08.02.2012 - Программа элективного курса

Программа составлена
Коньковой Светланой Геннадьевной,
учителем математики
МОУ Мирновская СОШ Торжокского района
Программа элективного курса
«Эти разные, разные графики»
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Предлагаемый элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся
9 класса посвящен одному из основных понятий современной математики –
функциональной зависимости. Понятие функциональной зависимости,
являясь одним из центральных в математике, пронизывает все ее
приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их
живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Существуют
различные способы задания функции: аналитический, табличный, словесный,
а также графический. Иногда график является единственно возможным
способом задания функции. Он широко используется в технике, лежит в
основе работы многих самопишущих автоматических приборов. Свободное
владение техникой построения графиков и умением их «прочесть» часто
помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством
их решения. Материал основной школы, связанный с этим вопросом,
представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно и формирует
тяжкое заблуждение, что график функции можно построить только по
точкам.
Цель данного курса – расширение и углубление знаний о методах
построения графиков функций;
Задачи:
- обобщение, систематизация и углубление знаний по теме;
- формирование умений по построению графиков с помощью геометрических
преобразований;
-развитие логического мышления, творческих способностей, познавательной
активности;
- предоставление возможности реализовать свой интерес к предмету;
- уточнение готовности и способности осваивать выбранный предмет на
повышенном уровне;
- создание условий для подготовки к экзамену.
Формы и методы работы должны располагать к самостоятельному поиску
и повышать интерес к изучению предмета: проблемный, частичнопоисковый, объяснительно-иллюстративный. В курсе заложена возможность
дифференцированного обучения, как путем использования задач различного
уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности
осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для
самых разных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей
подготовки.
Планируемые результаты обучения:
- данный курс расширит и углубит базовый раздел «Функции и их
графики» и обеспечит более успешное дальнейшее обучение;
- повысит навык графической культуры,
- поможет ученику проверить себя и определиться с выбором профиля.
СОДЕРЖАНИЕ
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных
программных знаний. Программа содержит два блока, связанные единой
идеей. Учитель может использовать все блоки или любой из них, в
зависимости от подготовки учащихся.
Первый блок углубляет и систематизирует ранее полученные знания и
несколько расширяет теоретический материал по теме. Этот блок доступен
всем ученикам.
Второй блок призван показать, что целью построения графика является
понимание характера поведения функции, а не числовое значение. Занятия
предполагается проводить в форме семинаров и исследовательской работы в
микрогруппах. В результате учащиеся получат практическое руководство для
построения эскизов графиков многих функций.
На изучение курса отводится 13 часов.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№
п/п
Наименование разделов и тем
1.1. Понятие функции.
Способы задания. Обзор свойств и графиков
известных функций.
1.2. Преобразования графиков: y=f(x)+a,
y=f(x+a), y=af(x), y=f(ax), y=|f(x)|, y=f(|x|).
Колво
часов
2.
Форма контроля
Тестирование
3
Составление
опорной
таблицы
1.3. Разрыв функции. Графики кусочно-заданных
функций.
3
Практикум
1.4. Проверка усвоения знаний
1
Проверочная
работа
2.
1)Действия над функциями (сумма, разность,
произведение, частное).
Семинарские
занятия
4
2)Графики
многочленов
рациональных функций.
и
дробно-
Исследовательская
самостоятельная
работа.
3)Суперпозиция функций
Работа
микрогруппах
ИТОГО
13
в
ЛИТЕРАТУРА
Макарычев Ю.М., Алгебра 9.- М.: Просвещение,2010г.
Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики: Факультативный курс.М.: Просвещение, 1998г.
Литинский Г.И., Функции и графики.- М.: Аслан, 1995г.
Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс
основной школы. 9 класс /Л.В. Кузнецова и др. – М.: Дрофа,2006г.
П Р И Л О Ж Е Н И Е.
Методические рекомендации.
Темы исследовательской самостоятельной работы предлагаются в начале
изучения курса:
1) Действия над функциями
- сумма (разность) функций;
- произведение функций;
- частное двух функций.
2) Суперпозиция функций и построение ее графика.
3) Графики многочленов.
4) Графики дробно-рациональных функций.
5) Графики как модели реальных процессов.
Чтобы правильно отражать на графике и считывать по нему характерные
свойства, особенности функции, следует хорошо понимать как сами эти
свойства, так и способы их графического выражения. Далеко не все из
перечисленных ниже понятий
знакомы девятиклассникам, но их
представление не требует знаний математического анализа. Поэтому,
постепенное их введение в процессе занятий лишь расширит знания и
подготовит к дальнейшему обучению
Краткий перечень терминов и их графическое толкование
Непрерывность ~ неразрывность кривой, изображающей график,
возможность ее начертания без отрыва карандаша от бумаги.
