z1  a  jba  jb  a 2  b2  ja b  a b  a 2  b2  Z1
2
(2.12)
Геометрический смысл умножения Z1 на Z2 означает, что радиус
вектор, соответствующий числу Z1 , следует повернуть на угол  2 , а затем растянуть его в Z2M раз, если Z2M > 1 или сжать его в Z2M раз,
если Z2M < 1.
Частное от деления Z1 на Z 2 , если они заданы в показательной
форме, определится формулой
Z
Z
Z  1  1M  e j12 
(2.13)
Z2 Z2M
Если комплексные числитель и знаменатель заданы в алгебраической форме, то для выполнения операции деления возможен либо переход к показательной форме, либо формирование в знаменателе действительного числа (умножение и знаменателя, и числителя на сопряженное знаменателю комплексное число).
Z1 a  jb c  jd a c  bd   j a d  bc a c  bd
a d  bc



 2
j 2
Z2 c  jd c  jd
с2  d 2
с  d2
с  d2
Пример 2.7
Найти произведение и частное двух комплексных чисел:
Z1   j2 и Z 2  3 2  j 3 2
26
(2.14)
Решение
1. Произведение и частное двух комплексных чисел проведем аналогично соответствующим действиям с многочленами с учетом, что j2  1 .
Произведение Z1 и Z2 определим согласно формуле (2.11)


Z1  Z2   j2  3 2  j3 2  6 2  j 6 2  6 2  1  j ,
а частное от деления Z1 на Z2 определим согласно формуле (2.14)
Z1
 j2
3 2  j3 2  j 6 2  j2 6 2 6 2  j 6 2
2
2
.





j
2
Z2 3 2  j 3 2 3 2  j 3 2
36
6
6
18  j 18
2. Представим комплексные числа Z1 и Z2 в показательной форме,
используя формулы (2.4) и (2.5) для определения модуля и аргумента.
Действительная часть комплексного числа Z1   j2 равна 0, а мнимая – (2).
Находим модуль и аргумент Z1 .
0

 .
2
2
Зная модуль и аргумент, запишем
Z1M  2,  1  arctg
Z 2  2e
j

2
.
Действительная часть комплексного числа Z 2  3 2  j 3 2 равна


3 2 , а мнимая  3 2 . Находим модуль и аргумент Z 2 .
Z1M 
3 2   3 2 
2
2
 6,  1  arctg
3 2
3 2


.
4
Зная модуль и аргумент, запишем
Z2  6 e
j

4
.
Произведение Z1 и Z2 определим согласно формуле (2.10)
Z1  Z 2  2e
j

2
 6e
j

4
 12  e
 
 j  
2 4
 12  e
3
j 
4
.
Частное от деления Z1 на Z2 определим согласно формуле (2.13)
j


Z1 2 e 2 2  j 2

 e

Z2
6
j
6e 4



4


1 j4
e
3
27
.
2.3. Представление синусоидальных функций
вращающимися векторами
Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать величины, синусоидально изменяющиеся во времени, векторами или комплексными числами.
Любая синусоидальная величина в электротехнике может быть представлена вращающимся на комплексной плоскости вектором. Это позволяет компактно и максимально наглядно графически представлять совокупность различных гармонических сигналов одинаковой частоты при
анализе сложных электрических цепей.
В качестве примера выберем отвлеченный синусоидальный сигнала
a = Am sin ( t + a),
(2.15)
который может быть любым исследуемым электрическим сигналом
(Е, U, I).
Рассмотрим прямоугольную систему координат MON (рис. 2.7). Рассмотрим в этих координатах вектор a , длина которого равна амплитуде
синусоидального сигнала A m . Будем рассматривать вектор a вращающимся вокруг начала координат 0 против часовой стрелки с постоянной
угловой скоростью ω . В произвольный момент времени t вектор составит с осью ОМ угол t   a . Его проекция на ось 0M будет равна мгновенному значению рассматриваемой синусоидальной величины a.
M
а
0
а

a(t)
t+
а
Am
ao
ao
a(t)
N
t
t
а
Рис. 2.7. Представление синусоидальных функций вращающимися векторами
Таким образом, между мгновенным значением синусоидальной величины a и вектором a можно установить однозначную связь. Поэтому
вектор a называют вектором, изображающим синусоидальную функцию
времени.
Если считать ось 0N осью вещественных (действительных) величин,
а ось 0M осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор a
28
соответствует комплексному числу, модуль которого равен A m , а аргумент – углу  a . Это комплексное число A m называется комплексной
амплитудой рассматриваемой величины.
Комплексную амплитуду, как любое комплексное число, можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической
формах:
A m  A m  A me j  A m (cos  jsin )  c  jd ,
где j   1 .
Если вектор a вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω, то ему соответствует комплексная функция времени:
A me j(t )  A m cos(t  a )  j Am sin(t  a ) .
Значение мнимой части этой функции (без j ) равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине (2.15).
Таким образом, между синусоидальной величиной a и ее изображением – A m – комплексной амплитудой – имеется однозначная связь, которая определяется следующим равенством:
a  Im [A me j(ω(  ψ a ) ]  Im [A m  e jψ a  e jωω]  Im [ A m  e jωω] ,
где символ Im обозначает, что от комплексной функции времени берется только значение мнимой части.
Комплексные величины, изображающие синусоидальные функции
времени, будем обозначать подчёркнутыми буквами.
Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или
символическим методом.
В электротехнике вектор представляет собой радиус-вектор, вращающийся с частотой  . Длина вектора в масштабе равна амплитуде синусоидального сигнала: ЭДС, напряжения или тока. Угол поворота вектора
за время t можно определить как угол  t    , отсчитанный от горизонтальной оси. При этом проекция вращающегося вектора на вертикальную
ось равна мгновенному значению этого сигнала.
Пример 2.8
Заданы два электрических сигнала
e1  E1m sin  t  1
,
e 2  E 2m sin  t   2




где E1m и E2m – амплитуды;
29
 – круговая частота переменного тока;
1 , 2 – начальные фазовые углы ЭДС.
Определить сумму этих ЭДС.
Решение
Сложим сигналы e1 и e2 как две тригонометрические функции
e  e1  e 2  E1m sin  t  1  E 2 m sin  t   2 




 E1m sin  t cos 1  E1m cos  t sin 1  E 2 m sin  t cos  2 
 E 2 m cos  t sin  2  E1m cos 1  E 2 m cos  2  sin  t 
 E1m sin 1  E 2 m sin  2  cos  t
Обозначим постоянные выражения в скобках
E1m cos 1  E 2 m cos  2  E m cos 
E1m sin 1  E 2 m sin  2  E m sin 
В итоге получим e  E m cos sin  t  E m sin  cos t  E m sin  t   .


Таким образом, сумма двух синусоидальных ЭДС представляет собой также синусоиду той же частоты, амплитуда которой равна
E m  E12m  E 22m  2E1m E 2m cos 2  1  , а фазовый сдвиг
E1m sin 1  E 2m sin  2
.
E1m cos 1  E 2m cos  2
Теперь рассмотрим процесс суммирования тех же синусоидальных
ЭДС при представлении их вращающимися векторами. Изобразим е1 и е2
вращающимися векторами (рис 2.8). Так как проекция на любую ось геометрической суммы двух векторов равна алгебраической сумме проекций
векторов на ту же ось, то е будет представлять проекцию суммарного
вектора, равную геометрической сумме векторов E  E1  E 2 .
Такое изображение синусоидальных величин (рис. 2.8) называется
векторной диаграммой. Все операции над векторами проводятся по известным законам векторной алгебры.

+
  arctg
j
Е2
Е
e
e2
2

e1
1
Е1
+
Рис. 2.8. Сложение синусоидальных величин
30
2.4. Векторные диаграммы
В установившихся режимах, то есть режимах, при которых амплитуды и частота синусоидальных сигналов остаются неизменными, соотношения мгновенных значений токов и напряжений также остаются
неизменными. Следовательно, неизменным останется и расположение соответствующих комплексных векторов.
Поэтому, векторные диаграммы, в большинстве случаев, строятся
относительно нулевого момента времени (составляющая t равна нулю),
то есть с учетом только лишь начальных фазовых углов соответствующих электрических сигналов. Если же, в условиях конкретной задачи, за
исходный вектор (вектор располагаемый по оси действительных значений) удобнее принять какой-либо вектор, имеющий ненулевой начальный фазовый угол, то это будет означать поворот всей векторной диаграммы, иными словами выбирается наиболее удобный для данной задачи момент времени.
Рассмотрим вектор I , изображающий ток в цепи:

j  t 

i
I  Ime
.
Мнимая часть этого вектора характеризует мгновенное значение тока
j t   i  
i  Im  I m e
  I m sin  t   i .


Напряжение U изображается вектором


j  t  


u
U  U me
.
Мгновенное значение напряжения
j t      
u  Im  U m e
  U m sin  t     .


Для момента времени t = 0,
Ime ji  Im ,
где I m – комплексная амплитуда тока (комплексная величина с модулем Im и начальным фазовым углом i).
Аналогично для вектора напряжения
 ,
Ume j  U
m

где U m – комплексная амплитуда напряжения (комплексная величина с модулем Um и начальным фазовым углом (i + )),


Пример 2.9
Задано мгновенное значение тока i  8 sin  t  20 o . Представить

это значение в показательной форме комплексного числа.
31

Решение
Показательная форма комплексного числа: I m  I me j .
Из условия: амплитудное значение тока : I m  8 ;
начальный фазовый угол:
  20o .
o
Следовательно, показательная форма тока: I m  8 e j20 .
Пример 2.10
о
Дан комплексный ток I m  25  e j30 . Определить мгновенное значение тока и начальный фазовый угол.
Решение
Для перехода к мгновенному значению надо умножить I m на e jt и
взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения

j t  30o  
o
   25  sin  t  30 o
i  Im  25  e  j30  e j   Im  25  e 
.








2.5. Действующие значения ЭДС, напряжения и тока
Действующее значение – среднеквадратичное значение изменяющейся во времени величины за период, например переменного тока, действие которого при протекании его через некоторое сопротивление идентично действию постоянного тока определенного значения.
E
1T 2
 e dt ;
T0
U
1T 2
 u dt ;
T0
I
1T 2
 i dt.
T0
(2.16)
Среднее за период T значение мощности, характеризуемое выделением тепла в цепи с сопротивлением r, имеет выражение
р ср 
1T
1T 2
1T 2
2
 р dt   i r dt  r  i dt  rI
T0
T0
T0
(2.17)
то есть, получаем выражение для средней мощности переменного
тока такое же, как для постоянного тока.
Определим связь действующего значения Е синусоидальной ЭДС
e  E m sin  t  e с ее амплитудой Em.


Имеем
E
1T 2
1 T 1  cos(2 t  2 e )
2
dt ,
 E m sin  t   e dt  E m

T0
T0
2


32
так как
T


 cos 2 t  2 e dt  0, то E 
Em
.
(2.18)
2
0
Аналогично
E
Em
;
U
Um
2
I
;
Im
.
(2.19)
2
2
Большая часть электроизмерительных приборов определяют действующие значения энергетических величин.
Пример 2.11.
Найти комплекс действующего значения синусоидальной функции


времени i  10 2 cos t  30  А.
Решение
Учитывая, что косинус функция четная, выражение для тока i перепишем в виде


i  10 2 cos t  30 o  10 2Sin   t  30 o    10 2Sin  t  120 o A.
2




Амплитуда синусоидального тока

I m  10 2 , начальная фаза
i  120 .
o
o
Отсюда: I  Ie ji  10e j120
А.
2.6. Элементы цепи синусоидального тока
2.6.1. Резистор в цепи синусоидального тока
Пропустим через активное сопротивление R переменный электрический ток (рис. 2.9):


i  I m sin  t  i .
а
i
R
b
uab
Рис. 2.9. Активное сопротивление
По закону Ома для мгновенных значений:
u  iR  RI m sin  t  i или u  U m sin  t   u ,

где U m  RI m ,


u = i .
33

Начальные фазовые углы тока и напряжения одинаковы, то есть совпадают по фазе (фазовый сдвиг  = u – i равен нулю) и могут быть
представлены двумя синусоидами с совпадающими начальными точками
(рис. 2.10).
Перейдем от синусоидальных величин к комплексным величинам:
I  I m  e j t  e j  i
U  R  U m  e j  t  e j u
R
U
I
G
(2.20)
1
R
Так как начальные фазовые углы тока и напряжения одинаковы, то
на комплексной плоскости ток и напряжение представляются двумя совпадающими по направлению векторами (рис. 2.11).
i, u
i
 u= i
/2
Т
t

t
u
Рис. 2.10. Совпадающие по фазе синусоидальные величины
+j
U
I
 u= i
+
Рис. 2.11. Векторное изображение совпадающих по фазе синусоидальных величин
Мгновенная мощность переменного тока является величиной периодической, величина ее определяется по формуле:


p  u  i  U m I m sin 2  t   
34



UmIm
1  cos 2  t   .
2
(2.21)
Так как cos 2t    не может быть больше единицы, то мгновенная
мощность, поступающая в сопротивление, всегда положительна и меняется с удвоенной частотой от 0 до UmIm. Учитывая выражение (2.21) выражение мгновенной мощности, можно записать:
p  U  I1  cos 2 t    ,
(2.22)
где U, I действующие значения напряжения и тока.
Среднее значение мощности за период или просто мощность переменного тока:
P
1T
 u i dt  U I .
T0
(2.23)
Часто эту мощность называют активной и измеряют в ваттах [Вт].
Энергия, потребляемая от источника питания за время от 0 до t:
t
t
0
0



Wt    p dt   UI 1  cos 2  t   dt ;


1
1


Wt   UI  t 
sin 2  t   
sin 2  .
2
 2

(2.24)
2.6.2. Ёмкость в цепи синусоидального тока
Электрическая ёмкость С – способность элемента электрической
цепи накапливать энергию в электрическом поле. Размерность – фарада
[Ф].
Подключим обкладки конденсатора к источнику переменного
напряжения (рис. 2.12):


u  U m sin  t   u .
C
а
(2.26)
b
i
uab
Рис. 2.12. Конденсатор
Учитывая (1.18 и 1.19) определим ток, протекающий по соединительным проводам:
i

dq
du
C
  CU m cos  t  
dt
dt
35

(2.26)
или, преобразуя функцию косинуса в функцию синуса




i   CU m sin  t   u    I m sin  t  i ,
2

(2.27)
где I m – амплитуда,

i   u  – начальный фазовый угол тока емкостного элемента.
2
Следовательно, напряжение емкостного элемента отстает от тока на

фазовый угол
(рис. 2.13).
2
i, u
+j
i
u
i
 =  u – i
 u /2
Т

t
I
i

u
t
U
Рис. 2.13. Синусоиды тока и напряжения в цепи
с емкостью
+1
Рис. 2.14. Вектора
тока и напряжения
в цепи с емкостью
Амплитудное и действующее значение тока и напряжения связаны
между собой соотношением подобным закону Ома.
I m   CU m  Xc U m ,
(2.28)
1
– емкостное сопротивление.
C
Величину обратную емкостному сопротивлению BC  С будем
называть емкостной проводимостью.
Перейдем от синусоидальных величин к комплексным числам:
где X C 
36
U  U m  e j  t  e j u
I  I m  e j t  e

j(  u  )
2
 U m  e j  t  e j i

XC 
BC 
U
U m  e j t  e j  u
1 j2
1


e
 j

I
C
C
j(  u  )
2
I m  e j t  e
(2.9)
1
1

 jC
XC  j 1
C
Так как начальные фазовый угол тока опережает фазовый угол

напряжения на , то на комплексной плоскости ток и напряжение пред2
ставляются перпендикулярными векторами (рис. 2.14).
На рис. 2.13 представлены временные зависимости напряжения и тока емкостного элемента. Первая часть периода – напряжение увеличивается, то есть
du
0,
dt
конденсатор заряжается. Направление тока совпадает с направлением
внешнего напряжения. При достижении напряжением своей максимальной величины
T

 du

 0 ,
 t   , зарядка конденсатора прекращается 
4

 dt

ток равен нулю. Вторая часть периода – напряжение начинает уменьшаться
 du

 0 ,

dt


конденсатор разряжается из-за избытка зарядов на обкладках, возникающий ток будет отрицателен. При U = 0 , ток имеет отрицательный максимум, т.к. изменение заряда в этот момент происходит наиболее интенсивно. В третью четверть периода (U<0) происходит заряд конденсатора
в противоположном направлении
 du

 0 ,

 dt

ток остается того же направления до того момента прекращения зарядки
конденсатора u  U m и так далее.
37
2.6.3. Индуктивность в цепи синусоидального тока
Индуктивность – способность элемента электрической цепи накапливать энергию в магнитном поле. Размерность – генри [Гн].
Пропустим через индуктивный элемент переменный электрический ток:


i  I m sin  t  i .
L
(2.30)
b
i
uab
Рис. 2.15. Катушка индуктивности
Падение напряжения на индуктивном элементе определяется согласно формул (1.11  1.14):

di
 d 
u  e L    
  L   LI m cos  t   i
dt
 dt 

(2.31)
или, преобразуя функцию косинуса в функцию синуса,




u   LI m sin   t  i    U m sin  t   u ,
2

(2.32)

– начальный фазовый угол паде2
ния напряжения индуктивного элемента.
Следовательно, напряжение индуктивного элемента опережает ток

