Выпускные экзамены по алгебре за 11

- 14.1 -
15. ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ ПО АЛГЕБРЕ ЗА 11-ЛЕТНЮЮ ШКОЛУ
Как известно, эти экзамены являются федеральными. Соответствующие тексты заданий
являются едиными и используются на экзаменах в школах всей страны (за исключением г.СанктПетербурга). Впрочем, недавно появился (пока в виде альтернативы) такой вид экзамена, как
ЕГЭ.
В составлении текстов федеральных экзаменов для 11-х классов принимали активное участие
учителя нашей кафедры Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов, Л.Я.Шляпочник (1991 – 2004 г.).
Тексты экзаменов 1991 – 1999 гг. отражены в следующих книгах (вместе с ответами и
подробными рациональными решениями):
1) Д.И.Аверьянов, Л.И.Звавич, В.К.Смирнова, «Задачи письменного экзамена по математике
за курс средней школы: условия и решения», выпуск 1. М.: «Школа-Пресс», 1993.
2) Д.И.Аверьянов, Л.И.Звавич, «Задачи письменного экзамена по математике за курс средней
школы: условия и решения», выпуск 2. М.: «Школа-Пресс», 1993.
3) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, «Задачи письменного экзамена по математике за курс
средней школы: условия и решения», выпуск 3. М.: «Школа-Пресс», 1994.
4) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, «Задачи письменного экзамена по математике за курс
средней школы: условия и решения», выпуск 4. М.: «Школа-Пресс», 1995.
5) Е.А.Бунимович, Б.П.Пигарев, «Задачи письменного экзамена по математике за курс
средней школы: условия и решения», выпуск 5. М.: «Школа-Пресс», 1996.
6) Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов, В.К.Смирнова, «Алгебра и начала анализа. Сборник заданий
для 11 класса». М.: «Дрофа», 1997.
7) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, «Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач.
11 класс». М.: Издательский дом «Дрофа», 1998.
8) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, И.И.Кулагина, «Алгебра и начала анализа. Решение задач
письменного экзамена. 11 класс». М.: «Дрофа», 2000.
Что касается вариантов для общеобразовательной школы (в рамках нашей гимназии такие
варианты даются для Физических (в последние годы), химико-биологических и гуманитарных
классов), то соответствующие тексты выбираются директивным образом из стабильно
установленных задачников, опубликованных в широкой печати и постоянно переиздающихся.
Приведем несколько вариантов выпускных экзаменов последних лет для математических и
физических классов.
- 14.2 ВАРИАНТЫ ВЫПУСКНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ЗА 11-Й МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ КЛАССЫ
РАБОТА 1
Вариант 1 (2003 - математики)
1. Найдите пару комплексных чисел
соотношения
z1 , z 2  , для которых одновременно
2 z1  3z 2  1  7i
2. Решите неравенство
и


выполняются
4i  z1  3z 2  1  17i .
log x  2 2 x 2  x  2 .
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
y3
x
,
y
x
3
и осью
ординат.
1

sin x cos y  cos x sin y  ,

2

cos
x

sin
y

1
.

4. Решите систему уравнений
5. Существует ли касательная к графику функции y  x  x 
ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение.
2
M a ; b
6. Изобразите множество точек
уравнение
1. Найдите пару комплексных чисел
соотношения

и

x ).
имеет ровно два различных корня (по
w1 , w2  , для которых одновременно
3w1  2 w2  11  5i
2. Решите неравенство
имеющая с графиком
координатной плоскости Oab, таких, что
x  2a  3x 2  bx  2a
РАБОТА 1
Вариант 2 (2003 - математики)
x
выполняются
2w1  i w 2  7  i .
log 2 x 2 x 2  x  2 .
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
осью ординат.
4. Решите систему уравнений
y  2x , y  3  x
и
1

cos x cos y  sin x sin y   ,

2

sin x  sin y  1.

5. Существует ли касательная к графику функции y  x  x  3 x , имеющая с графиком
ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение.
2
6. Изобразите множество точек
уравнение
M a ; b
x  3b  2x 2  ax  3b
координатной плоскости Oab, таких, что
имеет ровно два различных корня (по
x ).
- 14.3 -
О Т В Е Т Ы
Работа 1 (11-й математический класс, 2003)
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1.
z1  2  i ,
z 2  1  3i .
2.
x   2;1   1;0,5  0;4 .
1.
w1  3  i ,
2.
x   ;4.
w2  1  i .
3.
2
1
 .
3 ln 3 6
3.
5
1

.
2 ln 2
4.

