(Класс 10, модуль XII, урок 4) Урок 4. Обратная функция План урока 4.1. Условие обратимости и определение обратной функции 4.2. График обратной функции 4.3. Функция, обратная к строго монотонной линейной функции 4.4. Функция y x Тесты Домашнее задание Цели урока: привести точные формулировки условия обратимости числовой функции и определения обратной функции, рассмотреть свойство графиков взаимно обратных функций, напомнить некоторые известные примеры обратных функций. 4.1. Условие обратимости и определение обратной функции Пусть функция y f ( x) определена на множестве U . Выделим в U некоторое подмножество D . Будем говорить, что функция f ( x) удовлетворяет на D условию обратимости, если разным значениям a и b аргумента x из D соответствуют разные значения f (a ) и f (b ) данной функции. Условие обратимости можно символически записать в виде a D b D a b f (a ) f (b) Пример 1. Функция y 2 x удовлетворяет условию обратимости на любом множестве D R , так как при a b имеем также 2a 2b . Пример 2. Функция y x 2 не удовлетворяет условию обратимости в области определения ( ) , так как, например, числа a 1 и b 1 разные, но (1)2 12 . Однако, если ограничиться множеством D [0 ) , то при a b будем иметь a 2 b 2 . Поэтому на D функция y x 2 удовлетворяет условию обратимости. Пусть функция y f ( x) удовлетворяет условию обратимости на множестве D . Множество значений, которые она принимает в D , обозначим через E . Определим в E новую функцию y g ( x) следующим образом. Возьмем какое-либо число x из множества E и найдем то единственное число y из D , для которого f ( y ) x . Положим g ( x) y . Определенная по такому правилу функция g ( x ) называется обратной для функции f ( x) на множестве D . 4.2. График обратной функции Связь между функцией f ( x) и обратной функцией g ( x ) можно символически выразить в виде x E y g ( x) y D x f ( y ) Геометрически это условие означает, что точка ( x y ) принадлежит графику обратной функции g ( x ) тогда и только тогда, когда точка ( y x ) принадлежит графику данной функции f ( x) . Поскольку точки ( x y ) и ( y x ) симметричны друг другу относительно прямой y x (рис. 1), то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Вопрос. Пусть функция f ( x) определена на множестве D , имеет обратную, и график этой функции симметрично отразили относительно прямой y x . Графиком какой функции будет полученное множество? (Предполагаемый ответ. Это график функции, которая является обратной к функции g ( x) f ( x) , определенной на множестве D ). 4.3. Функция, обратная к строго монотонной линейной функции Мы уже видели, что функция y 2 x удовлетворяет условию обратимости и поэтому имеет обратную функцию y g ( x) . Найдем эту функцию. В предыдущем пункте показано, что обратная функция должна быть связана с функцией y 2 x условием y g ( x) x 2 y . Следовательно, обратной является функция y 12 x . Графиком функции y 2 x является прямая, проходящая через начало координат и точку (1 2) . Следовательно, графиком обратной функции y 12 x также является прямая, проходящая через начало координат и точку (21) , симметричную точке (1 2) относительно биссектрисы угла между положительными лучами осей Ox и Oy . Прямые y 2 x и y 12 x также симметричны относительно этой биссектрисы (рис. 2). 4.4. Функция y x В пункте 4.1 было показано, что функция y x 2 не удовлетворяет условию обратимости на всей области определения. Однако, можно рассмотреть сужение этой функции на множество D [0 ) , то есть часть функции y x 2 , рассматривая ее на промежутке [0 ) . Получившееся сужение уже удовлетворяет условию обратимости, а поэтому существует обратная функция. Так как функция y x 2 на промежутке [0 ) принимает все неотрицательные значения, обратная функция, определена на множестве E [0 ) и принимает все значения из множества D . Как известно, в этом случае для записи обратной функции приходится вводить новое обозначение. А именно, если y x 2 и x 0 , то тогда x y . Такое обозначение позволяет записать в виде y x функцию, обратную к функции y x 2 на множестве D [0 ) . Вопрос. Какой график имеет функция y x ? (Предполагаемый ответ. Это часть параболы). Проверь себя. Обратная функция Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. Какая функция является обратной для функции y 2 x 1 , определенной на множестве R ? 1. y 2 x 1 1 2 2. y x 1 3. y 2 x 1 2 1 1 2 2 (Правильный вариант: 4) 4. y x Какая функция является обратной для функции y множестве ;0 0; ? 1. y x 1 на множестве ;0 2 0; 2. y 2 x на множестве ;0 x 0; 3. y 2 на множестве ;1 x 1 1; 2 , определенной на x 1 2 x на множестве ;0 x (Правильный вариант: 2) 4. y 0; Какая функция является обратной для функции y 2 x 1 , определенной на множестве 0,5; ? 1 2 1. y ( x 2 1) на множестве 0; 2. y 2 x 2 1 на множестве 0,5; 1 2 3. y ( x 2 1) на множестве 0; 1 2 (Правильный вариант: 1) 4. y ( x 2 1) на множестве 0,5; Какая функция является обратной для функции y 4 x 2 , определенной на множестве 0;2 ? 1. y 4 x2 на множестве 0;2 2. y 4 x2 на множестве 2;0 3. y 4 x 2 на множестве 0;2 4. y 4 x 2 на множестве 2;0 (Правильный вариант: 2) Проверь себя. Обратная функция Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа . Какие из указанных функций удовлетворяют условию обратимости на отрезке 4 x 4 ? 1. y sin x 2. y cos x 3. y tgx 4. y ctgx (Правильные варианты: 1, 3) Какие из указанных функций удовлетворяют условию обратимости на промежутке ( ) ? 1. y 3x 2 4 2. y x 2 5 x 1 3. y ( x 1)3 4. y x3 x (Правильные варианты: 3, 4) Для функции y x 2 2 x 3 рассматриваются сужения на указанных промежутках. В каких случаях сужение является обратимой функцией? 1. 2;0 2. 0;2 3. 1;0 4. 0;1 (Правильные варианты: 2, 3, 4) Для функции y x 1 x 1 рассматриваются сужения на указанных промежутках. В каких случаях сужение является обратимой функцией? 1. ; 1 2. ;0 3. 0; 4. 1; (Правильные варианты: 1, 4) Домашнее задание 1. Доказать, что если функция y f ( x) монотонна на отрезке [a b] , то она имеет обратную. 2. Найти обратную функцию для функции y 3 x 4 . 3. Показать, что функция y x 4 имеет обратную на промежутке [0 ) и найти ее. 2 4. Найти обратную функцию для функции: а) y x ; б) y 2 x 3 ; в) y x ; 3 1 1 г) y x ; д) y 5 x 2 . 4 3 5. Найти обратную функцию для функции y x3 1 и изобразить графики обеих функций на одном рисунке. Словарь терминов Условие обратимости числовой функции. Функция f ( x) удовлетворяет условию обратимости на множестве D , если разным значениям a и b аргумента x из D соответствуют разные значения f (a ) и f (b ) данной функции. Условие обратимости можно символически записать в виде a D b D a b f (a) f (b) Обратная функция. Пусть функция y f ( x) удовлетворяет условию обратимости на множестве D . Множество значений, которые она принимает на D , обозначим через E . Определим в E новую функцию y g ( x) следующим образом. Возьмем какое-либо число x из множества E и найдем то единственное число y из D , для которого f ( y ) x . Положим g ( x) y . Определенная по такому правилу функция g ( x ) называется обратной для функции f ( x) на множестве D . Рисунки (названия файлов) Рисунок 1. 10-12-26.EPS Рисунок 2. 10-12-27.EPS