на фазовый угол
(рис. 2.16).
2
Амплитудное и действующее значения тока и напряжения связаны
между собой соотношением подобным закону Ома.
где U m – амплитуда,  u   i 
Um   L Im  XLIm ,
(2.33)
где Х L   L – индуктивное сопротивление.
Величину обратную индуктивному сопротивлению B L 
будем называть индуктивной проводимостью.
38
1
L
I  I m  e j t  e ji
U  U m  e j t  e

j(  i  )
2
 I m  e j t  e j u

j(  i  )
2
U U  e j t  e
XL   m
I
I m  e j t  e ji


(2.34)
Um j2
e  j L
Im
1
1
1

 j
XL j L
L
На рис. 2.16 представлены временные зависимости тока и напряжения на индуктивном элементе.
Перейдем от синусоидальных величин к комплексным числам:
Так как начальные фазовый угол тока опережает фазовый угол

напряжения на , то на комплексной плоскости ток и напряжение пред2
ставляются перпендикулярными векторами (рис. 2.17).
i, u
i
U
u
BL 
u
 = u – i
i
u
Т
/2
t
i
t

+1
I
Рис. 2.16. Синусоиды тока и напряжения в цепи
с индуктивностью
Рис.2.17. Вектора тока
и напряжения в цепи
с индуктивностью
2.7. Последовательное соединение элементов R, L, C
Рассмотрим схему с последовательным соединением элементов
(рис.2.18, а).
C
L
R1
Z
U
UR
IV
UC
I
U
а)
б)
Рис. 2.18. Схема последовательного соединения R, L, C элементов:
а – электрической цепи; б – эквивалентная ей схема
39
I
Согласно второму закону Кирхгофа, входное напряжение электрической цепи может быть представлено суммой падений напряжений на отдельных ее элементах.
U  UR  UL  UC .
(2.35)
Так как соединение элементов последовательное, то ток для всех
элементов цепи один. Определим падение напряжения на каждом из элементов цепи. Согласно формулам (2.21, 2.30, и 2.34) получим:
1
I.
C
U R  R  I; U L  j  L  I; U C   j
Выражение (2.35) запишется:
U  IR  j L  I  j
Учитывая, что Х L   L и X C 
1
, получим:
C
(2.36)
1
I .
C
U  IR  jIX L  jIXC  IR  jX L  XC   I Z ,
(2.37)
где
– полное комплексное сопротивление
Z  R  jX L  XC 
участка электрической цепи (рис.2.18, б).
Из (2.37) получим выражение:
U
(2.38)
I ,
Z
которое определяет закон Ома в комплексной форме.
+j
+j
UL
UL
U
UR
I

+
0
UR
UC
I
+
UC
Рис. 2.19. Векторная диаграмма цепи
с R, L и C
Рис. 2.20. Сложение векторов
Построение векторной диаграммы токов и напряжений для участка
электрической цепи с последовательным соединением элементов (рис.
40
2.19) начинаем с вектора тока I . Начальный фазовый сдвиг вектора тока
I при построении диаграммы, может быть принят любым, в данном примере принимаем i = 0. Вектор падения напряжения на активном сопротивлении UR совпадает по направлению с вектором тока. Вектор, соответствующий падению напряжения на индуктивности UL, опережает вектор тока на 90o, а вектор UC – отстает на 90o.
Сложив вектора UR, UL и UC, получим вектор U (рис. 2.20).
В результате построений получается так называемый треугольник
напряжений (рис. 2.21), исходя из которого, определяется модуль полного напряжения
U  U 2R  (U L  U C ) 2
(2.39)
и величина фазового сдвига между напряжением и током
 U  UC 
 .
   u   i  arctg  L
 UR 
(2.40)
Если каждую сторону треугольника напряжений (рис. 2.21) разделить на модуль тока, то получим подобный треугольник – треугольник
сопротивлений (рис. 2.22).
+j
U

UL – UC
UR
I
+1
Рис. 2.21. Треугольник напряжений
Z

S
X

R
Q
P
Рис. 2.22. Треугольник сопротивлений
Рис. 2.23. Треугольник мощностей
По величине угла фазового сдвига различают типы нагрузок:
41

– индуктивная нагрузка;
2
  0 – активная нагрузка;

   – емкостная нагрузка;
2

0    – активно-индуктивная нагрузка;
2

    0 – активно-емкостная нагрузка;
2
Если каждую сторону треугольника напряжений (рис. 2.21) умножить на модуль тока, то получим подобный треугольник мощностей (рис.
2.23), в котором:
P = I UR
– активная мощность [Вт];
Q = I (UL – UC) – реактивная мощность [ВАР] (вольт-ампер реактивный);
S=IU
– полная мощность [ВА] (вольт-ампер).
В большинстве случаев при нахождении тока удобнее пользоваться
показательной формой представления полного комплексного сопротивления

Z
где
U
I

U j(u i )
e
I
 Z e j ,
(2.41)
Z  R 2  (X L  X C ) 2 – абсолютное значение полного сопро-
тивления;
  arctg
XL  XC
– фазовый сдвиг между синусоидами напряжения
R
и тока.
Отличительной особенностью цепей содержащих индуктивные и
емкостные элементы является их взаимное преобразование энергии:
энергии магнитного поля индуктивного элемента в энергию электрического поля емкостного элемента и наоборот.
Следовательно, возможны такие режимы работы электрической цепи, при которых индуктивные и емкостные элементы “будут работать
друг на друга”, иными словами, взаимное преобразования энергий полей
будет полным. Такие режимы работы электрической цепи получили
названия резонансных режимов. В цепи с последовательным соединением индуктивности и емкости при равенстве их реактивных сопротивлений имеет место р е зо на н с на п р я же ни й (рис. 2.24).
42
При резонансе напряжений модуль входного напряжения будет
определяться лишь активной составляющей, а фазовый сдвиг между током и напряжением будет равен нулю. При этом величина тока, ограниченного лишь активной составляющей сопротивления, будет максимальной:
Z min  R 2  (X L  X C ) 2  R ,
I max 
U U
 .
Z R
+j
UL
UC
U = UR
I
+
Рис. 2.24. Векторная диаграмма при резонансе напряжений
При этом напряжения на индуктивности и емкости также достигают
своих максимальных значений.
Явление резонанса в электрической цепи, содержащей последовательное соединение элементов R, L, C, может быть достигнуто изменением индуктивности или емкости реактивных элементов, или изменением
частоты питающего напряжения. На рис. 2.25 представлены зависимости
сопротивлений реактивных элементов от изменения частоты.
X,
Ом
XL = L
 рез
XL – XC
, рад/с
Xс  
1
C
Рис. 2.25. График зависимости реактивных сопротивлений от частоты
43
Z,
Ом
Z
4R
 рез
, рад/с
XL – XC
Рис. 2.26. График зависимости модуля полного сопротивления от частоты
,
рад/с


2

2
 рез
, рад/с
Рис. 2.27. График зависимости фазы от частоты
При нулевой частоте питающей сети сопротивление емкостного
элемента
1 

 ХС 


С

бесконечно велико, а реактивная составляющая сопротивления индуктивного элемента L , напротив, равна нулю. Фазовый сдвиг между
напряжением и током и модуль полного сопротивления, будут определяться только емкостным сопротивлением (рис. 2.25, 2.26, 2.27). По мере
увеличения частоты емкостное сопротивление будет снижаться до нуля, а
сопротивление индуктивного элемента – увеличиваться. Вследствие чего
будет изменяться характер нагрузки от активно емкостного до активноиндуктивного, в предельных режимах активная составляющая несущественна относительно сопротивления реактивного элемента.
44
Частотные характеристики падений напряжений на последовательно
соединенных элементах электрической цепи и характеристика тока в цепи I представлены на рис. 2.28.
U
I 
,
2


1

R 2    L 

C 

где U = const, R = const, L = const, C = const .
При   0 ток I  0 поскольку сопротивление конденсатора бесконечно велико, следовательно, U C  U . При    ток I  0 , так как
бесконечно
возрастает
сопротивление
индуктивного
элемента
x L   L   , следовательно, U L  U . При резонансе реактивные составляющие напряжения взаимно скомпенсированы U L  U С , следовательно, ток в цепи будет определяться лишь током, который протекает по
активному сопротивлению под действием приложенного к нему напряжения сети
I
UR U
 .
R
R
I, U
I
UC
Uсети
UL
UR

, рад/с
рез
Рис. 2.28. График зависимости падений напряжений на элементах цепи
и протекающего по ним тока от частоты
2.8. Параллельное соединение элементов R, L, C
Запишем уравнение согласно первому закону Кирхгофа для схемы
(рис.3.29,а):
(2.42)
I  I R  I L  IC .
45
Так как соединение элементов параллельное, то напряжение для всех
элементов цепи одно и то же. Определим токи в каждом из элементов цепи. Согласно формулам (2.21, 2.30, и 2.35) получим:
1
(2.43)
I R  G  U; IC  j  C  U; I L   j
U.
L
Выражение (2.43) запишется:
I  UG  jC  U  j
Учитывая, что BC   C и BL 
1
U .
L
1
, получим:
L
I  UG  jUBC  jUBL  UG  jBC  BL   U Y ,
(2.44)
где
Y  G  jBC  BL  – полная комплексная проводимость
участка электрической цепи содержащего параллельное соединение элементов R, L, C (рис. 2.29, б).
I
IС
IR
U
R
I
IL
С
L
Y
U
а)
б)
Рис. 2.29. Схема параллельного соединения элементов R, L, C:
а – электрическая цепь; б – эквивалентная ей схема
Из (2.44) получим выражение:
I  UY ,
(2.45)
которое определяет закон Ома в комплексной форме.
Построение векторной диаграммы токов и напряжений для участка
электрической цепи с параллельным соединением элементов начинаем с
вектора напряжения U (рис. 2.30).
+j
+j
IC
IC
IR
I
U
46
0
IL

IR
IL
U
+1
Рис. 2.30. Векторная диаграмма цепи
с параллельным соединением элементов
Рис. 2.31. Порядок построения диаграммы
Начальный фазовый сдвиг вектора напряжения U при построении
диаграммы, может быть принят любым, в данном примере принимаем
U = 0. Вектор тока активного сопротивления IR совпадает по направлению с вектором падения напряжения. Вектор, соответствующий току емкости IC, опережает вектор напряжения U на 90°, а вектор тока индуктивности IL – отстает вектора напряжения U на 90°. Сложив вектора IG, IL
и IC получим вектор I (рис. 2.31). В результате построений получается
треугольник токов (рис. 2.33), исходя из которого, определяется модуль
полного (входного) тока
I  I 2R  (I C  I L ) 2
(2.46)
и величина фазового сдвига между напряжением и током
I I
 i   u   u   i     arctg  C L
 IR

 .

(2.47)
Если каждую сторону треугольника токов (рис. 2.32) разделить на
модуль входного напряжения, то получим подобный треугольник – треугольник проводимостей (рис. 2.33).
+j
IR
G
U
+1
–

IC – IL
BC – BL
Y
I
Рис. 2.32. Треугольник токов
Рис. 2.33. Треугольник проводимостей
В большинстве случаев при решении задач удобнее пользоваться показательной формой представления полной комплексной проводимости:
47
Y
I
U

I j(i  u )
e
U
 Y e  j
,
(2.48)
где Y  G 2  (BC  B L ) 2 – абсолютное значение полной проводимости;
  arctg
 B L  BC 
– фазовый сдвиг между синусоидой напряжеG
ния и тока.
В цепи с параллельным соединением индуктивности и емкости при
равенстве их реактивных проводимостей имеет место р езо на нс т о ко в
(рис. 2.34) – явление равенства реактивных составляющих тока общей
ветви.
При резонансе токов модуль тока общей ветви будет определяться
лишь активной составляющей, а фазовый сдвиг между напряжением и
током будет равен нулю. При этом его величина, будет минимальной, так
как полная проводимость участка электрической цепи будет минимальной:
Y  G 2  (BC  BL ) 2  G  min ,
I  U Y  U G  min .
+j
IC
IL
I = IR
U
+1
Рис. 2.34. Векторная диаграмма при резонансе токов
Явление резонанса в электрической цепи, содержащей параллельное
соединение элементов R, L, C, может быть достигнуто, так же как и при
последовательном их соединении, изменением L, С или изменением частоты питающего напряжения. На рис. 2.35 представлены зависимости
модулей проводимостей реактивных элементов от изменения частоты.
B,
Cм
BL  
1
L
48
BC   C
BC  B L
Рис. 2.35. Зависимость модулей реактивных проводимостей от частоты
При нулевой частоте питающей сети проводимость емкостного элемента ВC  С равна нулю, а реактивная составляющая проводимости
индуктивного элемента
1 

 ВL 

L 

бесконечно велика. Фазовый сдвиг между напряжением и током,
модуль полной проводимости будут определяться лишь индуктивным
элементом (2.36).
,
рад/с

2



, рад/с
рез
2
Рис. 2.36. Зависимость фазы от частоты для участка
с параллельным соединением реактивных элементов
По мере увеличения частоты емкостная проводимость будет увеличиваться, а проводимость индуктивного элемента снижаться вплоть до
нуля, тем самым изменяется характер нагрузки от активно-индуктивного
до активно-емкостного. В предельных режимах активная составляющая
незначительна относительно проводимости реактивного элемента, однако, в режиме резонанса именно активная составляющая проводимости
будет способствовать протеканию тока. На рис. 2.37 представлены зависимости токов ветвей от частоты питающей сети.
I, А
I
IL
C
I

Следует помнить, что при определении фазового сдвига между напряжением и током из
треугольника проводимостей его величина учитываетсяIR
со знаком “–”.
49

рез
, рад/с
Рис. 2.37. Зависимости токов от частоты
2.9. Мощность и энергия цепи синусоидального тока
В зависимости от входящих в состав той или иной электрической
цепи пассивных элементов, полная мощность, потребляемая данной цепью из питающей сети, может быть представлена активной и реактивной
составляющими.
Активная составляющая мощности характеризует движение заряженных
частиц и определяет скорость преобразования энергии движения
(электрической энергии) в другие виды энергии (световую, механическую, химическую, внутреннюю).
Реактивная составляющая мощности характеризует наличие и интенсивность электрического и магнитного полей наводимых в реактивных элементах электрической цепи.
2.9.1. Мгновенная мощность, активная, реактивная
и полная мощности
Мгновенная мощность – мощность участка электрической цепи,
определяемая произведением мгновенных значений протекающего по
нему тока i и приложенного к нему напряжения u (размерность – вольтампер [ВА]):
p=ui.
(2.49)
Пусть ток опережает напряжения по фазе на угол :
u  Um sin  t ; i  I m sin  t   .


Тогда мгновенная мощность переменного тока :


p  ui  U m I m sin  t  sin  t   

Um Im
2 2
cos  
Um Im
2 2



UmIm
cos   cos 2 t   
2
cos(2t  )  UI cos   UI cos(2t  ) ,
где I, U – действующие значения тока и напряжения.
50
(2.50)
В данной формуле (2.50) первое слагаемое является постоянным для
данной цепи и не зависит от времени. Это слагаемое принято называть
активной составляющей (активной мощностью).
P  U  I  cos
(2.51)
Второе слагаемое характеризует обмен энергиями между источником и потребителем. Такой процесс возможен лишь при наличии реактивных элементов в цепи, способных накапливать энергию в виде полей
и отдавать ее обратно в цепь. Поэтому второе слагаемое принято называть реактивной составляющей мощности (реактивной мощностью).
Q  U  I  sin 
(2.52)
S  P 2  Q2
(2.53)
Полная мощность:
2.9.2. Активная мощность
При наличии в цепи только активной нагрузки (угол разности фаз
между
током и напряжением  = 0°) выражение (2.50) примет вид:
P  UI cos 0  UI cos(2 t  0)
[Вт]
(2.54)
 UI cos(2 t )
Получаем пульсирующую с двойной частотой мощность (рис. 2.38).
i, u
р
Т
/2

u
t
3/2  t
i
Рис. 2.38. Временные диаграммы напряжения, тока и активной мощности
На практике чаще используется среднее за период значение активной составляющей мощности.
Pср 
1T
1T
 р dt   UI cos   UI cos(2 t  ) dt  UI cos 
Т0
Т0
Мощность активного сопротивления:
51
(2.55)
P  UI cos  I 2 R  U 2G ,
(2.56)
где R и G – активные сопротивление и проводимость электрической
цепи.
Активная мощность электрической цепи всегда положительна, что
означает необратимость преобразования энергии, и может быть замерена
ваттметром.
2.9.3. Реактивная мощность
При наличии в цепи только реактивной нагрузки (угол разности фаз
между током и напряжением  = 90°) выражение (2.50) примет вид:
Q  UI cos90o  UI cos(2 t  90o )  UI sin(2 t)
(2.57)
i, u
р
i
u
Т
t

t
Рис. 2.39. Временные диаграммы напряжения, тока и реактивной мощности
Получаем синусоидально изменяющуюся мощность, частота которой вдвое больше частоты тока и напряжения (рис. 2.39). Принимая во
внимание, что полная мощность (S=UI) есть сумма активной
(P = UI cos) и реактивной составляющих можно определить формулу
для реактивной составляющей – мощности:
Q = U I sin  ,
(2.58)
размерность вольт-ампер реактивный [ВАР].
Реактивная мощность индуктивного элемента:
QL  UI sin()  I 2 ХL  U2 ВL ,
где Х L   L – индуктивное сопротивление;
1
ВL 
– индуктивная проводимость.
L
Реактивная мощность емкостного элемента:
52
(2.59)
QC  UI sin()  I 2ХC  U2 ВC ,
где Х с 
(2.60)
1
1
, Вc 
  C – емкостное сопротивление и провоC
xс
димость.
53
2.9.4. Коэффициент мощности
Составляющие мощностей могут быть сведены к треугольнику
мощностей (рис. 2.40).
S = UI
Q = UI sin 