5

  

 2 q  ,
  2 m;   2 p ,    2 n; 
3
6
3
6

 

4.
5

 
  5

 2 p ,  
 2 n;   2 q  ,
   2 m; 
6
6
6
6

 

где m, p, n, q   .
5.
6.
Да, существует; y   x 
где m, p, n, q   .
5.
1
.
4
Внутренность и границы тупого угла со
сторонами a  0 (луч проходит через начало
координат) и 6a  b  1  0 , за исключением
точек прямой b  1 (и, в частности, за
исключением вершины угла).
6.
Да, существует; y  x 
9
.
4
Внутренность и границы тупого угла со
сторонами b  0 (луч проходит через
начало координат) и a  6b  1  0 , за
исключением точек прямой a  1 (и, в
частности, за исключением вершины угла).
РАБОТА 2
Вариант 1 (2003 - математики)
1. Найдите модуль и один из аргументов комплексного числа
1  cos11  i sin 11 .
2. Решите систему уравнений:
 
log 2  xy  0,25  log 2 x 2  1 ,

2
 log x 2 y  log 2  y  6  4 .
 
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
касательными к этому графику, проведенными через точку
y  x 2  2x  6
M  1; 1 .
и
- 14.4 4. Найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции
y  x 2e x
и определите, в скольких точках данная функция принимает значение,
равное 0,5.
5. Найдите все общие действительные корни многочленов
2 x 4  13x 3  18 x 2  x  12 и x 4  7 x 3  12 x 2  3x  9 .
6. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение
arccos
2
2

arcsin
 xa
x2
x2
имеет ровно один корень.
РАБОТА 2
Вариант 2 (2003 - математики)
1. Найдите модуль и один из аргументов комплексного числа
1  cos 7  i sin 7 .
2. Решите систему уравнений:


 
 log 0,5 x3 x 2 y 6  1  log 4 y 2 ,

 x

2
log 4  y   0,25  log 2 y  0,5 .
 

 
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
y  4x  x 2  3


и
касательными к этому графику, проведенными через точку M 2 ; 5 .
4. Найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции
y  x  ln 2 x
и определите, в скольких точках данная функция принимает значение,
равное 0,6.
5. Найдите все общие действительные корни многочленов
2 x 4  5 x 3  27 x 2  14 x  28 и x 4  3x 3  11x 2  6 x  12 .
6. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение
arccos
1
1
2
 arcsin  x  a 
x
x
имеет ровно два различных корня.
О Т В Е Т Ы
Работа 2 (11-й математический класс, 2003)
ВАРИАНТ 1
1.
Модуль равен  2 sin 5,5 , а один из
3
 5,5 .
аргументов
2
ВАРИАНТ 2
1.
Модуль равен  2 cos 3,5 , а один из
аргументов   3,5 .
- 14.5 2.
2.


3.
1
5 .
3
4.
0;2 - промежуток возрастания,  ;0 и4. e  2 ;1 - промежуток убывания, 0; e  2  и
2; - промежутки убывания;
1; - промежутки возрастания;
2 ;  2 , 2 ; 2 .
3.
точки экстремумов: 0 – точка минимума и
2 – точка максимума;
экстремумы: 0 – минимум и 4 / e 2 максимум. Значение 0,5 функция
принимает ровно в трех точках.

1   1
  2 ;  5 ,  2 ;  .
8   2

1
5 .
3
точки экстремумов: e  2 – точка
максимума и 1 – точка минимума;
экстремумы: 0 – минимум и 4e  2 максимум. Значение 0,6 функция
принимает ровно в одной точке.
5.
2 7 и 2 7.
5.
3 5 и 3 5 .
6.

 



a  2  ; 2     2  ; 2  
2
2 
2
2

6.

 


a    ;1 
;1 
  1 

2
2
2

 




 1 
; .
2


ПРОФИЛЬНАЯ РАБОТА (ДЛЯ ФИЗИЧЕСКОГО КЛАССА)
Вариант 1 (2003 - физики)
1. Найдите наименьшее целое число x , удовлетворяющее неравенству 4 x  6  13 x  13240 .
2. Решите уравнение sin x  sin 3 x  sin

