Квадратичная фунуция

Проектная работа
на тему «Квадратичная функция»
номинация: среднесрочный педагогический проект
по предмету математика (8 класс)
Работа выполнена:
Симановой Н.С., учителем математики II квал.
категории МБОУ ООШ Елантовской ср.шк.
Татариновой Е.А., учителем математики МБОУ
СОШ №31 с углубленным изучением отдельных
предметов г. Нижнекамска
Нижнекамск 2013 г.
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………3
1. Методологические основы изучения темы
« Квадратичная функция »……………………………………………………………4
1.1. Цели и задачи изучения темы……………….…………………………….……..4
1.2. Требования к знаниям и умениям…………………………………………………4
1.3. Формы контроля……………………………………………………………………4
1.4. Культурно-исторический фон изучения темы……………………………………4
2. Теоретические основы построение квадратичной функции. …………………..…6
3. Графическое решение уравнений…………..……………………….………….….8
4. Проектирование урока по требованиям
новых образовательных стандартов…………..……..………………………….……10
4.1. План-конспект урока «Квадратичная функция»………….…………………….10
4.2. Структура и ход урока «Квадратичная функция» ……………...………………12
4.3. Технологическая карта урока «Квадратичная функция» ……………..….........14
5.1. Лист контроля урока №1…………………………………………………………17
5.2. Лист контроля урока №2………………………………………………………....18
5.3. Электронная презентация урока «Квадратичная функция»………...………….19
Заключение …………………………………………………………..……...……...…22
Список использованной литературы ……………………………..………….………23
2
Введение
Функциональная линия школьного курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курса алгебры. Изучение функций в средней школе позволяет раскрыть внутренние связи между
понятием функции и другими понятиями школьного курса математики, осуществить межпредметные связи.
В школе учащиеся овладевают понятиями функции, ее графика и способов задания; изучают элементарные функции, знакомятся с такими свойствами функций,
как область определения, область значения, монотонность, четность и нечетность
и другие; учатся применять знания о функциях к изучению разнообразных процессов и явлений.
Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при
решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.
Целью проектной работы является обзор приложений квадратичной функции к
решению различных задач школьного курса математики и составление соответствующих методических рекомендаций.
Для достижения данной цели, были поставлены следующие задачи:
 изучение психолого-педагогической, методической и учебной литературы;
 подбор задачного материала;
 выделение типовых задач в каждом разделе и составление решения к ним;
 составление методических комментариев к решениям задач;
 построение и чтение графика квадратичной функции;
 решение уравнений и их систем;
 решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.
К каждому разделу подобраны задачи, некоторые из них представлены с решениями и методическими рекомендациями.
3
1. Методологические основы изучения темы
«Квадратичная функция»
1.1. Цели и задачи изучения темы
Целью проекта является:
1. разработка методики изучения темы «Квадратичная функция» с учетом требований новых ФГОС основного общего образования;
2. развитие творческих способностей учащихся;
3. развитие логического мышления;
4. развитие мыслительной деятельности.
Задачами проекта являются:
1. выделение универсальных и специальных предметных учебных действий,
формируемых в процессе изучения темы;
2. разработка плана-конспекта и технологической карты двух последовательных уроков по теме с выделением формируемых УУД;
3. исследование свойств квадратичной функции, особенностей расположения
графиков на координатной плоскости;
4. изучение алгоритмов построения графиков функций на координатной плоскости;
5. выявление от чего зависит расположение графиков данных функций на координатной плоскости;
6. научить быстро и правильно строить графики квадратичных функций на координатной плоскости.
1.2. Требования к знаниям и умениям
В результате изучения темы учащиеся должны уметь выполнять следующие
учебные действия:
-научить выделять и формулировать познавательную цель
- определять квадратичную функцию
- уметь строить и исследовать квадратичную функцию
- уметь решать уравнения и системы графическим способом;
- научиться определять уравнение параболы по рисунку
- определять наименьшее и наибольшее значения функции
1.3. Формы контроля
При изучении данной темы могут быть предусмотрены следующие формы
контроля:
– промежуточные и итоговые тесты;
– выполнение и защита индивидуальных и групповых проектов по проблеме.