P = UI cos 
Рис. 2.40. Треугольник мощностей
Важное практическое значение имеет сos  – коэффициент мощности, определяющий долю активной энергии, идущей на выполнение полезной работы (получение тепловой, механической и других энергий) к
полной мощности, потребляемой из сети:
P
(2.61)
cos   .
S
Чем выше коэффициент мощности того или иного электротехнического устройства, тем экономичнее его работает. На промышленных
предприятиях повышение cos  достигается правильным подбором оборудования, полной загрузкой двигателей, трансформаторов.
Обычно для предприятий cos  0 , то есть характер нагрузки индуктивный. Одной из мер повышения cos  может быть установка конденсаторов или электромагнитных компенсаторов.
2.9.5. Выражение мощности в комплексной форме
На рис. 2.41 изображены векторы тока и напряжения, которым соответствуют комплексные числа U  Ue ju и I  Ie j i . Если взять произведение U  I  U  I  e j(u  i ) , то оно не определяет мощность цепи, так
как аргумент представляет собой сумму углов, а не их разность.
+j
I
U
i
u
+1
Рис. 2.41. Векторная диаграмма тока и напряжения на комплексной плоскости
54
Чтобы получить мощность, следует у одного из комплексных чисел
(тока или напряжения) заменить его сопряженным комплексным числом.
То есть, если комплексное число задаётся в алгебраической или тригонометрической форме, то необходимо изменить знак мнимой части на противоположный, или если оно задаётся в показательной форме, изменить
знак аргумента.
Возьмем произведение напряжения на сопряженное комплексное
число тока I*  Ie  ji (сопряженные комплексные числа отмечают звездочками над соответствующими буквенными обозначениями).
Тогда
U  I*  U  I  e j(u  i ) или
U  I*  U  I  e j  UI cos   jUI sin   P  jQ ,
так как  u   i   .
Следовательно, полная мощность определяется
S  U  I*
вещественная часть произведения представляет собой активную
мощность – P , а мнимая часть без множителя j – реактивную
мощность – Q . Модуль полученного комплекса дает полную (кажущуюся) мощность: S  P 2  Q2 .
В рассматриваемом случае  u   i , что соответствует емкостной
RC нагрузке.
U  I*  UIe  j  UI cos   jUI sin 
Если,  u  i что справедливо для цепи RL , то:
U  I*  UIe j  UI cos   jUI sin 
Таким образом, знак мнимой части полной мощности определяет характер нагрузки.
Однако нужно отметить, что знаки у мнимой части полной мощности при одинаковых параметрах цепи изменятся, если взять произведение
U*  I .
Поэтому при составлении баланса мощностей, рекомендуется производить всегда единообразные операции, то есть всегда брать произведение U  I* . Это поможет избежать ошибки при суммировании реактивных мощностей.
55
2.9.6. Параметры пассивных элементов электрической цепи
Таблица 2.2
Элемент
Параметры пассивных элементов электрической цепи
Обозначение
Мгновенные
величины тока и
напряжения
Комплексные сопротивления
Мгновенная и
комплексная
мощность
Энергия
Резистивный
pR  u R iR 

R [Ом]
iR = uR /R, [A]
uR = iR R, [B]
R, [Ом]
u 2R
 i 2R R ,
R
t
WR ( t )   p R dt 

[Bт]
PR = URIRcos=

U2
 R  I 2R R ,
R
[Вт час]
t
 0,
R  i 2R dt

[Bт]
Индуктивный
pL  u L iL 
di L
, [B]
 , u L  e  L
XL = j L,
dt
[Ом]
iL
t
1
iL 
[Гн]
 u L dt , [A]  = 2  f
L
L 
di
 Li L L , [ВАР]
dt
QL  U L I L sin  

t
WL ( t )   p L dt 

L i 2L  2


,
2
2L
U 2L
 I 2L X L [ВАР]
[ВАР час]
XL
pc  u c ic 
Емкостной
du
1 t
q , uC 
 i C dt , [B]
С
C 
uc
du
i c  C c , [A]
[Ф]
dt
 Cu c c ,
dt
1 ,
Xc  j
C [ВАР]
Qc  U c Ic sin  
[Ом]
=2f
U2

c
Xc
[ВАР]
56
 Ic2 X c ,
t
Wc ( t )   p c dt 

u2 q2
C c 
,
2
2C
[ВАР час]
3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Методика расчета рассмотренных ниже методов приведена с учетом
метода комплексных амплитуд, согласно которому гармонические
функции (токи и напряжения) рассматриваются как комплексные вектора
[раздел 2.3], то есть исходные функции из временной области (области
вещественной переменной t) переводятся в частотную область – область
мнимого аргумента j .
Рассмотренные ниже методы применимы для линейных цепей как
переменного синусоидального тока, так и цепей постоянного тока, в которых полное сопротивление цепи определяется лишь активной составляющей.
Электрическая цепь считается заданной, если задана ее конфигурация, то есть, задана схема соединения элементов цепи и их параметры:
сопротивления или проводимости пассивных элементов, напряжения, токи, внутренние сопротивления или проводимости активных элементов.
В теории электрических цепей возможна постановка двух типов задач:
1) задачи анализа электрических цепей, когда известны конфигурация и значения элементов электрических цепей и требуется определить
токи в ветвях, падения напряжений на участках электрической цепи или
мощности, рассеиваемые на входящих в её состав элементах;
2) задачи синтеза электрических цепей, когда заданы токи и напряжения, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать параметры ее
элементов.
В данном пособии проведены лишь некоторые наиболее часто используемые при расчетах методы решения задач первого типа.
3.1. Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Идея метода: преобразовать (свернуть) исходную схему в более простую, для которой несложно определить величину входного тока. Токи
ветвей исходной схемы определяются при обратном преобразовании
(развертке) упрощенной схемы.
В основе метода лежит принцип эквивалентности, согласно которому два участка электрической цепи будут эквивалентными в том случае,
если при замене одного из этих участков другим потенциалы входных его
точек не изменяются, то есть остаются неизменными входные напряжения и токи.
Эквивалентность двух участков электрической цепи является полной, если для них при любых внешних воздействиях выполним принцип
57
эквивалентности, если эквивалентность участков соблюдается только при
определённом внешнем воздействии, то такие участки являются частично
эквивалентными.
На рис. 3.1 представлены два эквивалентных участка А1 и А2, в которых при одинаковых входных напряжениях Uab, Ubс, Uса протекают одинаковые входные токи Ia, Ib, Ic.
Ia
a
a
Uca
Uca
Ib
Uab
b
А1
с
Ic
Ubc
с
b
Ubc
Ia
Uab
Ib
а)
А2
Ic
б)
Рис. 3.1. Эквивалентные участки электрической цепи:
а – электрической цепи А1; б – электрической цепи А2
На рис. 3.1 представлены два эквивалентных участка А1 и А2, в которых при одинаковых входных напряжениях Uab, Ubс, Uса протекают одинаковые входные токи Ia, Ib, Ic.
3.1.1. Эквивалентное преобразование пассивных участков электрической цепи
Последовательное соединение пассивных элементов
Под последовательным соединением элементов электрической цепи
принято понимать такое соединение, при котором к одному из выводов
предыдущего элемента присоединяется один из выводов последующего и
так далее.
Особенность последовательного соединения элементов: ток, протекающий по последовательно соединенным элементам один и тот же.
Участок электрической цепи, содержащий последовательно элементы (рис. 3.1, а), может быть заменен эквивалентным ему участком электрической цепи с одним элементом (рис. 3.1, б), так называемым эквивалентным сопротивлением.
Два участка электрической цепи являются эквивалентными, если при
одном и том же приложенном к его концам напряжении по участку протекает один и тот же ток (принцип эквивалентности).
В общем случае, электрическим эквивалентом участка электрической цепи, содержащего последовательно соединённые пассивные эле58
менты (рис. 3.1, а), является пассивный элемент (рис. 3.1, б), комплексное
сопротивление которого равно сумме комплексных сопротивлений этих
элементов.
Z1
Z2
ZЭ
Zn

U
I
I
U
а)
б)
Рис. 3.2. Схема последовательного соединения резистивных элементов:
а – электрическая цепь; б – эквивалентная схема
Согласно второму закону Кирхгофа для схемы рис. 3.2, а входное
напряжение исходной схемы равно сумме падений напряжений на элементах
U  Z1 I  Z2 I    Zn I  Z1  Z2    Zn  I .
Для схемы рис. 3.2, б:
U  Zэ I .
Исходя из сопоставления этих формул, эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов:
n
Z Э  Z1  Z 2    Z n   Z k .
(3.1)
k 1
Параллельное соединение пассивных участков электрической цепи
Под параллельным соединением элементов электрической цепи принято понимать такое соединение, при котором одноименные выводы
элементов объединены в один узел, а противоположные их выводы – в
другой.
Особенность параллельного соединения элементов: напряжение на
зажимах параллельно соединенных элементов одно и тот же.
U
Y1
YЭ
Y2   
Yn
U
I
а)
б)
Рис. 3.3. Схема параллельного соединения резистивных элементов:
а – электрическая цепь; б – эквивалентная схема
59
I
В общем случае, электрическим эквивалентом участка электрической цепи, содержащего параллельно соединённые пассивные элементы
(рис. 3.3, а), является пассивный элемент (рис. 3.3, б), комплексная проводимость которого равна сумме комплексных проводимостей этих элементов.
Согласно первому закону Кирхгофа:
I  I1  I1    I n .
По закону Ома токи ветвей, могут быть представлены как:
I1  Y1  U ; I 2  Y 2  U ; ; I n  Y n  U ,
где Y n – проводимость n-ой ветви.
Подставив полученные выражения в уравнение для токов, и выполнив элементарные преобразования, получим:
I  Y1 U  Y 2 U    Y n U  Y1  Y 2    Y n  U
n
YЭ   Yk .
(3.2)
k 1
Таким образом, эквивалентная проводимость участка электрической
цепи, содержащего параллельное соединение элементов, определяется
суммой проводимостей каждого элемента в отдельности.
Пример 3.1.
При заданных параметрах электрической цепи: значениях индуктивностей, ёмкостей и активных сопротивлений, а так же параметрах питающей сети: напряжении и частоте, определить токи в ветвях электрической цепи.
L2
R1
С1
U
С
2
L1
R2
Рис. 3.4. К примеру 3.1
Решение
Представим последовательные соединения сопротивлений в ветвях
схемы их полными комплексными сопротивлениями (рис. 3.4) и зададим
условно положительные направления протекающих по ним токов:
Z1  R1  R1e j0 ;
60


j
 1   1  j 2
  
  e
Z 2   j
; Z3  jL1   L1   e 2 ;
 C1   C1 


1 
1 
  R 22   L 2 

Z 4  R 2  j L 2 

C

C 2 
2 


2
e
X 
j arctg  2 
 R2 
.
а
I1
Z1
I4
I2
U
I3
Z2
Uab
Z4
Z3
b
Рис. 3.5. Схема электрической цепи
Z1
I вх
а
I1
Uab
U
I3
ZЭ
Z3
b
Рис. 3.6. Эквивалентная схема электрической цепи
В полученной схеме (рис. 3.4) параллельно соединенные сопротивления Z2 и Z4 заменим их эквивалентом:
Z2 Z4
Zэ 
.
Z2  Z4
Для полученной схемы (рис. 3.5), содержащей последовательно соединенные сопротивления Z1, ZЭ и Z3, определим входной ток:
U
.
Iвх 
Z1  Zэ  Z3
Поскольку, сопротивления соединены последовательно, по ним протекает один и тот же ток, направление которого определяется приложен61
ным напряжением (от точки с большим потенциалом к точке с меньшим
потенциалом), следовательно: I1  I вх (выбранное направление тока
I1 совпадает с направлением тока I вх ); I 3   I вх (выбранное направление
тока I1 встречно направлению тока I вх ). Для определения токов I 2 и I 4
необходимо определить напряжение U ab , под действием которого они
протекают.
Напряжение U ab может быть определено, как падение напряжения
на сопротивлении Z э , то есть как напряжение, которое необходимо приложить к данному сопротивлению, чтоб по нему протекал ток I вх
(направление напряжения U ab должно совпадать с направлением ток
I вх ):
Uab  Iвх Zэ .
Тогда токи второй и четвёртой ветвей определяются как:
U ab
 U ab
I4 
;
.
Z4
Z2
Взаимное эквивалентное преобразование схем последовательного
и параллельного соединения элементов в цепях синусоидального тока
Часто при решении задач удобно вместо последовательного соединения активного и реактивного элементов рассматривать эквивалентное
ему параллельное соединение и наоборот (рис. 3.7).
I2 
R1
L
UR
UL
I
C
UC
IR
U
IС
R
IL
L
I
а)
б)
Рис. 3.7. Схема участка электрической цепи:
а – с последовательным соединением элементов;
б – эквивалентная схема с параллельным соединением элементов
62
С
На рис. 3.8, а представлена схема замещения последовательного соединения элементов (схемы рис. 3.7) и эквивалентная ей схема, содержащая параллельное соединение (рис. 3.8, б).
Х
R
I
U
U
IR
G
IХ
B
I
а)
б)
Рис. 3.8. Схема участка электрической цепи:
а – схема последовательного соединения элементов электрической цепи;
б – эквивалентная ей схема параллельного соединения
Рассмотрим эквивалентный переход от схемы с последовательным
соединением элементов R, L, C к схеме с их параллельным соединением.
Комплексное сопротивление исходной схемы (рис. 3.7, а):
Z  R  jX ,
Эквивалентная ей проводимость:
Y
(3.3)
1
1
R  jX
R
X


 2
j 2
2
Z R  jX R  jX  R  jX  R  X
R  X2 .
(3.4)
Комплексная проводимость и сопротивление эквивалентной схемы
(рис. 3.4, б):
Y  G  jX ,
(3.5)
G  jВ
В
1
1
G
Z эк  


j 2
Y G  jВ G  jВ  G эк  jВ  G 2  В2
G  В2 . (3.6)
Формулы перехода от последовательного соединения к параллельному (3.7) и обратно (3.8) получаются из сопоставления выражений для
сопротивлений (3.3) и (3.6) и проводимостей (3.5) и (3.6):
G эк 
R
R X ,
2
2
Вэк  
63
Х
;
R  X2
2
(3.7)
R
G эк
G 2эк
 В 2эк
X
,
В эк
G 2эк
 В 2эк .
(3.8)
Взаимные преобразования схем соединения «Звезда» и
«Треугольник»
При расчете параметров электрических цепей нередко встречаются
соединения, которые не могут быть отнесены ни к последовательным, ни
к параллельным, так называемые соединения типа “звезда” и “треугольник” (рис. 3.9).
А
Ia
U ca
I ca
U ab
Z ca
I bc
Z ab
Iab
Z bc
Ic
Ib
U bc
С
В
а)
А
U ca
Za
Uc
Ua
Ub
Zc
U ab
Zb
Ib
Ic
С
Ia
U bc
64
В
б)
Рис. 3.9. Соединение резистивных элементов по схеме:
а – "треугольник"; б – "звезда"
Для упрощения схем, содержащих такие типы соединений, в большинстве задач необходимо эквивалентно преобразовать одно из соединений в другое. Примером таких задач является задача на упрощение мостовой схемы (рис. 3.10).
Определим условия эквивалентности двух пассивных участков электрической цепи (abc). Исходя из принципов эквивалентности, эти участки
будут эквивалентны, если при замене одного участка другим входные токи I1, I2, I3 и напряжения между выводами Uab, Ubc, Uca останутся неизменными.
Рассмотрим преобразование “треугольника” в “звезду”. Для “треугольника” запишем уравнение баланса напряжений (второй закон
Кирхгофа):
U ab  U bc  U ca  I ab Zab  I bc Z bc  I ca Zca  0 .
Исключим из этого уравнения токи Ibс и Iса , выразив их через ток
Iab и входные токи (первый закон Кирхгофа):
I ab Zab  I ab  I b Z bc  I ab  I a Zca  0 
I ab 
Zca
I
Zab  Z bc  Zca a

Z bc
I .
Zab  Zbc  Zca b
Напряжение между выводами a и b (разность потенциалов) в схеме
“треугольник”:
U ab  I ab Zab 
Zca Zab
I
Zab  Zbc  Zca a

Zbc Zab
I
Zab  Zbc  Zca b
.
Напряжение между выводами a и b в схеме “звезда”:
U ab  U a  U b  Za I a  Z b I b
.
Из сопоставления выражений 3.12 и 3.13 получим:
Za 
Zca Zab
Z bc Zab
, Zb 
.
Zab  Z bc  Zca
Zab  Z bc  Zca
(3.9)
Для любого из нерассмотренных напряжений между выводами в
схеме “треугольник” могут быть составлены аналогичные выражения:
65
Zс 
Z bc Zca
.
Zab  Z bc  Zca
(3.10)
Формулы перехода от схемы соединения  к схеме – :
Ya Yb
,
Ya  Y b  Yc
Yc Ya