7
 sin
3
.
7
3. Решите уравнение log 52 ( x  3) 2  3 log 5 (15  5 x)  10  0.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  2 
x;
y
x и
прямой 3x  5 y  22  0 .
5. Найдите множество значений функции y  3x  7  2 x .
6. Найдите все отрицательные a, для каждого из которых касательные к параболе y  ( x  1) 2 ,
проведенные через точку оси Oy с ординатой a, высекают на оси Ox отрезок длины 4.
ПРОФИЛЬНАЯ РАБОТА (ДЛЯ ФИЗИЧЕСКОГО КЛАССА)
Вариант 2 (2003 - физики)
- 14.6 1. Найдите наибольшее целое число x , не удовлетворяющее неравенству 5 x  4  3 x 1  6100 .
2. Решите уравнение cos x  cos 3x  cos
3
9
 cos
.
11
11
3. Решите уравнение 0,5  log 22 (2  x) 2  9 log 2 (2 x  4)  16  0.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  3  2 x ; y 
x и
прямой 4 x  5 y  21  0 .
5. Найдите множество значений функции y  6 x  7  2 x .
6. Укажите координаты всех точек оси Oy , имеющих положительные ординаты и обладающих
тем свойством, что касательные, проведенные через каждую из таких точек к графику
функции y  
1
, высекают на оси абсцисс отрезок длины 1,5.
x 1
О Т В Е Т Ы
Работа профильная (11-й физический или физико-математический класс, 2003)
ВАРИАНТ 1
1.
3.
2.

3.
 2; 3 
4.
ВАРИАНТ 2
1.

2

 k ;  0,5 arccos 0,5  cos
7
7

n  ; k   .
1
.

  n;

2.
5.
3
6 

 k ;  0,5 arccos  0,5  cos
  n;
11
11 

n  ; k   .

3.
4; 2  8 2 .
8,5.
4.
2
12 .
3
5.
2

  ;  10  .
3

5.
7

  ;  1  .
12 

6.
 15 .
6.
8.
5  4 125
- 14.7 РАБОТА 1
Вариант 1 (2004 - математики)
1. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа
3
z , что z 
1 i
.
1 i
2. Фигура ограничена линиями y  0 и y   x 2  6 x  5 . Эта фигура делится графиком функции
y  x  5 на две части. Найдите площади этих частей.
2
y  e x2  x  6 и постройте ее график.
3. Исследуйте функцию
2
x  1,5
2,5  x
 0.
x  0,5x  1
log
4. Решите неравенство
5. Решите уравнение sin 2 x  cos x  0 и укажите все те из его корней, которые принадлежат
отрезку  2; 3 .
6. При каких целых значениях параметра a равенство
x 2  3x  a  3x 2  ax  5  4 x 2  3  a x  5  a
выполняется при всех значениях x ?
РАБОТА 1
Вариант 2 (2004 - математики)
1. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа
z , что z 2  3  i .
3i
2. Фигура ограничена линиями y  0 и y   x  2 x  3 . Эта фигура делится графиком
2
функции y   x  1 на две части. Найдите площади этих частей.
2
3. Исследуйте функцию
y  x  4  e x1
log
4. Решите неравенство
5. Решите уравнение
и постройте ее график.
2
0,5  x 
x3
 0.
x x  1
sin 2 x  sin x  0 и укажите все те из его корней, которые принадлежат
отрезку  1; 5.
6. При каких целых значениях параметра a равенство
x 2  5x  a  5x 2  ax  7  6 x 2  a  5x  7  a
выполняется при всех значениях x ?
РАБОТА 2
Вариант 1 (2004 - математики)
1. Упростите выражение
2. Функция
x  18 x  81  x  18 x  81 при x  165 .
f x  – периодическая, с периодом, равным 13. Если
x  0 ; 13 , то
f x   13x  x . Решите уравнение f x  30 для x R.
3. Среди чисел z , таких, что zi  3  2 , найдите числа с наименьшим и наибольшим модулем.
2
- 14.8 3
1
4. На отрезке  ; 1  найдите нули функции f x  sin 3x  sin 4x  sin 2x  sin 5x ,
4
4
укажите, какие из них принадлежат ее промежуткам возрастания.
5. Сравните числа F (1) и F (2) , если F (x) – первообразная для функции
f  x   5 x 2  29 x  20log
6
и
7  x  .
x 2  4x  9
 a имеет
6. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение 2
x  5x  9
хотя бы одно решение.
РАБОТА 2
Вариант 2 (2004 - математики)
1. Упростите выражение x  22 x 121  x  22 x 121 при x  244 .
2. Функция f x  – периодическая, с периодом, равным 9. Если x  0 ; 9 , то f x   9 x  x .
2
Решите уравнение f x   18 для x R.
3. Среди чисел z , таких, что zi  5  3 , найдите числа с наименьшим и наибольшим модулем.
2
1
4. На отрезке  ; 1  найдите нули функции g x  cos 3x  cos 4x  cos 2x  cos 5x , и
3 3 
укажите, какие из них принадлежат ее промежуткам убывания.
5. Сравните числа F ( 2) и F ( 4) , если F (x) – первообразная для функции


f  x   2 x 2  11x  21 log 10  x  .
3
6. Найдите все значения параметра
a , при каждом из которых уравнение
x 2  4x  9
 a имеет
x 2  5x  9
хотя бы одно решение.
О Т В Е Т Ы
Работа 1 (11-й математический класс, 2004)
ВАРИАНТ 1
1.
2.
См. рисунок, где z1; 2  
2
8и 2 .
3
ВАРИАНТ 2
3 1
  i; z 3  i .
2 2
1.
2.