Гладкость ~ плавность кривой; график поворачивает постепенно, не имеет
изломов и заострений.
Возрастание - подъем точки, движущейся по графику слева направо.
Убывание ~ спуск точки, движущейся по графику слева направо
Постоянство функции - параллельность графика оси абсцисс.
Знакопостоянство функции - расположение графика выше (ниже) оси
абсцисс.
Выпуклость вверх (вниз) - любая дуга графика лежит выше (ниже)
стягивающей ее хорды; касательная при движении точки касания по графику
слева направо поворачивается по часовой стрелке (против нее).
Четность функции - симметричность графика относительно оси ординат.
(Аналитически выражается тождеством f(-x)=f(x)).
Нечетность функции ~ симметричность графика относительно начала
координат. (Аналитически выражается тождеством f(-x)=-f(x).)
Периодичность функции - график можно разбить да одинаковые по форме
участки, получаемые один из другого сдвигом вдоль оси абсцисс.
(Аналитически выражается наличием такого числа Т>0, что f(x+T)=f(x) для
всех .)
Ограниченность сверху (снизу) - расположение графика всюду ниже (выше)
некоторой прямой, параллельной оси абсцисс, (Аналитически выражается
наличием такого числа М, что f(x)<M (f(x))>M) всех х).
Асимптота - прямая, к которой неограниченно приближается точка,
движущаяся по графику, неограниченно удаляясь от начала координат.
Вертикальная асимптота - прямая х=с, где с - точка «бесконечного
разрыва» графика, при стремлении аргумента к которой слева или справа
значения функции неограниченно возрастают по абсолютной величине (при
этом график уходит неограниченно вверх или вниз).
Горизонтальная асимптота - прямая у=а, к которой неограниченно
приближается график при х+ (правая асимптота) или х—> —  (левая
асимптота).
Наклонная асимптота - прямая у=kx+b, к которой график неограниченно
приближается при х +  (правая асимптота) или при х- (левая
асимптота). Аналитически наличие асимптоты у=kx+b обуславливается
возможностью представления функции в виде y=kx+b+O(x), где 0(х)
стремится к нулю при х.
Характерные точки графиков:
Нули функции - точки, в которых график достигает оси Ох. Аналитически решения уравнения f(x)=0
Точка максимума - абсцисса «вершины графика», точка, в которой функция
определена и в которой возрастание функции сменяется на ее убывание.
Точка минимума - абсцисса «дна впадины» на графике, точка, в которой
функция определена и ее убывание сменяется на возрастание.
Точка экстремума - точка максимума или минимума функции.
Точка перегиба - точка графика, при переходе через которую меняется
направление его выпуклости.
Точка излома - точка графика, в которой резко, скачком меняется
направление движения по графику.
Точка разрыва - точка на оси абсцисс, при прохождении над или под которой
график терпит разрыв, для его продолжения необходимо оторвать карандаш
от бумаги.
К точкам разрыва причисляются также концы области
определения функции, в которых она не определена.
Входной контроль
1.Среди зависимостей выберите те, графиком которых является прямая:
1) у=2х-3
5) у= х
3
х
х
3) у=
3
6) у=2х2
2) у=
7) х=2
4) у=3х
Ответы: а) 1, 3, 4, 6.
б) 1, 2, 3, 4.
в) 1, 3, 4, 7.
г) 1, 4, 5, 7.
2. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке.
а) у=-2х+4;
в) у= 4х-2
б) у= 4-х2;
г) у= 2х+4
3. На каком из рисунков изображен график функции у=-х3?
4. Задайте формулой функцию, график которой данная парабола.
а) у= 4-х2;
б) у= 4-2х2;
в) у= 2 х2+4;
г) у=2х2+4
5. На рисунке изображен график некоторой
функции.
Из перечисленных ниже утверждений
1) если х=-5, то у=0;
2) функция убывает на промежутке
(-;-2];
3) у0 при -5 х  1;
4) у=-9 при х=-2.
верными будут:
а) 1,3,4;
б) 1,2,4;
в) 2,3,4;
г) все.
6. Укажите область определения функции у= 6  3х .
1
2
а) х2; б) х2; в) х ; г) х2.
КОД ПРАВИЛЬНЫХ ОТВЕТОВ: ВВАББГ
Правила геометрических преобразований
графиков функций
ПРАВИЛО 1. График функции у=f(x)+a получается параллельным переносом
графика f(x) в положительном направлении оси Оу на а единиц при а >0 и в
отрицательном направлении этой оси на |а| при а<0.