,
Ya  Yb  Yc
Yb Yc

.
Ya  Yb  Yc
Y ab 
Y ca
Y bc
Zab  Za  Z b 
(3.11)
Za Z b
;
Zc
Z bc  Z b  Zc 
Z b Zc
;
Za
Zca  Zc  Za 
Zc Za
Zb
(3.12)
Пример 3.2.
В схеме (рис. 3.10) при известных значениях сопротивлений и входного напряжения определить ток нагрузки.
Iн
Rн
а
R1
R2
R5
с
b
R4
R3
d
66
Рис. 3.10. К примеру 3.2.
Решение
Для упрощения подобных “мостовых” схем используется эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений (например, R1, R2,
R5) в “звезду”.
Пунктиром впишем в треугольник аbc звезду (рис. 3.11) и определим
сопротивления ее лучей для эквивалентной замены.
Rн
а
R1
R2
Ra
Rb
Rc
Uc
с
b
R5
R4
=>
R3
d
Рис. 3.11. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в “звезду”
Rн
Iн
а
Ra
Rc
Uc
Rb
с
b
R4
R3
d
Рис. 3.12. Преобразованная эквивалентная схема
Согласно уравнениям (3.9, 3.10) сопротивления луча построенной
“звезды”, исходящего из вершины “треугольника”, равна отношению
67
произведения сопротивлений примыкающих сторон “треугольника” к
сумме сопротивлений всех его сторон.
Ra 
R1 R 2
,
R1  R 2  R 3
Rb 
R2 R5
,
R1  R 2  R 3
Rс 
R 5 R1
.
R1  R 2  R 3
В преобразованной схеме (рис. 3.12) сопротивления попарно Rc , R4
и Rb , R3 соединены последовательно. Образованные этими сопротивлениями ветви соединены параллельно (рис. 3.13).
Rн
а
Rc + R4
Rb + R3
Ra
Uc
d
Рис. 3.13. Эквивалентная схема замещения
Ток нагрузки является входным током и может быть определен как
Iн 
U
R c  R 4   R b  R 3  .
Rн  Ra 
R c  R 4   R b  R 3 
Другим возможным вариантом решения подобной задачи является
преобразование исходной схемы эквивалентной заменой одной из звёздочек (R1R4R5 или R2R3R5) в схему соединения треугольником (рис.
3.14).
Iн
Rн
Rн
Iн
а
а
Rab
Uc
R5
с
Rab
R1
R2
R1
Uc
b
с
Rca
b
Rca
R3
R4
d
R4
Rbc
Rbc
d
68
Рис. 3.14. Эквивалентные схемы преобразования звезды сопротивлений
в треугольник
3.1.2. Взаимные преобразования источника ЭДС и
источника тока
Реальные источники электрической энергии имеют нелинейную
вольтамперную характеристику (рис. 3.15), однако, в большинстве задач
при определенных допущениях, внешняя характеристика реальных источников может быть идеализирована, то есть, представлена в виде прямой. Такой источник принято называть линеаризованным источником
энергии (рис. 3.16).
Идеализированная внешняя характеристика реального линеаризованного источника задается двумя точками, соответствующими режиму
холостого хода (ток нагрузки равен нулю) и режиму короткого замыкания (сопротивление нагрузки равно нулю).
В зависимости от угла наклона характеристики и от условий конкретной задачи линеаризованный источник энергии может быть представлен расчетным эквивалентом: либо источником тока (параллельная
схема замещения), либо источником ЭДС (последовательная
схема замещения).
Уравнение прямой проходящей через две точки (рис. 3.1, б):
u  u1
i  i1
.

u 2  u 1 i2  i1
(3.13)
Первая точка, соответствующая режиму холостого хода: i1 = ix = 0; u1
= ux .
Вторая точка, соответствующая режиму короткого замыкания:
u2=uк=0; i2 =iк.
Подставляя координаты этих точек в уравнение (3.13), получим
уравнение внешней характеристики линеаризованного источника:
i 
u 
(3.14)
u  u x   x  i или i  i к   к  u ,
i
 ux 
 к 
u
где  x
 iк

  R вн – внутреннее сопротивление и

 iк 
   G вн – внутренняя проводимость источника.
 uх 
В случае если внутреннее сопротивление источника мало, наклон
внешней характеристики близок к нулю (характеристика близка к абсо69
лютно жесткой), то такой источник можно рассматривать как источник
ЭДС (рис. 3.15), если проводимость источника равна нулю, внешняя характеристика близка к абсолютно мягкой, то источник рассматривается
как источник тока (рис. 3.16).
Выбор схемы замещения линеаризованного источника может быть
сделан произвольно, исходя из условий конкретной задачи, причем, в
процессе решения может возникнуть необходимость перехода от одной
схемы замещения к другой
Gвн1  0
u
u
Rвн = 0
Gвн = 0
uх
Rвн1  0

Rвн1 > Rвн2
Gвн1 > Gвн2
i
i
iк
Рис. 3.15. Внешние характеристики
источников ЭДС
Рис. 3.16. Внешние характеристики
источников тока
Используя выражения (3.14), можно определить формулы перехода
от последовательной схемы замещения к параллельной, в общем случае:
J
E
;
Zвн
Y вн 
1
Zвн
(3.15)
и от параллельной к последовательной:
E
J
;
Y вн
Zвн 
1
.
Y вн
(3.16)
i
J
i
Е
iвн
Zвн
u
Zвн
u
Zн
70
Zн
Рис. 3.17. Параллельная схема
замещения реального источника
Рис. 3.18. Последовательная схема
замещения реального источника
При эквивалентном взаимном преобразовании источника тока и источника ЭДС следует обратить внимание на следующее:
 направления тока и напряжения на выходе источника при эквивалентном преобразовании должны быть сохранены;
 источник ЭДС и источник тока – идеализированные модели источника, строгая физическая реализация которых невозможна;
 параллельная и последовательная схемы замещения линеаризованного источника эквивалентны друг другу в отношении энергии, выделяющейся в нагрузке и неэквивалентны – по энергии, выделяющейся во
внутреннем сопротивлении источника;
 идеальные источники (Zвн = 0) не могут быть взаимно преобразованы.
3.1.3. Эквивалентное преобразование участка электрической
цепи с последовательным соединением элементов
При последовательном соединении элементов в качестве расчетного
эквивалента источников энергии используется последовательная схема
замещения.
Uab
а
c
d
e
b

I
Z1
E1
UE1=E1
I Z1
Zn
E2
UE2=E2
I Zn
а)
Uab
а
b
I
EЭ
UEЭ =EЭ

ZЭ
I ZЭ
В этом случае в качестве внутренних сопротивлений при эквивалентной замене могут
быть использованы сопротивления цепи, последовательно или параллельно которым включены идеальные источники.
71
б)
Рис. 3.19. Исходная схема:
а – с последовательным соединением элементов; б – эквивалентная схема
В общем виде формулы преобразования активного участка электрической цепи с последовательным соединением элементов:
n
ZЭ   Z k
k 1
m
EЭ   Ek
;
(3.17)
k 1
При эквивалентном преобразовании последовательно соединенных
источников ЭДС направление эквивалентного источника выбирают произвольно.
Правило знаков: ЭДС источника учитывается со знаком “+” в том
случае, если его направление совпадает с выбранным направлением эквивалентного источника ЭДС.
3.1.4. Перенос источников ЭДС и источников тока
Идеализация источников электрической энергии, в некоторых случаях может привести к появлению, так называемых, вырожденных источников. Таковыми являются идеальные источники ЭДС, включенные в состав ветви, не содержащей пассивных элементов (рис. 3.20, а), и идеальные источники тока, параллельно которым не включены ветви, проводимость которых можно было бы рассматривать как внутреннюю
проводимость источника (рис. 3.20, б). Вырожденные источники ЭДС и
тока не могут быть взаимно преобразованы. При этом схема, содержащая
такие источники, является некорректной. Устранение вырожденных источников возможно при их переносе.
J
Z1
а
а
b
Iа
E
с
I1
Z1
b
Iс Z2
Z2
а)
б)
Рис. 3.20. Примеры схем, содержащих:
а – вырожденный источник ЭДС; б – вырожденный источник тока
72
I2
Iа
Источник ЭДС на участке аb может быть перенесен в ветви 1 и 2
(рис. 3.21, а). В результате один из узлов (а или b) будет устранен (рис.
3.21, б).
Z1
E
Z1
E
E
b
b = –E
a
a = 0
с
с = –E
d
d = –E
E
E
b
E
Z2
Z2
E
а)
б)
Рис. 3.21. Перенос вырожденного источника ЭДС:
а – перенос источника ЭДС; б – устранение одного из узлов
J
а
Iа
J
с
I1
Z1
Iс
b
I2 Z2
Iа
Рис. 3.22. Перенос вырожденного источника тока
Эквивалентность такого переноса можно пояснить на примере сопоставления соответствующих потенциалов (рис. 3.21, а). Пусть потенциал
точки а будет равен нулю, тогда потенциалы точек b, c, d будут равны (–
Е), следовательно, они могут быть объединены в один узел.
Вырожденный источник тока, включенный между узлами а и b
(рис. 3.21, б), может быть заменен двумя источниками тока, включенными между узлами а и с и узлами с и b (рис. 3.22). Эквивалентность такой
замены следует из неизменности выражений для токов в каждом узле:
для схемы (рис. 3.21, б):
Ia  I1  J  0 ;
для узла а:
I
для узла b:
2  J  Ib  0 ;
для узла с:
I I 0.
1
для схемы (рис. 3.22):
Ia  I1  J  0
для узла а:
I
для узла b:
2  J  Ib  0
для узла с:
I I JJ  0
1
2
73
2
Алгоритм расчета по методу эквивалентного преобразования
цепи:
– исходная схема оценивается на наличие последовательного и параллельного соединений пассивных и активных элементов;
– выбираются и обозначаются на схеме условно положительные
направления токов;
– преобразуются все последовательные соединения элементов, в результате, полученная эквивалентная схема должна включать в себя ветви,
содержащие минимально возможное число элементов – либо только один
элемент, либо два – пассивный и активный;
– преобразуются все параллельные соединения элементов;
– если сложная схема не содержит последовательного и параллельного соединений, то оценивается необходимость эквивалентной замены
соединений типа "звезда" и "треугольник";
– для упрощенной схемы определяется значение входного тока;
– по входному току согласно закону Ома (разворачивая схему) определяются напряжения на участках электрической цепи и токи этих участков.
Критерий применимости:
Метод удобен при решении задач, в которых не требуется определение токов всех ветвей электрической цепи, поэтому часть участков цепи
может быть представлена их эквивалентами. Метод широко используется
при определении входного и выходного сопротивлений электрической
цепи, структура которой при дальнейшем решении, как правило, не представляет интереса.
3.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Идея метода: Токи ветвей исходной схемы определяются из системы уравнений составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
В общем случае искомые электрические величины и их соотношения
могут быть найдены в результате совместного решения системы уравнений составленных по первому и второму законам Кирхгофа для заданной
электрической цепи. Общее число таких уравнений должно соответствовать числу неизвестных токов, то есть числу ветвей, не содержащих источника тока.

В частности метод эквивалентного преобразования электрической цепи используется в
методе эквивалентного генератора, при определении величины внутреннего сопротивления
пассивного двухполюсника.
74
Данная система уравнений будет иметь однозначное решение в том
случае, если уравнения системы будут н е з а в и с и м ы м и , то есть любое последующее уравнение системы не может быть получено как результат алгебраических операций уже записанных уравнений.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов схемы кроме одного. Уравнение, составленное для последнего узла, не является независимым, поскольку может быть получено как результат суммирования уже
составленных уравнений. Оставшиеся уравнения записываются согласно
второму закону Кирхгофа для независимых контуров.
Н е з а в и с и м ы м к о н т у р о м называется контур, в состав которого входит хотя бы одна, не вошедшая в состав других контуров, ветвь.
Однако данное требование является д о с т а т о ч н ы м , но не необходимым и в ряде случаев независимый контур может и не содержать новых
ветвей, то есть содержать лишь ветви, уже вошедший в другие контуры.
Выбор независимых контуров
• метод интуитивного выбора
Выбираемая система контуров будет независимой, если каждый последующий контур содержит новую, не вошедшую в состав предыдущих
контуров, ветвь.
Для определения независимых контуров достаточно в первом выбранном контуре разомкнуть одну из ветвей, затем в оставшейся части
схемы выбирают новый контур и вновь размыкают одну из ветвей, и так
далее до тех пор, пока в схеме не останется ни одного контура.
На схеме (рис. 3.23, а) выберем один из контуров (aefb) (на схеме
буквами обозначены маршрутные точки). Разомкнем, удалим одну из его
ветвей (ef). В оставшейся части схемы выберем следующий контур (abc)
(рис. 3.23, б). Удалив одну из ветвей (ab), выбираем следующий контур
(acde). Последний контур (bfdc) получаем удалением одной из ветвей
предыдущего контура (рис. 3.23, в).
e
e
a
a
1
5
2
1
6
b
f
2
6
b
3
с
d
75 f
3
4
б)
с
d
4
а)
Рис. 3.23. Метод индуктивного выбора
e
a
1
2
6
b
3
f
с
d
4
в)
Продолжение рис. 3.23. Метод индуктивного выбора:
• метод формализованного выбора
Для выбора независимых контуров согласно данному методу по исходной схеме строится вспомогательная схема – гр аф эле к тр иче с ко й
це п и, вершины которого, являющиеся узлами исходной схемы, соединены ветвями – линиями, соответствующими ветвям схемы, но не содержащими элементов. Далее строится дерево графа – вспомогательная схема, содержащая все узлы графа, соединенные между собой ветвями, но не
содержащая контуров, то есть между любой парой вершин существует
лишь единственный путь. Независимые контуры получаются добавлением к дереву графа оставшихся ветвей.
a
5
5
I
6
1
6
1
2
III
3
II
2
3
IV
Метод
элементовс теории графов электрических цепей, которая
b основан на использовании
4 в 1847 г.
была предложена Г.Р. Кирхгофом

76
4
а)
б)
Рис. 3.24. Выбор независимых контуров
а – граф электрической цепи; б – дерево графа
Покажем выбор независимых контуров на примере схемы (рис.
3.24). Данная схема содержит три узла (a, b, c) и шесть ветвей. На основе
графа электрической цепи (рис. 3.24, а) строим дерево графа (в качестве
ветвей дерева выбраны первая и вторая ветви) (рис. 3.24, б), причем данное дерево н е е д и н с т в е н н о в о з м о ж н о е . Добавляя оставшиеся
ветви, получаем независимые контуры.
Пример. 3.3.
При известных значениях источников и сопротивлений определить
токи ветвей электрической цепи (рис. 3.25), используя метод непосредственного применения законов Кирхгофа.
а
I1
Z1
I
Z2
с
I4
I5
Z4
II
I2,3
E
Z3
Z5
J
b
Рис. 3.25. К примеру 3.3
Решение
В схеме (рис. 3.25) четыре ветви, токи которых необходимо определить, и пятая ветвь – ветвь источника тока. Следовательно, для расчета
необходимо составить систему из четырех уравнений. Два из которых
будут составлены по первому закону Кирхгофа, так как схема содержит
три узла, и два оставшихся – по второму закону Кирхгофа.
Произвольно выбрав условно положительные направления токов
ветвей, запишем первые два уравнения:
для узла а:
I1  I 2,3  I4  0 ;
для узла с:
I 4  I5  J  0 .
77
Уравнение баланса токов составленное для последнего узла (b) может быть получено суммированием уже составленных уравнений, и, следовательно, не будет независимым.
Определив независимые контуры и задав в них условно положительные обхода, запишем оставшиеся два уравнения:
Для контура I:
Для контура II:
I1 Z1  I 2,3 Z 2  Z3   E .
I 2,3 Z 2  Z3   I 4 Z 4  I 5 Z5  0 .
Правило знаков: составляющая I k Z k учитываются со знаком “+” в
том случае, если направление тока I k совпадает с заданным направлением обхода контура; величина ЭДС источника Е k учитываются со знаком
“+” в том случае, если направление источника совпадает с заданным
направлением обхода контура.
Таким образом, система уравнений для решения задачи будет иметь
вид:
I1  I 2,3  I 4  0,

I 4  I5  J  0,

I1 Z1  I 2,3 Z 2  Z3   E,
I Z  Z   I Z  I Z  0
3
4 4
5 5
 2,3 2
Полученная система уравнений может быть представлена в матричной форме
ZI  E:
1
0
Z1
0
1
1 0
I1
0
 1 1 I 2, 3

 Z 2  Z 3  0
0
I4
Z 2  Z3  Z 4 Z5 I 5
0

J
E
0
Алгоритм расчета:
– определяется число ветвей, число узлов, число независимых контуров;
– задаются и обозначаются на схеме условно положительные
направления токов ветвей;
78
– записываются уравнения согласно первому закону Кирхгофа для
всех, кроме одного, узлов схемы (уравнение токов для оставшегося узла
может быть получено суммированием уже записанных уравнений);
– задаются и обозначаются на схеме условно положительные
направления обхода независимых контуров, не содержащих источники
тока;
– для выбранных контуров записываются оставшиеся уравнения по
второму закону Кирхгофа;
– решая полученную систему уравнений, определяем токи ветвей.
Так как направления токов были выбраны произвольно, то значения токов могут получиться отрицательными. Это означает, что истинное
направление тока обратно выбранному.
Критерий применимости: Метод позволяет рассчитывать токи ветвей непосредственно без преобразования схемы и перехода к промежуточным переменным. При этом число уравнений необходимых для расчета электрической цепи соответствует числу неизвестных, то есть числу
токов ветвей, не содержащих источников тока. Поэтому, расчет усложняется по мере увеличения числа ветвей электрической цепи и не упрощается при определении лишь одного или нескольких ее токов.
Пример. 3.4.
В мостовой схеме (рис. 3.26) при заданных комплексных сопротивлениях и значениях ЭДС источников определить ток в диагонали моста.
I6
а
I2
I1
Z2
Z1
Z6
Z5
I5
b
d
E
I3
I4
Z3
Z4
с
Рис. 3.26. К примеру 3.4
Решение
79
Схема содержит шесть ветвей, четыре узла (а ,b, c, d) и три независимых контура (аbda, bcdb, abca). Следовательно, должны быть составлены шесть уравнений. Три составим по первому закону Кирхгофа:
для узла а: I1  I 2  I6  0 ;
I 2  I3  I5  0 ;
для узла с:
I3  I 4  I 6  0 ,
и оставшиеся три – по второму закону Кирхгофа:
для контура аbda: Z1 I1  Z2 I 2  Z5 I5  0 ;
Z3 I 3  Z 4 I 4  Z5 I 5  0 ;
для контура bcdb:
для узла b:
Z 2 I 2  Z3 I 3  Z 6 I 6  E ,
для контура abca:
Запишем полученную систему уравнений в матричной форме:
1
0
0
 Z1
0
0
1 0
0
1 1
0
0
1
1
Z2 0
0
0 Z3  Z 4
Z 2 Z3
0
0
1
0
 Z5
Z5
0
1
0
1

0
0
Z6
I1
I2
I3
I4
I5
I6
0
0
0
0
0
E

Решая систему уравнений относительно искомого тока, находим:

E
I5  5  Z 2 Z 4  Z1 Z3  ,
 
где
  Z5 Z1  Z 4  Z 2  Z3   Z6 Z1  Z 2  Z3  Z 4   Z1 Z 4 Z 2  Z3  
 Z 2 Z3 Z1  Z 4   Z6 Z1  Z 2  Z3  Z 4  .
Полученное выражение показывает, что ток в диагонали равен нулю,
если выполняется условие Z1 Z3  Z 2 Z 4 (условие равновесия моста).
Пример. 3.5.
Определить токи ветвей схемы (рис. 3.27), если известны величины
сопротивлений, индуктивностей и емкостей её пассивных элементов и
значения токов и ЭДС её активных элементов (источников).
R1
L1
C3
а
R3
C4
R2
C2
E
1
c
R8
R5
b
L5
80
C5
E
L7
4
C6
R6
f
d
J
e
Рис. 3.27. К примеру 3.5
Дано:
R1 = 141 Oм; R2 = 100 Oм; R 3 = 50 Oм;
R5 = 80 Oм; R1 = 30 Oм; R8 = 40 Oм;
L1 = 226 мГн; L5 = 110 мГн; L7 = 64 мГн;
С2 = 26,5 мкФ; С3 = 53 мкФ; С4 = 40 мкФ; С5 = 35 мкФ; С6 = 16 мкФ;
e1  200 sin t  60o В; e4  100 sin t  30o В;
i  3 sin t А; f = 100 Гц.