1.4. Культурно-исторический фон изучения темы
Появление понятия функции
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно
сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
4
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание
обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между
величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для
нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (45тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является
функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы:
S = 3 r2.
Примерами табличного задания функции могут служить астрономические
таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания
функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его
диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые
Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было
единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y,
z, ... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.
Кроме того, у Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат.
В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение
ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции
стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения формулы.
В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину,
которая изменяется стечением времени. В «Геометрии» Декарта и работах Ферма,
Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер
и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями.
Мировоззренческой основой теории решения уравнений должно быть понимание
того факта, что уравнения являются математической моделью реальных процессов
и явлений действительности.
Оптические свойства параболических зеркал
По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с
их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду,
поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это
невозможно при тогдашнем уровне техники.
Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь
римский флот при помощи параболических зеркал возможно.
Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения
от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между
5
прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным
из этой точки на директрису.
Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной
точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое
зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей
можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само
название «фокус», означающее по-латыни «очаг».
2. Теоретические основы построения квадратичной фукции
Квадратная функция y=ax²+bx+c
Функция y = f(x) называется квадратичной, если ее значения могут быть вычислены с помощью формулы f(x) = ax2 + bx + c. Квадратичная функция определена на всей числовой оси Оx. Областью определения квадратной функции является
множество R. На рисунке изображен частный вид функции – график функции
у=х²: (график )
Основные свойства квадратичной функции
Нули функции. Обращение в нуль квадратичной функции зависит от значения
дискриминанта D = b2 – 4ac квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
Если D > 0, то квадратичная функция обращается в нуль в двух точках x1 и x2.
Если D < 0, то квадратичная функция в нуль не обращается.
Если D = 0, то квадратичная функция обращается в нуль в одной точке x =-b/2a.
Знаки квадратичной функции. Нули функции делят область определения квадратной функции на промежутки, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Знак функции зависит от значения дискриминанта D (определяет
число корней уравнения – нулей функции) и значения коэффициента при x2. Таким образом, возможные следующие знаки квадратичной функции на всей области определения
Если D > 0 и x1, x2 – нули функции (x1 < x2), то таких промежутков будет три:
6
(–∞ ; x1), (x1; x2), (x2; +∞ ).
Если D < 0, то нулей у функции нет, и на всей числовой оси функция сохраняет
постоянный знак, зависящий от коэффициента при x2.
Если D = 0, то нуль у функции один (x = -b/2a.), числовая ось разбивается на
два промежутка (–∞ ; .) и (-b/2a; +∞. ), однако знак функции в этих промежутках
один и тот же, зависящий от коэффициента при x2.
График функции y = x2 называется параболой
Свойства функции у = х2
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) начало координат
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над
осью абсцисс
3. Множеством значений функции у = х2 является промежуток [0; + ∞)
4. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже значение у, т.е. если
значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, график симметричен относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).
5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает
6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0.
Наибольшего значения не существует
Некоторые свойства парабол:
1. Любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от
параболы проходит через ее фокус.
2. Касательная в любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой
точки на директрису.
Эти свойства парабол используют при конструировании солнечных печей, телескопов, параболических антенн.
Параболические антенны можно увидеть около любого аэродрома – они используются для того, чтобы собрать в одну точку все сигналы радиолокатора, отраженные от самолета. В прожекторах, наоборот, свет, исходящий из фокуса
параболического зеркала, после отражения образует параллельный пучок и не рассеивается. По этой причине форму параболоида вращения имеют и автомобильные фары.
Схема построения графика квадратичной функции.
Графиком функции у = ах2 + вх + с является парабола.
1. ООФ: х  R
2. Направление ветвей параболы:
 Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх
 Если а < 0, то ветви параболы направлены вниз
3. Координаты вершины параболы:
х0 =
в
, у0 = у(х0). (х0; у0) – вершина параболы.
2а
7
4. МЗФ:
 Если а > 0, то у ≥ у0
 Если а < 0, то у ≤ у0
5. Ось симметрии: х = х0
6. Координаты точек пересечения параболы с координатными осями:
ОУ: х = 0, то у(0) = а · 02 + в · 0 + с = с, (0; с)
ОХ: у = 0, то ах2 + вх + с = 0, далее решить квадратное уравнение; (х1; 0), (х2; 0),
где х1, х2 – корни уравнения
7. Дополнительные точки:
х
у = ах + вх + с
2
Параболу строим по пяти точкам.