ПРАВИЛО 2. График функции у=f(х+а) получается параллельным переносом
графика f(x) в отрицательном направлении оси Ох на |а| при а> 0 и в
положительном направлении при а< 0.
ПРАВИЛО 3. График функции у=аf(х) получается растяжением графика f(х)
вдоль оси Оу в а раз при а> 1 и сжатием вдоль этой оси в
1
раз при 0 < а< 1
а
ПРАВИЛО 4. График функции у=-f(х) получается
отображением графика f(х) относительно оси Ох.
симметричным
ПРАВИЛО 5. График функции у=f(ах) получается сжатием графика f(х)
вдоль оси Ох в а раз при а > 1 и растяжением вдоль этой оси в
1
раз при
а
0< а <1.
ПРАВИЛО 6. График функции у=f(-х) получается
отображением графика f(х) относительно оси Оу
симметричным
ПРАВИЛО 7. График функции у=|f(х)| получается из графика функции у=f(х)
следующим образом: часть графика у=f(х), лежащая над осью Ох,
сохраняется; часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично
относительно оси Ох.
ПРАВИЛО 8. График функции у=f(|х|) получается из графика функции у=f(х)
следующим образом: при х0 график у=f(х) сохраняется, и эта же часть
графика отображается симметрично относительно оси Оу.
Задания к теме «Преобразования графиков функций»
1. По данному графику у=f(х) постройте график функции:
а) у= f(х)+2;
ж) у= f(2х);
б) у= f(х)-2;
з) у= f(0,5х);
в) у= f(х+2);
и) у= -f(х);
г) у= f(х-2);
к) у= f(-х);
д) у=2f(х);
л) у= |f (х )|;
е) у=0,5f(х);
м)
у= f(| х |).
2.
Распознайте
преобразование,
переводящее
исходную
кривую у=f(х) (см. рис.) в
новую (см. рис. 1-12) и
укажите
подходящую
формулу для полученной кривой, среди приведенных ниже:
а) y=f(2x);
б) y=0,5f(x);
в) y=|f(x-1)|+1;
г) y=f(x-1);
д) y=f(-x);
е) y=f(|x-1|+1);
ж) y= -f(x);
з) y=f(x)+1;
и) y=f(-|x|);
к) y=f(x+1);
л) y=|f(x)|;
м) y=f(|x|).
Графики кусочно-заданных функций.
Одно из основных назначений функции – описание реальных процессов,
происходящих
в
природе.
Но
издавна
ученые-философы
и
естествоиспытатели выделяли два типа протекания этих процессов:
постепенное (непрерывное) и скачкообразное. Так, при падении тела на
землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в
момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется
скачкообразно, становясь равной нулю или меняя направление (знак) при
«отскоке» тела от земли.
Но раз есть разрывные процессы, то необходимы и средства для их
описания. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы.
Один из способов введения таких разрывов следующий.
Пусть функция у=f(х) при х< а определена формулой у=g(х), а при х> аформулой у=h(х), причем будем считать, что каждая из функций g(х) и h(х)
определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда если g(а) h(а),
то функция f(х) имеет при х=а скачок. Значение х=а принято называть
точкой разрыва.
Если же g(а)= h(а) =f(а), то «комбинированная» функция f разрывов не
имеет. Переход от одной формулы к другой сохраняет непрерывность
изменения величины, но вызывает излом ее графика. Скачком меняется не
величина, а скорость ее изменения.
Пусть заданы х1< x2 <…< xn _- точки смены формул в кусочно- элементарных
функциях. Функция f, определенная при всех х, называется кусочнолинейной, если она линейна на каждом интервале (-;х1), (х1;х2),…(хп-1;хп),
(хп;+) и в точках смены формул не терпит разрывов.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном.
Ее график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями, а
формула имеет вид у=ах+в+с1|x-x1|+c2||x-x2|+…+cn|x-xn|, где а,в,с1,…спчисла.
Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины и по
одной точке на левом и правом бесконечных звеньях. Эти соображения
позволяют легко строить графики функций такого вида без раскрытия
модулей, не переходя к их кусочному заданию.
Составляем таблицу:
х
Х0
х1
х2
…
хп
хп+1
у
У0
у1
у2
…
уп
уп+1
где х0 и хп+1 –произвольные значения х, такие, что х0х1 и хп+1хп, а х1,…, хп –
точки смены формул, у0,….,уп+1 – значения функции в этих точках. Все точки
наносятся на координатную плоскость, последовательно соединяются
отрезками, два крайних звена – лучи.