Решение
Исходная схема содержит 9 ветвей и 6 узлов, неизвестных токов – 8.
Ветви исходной схемы содержат последовательные соединения пассивных элементов, которые удобно представить в виде полных комплексных
сопротивлений (рис. 3.28):
Z5
Z3
Z1
b I5
а I3
I4
I2
I1
E1
Z2
I
Z4
II
III
E4
Z8
c
I8
I7
Z7
I6
e
d
IV
Z6
f
J
Рис. 3.28. Изображение пассивных элементов в виде
полных комплексных сопротивлений
o
3
j45
Z1  R1  jL1  141  j  2 
3,14
 100
;

  226  10  141  141 j  200 e
  628
o
1
1
Z2  R 2  j
 100  j
 100  60 j  116 ,6 e  j31 ;
6
C2
628  26,5  10
81
Z3  R 3  j
Z4   j
o
1
1
 50  j
 50  30 j  58,3 e  j31 ;
6
C3
628  53  10
1
1
 j90o
 j


40
j

40
e
;
C4
628  40  10 6

1 
1

  80  j 628  110  10 3 
Z5  R 5  j L5 

6

C5 
628  35  10 


o
 80  23,5 j  83,4 e j16,431 ;
o
1
1
Z6  R 6  j
 30  j
 30  100 j  104 ,4 e  j16,7 ;
6
C6
628  16  10
o
Z7  jL7  j  628  64  103  40 j  40 e j90 ;
o
Z8  R 8  40  40 e j0 .
Для выбора независимых контуров воспользуемся формализованным
методом. Построим дерево графа данной электрической схемы
(рис. 3.29), выбрав в качестве его ветвей ветви: ad, be, cd, de, ef. Добавляя
оставшиеся ветви са, ab, bf, cf, получаем независимые контуры.
Зададим условно положительные направления токов ветвей и составим уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы, кроме
одного:
для узла a)
I1  I 2  I3  0 ;
I3  I5  I 4  0 ;
I8  I1  J  0 ;
I2  I8  I7  0 ;
I6  I 4  I7  0 .
для узла b)
для узла c)
для узла d)
для узла e)
a
I
b
II
III
с
f
d
e
IV
Рис. 3.29. Дерево графа электрической схемы
82
Зададим на схеме положительные направления обхода независимых
контуров, не содержащих источники тока, и запишем для них уравнения
по второму закону Кирхгофа:
I1  Z1  I 2  Z2  I8  Z8  E1 ;
для контура II
I 2  Z2  I3  Z3  I 4  Z4  I7  Z7  E 4 ;
для контура III
I 4  Z4  I5  Z5  I6  Z6  E 4 .
Пять уравнений, составленные по первому закону Кирхгофа, и три –
по второму, образуют систему уравнений, позволяющих определить токи
ветвей.
для контура I
I1  I 2  I 3  0 ,

I 3  I 4  I 5  0 ,
 I1  I8  J ,

I 2  I 8  I 7  0 ,

I 4  I 7  I 6  0 ,
I  Z  I  Z  I  Z  E ,
1
1 1 2 2 8 8
 I 2  Z 2  I 3  Z 3  I 4  Z 4  I 7  Z 7   E 4 ,

 I 4  Z 4  I 5  Z 5  I 6  Z 6  E 4 .
Подставим значения величин сопротивлений и ЭДС.
I1  I 2  I 3  0 ,

I 3  I 4  I 5  0 ,
 I  I  3 ,
 1 8
I 2  I 8  I 7  0 ,

I 4  I 7  I 6  0 ,
I  141  j141   I  100  j 60   I  40  100  j173 ,2 ,
2
8
1
 I 2  100  j 60   I 3  50  j 30   I 4   j 40   I 7   j 40   86 ,7  j 50 ,

 I 4   j 40   I 5  80  j 23,5  I 6  30  j100   86,7  j 50 .
Запишем полученную систему в матричной форме Z  I  E :
83
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
141  j141 100  j60
0
0
0
0
0
 100  j60 50  j30  j40
0
0
0
0
0
j40 80  j23,5 30  j100
0
0 I1
0
I
0
0
0
2
0
1 I3
3
1  1 I4
0
 
 1 0 I5
0
0 40 I6 100  j173 ,2
j40 0 I7  86 ,7  j50
0
0 I8
86 ,7  j50
Решая полученную систему уравнений, определяем токи ветвей.
I 5  2,39  j0,61 ;
I1  0,96  j0,5 ;
I 2  1,08  j0,13 ;
I 3  0,12  j0,37 ;
I 6  0,61  j0,61 ;
I 4  2,51  j0,98 ;
I8  2,04  j0,5 .
I 7  3,12  j0,37 ;
Поскольку направления токов были выбраны произвольно, то полученные отрицательные значения токов
I 3  0,1227  j 0,3701  0,1227  j 0,3701  ;
I8  2,038  j 0,4971  2,038  j 0,4971  ;
I 4  2,509  j 0,9797  2,509  j 0,9797 
I 7  3,123  j 0,3701  3,123  j 0,3701  ;
I6  0,6134  j 0,6096  0,6134  j 0,6096 
говорят о том, что истинное направление протекания тока обратно
выбранному.
Пример. 3.6.
Определить показания приборов в схеме (рис. 3.30), если известны
величины сопротивлений, индуктивностей и емкостей её пассивных элементов и значения
ЭДС и токов её активных элементов (источников)
R1
L1
а
R2
C3
R3
V
b
C4
W
R5
E
L5
C2
C5
4
C6 пакета
L7 математического
Расчёт выполнен с применением
программного
R6 MathCad
R8
(Прил.1).
A
c
f
e
d
84
J
E

1
Рис. 3.30. К примеру 3.6.
Решение
Данные и результаты определения токов в ветвях взяты из примера
3.4. Ток через сопротивление R8: I8  2,038  j 0,4971 . Показания амперметра будут равны модулю вектора тока уменьшенному в 2 раз (приборы измеряют действующие значения токов и напряжений).
I8

2
2,04  j 0,5

2,04 2  0,52
2

2
2,1
 1,48 (А).
2
Для определения показаний вольтметра найдем падение напряжения
на сопротивлении Z 3.
U 3  I 3  Z3  0,12  j 0,37   50  j 3  5,77  j18,87 (В)
Показания вольтметра будут определяться модулем падением
напряжения U3 уменьшенном в
U3

5,77  j18,87
2 раз (действующие значения):
5,77   18,87 2
2


19,696
 13,9 (В).
2
2
2
2
Определим полную мощность, потребляемую на участке bf, если под
действием приложенного напряжения U bf  U bf e j Ubf по нему протекает
ток I bf  I bf e j Ibf :
S  U bf  I*bf  P  j Q 
(3.18)
Падение напряжения на участке bf определим как произведение тока I5 на величину сопротивления Z5.
U 5  I 5  Z5  2,39  j0,61  80  j 23,5  205 ,54  j7,37 (В).

I*bf  I bf e  jIbf – ток комплексно сопряженный току участка bf: I bf  I bf e j Ibf .
85
Для получения полной мощности необходимо взять сопряженную
комплексную величину тока, протекающего через сопротивления Z5.
I*5  2,39  j0,61*  2,39  j0,61
Теперь определим полную мощность.
U
I*
S  bf  bf , (ВА)
2
2
1
S   205 ,54  j7,37   2,39  j0,61  243,368  j71,489 , (ВА)
2
Ваттметр W измеряет активную мощность на участке bf цепи (по
определению P  UI cos u   i  ). Таким образом, активная мощность
(показание ваттметра) будет равна действительной части полной мощности.
(Вт).
P  243,368
Или активная мощность может быть определена как:
2
 I 
P  Re( Z5 )   5  – мощность, выделенная на активном сопротив 2


лении пятой ветви.
3.3. Метод контурных токов
Идея метода: Предполагается, что в каждом независимом контуре
протекает свой независимый контурный ток. Токи ветвей являются геометрическими суммами протекающих по ним контурных токов.
Для схемы любой цепи выбираем независимые контуры так, чтобы
одна из ветвей соответствующего контура входила только в этот контур,
и ток этой ветви примем за независимый контурный ток. Составляя для
независимых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа и исключая из этих уравнений токи ветвей общие для нескольких контуров (используем для этого уравнения, вытекающие из первого закона Кирхгофа),
получим систему уравнений только с теми токами, которые не являются
общими для двух или большего числа контуров (систему уравнений контурных токов).
Сумма напряжений на сопротивлениях любого контура равна алгебраической сумме напряжений, определяемых токами своего и смежных
контуров. То есть, если в общем для двух смежных контуров сопротивлении контурные токи направлены согласно, то падение напряжений
суммируется, в противном случае – вычитается.
86
Вывод структуры основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 3.31. Определим независимые контуры. Для этого
вынесем узлы и соединим их ветвями схемы, так чтобы не образовывалось контуров, то есть построим дерево графа схемы (рис. 3.32).
Независимые контуры получаются добавлением к дереву оставшихся ветвей. Если в схеме содержатся источники тока, то удобнее выбрать
контуры так, чтобы по ветви с источником тока замыкался лишь один
контурный ток, тогда его значение будет однозначно определено током
источника.
Для этого достаточно, чтобы ветвь с источником тока не входила в
структуру дерева, то есть являлась контурообразующей (независимой)
ветвью. Или же источники тока могут быть эквивалентно преобразованы
в источники ЭДС (рис. 3.33), однако, при определении токов ветвей исходной схемы потребуется обратное преобразование.
I1
Z1
а
I4
b
8
I3
Z4
Z2
I22
I11
I2
E
J
Z3
1
Z5
I5
c
I6
I44
Z6
d
I33
e
E
I7
Z7
2
Рис.3.31. Исходная схема электрической цепи
а
4
b
8
1
2
I
II
5
c
3
d
III
87
6
e
7
Рис.3.32. Выбор независимых контуров
Запишем уравнения для первых трёх контуров (рис. 3.33):
I11 Z1  Z 2  Z5   I 22 Z 2  I 33 Z5  E1 ;
для контура I :
I 22 Z 2  Z 4  Z3  Z6   I11 Z 2  I33 Z6  I 44 Z3  0 ;
для контура II:
I 33 Z5  Z 6  Z7   I11 Z5  I 22 Z6  E 2 .
для контура III:
Четвёртый контурный ток, равный току источника, известен:
I 44  J .
Уравнения для схемы (рис. 3.33) будут аналогичными, с той лишь
разницей, что составляющая  I 44 Z3  в уравнении для второго контура
будет перенесена в правую часть уравнения, с учетом того, что I 44  J .
Z4
I1
b
а I4
EЭ = J Z3
Z1
Z2
I22
I2
I11
E1
Z3
Z5
I6
Z6
c
d
I33
I7
I3
e
Z7
E
2
Рис. 3.33. Схема электрической цепи с эквивалентным источником ЭДС
Перепишем полученные уравнения следующим образом:
Z11 I11  Z12 I 22  Z13 I 33  E11;

 Z 21 I11  Z 22 I 22  Z 23 I 33  E 22 ;
 Z I  Z I  Z I  E .
32 22
33 33
33
 31 11
(3.19)
Введём обозначения:
Z11  Z1  Z 2  Z5 – собственное сопротивление первого контура;
88
Z 22  Z 2  Z 4  Z3  Z6 – собственное сопротивление второго конту-
ра;
Z33  Z5  Z6  Z7 – собственное сопротивление третьего контура;
Z12  Z21  Z2 – сопротивление смежной ветви между первым и
вторым контурами;
Z 23  Z 32  Z 6 – сопротивление смежной ветви между первым и
вторым контурами;
Z13  Z31  Z5 – сопротивление смежной ветви между первым и третьим контурами;
Е11  Е1 – ЭДС первого контура (контурная ЭДС) ( знак “+” указывает, что направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока);
Е 22  E 2  J  Z3 – ЭДС второго контура;
Е 33  E 3 – ЭДС третьего контура.
Решение полученной системы уравнений может быть выполнено с
использованием машинных методов расчета линейных уравнений на
ЭВМ. Одним из таких методов является метод решения систем уравнений при помощи матриц.
По вычисленным значениям контурных токов определяются токи
ветвей (для схемы рис. 3.33):
I1  I11 ;
I 2  I 22  I11 ;
I 3  I 44  I 22 ;
I 4  I 22 ;
I 5  I11  I 33 ;
I 6  I 22  I 33 ;
I 7  I 33 .
Алгоритм расчета:
– выбираются независимые контуры и обозначаются на схеме условно положительное направление контурных токов;
– определяются собственные сопротивления контуров ( Zkk ), равные
сумме сопротивлений, входящих в k-й контур;
– определяются взаимные сопротивления контуров ( Zkn ), равные
сопротивлениям в общей ветви контуров k и n.
– определяются контурные ЭДС ( Е kk ), равные алгебраической сумме источников ЭДС, входящих в k-й контур;
89
– согласно второму закону Кирхгофа для выбранных контуров составляются система уравнений;
– токи ветвей определяются геометрической суммой замыкающихся
по ним контурных токов.
Пример 3.6.
Определить токи ветвей схемы (рис. 3.34), если известны активные
сопротивления, индуктивности и ёмкости её пассивных элементов и известны значение тока и ЭДС её активных элементов (источников). Полное условие приведено в примере 3.5.
Решение
Запишем уравнения для контуров (рис. 3.34):
для контура II:
I11 Z11  I 22 Z12  I 44 Z14  E11 ;
I 22 Z 22  I11 Z 21  I 33 Z 23  I 44 Z 24  Е 22 ;
для контура III:
I 33 Z33  I 22 Z32  I 44 Z34  E 2 ;
ток IV контура:
I 44  J .
для контура I :
Z1
а
I3
Z3
b
Z2
I
E
Z5
I4
I2
I1
I5
Z4
II
III
E
1
4
Z8
c
Z7
I7
I8
I6
d
e
IV
Z6
f
J
Рис. 3.34. К примеру 3.7
Определим контурные сопротивления:

Переход к схеме замещения, содержащей комплексные сопротивления ветвей, и выбор
независимых контуров показаны в разделе 3.2, пример 3.4.
90
Z11  Z1  Z 2  Z8  141  j141  100  j60  40  281  j81 ;
Z 22  Z 2  Z3  Z 4  Z7  100  j60  50  j30  j40  j40  150  j90 ;
Z33  Z 4  Z5  Z6   j40  80  j23,5  30  j100  110  116 ,5 .
Определим сопротивления смежных (общих) ветвей соседних контуров:
Z12  Z21  Z2  100  j60 ;
Z13  Z31  0 ;
Z 23  Z32  Z 4   j40 ;
Z14  Z 41  Z8  40 ;
Z34  Z 43  Z6  30  j100
Z 24  Z 42  Z7  j40 ;
Определим контурные ЭДС:
E11  E1  100  j173 ,2 ;
E 22  E 2  86,6  j50 ;
E 22  E 2  86,6  j50 .
Составим систему уравнений:
I11281  j81  I 22 100  j60   3  40  100  j173 ,2 ;

I 22 150  j90   I11100  j60   I33 ( j40 )  3  j40  86,7  j50 ;
I 110  j116 ,5  I  j40   3  30  j100   86,6  j50 .
22
 33
Представим полученную систему в виде матрицы:
281  j81
 100  j60
0
 100  j60
150  j90
j40
0
j40
I11
220  j173 ,2
 I 22   86 ,7  j170
110  j116 ,5 I 33
176 ,7  j350
Решая полученную систему уравнений, определяем контурные токи:
I11  0,96  j0,5;
I 22  0,12  j0,37;
I 33  2,39  j0,61 .
Токи независимых ветвей электрической цепи определяются соответствующими контурными токами.