3.Графическое решение уравнений
Графическое представление функций позволяет приближённо решить любое
уравнение с одним неизвестным и систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y, мы рассматриваем каждое из уравнений как функциональную зависимость между переменными x и y и строим графики этих двух функций. Координаты точек
пересечения этих графиков дают нам искомые значения неизвестных x и y ( т.e.
решение этой системы уравнений ).
8
В соответствии с графиками координаты точки пересечения
K приближённо равны: x = 1.25, y = 2.5. Точное решение
этой системы уравнений:
После построения графиков находим абсциссы точек
пересечения A и B: x1 » 2.25, x2 » -1.1. Точные значения
корней этого уравнения:
Относительная погрешность графического решения в этом
примере ~3.5 %.
Чтобы решить графически уравнение с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:
f(x)=0,
и построить график функции y = f ( x ). Абсциссы точек пересечения графика с
осью Х будут корнями этого уравнения ( нулями этой функции ).
9
По этому графику находим нули функции: x1 » 2.25, x2 » -1.1
4. Проектирование урока по требованиям
новых образовательных стандартов
4.1. План-конспект урока
«Квадратичная функция»
ФИО, место работы, должность: Татаринова Елена Александровна, учитель математики МБОУ СОШ №31 с углубленным изучением отдельных предметов г.
Нижнекамск РТ
Симанова Надежда Сергеевна, учитель математики и физики II квал. категории
МБОУ Елантовская основная общеобразовательная школа РТ
Предмет: Алгебра
Класс: 8
Тема раздела: Квадратичная функция.
Номер урока в теме: 1-2 (80 мин)
Базовый учебник: Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009. – 215 с.
10
Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2009. – 271 с.
Цель урока:
1. выделение универсальных и специальных предметных учебных действий,
формируемых в процессе изучения темы;
Задачи урока:
– образовательные (формирование познавательных УУД, в том числе специально-предметных действий):
научить выделять и формулировать познавательную цель, определять квадратичную функцию; уметь строить и исследовать квадратичную функцию; уметь решать уравнения графическим способом;
– воспитательные (формирование личностных и коммуникативных УУД):
действие смыслообразования (установление связей между целями и мотивами),
формирование умений слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном
обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся,
воспитывать ответственность и аккуратность;
– развивающие (формирование регулятивных УУД):
постановка учебных задач, формировать умения обрабатывать информацию и систематизировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения задач в
зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия,
контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Тип урока: комбинированный урок.
Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа,
групповая технология, ИКТ.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор
(интерактивная доска), доска, экран, технологическая карта урока для каждого
учащегося, электронная презентация, выполненная в программе Power Point.
11
4.2. Структура и ход урока «Квадратичная функция»
№
Этап урока
Используе-
Деятельность
Деятельность
Вре-
мые ЭОР
учителя
ученика
мя
(мин)
1
Познавательные / специально-предметные
Личностные
Регулятивные
Коммуникативные
7
8
9
10
Планирование.
Прогнозирование
своей деятельности. Сопоставление плана и
действий.
Умение слушать
и вступать в диалог.
Планирование
сотрудничества.
2
3
4
5
1
Первый урок
Организационный
момент
Электронная
презентация.
Слайд 1
Знакомятся с
технологической
картой урока,
уточняют критериев оценки
3
2
Вводная беседа.
Актуализация
знаний
Слайд 2
Участвуют в
беседе с учителем, отвечают
на поставленные
вопросы, приводят примеры.
3
Поиск и выделение необходимой информации. Анализ.
Выдвижение гипотез.
Постановка проблем. /
Закрепить понятие линейной функции, система координат.
Смыслообразование.
Постановка цели
учебной задачи.
Прогнозирование.
Умение слушать
и вступать в диалог. Умение выражать свои
мысли. Владение
речью.
3
Изучение нового
материала
Слайды 3-6
Перед объяснением
нового материала
учащимся раздается
Технологическая
карта урока и даются пояснения по
работе с ней, а также
Лист контроля.