Пример. Построить график функции y=x+|x-2|-|x|.
Первый способ. Значения х=2 и х=0- точки смены формул. Составим
таблицу:
х
у
-1
1
Получаем график (cм. рис)
Второй способ.
Если х0, то у=х-х+2-х, у=х+2.
Если 0х2, то у=х-х+2-х, у=-х+2.
0
2
2
0
3
1
Если х2, то у=х+х-2-х, у=х-2.
 х+2 при х0,
Значит, у=  -х+2 при0х2,
 х-2 при х2.
Задания для самостоятельной работы
1. Постройте график функции:
а)
1 2
 4 x  1, если  2  x  2,

y  2  x, если x  2,
 x  2, если x  2;


в) у=2-2|х+2,5|;
х2  2х  1
д) у=
1 х
б)
 x , если x  2,
y
2, если x  2;
г) у=||х|-1|;
е) у=
х  х3
х
2. Из шести предложенных графиков указать тот, который выражает:
1) диаграмму растяжения физического тела;
2) движение тела, брошенного под углом к горизонту;
3) изменение напряжения в цепи
переменного тока.
3.Пассажир метро перешел с одной линии на другую, поднимаясь и
спускаясь по лестницам и эскалаторам, и поднялся на поверхность. График
показывает, как менялась глубина местонахождения пассажира во время
перехода. Используя график, ответьте на вопросы:
1) На какую максимальную глубину спустился пассажир?
2) При подъеме вверх пассажир первый раз шел по лестнице, а второй раз
ехал на эскалаторе. Во сколько раз скорость, с которой пассажир шел
по лестнице, меньше скорости эскалатора?
Проверочная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
1. По данному графику постройте графики следующих функций:
а) у=f(х)+4;
а) у=f(х)-2;
б) у=f(х-5);
б) у=f(х+3);
в) у=f(|х|)
в) у=|f(х)|.
2. Постройте график функции:
а) у= х+|х|+|х-1|
1
х
б) у= |  2 |
а) у=2х-|х+1|+|х|
б) у=
1
1
|x|
3. Среди данных функций укажите ту, которая не отвечает свойству
остальных
Вариант 1.
Вариант 2.
О подготовке и проведении семинарских
занятий по темам второго блока
Во-первых, помочь учащимся сориентироваться при выборе темы.
Во-вторых, оказывать методическую помощь в разработке темы.
Можно предложить следующий план исследования функции.
1. Найти область определения функции (символически D(f)).
2. Найти нули функции, т.е. решения уравнения f(x)=O.
3. Найти точки разрыва, если они имеются (часто это нули знаменателя в
формуле, задающей функцию).
4. Определить знаки функции на промежутках, на которые область
определения разбивается нулями и точками разрыва. Для этого нужно
изобразить систему координат и пометить в ней знаки функции, ставя «+»
над теми промежутками, где она положительна, и «-» под теми
промежутками, где она отрицательна. Этим определится то, в какой
полуплоскости, верхней или нижней, должен располагаться график при
значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку.
Замечание. Для определения знаков функции на указанных промежутках
достаточно выяснить ее знак в одной (любой) из точек исследуемого
промежутка - во всех точках этого промежутка знак такой же.
5. Выяснить наличие вертикальных асимптот, т.е. значений х=х0, при
приближении х к которым график уходит неограниченно вверх или вниз.
Обычно такие значения являются нулями знаменателя дробного
выражения в формуле, задающей функцию. Например,
х0 = 0
1
х
у функции у = . Или «пограничными» точками области
определения.
Изобразить асимптоты в системе координат и отметить схематическим
характер приближения к ним графика слева и справа.
6. Выяснить поведение функции при х—> +  и при х  - , т.е. при больших
по модулю положительных и отрицательных значениях х. Установить
наличие горизонтальных или наклонных асимптот; если они есть, провести
их в координатной плоскости и изобразить схематически характер
приближения к ним графика функции.
7. Выяснить, будет ли функция четной, нечетной, периодической. Хотя эти
вопросы полезно выяснить в начале исследования, вслед за п. 1, так как
наличие одного из названных свойств упрощает дальнейшее. К
сожалению, большинство функций подобными свойствами не обладают.
8. Учитывая проведенный анализ и уже полученные на рисунке элементы
графика, доделать черновой набросок, эскиз графика. Вычислить
несколько контрольных точек графика, исходя из заданной формулы, и
уточнить изображение.
Необходимость учета области определения и знаков функции можно
выразить следующими первыми «заповедями» тому, кто строит график:
«Не пытайся изображать график на тех промежутках, где его быть не
может», «Не строй график в той полуплоскости, где его быть не может».