Расчёт выполнен с применением программного математического пакета MathCad
(Прил.1).
91
Токи смежных ветвей, по которым протекают несколько контурных
токов, определяется их геометрической суммой.
Знак "–" перед действительной частью тока ветви указывает на то,
что истинное его направление обратное.
По найденным значениям контурных токов определяются токи ветвей:
I 5  I 33  2,39  j0,61 ;
I1  I11  0,96  j0,5 ;
I 2  I11  I 22  1,08  j0,13 ;
I6  I33  I 44  0,61  j0,61 ;
I3  I 22  0,12  j0,37 ;
I7  I 22  I 44  3,12  j0,37 ;
I 4  I 22  I33  2,51  j0,98 ;
I8  I11  I 44  2,04  j0,5 .
В части задач удобнее вести расчет не относительно комплексных
амплитуд, а относительно действующих значений. В данном случае, значение комплексных амплитуд должно быть уменьшено в 2 – раз.
Критерий применимости: Число уравнений необходимых для расчета электрической цепи данным методом соответствует числу независимых контуров, которое в свою очередь определяется разностью между
числом ветвей и числом узлов минус один. Расчет упрощается, если в
схеме содержатся узлы, замыкающие на себе минимальное число ветвей.
3.4. Метод узловых потенциалов
Идея метода: определить потенциалы узлов схемы, зная которые
можно по закону Ома вычислить ток любой ветви электрической цепи.
Для определения потенциалов n узлов должна быть составлена система из n уравнений, однако, потенциал одного из узлов условно может
быть принят равным нулю. Что не повлечёт изменения токов ветвей, поскольку их величина зависит не от абсолютных значений потенциалов
узлов, к которым примыкает ветвь, а от их разности.
Вывод структуры основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 3.35. Примем потенциал узла d равным нулю
(d = 0) и запишем для оставшихся узлов схемы уравнения по первому
закону Кирхгофа, учитывая входящие токи со знаком “+” и выходящие –
со знаком “–”:
для узла а:
J  I1  I 2  0 .

Для определения знака, с которым необходимо учитывать тот или иной контурный ток,
замыкающийся по рассматриваемой смежной ветви, удобнее предварительно задать условное положительное направление тока в данной ветви. Контурные токи, совпадающие с выбранным направлением, учитываются со знаком "+", в противном случае со знаком "–".
92
для узла b:
I 2  I 4,5  I1  0 .
для узла с:
I6  J  I1  0 .
Представим токи ветвей через потенциалы их узлов согласно закону
Ома:
b
 а I2
I4,5
Z2
Z4
Z1
Z3
J
I3
I1
Z6
I6
с
Z5
E
d = 0


Рис.3.35. Метод узловых потенциалов
для узла а:
для узла b:
для узла с:
 
с
J 
Z1
 
a
Z2

b
 
с
Z6

а

 
E
a


b
Z2
0.

b
0.
Z 4  Z5
Z3
 
c
a
 J 
0.
Z1
b



Раскрыв скобки и сгруппировав подобные, получим:
 1
1 
1
1
  
а  
 b
J.

с
Z1
Z2
 Z1 Z 2 
a
 1
1
1 
E
 
для узла b:
.
b 




Z2
Z 4  Z5
 Z 2 Z 4  Z5 Z3 
 1
1 
1
с 
   a
 J .
для узла с:
Z
Z
Z
1
1
 6
Перепишем полученные уравнения следующим образом:
для узла а:
93
 Y aa   Y ab   Y ac  I aa ;
b
c
 а
(3.20)

Y


Y


Y  I bb ;
 а ba
b bb
c bc

 а Y ca   b Y cb   c Y cc  I cc .
Введем обозначения:
1
1
Y aa 

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле а;
Z1 Z 2
1
1
1
– сумма проводимостей ветвей, сходящихY bb 


Z 2 Z3  Z5 Z3
ся в узле b;
1
1
Y cc 

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле с;
Z6 Z1
Y ab  Y ba 
1
– сумма проводимостей ветвей соединяющих узлы а
Z2
Y ac  Y ac 
1
– сумма проводимостей ветвей соединяющих узлы а
Z1
и b;
и с;
I aa  J – узловой ток, равный геометрической сумме токов источников электрической энергии сходящихся в узле а;
1
– узловой ток узла b;
I bb  E 
Z4
I сс   J
– узловой ток узла с.
Правило знаков: со знаком “+” учитываются токи, направленные к
узлу. Если в ветви замыкающейся на рассматриваемом узле содержится
источник ЭДС, то его ток определяется как E k Y k .
По вычисленным значениям узловых потенциалов определяются токи ветвей (для схемы рис. 3.35):
 
  а

b
; I2  a
;
I1  с
I3  b ;
Z1
Z3
Z2

Если в схеме имеются два узла, соединенных ветвью с идеальным источником ЭДС, то
один из этих узлов необходимо устранить (раздел 3.1.3).

Удобнее, если предварительно задаться положительными направлениями токов в ветвях.
94
I 4, 5 
 b  E
;
I6 
с
.
Z 4  Z5
Z6
Алгоритм расчета:
– потенциал одного из узлов схемы условно принимается равным
нулю (узел “заземляют”);
– из схемы исключаются вырожденные источники ЭДС (если они
есть);
– согласно полученной структуры составляется система уравнений;
– по найденным значениям узловых потенциалов согласно закону
Ома для активного участка электрической цепи определяются токи ветвей.
Критерий применимости: Число уравнений необходимых для
определения токов ветвей электрической цепи методом узловых потенциалов определяется числом узлов минус один. Расчет упрощается, если
в схеме содержатся узлы, замыкающие на себе как можно большее число
ветвей. Метод позволяет рассчитать ток одной из ветвей схемы, не определяя токи других ветвей.
Пример.3.7.
Определить токи ветвей схемы электрической цепи (рис. 3.36) при
известных значениях комплексных сопротивлений пассивных элементов
и значении тока и ЭДС активных элементов. Полное условие приведено в
примере 3.5.
Z3
Z1
Z5
b I5
а I3
I2
I5
I1
Z2
Z4
E1
Z8
c
E4
I8
I7
d
Z7
I6
J
e
Z6
 f= 0
Рис. 3.36. К примеру 3.8
Решение
Определим комплексные проводимости ветвей:
1
1
Y1 
 0,00355  j0,00355 ;
Y2 
 0,00735  j0,00441 ;
Z1
Z2
Y 4  j0,025 ;
Y 3  0,01471  j0,00882 ;
95
Y 5  0,01151  j0,00338 ;
Y 6  0,00275  j0,00917 ;
Y 4  0,025 .
Определим собственные комплексные проводимости узлов:
1
1
1
Y aa 


 0,00355  j0,00355   0,00735  j0,00441  
Z1 Z 2 Z3
Y 7   j0,025 ;
 0,01471  j0,00882   0,0256  j0,00969 ;
Y bb 
1
1
1


 0,01471  j0,00882   0,01151  j0,00338  
Z3 Z5 Z 4
  j0,025   0,02621  j0,03044 ;
1
1

 0,00355  j0,00355   0,025   0,02855  j0,00355 ;
Z1 Z8
1
1
1
Y dd 


 0,00735  j0,00441    j0,025  
Z2 Z7 Z8
 0,025   0,03235  j0,02059 ;
1
1
1
Y ee 


  j0,025    j0,025  
Z 4 Z7 Z6
 0,00275  j0,00917   0,00275  j0,00917 ;
Определим межузловые проводимости:
1
Y ab  Y ba 
 0,01471  j0,00882 ;
Z3
Y cc 
Y ac  Y ca 
1
 0,00355  j0,00355 ;
Z1
Y ad  Y da 
1
 0,00735  j0,00441 ;
Z2
Y be  Y eb 
1
 j0,025 ;
Z4
Y cd  Y dc 
1
 0,025 ;
Z8
1
  j0,025 .
Z7
Определим узловые токи:
E
J aa  1  0,96881  j0,25959 ;
Z1
Y de  Y ed 
J bb 
96
E4
 1,25  j2,16506 ;
Z4
J cc  J 
E1
E
 2,03119  j0,25959 ; J bb   4  1,25  j2,16506 ;
Z1
Z4
J dd  0 .
Запишем систему уравнений
для узла а:
а Y aa  b Y ab
 с Y ac
 d Y ad
для узла b:
b Y bb
 a Y ba
 с Y bc
 J bb ;
для узла с:
c Y cc
 a Y ca
 d Y cd
 J cc ;
для узла d:
d Y dd
 a Y da
 с Y dc
 e Y de
для узла а:
e Y ee
 b Y eb
 d Yed
 J ee .
 J aa ;
 J dd ;
Подставив числовые значения и рассчитав потенциалы узлов, определим токи ветвей по закону Ома . Для удобства желательно задать
условно положительные направления токов ветвей (рис. 3.37):
  а  E1
I1  с
 0,96176  j0,49704 ;
Z1
I2 
I3 
I4 
I5 
I6 
I7 
I8 
a  d
Z2
a   b
Z3
d  c
Z4
 1,084  j0,12673 ;
 0,12224  j0,37031 ;
 2,50851  j0,98039 ;
 b  e  E 2
Z5
b
Z6
 0,61373  j0,61009 ;
 e  d
Z7
e
Z8
 2,38627  j0,61009 ;
 3,12224  j0,37031 ;
 2,03824  j0,49704 .

Расчёт выполнен с применением программного математического пакета MathCad
(Прил.1).
97
Знак "–" перед действительной частью тока ветви указывает на то,
что реальный ток ветви протекает противоположно выбранному условно
положительному его направлению.
3.5. Метод двух узлов
Идея метода: в схеме содержащей два узла соединение ветвей параллельное, следовательно, для вычисления тока в каждой ветви достаточно знать определить узловое напряжение.
a
I4
I2,3
I1
Z2
Z4
Z3
E
Z1
Uab
J
b
Рис. 3.37. Метод двух узлов
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Значение напряжения, действующего между двумя узлами, определяется по формуле, которая, в свою очередь, может быть получена с
помощью метода узловых потенциалов или, как в данном случае, на основе закона Ома и Кирхгофа.
Вывод структуры формулы узлового напряжения на примере схемы
рис. 3.37.
Пусть узловое напряжение Uab действует от узла а к узлу b, то есть
примем, что потенциал узла а больше, чем потенциал узла b. Тогда уравнение для одного из узлов может быть записано, как
I1  I 2  I 3  J  0 .
Представим токи согласно закону Ома:
U ab
Z1

 U ab 
Z 2  Z3

U ab  E   J
Z4
или
U ab Y1   U ab Y 23  U ab  E Y 4  J .
Решим последнее уравнение относительно узлового напряжения Uab :
U ab 
E Y 4  J
.
Y1  Y 23  Y 4
98
В общем виде формула для определения узлового напряжения:
m
U ab 
n
 Ek Yk   Jk
k 1
k 1
p
.
(3.20)
 Yk
k 1
Правило знаков: в числители со знаком “+” учитываются источники,
токи которых направлены к узлу, потенциал которого принят большим.
По вычисленному значению узлового напряжения определяются токи ветвей (для схемы рис. 3.37):
I1 
U ab
Z1
;
I 2, 3 
 U ab  ;
I4 
Z 2  Z3
U ab  E  .
Z4
Алгоритм расчета:
– задается и обозначается на схеме условно положительное направление действия узлового напряжения и токов ветвей;
– составляется уравнение и по нему определяется значение узлового
напряжения;
– по найденному значению узлового напряжения согласно закону
Ома определяется ток любой интересующей ветви, без вычисления токов
других ветвей.
Критерий применимости: метод расчета применим для схем содержащих два узла и для схем приводимых посредством эквивалентных
преобразований к схеме с двумя узлами.
3.6. Метод наложения (метод суперпозиций)
Идея метода: предполагают, что каждый источник создает свою составляющую тока в каждой ветви, при этом полный ток ветви определяется геометрической суммой его составляющих от каждого источника.
Данный метод довольно часто используется при определении изменений токов ветвей электрической цепи в зависимости от изменения
значений ЭДС одного или нескольких источников.
Для этого из схемы выделяются ряд вспомогательных схем составленных относительно источников, составляющие токов от которых необходимо определить, при этом остальные источники из вспомогательных
схем исключаются.
Если источники ЭДС и тока идеализированы, то они заменяются, соответственно участком разрыва или короткозамкнутым участком. В про-
99
тивном случае, внутренние сопротивления источников должны быть
учтены во всех вспомогательных схемах.
Если необходимо оценить влияние каждого источника схемы, то, соответственно, число вспомогательных схем будет определяться числом
источников в исходной электрической цепи.
Полные токи ветвей определяются при "наложении" вспомогательных схем друг на друга, то есть ток той или иной ветви определяется
геометрической суммой его составляющих.
Метод основывается на пр и н ц и пе с уп ер по з и ц и й эле к тр ич е ск и х по л е й : напряженность электрического поля системы источников
равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из них в отдельности.
Пример. 3.8.
При известных значениях источников и значениях сопротивлений
определить токи ветвей электрической цепи (рис. 3.38), и изменение тока
первой ветви при варьировании напряжения источника ЭДС.
а
I1
J
I2
I5
Z2
Z1
Z5
I4
с
I3
E
Z4
Z3
b
Рис. 3.38. К примеру 3.9
Решение
Выделим из исходной схемы две (по числу источников) вспомогательные схемы (рис. 3.39, а и рис. 3.40, а). Для расчёта составляющих токов для вспомогательных схем может быть использован любой метод. В
данном случае, первая вспомогательная схема рассчитана с использованием эквивалентных преобразований, а вторая – по методу двух узлов.
а
/
I1
I2/
I5/
/
Uba
Z2
Z5
Z1
I3/
Ubc
Z3
с
100
/
I4/
E
Z4
а)
а
I2/
/
I1
Uba
I5/
/
Z5
Z1
Z2,3,4
E
b
б)
Рис.3.39. Вспомогательная схема:
а – с исключенным источником тока; б – эквивалентная ей схема
В схему рис. 3.39, а преобразуем соединение сопротивлений Z2, Z3 и
Z4, заменив эквивалентным сопротивлением Z2,3,4:
Z3  Z 4
Z2,3,4  Z2 
.
Z3  Z 4
Согласно закону Ома определим токи ветвей (для схемы рис.
3.39, б):
E
;
I 5/ 
Z1  Z 2,3, 4
Z5 
Z1  Z 2,3, 4
I1/ 
/
U ba
Z1
I5/ 

Z1  Z 2,3,4
Z1  Z 2,3,4
Z1
;
I 2/ 

/
U ba
;
Z 2,3, 4
При составлении уравнений особое внимание следует уделять соответствию направлений
токов и направлений напряжений.
101
I3/ 
/
U bc
Z3
Z3  Z 4
Z3  Z 4
;
Z3
I 2/ 

I 4/ 
/
U bc
Z4
.
Из исходной схемы (рис. 3.38) исключим источник ЭДС и, аналогично, преобразуем соединение сопротивлений Z2, Z3 и Z4, заменив его
эквивалентным сопротивлением Z2,3,4 (рис. 3.40, б). Для полученной схемы согласно методу двух узлов нетрудно определить узловое напряжение
Uab,:
J
//
.
U ab

Y1  Y 2,3, 4  Y 5
а
а
J
Ub
a
//
I1//
I2//
I5//
с
Z5
Z2
Z1
I3//
Uc
//
Z3
bb
I1//
I2//
J
Uba//
Z1
Z2,3
I4//
I5//
Z5
,4
Z4
b
а)
б)
Рис. 3.40. Вспомогательная схема:
а – с исключенным источником ЭДС; б – эквивалентная схема
Согласно закону Ома определим токи ветвей (для схемы рис.
3.40, б):
I1// 
U ab
;
Z1
U //
I3//  cb 
Z3
I 2// 
I 2// 
U ab
;
Z 2,3, 4
Z3  Z 4
Z3  Z 4
;
Z3
I 5// 
I 4// 
U ab
;
Z5
//
U cb
.
Z4
Геометрической суммой составляющих токов источников в каждой
ветви определяются полные токи ветвей:
I1  I1//  I1/ ;
I 2  I 2/  I 2// ;
I3  I3/  I3// ;
I 4  I 4/  I 4// ;
I 5  I 5/  I 5// .
Для определения зависимости тока первой ветви от изменения
напряжения источника ЭДС, необходимо определить его составляющую
от этого источника в функции ЭДС:
102
I1/ 
/
U ba

Z1
Z5 
Е
Z1  Z 2,3, 4

Z1  Z 2,3, 4
1 Z1  Z 2,3, 4
.