Вступительное
слово учителя.
Учитель начинает
беседу с проблемной задачи
по будущей теме
урока. Задает
учащимся наводящие вопросы.
Вместе с учениками определяет
учебную цель.
Демонстрирует
ЭОР. Сообщает
новый материал.
Строят график
квадратичной
функции, формулируют свойства, выполняют
задания №1-2
15
Выделение необходимой информации. Выделение существенных
характеристик объекта./
Выделять квадратичную
функцию.
Определение
личностной
ценности изучаемых понятий.
Контроль и коррекция отклонений от
собственного понимания. Оценка
осознания усвоенного.
Постановка вопросов.
4
5
Физкультминутка
Решение задач на
применение полученных знаний
Комментирует,
направляет работу
учащихся
Один ученик на
доске, а остальные в тетради
выполняют задания №1-3
Выделение и формулирование познавательной
цели, рефлексия способов и условий действия.
Анализ объектов и синтез. Осуществлять самоконтроль. / Решать
задачи с квадратичной
функцией при различ-
Жизненное,
личностное,
профессиональное самоопределение
Планирование
своей деятельности для решения
поставленной задачи и контроль
полученного результата
Умение слушать
и вступать в диалог. Коллективное обсуждение
проблем.
Слайд 7
6
Формируемые УУД
2
15
12
ных условиях.
7
Подведение итогов 1 урока
Задает дозированное домашнее
задание
8
Второй урок
Закрепление изученного на 1 уроке
Слайд 8
Выступает в роли
тьютора
9
Изучение нового
материала
Слайд 9
Вместе с учениками определяет
учебную цель.
Сообщает новый
материал. Сообщает новый материал в форме
решения уравнений и систем
уравнений графическим способом.
Комментирует,
направляет работу
учащихся
10
11
Физкультминутка
Решение задач на
применение полученных знаний
Слайд 10
Комментирует,
направляет работу
учащихся
Проставляют в
лист контроля
баллы, набранные на 1 уроке.
Записывают домашнее задание
в зависимости
от уровня освоения темы.
Выполняют задание из технологической
карты. Делают
записи в тетрадь. После выполнения
задания выполняют взаимную
проверку.
Один ученик на
доске, остальные в тетради
выполняют задания 1-2
В тетради выполняют задания №1-3
Оценка промежуточных результатов и
саморегуляция
для повышения
мотивации учебной деятельности
2
10
Выделение и формулирование познавательной
цели, рефлексия способов и условий действия.
Анализ и синтез объектов
Жизненное,
личностное,
профессиональное самоопределение
10
Моделирование решения в новых условиях.
Решение учебной задачи
в зависимости от конкретных условий. Адекватная оценка
информации. /Решать
уравнения и систем
уравнений.
Определение
личностной и
профессиональной ценности
изучаемых понятий.
Выделение и формулирование познавательной
цели, рефлексия способов и условий действия.
Анализ объектов и синтез. Осуществлять самоконтроль. / Построение
Жизненное,
личностное,
профессиональное самоопределение
2
16
Планирование
своей деятельности для решения
поставленной задачи, контроль
полученного результата, коррекция полученного
результата, саморегуляция
Постановка новой
учебной задачи на
неизученных
условиях
Умение слушать
и вступать в диалог, интегрироваться в группу
Планирование
своей деятельности для решения
поставленной задачи и контроль
полученного результата
Умение слушать
и вступать в диалог. Коллективное обсуждение
проблем (при
необходимости)
Участие в коллективном обсуждении
проблем, продуктивное взаимодействие и
сотрудничество
13
квадратичной функции
при различных условиях.
Подведение итогов 2 урока
Задает дозированное домашнее
задание
Проставляют в
лист контроля
баллы, набранные на 2 уроке.
Записывают домашнее задание
в зависимости
от уровня освоения темы.