См. рисунок, где z1; 2   3  1  i  .
 2 2 


2
8и 2 .
3
3.
- 14.9 3. Функции y  x  и y   x  непрерывны и
Функции y  x  и y   x  непрерывны и
дифференцируемы на R; функция y  x  ни
чётна, ни нечётна и не является
периодической; при x    y  x    ;
имеется асимптота y   x  6 (при
дифференцируемы на R; функция y  x  ни
чётна, ни нечётна и не является
периодической; при x    yx   ;
имеется асимптота y  x  4 (при x    ).
Ф-ция y  x  возрастает на  ;  1 и убывает
на  1;   ; точка экстремума x  1 ,
экстремум (максимум): 2 . График данной
функции выпуклый вверх на R. (График
приведен в решении.)
x    ). Ф-ция y  x  убывает на  ;  2
и возрастает на  2;    ; точка экстремума
x  2 , экстремум (минимум):  3 . График
4.
данной функции выпуклый вниз на R.
(График приведен в решении.)
x   1,5;  1  0,5; 1,5  1,5; 2,5   0,5.
4.
x   3;  2   2;  1  0; 0,5   0,5.
5.

5.
k ; 
2
 k , k  ; 
5
 2n, n  ; данному
6
отрезку принадлежат только три корня:

2
6.
и
5
6



3
 2n; 
2
 2m; k , n, m  ; на данном
3
отрезке только три корня: 0,
,
2

и
4
3
.
a   7;  6;  5;  4;  3.
6.
a   11;  10;  9;  8;  7.
О Т В Е Т Ы
Работа 2 (11-й математический класс, 2004)
1.
ВАРИАНТ 1
 18 .
1.
ВАРИАНТ 2
 22 .
2.
3  13n, 10  13n, n   .
2.
3  9n, 6  9n, n   .
3.
z  i и z  5i .
3.
z  2i
4.
1
3
; 1; ; промежуткам возрастания
2
2
3
принадлежат только 1 и
.
2
F 1  F 2 .
4.
1
3
; 1; ; промежуткам возрастания
2
2
1
принадлежат только
и 1.
2
F 2  F 4 .
10
 a  2.
11
6.
5.
6.
5.
3 cos 3x  sin 3x  2 sin x .
z  8i .
10
 a  2.
11
Р А Б О Т А П Р О Ф И Л Ь Н А Я (для физических классов)
Вариант 1 (2004 - физики)
1. Решите уравнение
и
.
- 14.10 2. Сравните числа
56 и log 65 .
2


2
3. Решите уравнение x  16  log
1/ 3
2 x  1  0 .
4. Исследуйте функцию f  x   x  6 x  8 x на монотонность.
2
5. Решите неравенство
2
3
x 1
 2.
6. При каких положительных значениях
a площадь фигуры, ограниченной линиями
5
y  2 x , y   x, x  a, x  4a , равна 16 ?
6
Р А Б О Т А П Р О Ф И Л Ь Н А Я (для физических классов)
Вариант 2 (2004 - физики)
1. Решите уравнение cos 3x  3 sin 3x  2 cos x .
2. Сравните числа
29 и log 92 .
2


2
3. Решите уравнение 3 x  x  log
0,5
5 x  1  0 .
4. Исследуйте функцию g  x   9 x  12 ln x  2 x x на монотонность.
5. Решите неравенство
3
2
x1
 3.
6. При каких положительных значениях
b
площадь фигуры, ограниченной линиями
y   x , y  x, x  b, x  4b , равна 12 1 ?
6
О Т В Е Т Ы
Работа профильная (11-й физический или физико-математический класс, 2004)
ВАРИАНТ 1
1.
2.


6
 k, k   ;
56 > log 65 .
2
ВАРИАНТ 2

6

n
2
, n.
1.
2.


6
 k, k   ; 
29 < log 92 .
2

12

n
2
, n.
- 14.11 3.
1 и 2.
3
5
3.
0 и 4.
4.
Функция монотонно возрастает всюду на 4.
своей области определения 0 ;    .
Функция монотонно убывает всюду на
своей области определения 0 ;    .
5.
1 x  7 .
5.
x   ;  1  3;    .
6.
a  1.
6.
b  1.