Z1 Z1  Z 2,3, 4
Тогда (рис. 3.39):
I1 Е   I1//  I1/  I1//  Е 
Z5 
1
Z1  Z 2,3, 4
Z1  Z 2,3, 4

1 Z1  Z 2,3, 4

Z1 Z1  Z 2,3, 4
.
Алгоритм расчета:
– исходная схема разбивается на ряд вспомогательных схем, получаемых из исходной цепи путем последовательного исключения всех, кроме одного, источников энергии. При этом значения внутренних сопротивлений (проводимостей) источников не из одной из вспомогательных
схем не исключаются.
– для каждой из вспомогательных схем задаются условно положительные направления токов ветвей и определяются их значения;
– по рассчитанным составляющим токов от каждого источника
определяются полные токи ветвей, как геометрическая сумма его составляющих.
Критерий применимости: метод удобен для решения задач, в которых требуется определить изменение токов ветвей при варьировании
напряжения или тока одного из источников. Расчет усложняется по мере увеличения числа содержащихся в схеме источников.
3.7. Метод эквивалентного генератора
(эквивалентного источника)
Идея метода: по отношению к любой ветви оставшаяся часть схемы
(двухполюсник) может быть представлена эквивалентным генератором
(источником), ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажи-

Если источники энергии идеализированы, то исключаемые источники ЭДС заменяются
короткозамкнутым участком, а источники тока – разомкнутым участком электрической цепи.

Следует заметить, что нельзя определять мощность, выделяемую в пассивном элементе,
как сумму мощностей от составляющих тока.
103
мах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление определяется входным сопротивлением пассивного двухполюсника.
Любая электрическая схема относительно выбранной ветви является
либо активным, либо пассивным двухполюсником. Если двухполюсник
активный то, он может быть представлен некоторым эквивалентным источником, с параллельной или последовательной схемой замещения. Таким образом, исходная схема заменяется эквивалентной схемой, в которой последовательно с эквивалентным источником включена рассматриваемая ветвь, ток которой при этом определяется согласно закону Ома.
Пусть задана некоторая схема электрической цепи, в ветви (ab) которой необходимо определить ток. Для этого выделим ветвь (ab), а оставшуюся часть схемы представим активным двухполюсником (рис. 3.41, а).
Ток ветви не изменится, если в ее состав включить два равных противоположно направленных источника ЭДС (рис. 3.41, б).
Полученная схема, согласно методу наложения (суперпозиций), может быть представлена двумя вспомогательными схемами (рис. 3.41, в, г),
одна из которых будет представлена активным двухполюсником, содержащим все источники исходной схемы, и рассматриваемую ветвь со
встречно-, относительно протекающего по ней тока, направленным источником ЭДС.
Для первой вспомогательной схемы (рис. 3.41, в) ток ветви (ab) равен:
/
I ab

/
U ba
 Е1
Zab
а
а
I
I
Uab
А

Z
Uab
А
Z
b
E1
b
Двухполюсник – электрическая цепь, имеющая два вывода, внутренняя структура которой в условиях данной задачи не принципиальна. В зависимости от наличия источников
внутри такой цепи различают активный и пассивный двухполюсник.
104
а)
б)
а
а
I
/
I //
Z
Uab
Z
А
П
E2
E1
b
b
в)
г)
Рис. 3.41. Обоснование метода эквивалентного источника:
а – активный двухполюсник; б – промежуточная схема;
в – первая вспомогательная схема; г – вторая вспомогательная схема
Если выбрать величину ЭДС такой, что ток
/
Е1  U ba
Х (холостой ход), тогда ток ветви (ab),
/
I ab
 0 , то есть
/
//
Iab  Iab
 Iab
, будет
определяться лишь второй своей составляющей:
//
I ab

Е2
,
Zab  Zвх
(3.21)
где Zвх – входное сопротивление пассивного двухполюсника.
Уравнению (3.21) соответствует схема с эквивалентным источником,
представленным последовательной (рис. 3.42, а) и параллельной схемой
замещения (рис. 3.42, б).
Zв
а
х
I
E
J 
Z
a
U ab X
I
Z вх
Zвх
Z
b
b
105
а)
б)
Рис. 3.42. Схемы с эквивалентным источником:
а – последовательная схема замещения; б – параллельная схема замещения
Пример. 3.9
При известных значениях источников и значениях сопротивлений
определить токи ветви нагрузки электрической цепи (рис. 3.43), и изменение тока этой при варьировании сопротивления нагрузки.
Решение
Выделим из исходной схемы ветвь нагрузки и определим методом
узловых потенциалов напряжение, приложенное к рассматриваемой ветви в режиме холостого хода. Для исключения вырожденного источника
ЭДС, содержащегося в исходной схеме, перенесем его в ветви ас и bd
(рис. 3.44, а).
Z
а
IH
J
E
Z
ZH
ZН
Z
b
Рис. 3.43. К примеру 3.10
А
Z
E
а
с
E
Z
J
Uab X
Z
Z
d
b=0
106
b
а)
П
Z
а
с
Z
Z
Z
b
d
b=0
б)
Рис. 3.44. Эквивалентная схема:
а – с исключенной ветвью нагрузки; б – с исключенными источниками
Примем потенциал узла b равным нулю ( b = 0), тогда уравнения согласно методу узловых потенциалов для схемы (рис. 3.44, а) примут вид:
для узла а:
1 1 1 1
 1 1
Е
Е
а       с     
 ;
Z
Z
 Z Z Z Z
 Z Z
для узла b:
1 1
 1 1
Е
с     а     J  .
Z
 Z Z
 Z Z
Сложив первое и второе уравнения, получим:
а
2
Е
J 
Z
Z
=>
a 
ZJ
2

ZJ
2

Е
.
2
Uab  a  b 
Е
2
=>
Исключив из схемы эквивалентного двухполюсника источники,
определим его входное сопротивление (ветви ас и bd (рис. 3.44, б) соединены параллельно):
Zвх 
Z
. Тогда искомый ток будет равен:
2
107
IН 
U ab
Z
Zab 
2

Е
2
Z
Zab 
2
ZJ
2


ZJ  Е
.
2Zab  Z
Алгоритм расчета:
– из исходной схемы исключается ветвь, в которой необходимо
определить ток;
– относительно полученных зажимов определяется входное напряжение активного двухполюсника (удобнее использовать метод узловых
потенциалов);
– определяется входное сопротивление пассивного двухполюсника.
Для этого из схемы двухполюсника исключаются все источники. При
этом значения внутренних сопротивлений (проводимостей) источников
не исключаются.
– определяется ток в рассматриваемой ветви (3.21).
Критерий применимости: метод удобен для решения задач, в которых требуется определить изменение тока той или иной ветви при изменении её сопротивления и неизменности оставшейся части схемы.
3.8. Графо – аналитический метод
Идея метода: расчет параметров электрической цепи или параметров ее элементов может быть выполнен на основе векторных диаграмм с
использованием простейших геометрических соотношений.
Графо-аналитический метод позволяет наглядно представить расчет
схемы электрической цепи, сведя его к определению геометрических соотношений между векторами, в то время как аналитические выводы могут потребовать достаточно громоздких вычислений. Примерами таких
задач является определение параметров катушки индуктивности или емкости конденсатора участка электрической цепи, определение комплексного тока одной из ветвей узла при известных комплексных значениях
токов оставшихся ветвей и подобные им задачи.
Пример 3.10
Определить параметры (активное сопротивление и индуктивность)
катушки индуктивности.

Если источники энергии идеализированы, то исключаемые источники ЭДС заменяются
короткозамкнутым участком, а источники тока – разомкнутым участком электрической цепи.
108
Решение
Для определения параметров катушки индуктивности графическим
методом последовательно или параллельно с ней включают любой
пассивный элемент с заранее известными его параметрами (рис. 3.45). По
измеренным значениям напряжения питания U, тока в цепи I и падений
напряжений на элементах цепи строится векторная диаграмма (рис. 3.46).
R
C
UR
UC
XL
U
UL
RL
I
Рис. 3.45. К примеру 3.11
В данном случае исходным вектором является вектор, соответствующий току I цепи. Относительно его направления строятся векторы, соответствующие падениям напряжений на активном и емкостном сопротивлениях. Вектор падения напряжения на катушке индуктивности находится из геометрической суммы
U  UR  UC  UL
с использованием метода засечек.
Устанавливая ножку циркуля в конец вектора UC, делаем засечку радиусом, соответствующим падению напряжения на катушке индуктивности.
Вторую засечку проводим из точки 0 радиусом, соответствующим
величине напряжения питания. Из полученного треугольника напряжений для катушки индуктивности определяются составляющие ее комплексного сопротивления (рис. 3.47).
+j
U

0
I
UR
+1
UL
UC
L
109
U
La
UL p
Рис. 3.46. Векторная диаграмма цепи
ZL 
UL p
UL
L
UL
I
L
UL a
RL
а)
б)
XL
Рис. 3.47. Треугольники напряжений и сопротивлений:
а – треугольник напряжений; б – треугольник сопротивлений
Пример 3.11.
Определить комплексное напряжение между двумя узлами (рис.
3.48), если известны комплексные значения ЭДС источников и измерены
значения падений напряжений на сопротивлениях схемы.
а
U1
Z1
U2
Z2
E1
U3
E2
Z3
E3
b
Рис. 3.48. К примеру 3.12
Решение
В данной задаче известны лишь абсолютные значения падений
напряжений на сопротивлениях цепи, причем характер
этих сопротивлений неизвестен, что усложняет определение узлового напряжения известными аналитическими методами.
Построим векторную диаграмму напряжений (рис. 3.49). Для этого
запишем для каждой ветви схемы электрической цепи уравнение согласно второму закону Кирхгофа:
E1  U1  U ab ;
E 2  U 2  U ab ;
E 2  U 2  U ab .
и примем потенциал одного из узлов равным нулю.
110
Пусть потенциал узла b равен нулю ( b = 0). Векторная диаграмма
ЭДС источников будет представлять собой звезду соответствующих векторов ЭДС, центр которой помещен в начало координат комплексной
плоскости, так как  b = 0. К концу каждого вектора ЭДС необходимо достроить вектор, модуль которого будет равен измеренному значению падения напряжения на соответствующем сопротивлении. Концы этих векторов должны сходиться в одной точке, соответствующей потенциалу узла а, поэтому для их построения используют метод засечек. Ножку циркуля ставят последовательно в конец каждого из векторов ЭДС и
радиусом, пропорциональным падению напряжения на соответствующем
сопротивлении делают засечки. Пересечение засечек определит точку на
комплексной плоскости соответствующей потенциалу узла а. Вектор,
проведенный из начала координат ( b = 0) в полученную точку ( а) будет являться вектором узлового напряжения.
По углу поворота векторов падений напряжений (углу фазового
сдвига) можно судить характере нагрузки, то есть о характере включенных в схему сопротивлений. Если известны абсолютные значения протекающих в ветвях токов, то исходя из подобия треугольников напряжений
и сопротивлений, из векторной диаграммы могут быть определены и параметры пассивных элементов.
Алгоритм расчета:
– согласно законам Ома и Кирхгофа записываются уравнения, в состав которых входят известные и искомые величины комплексных токов
и напряжений;
– для полностью определенных (задано абсолютное значение и фазовый угол) величин (токов и напряжений), входящих в состав полученных уравнений, строятся векторные диаграммы;
– достраиваются согласно полученным уравнениям векторные диаграммы и определяются вектора искомых величин;
– исходя из геометрии векторных диаграмм, определяются электротехнические параметры искомых величин.
Критерий применимости: метод удобен при определении параметров электрических цепей, для которых построение векторной диаграммы
не представляет особой сложности, в то время как вывод аналитических
зависимостей оказывается достаточно громоздким.
3.9. Методы оценки правильности решения
3.9.1. Метод использования баланса мощностей
Идея метода: согласно закону сохранения энергии, для любой электрической цепи мощность, рассеиваемая на пассивных элементах элек111
трической цепи, определяется мощностью её источников. Выполнение
такого равенства для рассчитываемой электрической цепи позволяет говорить о правильности расчёта.
Критерий применимости: метод используется для проверки правильности расчета любых схем и является наиболее общим критерием
правильности произведенного расчета их электрических параметров.
Сложность метода повышается в зависимости от увеличения числа элементов цепи.
Алгоритм расчета:
– определяются истинные направления протекания токов и направления падений напряжений на пассивных элементах электрической цепи;
– определяется суммарная мощность источников;
– определяется суммарная мощность приёмников;
– равенство мощностей источников и приёмников свидетельствует о
правильности произведённого расчёта.
Для цепей постоянного тока мощности источников ЭДС учитываются со знаком "+", если направление тока и ЭДС совпадают, мощности
источников тока учитываются со знаком "+", если источники действуют в
направлении узла с большим потенциалом.
Для цепей переменного тока в зависимости от особенностей работы
пассивных элементов рассеиваемая на них мощность может носить активный или реактивный характер (раздел 2.7). Активная составляющая
характеризует скорость необратимого преобразования электрической
энергии в тепловую. Реактивная составляющая – процессы аккумулирования и разряда во внешнюю цепь энергии электрического (ёмкость) и
магнитного (индуктивность) полей реактивных элементов. В общем виде
баланс мощности в цепи синусоидального тока запишется:
 SИСТ   SПР или:

 PИСТ  j QИСТ   PПР  j QПР


 PИСТ  j  QL ИСТ   QC ИСТ   PПР  j  QL ПР   QC ПР

Алгебраическая сумма активных мощностей, рассеиваемых на резистивных элементах электрической цепи, равна алгебраической сумме активных составляющих мощностей источников
 Pист   PП
Алгебраическая сумма реактивных мощностей, рассеиваемых на индуктивных и емкостных элементах электрической цепи, равна алгебраической сумме реактивных составляющих мощностей входящих в цепь источников
112
 QL ИСТ   QC ИСТ   QL ПР   QC ПР .
 QИСТ   QПР ,
Суммарная мощность приёмников (мощность, потребляемая цепью):
p
2
Sпр   I k Z k .
(3.22)
k 1
где I k и Z k – соответственно, ток и сопротивление k-той ветви.
В общем случае, если в рассматриваемой цепи содержится n источников ЭДС и т источников тока, то их суммарная мощность определяется
как:
n
m
 1
 1
*
SИСТ   E I*
   U J 
(3.23)
где I μ – ток μ-того источника ЭДС, Uμ – напряжение на зажимах μтого источника тока.
а
I1
C1
Uab
I4
I3
J1
R4
R3
E4
E1
Udc
C5
I5
с
Ucb
b
L
R2
I2
J2
d
Ubd
Рис. 3.49. К примеру 3.12
Пример 3.12
Составить уравнение баланса мощности для схемы представленной
на схеме (рис. 3.49).
Решение
Суммарная мощность источников:
*
* * *
*
 Sист  J1 U ab  E1 I1  J 2 U dc  E 4 I 4
Суммарная мощность, рассеиваемая на приёмниках:
2
2
2
2
2
 Sпр  R 3 I3  jX C1 I1  R 4 I 4  jX C5 I5  R 2 I 2  jX L I 2
113
2
Пример. 3.13
Проверить правильность решения примера 3.5, используя баланс
мощностей.
Решение
Суммарная мощность источников:
n
m
k 1
k 1


*
*
*
*
Sист   E k I*
k   J k U ab k  E1 I1  E 4 I 4  с  f J  705 ,59  j191,77

Активная мощность источников:
Pист = 705, 59 [Вт].
Реактивная мощность источников: Qист = 191, 77 [вар].
Суммарная мощность, рассеиваемая на сопротивлениях цепи:
p
2
2
2
2
2
Sпр   I k Z k  I1 Z1  I 2 Z 2  I 3 Z3  I 4 Z 4 
k 1
2
2
2
2
 I5 Z5  I 6 Z6  I 7 Z7  I8 Z8  705 ,59  j191,77
Активная мощность приёмников:
Реактивная мощность приёмников:
Pпр = 705, 59 [Вт].
Qпр = 191, 77 [вар].
3.9.2. Метод построения потенциальной диаграммы
Идея метода: для любого контура рассчитываемой электрической
цепи согласно второму закону Кирхгофа может быть составлено уравнение электрического баланса: геометрическая сумма напряжений в контуре равна нулю. Выполнение таково равенства для произвольно выбранного контура рассчитываемой электрической цепи позволяет говорить о
правильности расчёта.
Критерий применимости: для оценки правильности выполненного
расчёта электрической цепи необходимо оценить выполнимость электрического баланса для всех её контуров. Степень достоверности проведённой этим способом проверки возрастает по мере увеличения числа рассмотренных контуров электрической цепи.
Алгоритм расчета:
– по схеме электрической цепи выбираются контуры;
– относительно выбранных контуров составляются уравнения электрического баланса;

Составляющая E4 I4 вошло в уравнение со знаком "–" поскольку направление действия
ЭДС и и направление тока четвёртого источника (Е4) – встречны.

При оценке правильности выполненного расчёта электрической цепи лишь по одному из
её контуров, контур стремятся выбрать так, что бы охватить им максимальное число элементов цепи.
114
– по выполнимости условия электрического баланса для выбранных
контуров судят о правильности произведённого расчёта электрической
цепи.
Для цепей постоянного тока, составленные по второму закону
Кирхгофа, уравнения контуров могут быть наглядно представлены потенциальными диаграммами – графиками распределения потенциалов
вдоль выбранных контуров.
Рассмотрим последовательность построения векторной диаграммы
для цепи (рис. 3.50), в которой действуют источники постоянной ЭДС.
Зададим анализируемый контур (abcdef) и запишем для него уравнение электрического баланса, в котором падения напряжений на сопротивлениях будем учитывать со знаком "–", если протекаю
E2
e
I2
I1
d
I5
R2
R5
R1
I3
R3
a
=0
I4
f
c
E1
R4
a
b
R6
Рис.3.50. Исходная схема для построения потенциальной диаграммы
протекающий по нему ток совпадает с выбранным направлением обхода контура, а ЭДС источников при совпадении их направления с
направлением обхода – со знаком "+":
I5R 6  E1  I5R 5  E 2  I 2 R 2  I3R 3  0 .
Для построения потенциальной диаграммы выберем в заданном контуре начальную точку и примем её потенциал равным нулю ( а = 0). Порядок построения таков (рис. 3.52):
– согласно законам Ома и Кирхгофа определяется потенциал очередной точки (не обязательно узел);
– по оси абсцисс от координаты предыдущей точки откладывается
отрезок пропорциональный сопротивлению, заключенному между рассматриваемой и предыдущей точками;

При оценке правильности выполненного расчёта электрической цепи переменного тока,
для одного из выбранных контуров в соответствии со вторым законом Кирхгофа строится
векторная диаграмма.
115
– ордината, искомой точки в плоскости потенциальной диаграммы
пропорциональна потенциалу данной точки в электрической схеме.
– найденные точки в плоскости потенциальной диаграммы соединяются прямыми линиями.
Следует заметить, что тангенс угла наклона отрезка, соединяющего
две точки на плоскости потенциальной диаграммы пропорционален току, протекающему по участку электрической цепи, ограниченному этими
двумя точками.
e
e
 I2
f
E
f
 I3
2
 a=0
a
b
c
d
a
R6
R5
I5
R2
R3
b
E1
c
d
Рис.3.51. Потенциальная диаграмма
 а = 0;
 b =  а – I5R6;
 с =  b – E 1;
 d =  с – I5R5;
 e =  d + E2;
 f =  е – I2R2;
 a =  f – I3R3
116
R
R
Приложение 1
Листинг расчёта задачи (примеры 3.5, 3.6, 3.7 и 3.13) в MathCAD
Определим мнимую единицу:
Дано:
Z1  141  i  141
Z3  50  i  30
Z2  100  i  60
Z4  i  40
E1  200e
i 60 

180
E4  100e
 i 30
Z5  80  i  23.5
Z7  i  40
Z6  30  i  100
Z8  40

180
J  3e
i  1
! используется оператор
присвоения " := "
i 0
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Решение
Составляем систему независимых уравнений:
Given
I11  I2  I3
I2  I8  I7
0
I3  I4  I5
0
I11  I8  J
I4  I7  I6
Обозначение первого
тока I11, т.к. I1 воспринимается как
мнимая единица
0
! используется значение
логического "="
(панeль "Boolean")
0
0
I11  Z1  I2  Z2  I8  Z8
E1
I2  Z2  I3  Z3  I4  Z4  I7  Z7
I4  Z4  I5  Z5  I6  Z6





I  Find( I11  I2  I3  I4  I5  I6  I7  I8 )  



! Нумерация элементов

матрицы с нуля

E4
E4
.96176  .49704  i
1.0840  .12673  i
.12224  .37031  i
2.5085  .98039  i
2.3863  .61009  i
.61373  .61009  i
3.1222  .37031  i
2.0382  .49704  i











! векторизация "  "
(панeль "Evaluation")
! для определения номера
компонента в матрице (V)
используются индексы
(панель "Matrix")
Ток первой ветви:
I0  0.96176  0.49704i
Ток пятой ветви:
I4  2.3863  0.61009i
Ток второй ветви:
I1  1.084  0.12673i
Ток шестой ветви:
I5  0.61373  0.61009i
Ток третьей ветви: I2  0.12224  0.37031i
Ток седьмой ветви:
I6  3.1222  0.37031i
Ток четвёртой ветви:I3  2.5085  0.98039i
Ток восьмой ветви:
I7  2.0382  0.49704i
117
Продолжение прилож. 1
Метод контурных токов
Решение
Z11  Z1  Z2  Z8
Z12  Z2
Z23  Z4
E11  E1
Z22  Z2  Z3  Z4  Z7
Z13  0
Z24  Z7
E22  E4
Z33  Z4  Z5  Z6
Z14  Z8
Z34  Z6
I44 J J
144:=
E33  E4
! Запись: Z11=
Полученные значения сопротивлений и ЭДС:
Z11  281  81i
Z12  100  60i
Z23  40i
E11  100  173.20508i
Z22  150  90i
Z13  0
Z24  40i
E22  86.60254  50i
Z33  110  116.5i
Z14  40
Z34  30  100i
E33  86.60254  50i
Запишем систему уравнений
Given
I11  Z11  I22  Z12  I33  Z13  I44  Z14
E11
I11  Z12  I22  Z22  I33  Z23  I44  Z24
E22
I11  Z13  I22  Z23  I33  Z33  I44  Z34
E33
V  Find( I11  I22  I33 ) 
 .96176  .49704  i
 .12224  .37031  i

 2.3863  .61009  i




Первый контурный ток I11: I11  V 0
I11  0.96176  0.49704i
Второй контурный ток I22: I22  V 1
I22  0.12224  0.37031i
Третий контурный ток I33: I33  V 2
I33  2.3863  0.61009i
Токи ветвей:
I1  I11
I4  I22  I33
I7  I22  I44
I2  I11  I22
I5  I33
I8  I11  I44
I3  I22
I6  I33  I44
Полученные значения токов ветвей:
I4  2.50854  0.9804i
I1  0.96176  0.49704i
I2  1.084  0.12673i
I5  2.3863  0.61009i
I3  0.12224  0.37031i
I6  0.6137  0.61009i
118
I7  3.12224  0.37031i
I8  2.03824  0.49704i
Y1 
1
Y2 
Z1
1
Z2
Y3 
1
Y4 
Z3
1
Y5 
Z4
1
Z5
Y6 
1
1
Вычисленные значения ппроводимостей:
Y1  0.00355  0.00355i
Y5  0.01151  0.00338i
Y2  0.00735  0.00441i
Y6  0.00275  0.00917i
Y3  0.01471  0.00882i
Y7  0.025i
Y4  0.025i
Y8  0.025
Определим узловые проводимости:
Yaa  Y1  Y2  Y3
Ycc  Y1  Y8
Ybb  Y3  Y4  Y5
Yee  Y4  Y7  Y6
Ydd  Y2  Y8  Y7
Определим межузловые проводимости:
Yab  Y3
Yad  Y2
Ybe  Y4
Ybd  0
Yac  Y1
Yae  0
Ybc  0
Ycd  Y8
Yde  Y7
Вычисленные значения проводимостей:
Yaa  0.0256  0.00969i
Ycc  0.02855  0.00355i
Ybb  0.02621  0.03044i
Ydd  0.03235  0.02059i
Yab  0.01471  0.00882i
Ybe  0.025i
Yde  0.025i
Yac  0.00355  0.00355i
Ybc  0
Yae  0
Yad  0.00735  0.00441i
Ybd  0
Ycd  0.025
Yee  0.00275  0.00917i
Определим узловые токи:
Jaa  E1  Y1
Jcc  E1  Y1  J
Jbb  E4  Y4
Jdd  0
Jee  E4  Y4
Вычисленные значения узловых токов:
Jaa  0.96881  0.25959i
Jcc  2.03119  0.25959i
Jbb  1.25  2.16506i
Jdd  0
Jee  1.25  2.16506i
Запишем систему уравнений, приняв потенциал узла
 f  0
Given
 a  Yaa   b  Yab   c  Yac   d Yad
 b  Ybb   a  Yab   e  Ybe
Jbb
 c  Ycc   a  Yac   d Ycd
Jcc
 d Ydd   a  Yad   c  Ycd   e  Yde
 e  Yee   b  Ybe   d Yde



V  Find  a   b   c   d   e  



Jaa
Jdd
Jee



175.76  61.931  i 
94.232  81.812  i 

79.419  43.077  i 
210.23  29.444  i
205.24  7.2608  i
119
1
Y7 
Y8 
Продолжение
Z6
Z7 прилож.
Z8 1
! используется значение
логического "="
(панeль "Boolean")
Окончание прилож. 1
Переобозначим потенциалы узлов:  a  V 0
 b  V 1
 c  V 2
 d  V 3
 e  V 4
Вычисленные значения потенциалов узлов:
 a  210.23  29.444i
 c  175.76  61.931i
 e  79.419  43.077i
 b  205.24  7.2608i
 d  94.232  81.812i
f 0
Определяем токи ветвей:
I1    c   a  E1   Y1
I4    b   e  E4   Y4
I7    e   d  Y7
I2    a   d  Y2
I5    b   f   Y5
I8    d   c  Y8
I3    a   b  Y3
I6    f   e  Y6
Вычисленные значения токов:
I1  0.96178  0.49703i
I4  2.50845  0.98046i
I7  3.12223  0.37033i
I2  1.08396  0.1267i
I5  2.38625  0.6102i
I8  2.0382  0.49703i
I3  0.12235  0.37025i
I6  0.61379  0.61005i
Баланс мощностей
Суммарная мощ ность источников:
Sis  E1  I1  E4  I4  J    c   f 
Sis  705.58479  191.74842i
Активная мощ ность источников P:
Re ( Sis )  705.58479
Реактивная мощ ность источников Q:
Im( Sis )  191.74842
Sis  731.17532
Полная мощ ность S:
Суммарная потребляемая приёмниками мощ ность:
2
2
2
2
2
2
2
2
Spr  I1  Z1  I2  Z2  I3  Z3  I4  Z4  I5  Z5  I6  Z6  I7  Z7  I8  Z8
Spr  705.58306  191.72746i
Потребляемая активная мощ ность P:
Re ( Spr)  705.58306
Потребляемая реактивная мощ ность Q: Im( Spr)  191.72746
120
Приложение 2
Правила выполнения условных графических
обозначений (УГО)
УГО строится в виде схематического знака (графического символа),
форма которого может не соответствовать изображению реальной конструкции элемента (устройства). УГО не должно содержать текстовую
часть, допускать различные толкования или пониматься двусмысленно,
быть идентично с другим обозначением, значение которого уже определено.
У основного УГО допускается наносить несколько дополнительных
(классифицирующих) символов (ГОСТ 2.721-74), которые помещают рядом или внутри общего УГО.
В данном приложении рекомендуемые размеры УГО приведены относительно параметра М, числовое значение которого может быть выбрано из ряда:
М:
3,5
5
7
10
14
20
28
40
Обозначения направлений тока и напряжения
Ik
Uab
600
1,2М
0,5 М
а)
б)
Рис. П2.1. Обозначение направлений приложенного к участку электрической цепи:
а – напряжения; б – протекающего по нему тока

При построении УГО согласно требованиям ЕСКД следует применять рекомендованные
ГОСТ 2.721-74 основные фигуры, определяющие пропорции графических символов .
121
Продолжение прилож. 2
Обозначение регулирования, саморегулирования и подстройки
4
I
=
0
2
45о
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Рис. П2.2. Обозначение регулирования. Линейное регулирование:
а – общее обозначение линейного регулирования;
б– плавное линейное регулирование; в – ступенчатое линейное регулирование;
г – общее обозначение нелинейного регулирования; д – линейное саморегулирование;
е – нелинейное саморегулирование; ж – подстроечное регулирование.
Знаки должны пересекать условное графическое обозначение соответствующего элемента.
Обозначение электрических связей, проводов и их соединений
135о
или
или
или
а)
б)
в)
или
г)
Рис. П2.3 Обозначение электрических связей, проводов и их соединений:
а – графический излом; б – пересечение электрически не соединённых проводов;
в – электрические связи с одним ответвлением; г – электрические связи с двумя
ответвлениями
Обозначение заземления (ГОСТ 2.721–74)
М
а)
б)
или
или
в)
г)
Рис. П2.4. Заземление:
а – общее обозначение; б – защитное; в – электрическое
соединение с корпусом (массой); г – эквипотенциальность.
Устройства контактные и коммутационные соединения
(ГОСТ 2.755–87)
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. П2.5. Функция:
а – контактора; б – выключателя; в – разъединителя; г – выключателя - разъединителя;
д – путевого или концевого выключателя; е – дугогашение.
122
Продолжение прилож. 2
или
а)
б)
или
в)
г)
д)
е)
ж)
Рис. П2.6. Контакт коммутационного устройства:
а – замыкающий; б – размыкающий; в – переключающий;
г – переключающий с нейтральным положением; д – кнопочное управление;
е – выключатель трехполюсный; ж – выключатель электромагнитный (реле)
Обозначение конденсаторов (ГОСТ 2.728–74)
(0,1-0,15)М
б)
0,8М
г)
в)
д)
е)
а)
Рис. П2.7. Конденсаторы постоянной ёмкости:
а – общее обозначение; б – электролитический поляризованный; в – неполяризованный.
Конденсатор переменной ёмкости:
г – общее обозначение; д – нелинейная ёмкость; е – подстроечный
Обозначение предохранителей (ГОСТ 2.727–68) и резисторов
(ГОСТ 2.728–74)
г)
д)
е)
2М
0,4М
а)
0,4М
в)
М
б)
ж)
з)
и)
Рис. П2.8. Плавкий предохранитель:
а – общее обозначение; б – с указанием стороны, остающейся под напряжением;
Резисторы: в – общее обозначение; г – переменный без разрыва цепи; д – переменный с разрывом цепи; е – подстроечный; ж – с саморегулировкой линейное; з – с саморегулировкой
нелинейный; и – потенциометр
123
Окончание прилож. 2
Катушки индуктивности (ГОСТ 2.723–68)
R 0,3M
а)
б)
д)
в)
е)
г)
ж)
з)
Рис. П2.9. Катушки индуктивности:
а – катушка индуктивности, дроссель без магнитопровода;
б – радиус витка катушки индуктивности относительно параметра М;
в – рабочая обмотка трансформатора или магнитного усилителя;
г – магнитопровод ферромагнитный; д – катушка индуктивности со скользящим контактом;
е – с нелинейным саморегулированием; ж – с подстроечным регулированием;
з – с ферромагнитным магнитопроводом
Электроизмерительные приборы (ГОСТ 2.729–68)
М
*
а)
б)
А
V
в)
г)
*
A
W
V
д)
Рис. П2.10. Вид контура для обозначения прибора:
а – показывающего; б – регистрирующего.
Примеры показывающих приборов:
в – амперметр; г – вольтметр; д – ваттметр
Активные элементы электрической цепи
М
Е
а)
e(t)
i(t)
J
б)
в)
Рис. П2.11. Примеры обозначения активных элементов электрической цепи:
а – источник постоянной ЭДС; б – переменной ЭДС;
в – источник постоянного тока; г – переменного тока
124
г)
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Ч. I. Линейные электрические цепи. М.: Энергия. 1978. 529 с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи:
Учебник. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2002. –638 с.: ил.
3. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники: Учеб. для средн. спец.
учеб. заведений. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1999. – 495 с.: ил.
4. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. Учеб. для вузов. – 6-е изд. перераб.
– М.:Высш. шк., 2000. – 542 с.: ил.
5. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1.- 4-е
изд./ К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПб: Питер, 2004. – 463
с. ил.
6. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2.- 4-е
изд./ К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПб: Питер, 2004. – 576
с. ил.
7. Коровкин Н.В., Селина Е.Е.,Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники:
Сборник задач. – СПб: Питер, 2004. – 512 с. ил.
8. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. – 3-е изд., испр. – М.: Высш.
шк., 2000 – 575 с.: ил.
9. Теоретические основы электротехники / Под ред. П. А. Ионкина. Ч I, II. – М.:
Высш. шк., 1975.
10. Кирьянов Д.В. Самоучитель MathCAD 2001. – CПб.: БХВ–Петербург, 2002. – 544
с.: ил.
11. Усатенко С.Т., Каченюк Т.К., Терехова М.В. Выполнение электрических схем по
ЕСКД: Справочник. – М.: Издательство стандартов, 1989. – 325 с.
125

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ………………………………………………..
Электрическая цепь, ее элементы и параметры …………
Электрический ток ………………………………………..
Напряжение ………………………………………………..
Мощность и энергия ………………………………………
Пассивные и активные элементы электрической цепи ….
Электрическая цепь и электрическая схема ……………..
Законы электрических цепей ……………………………..
Линейные электрические цепи синусоидального тока …
Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи ………………
Представление синусоидальной величины комплексными числами …………………………………………………
2.3
Представление синусоидальных функций вращающимися векторами ……………………………………………….
2.4.
Векторные диаграммы …………………………………….
2.5.
Действующие значения ЭДС, напряжения и тока ………
2.6.
Элементы цепи синусоидального тока …………………..
2.7.
Последовательное соединение элементов R, L, C ………
2.8.
Параллельное соединение элементов R, L, C ……………
2.9.
Мощность и энергия цепи синусоидального тока ……….
3.
Методы расчета линейных электрических цепей ……….
3.1.
Метод эквивалентного преобразования электрической
цепи …………………………………………………………
3.2.
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа ……………………………………………………………
3.3.
Метод контурных токов …………………………………...
3.4.
Метод узловых потенциалов ……………………………...
3.5.
Метод двух узлов ………………………………………….
3.6.
Метод наложения (метод суперпозиций) ………….…….
3.7.
Метод эквивалентного генератора (эквивалентного источника) …………………………………………………….
3.8.
Графо-аналитический метод ………………………………
3.9.
Методы оценки правильности решения ………………….
Приложение 1. Листинг расчёта задачи (примеры 3.5, 3.6, 3.7 и
3.13) в MathCAD ……………………………………………………...
Приложение 2. Правила выполнения условных графических обозначений (УГО) ………………………………….…………………...
Список использованной литературы ……………………………….
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2.
2.1.
2.2.
126
3
4
4
4
5
6
12
14
17
17
18
28
31
32
33
39
45
50
56
56
73
85
91
96
98
102
106
110
115
119
123