2
Всего
Оценка промежуточных результатов и
саморегуляция
для повышения
мотивации учебной деятельности
80
4.3. Технологическая карта урока «Квадратичная функция»
Номер учебного
Учебный материал с указанием заданий
элемента
нению заданий, оценка
1
УЭ–0
УЭ-1
Рекомендации по выпол-
2
3
Цель урока: выделение универсальных и специальных предметных учебных действий, формируемых в
процессе изучения темы;
– образовательные задачи:
научить выделять и формулировать познавательную цель, определять квадратичную функцию; уметь строить и исследовать квадратичную функцию; уметь решать уравнения графическим способом;
– воспитательные задачи:
действие смыслообразования (установление связей между целями и мотивами), формирование умений
слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу
сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность;
– развивающие задачи:
постановка учебных задач, формировать умения обрабатывать информацию и систематизировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия
способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Первый урок
Подготовка к работе.
Обсудите в парах и подготовьте ответы на следующие вопросы:
Внимательно прочитайте
цель и задачи урока. Получите представление о работе с технологической
картой.
Работайте в парах.
1 балл за каждый правильный ответ.
а) Какая функция называется линейной?
14
б) Напишите общий вид линейной функции.
в) Приведите примеры.
УЭ-2
УЭ-3
УЭ-4
УЭ-5
Цель: получить представление о квадратичной функции.
Задание 1. Внимательно слушайте объяснение, выделяйте новые термины.
План сообщения:
1. Понятие параболы.
2. Понятие вершины, ветви параболы.
3. Понятие оси симметрии.
4. Пример квадратичной функции.
Пример y=2x²
Задание 2. Приведите примеры линейных уравнений с параметрами.
Цель: научиться строить квадратичную функцию, формулировать ее свойства.
Задание 1. № 17.12 Постройте график функции y=2x². С помощью графика определите:
а) значение функции при х=0; 1; -2;
б) значения аргумента, если у=0; 2; 8;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2;1]
г) каким промежуткам принадлежит переменная х, если у принадлежит [2;8]
Задание 2. № 17.16 Принадлежит ли графику функции у=-220х² точка:
а) А(1;-220);
б) В(-3;1320)
Цель: научиться определять уравнение параболы по рисунку
Задание 1. № 17.18 Напишите уравнение параболы у=kx², график которой изображен (стр.99 задачник)
а) рис.8
б) рис.9
в) рис. 10
г) рис.11
Задание 2. № 17.20 Выясните, является ли ограниченной сверху функция, график которой изображен на
заданном рисунке, и если да, то найдите наибольшее значение функции:
а) рис. 16
б) рис.17
в) рис. 18
г) рис.19
Задание 3. №17.24. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на у=-0,5х²:
а) на полуинтервале (-3;2];
б) на интервале (-2;1);
в) на отрезке [-1;4];
г) на луче (-∞;2].
Подведение итогов урока.
Записывайте в тетрадь новые термины.
3 балла за выделение 3-х
терминов. 2 балла за правильное выполнение задания 2
Работайте в паре.
Результат сверьте с записями на доске.
За каждый правильный
ответ 1 балл.
Работайте в группе. За
каждый правильный пункт
1 балл.
Заполнить лист контроля.
15
УЭ-1
УЭ-2
УЭ-3
УЭ-4
1. Прочитайте цели урока.
2. Достигли ли Вы цели урока? В какой степени?
3. Оцените свою работу на уроке.
Подсчитайте количество баллов, которое Вы набрали при выполнении заданий.
Поставьте себе оценку.
Второй урок
(Закрепление изученного на 1 уроке)
Задание 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции у=2х² на отрезке [-3;1].
Цель: научиться решать уравнения и системы уравнений графическим способом.
Объяснение нового материала на примере -х²=2х-3.
Задание 1. № 17.27 Решить графически уравнение:
а) х²=x+2;
б) -3х²=3х-6;
Задание 2. № 17.30 Решите графически систему уравнений:
а) у=2х²;
у=4х ;
б) у=-1/3х²;
у=-х;
Цель: научиться решать задачи на основе графика квадратичной функции
Задание 1. № 17.33 Определите с помощью графического метода число решений системы уравнений:
а) у=2х²,
у=х+4;
б) у=-4х²,
у=1.
Задание 2. №17.37 С помощью графика функции у=3х² найдите промежуток, которому принадлежит
переменная у, если:
а) 0≤х≤1;
б) -1<х≤1.
Задание 3. № 17.39. С помощью графика функции у=1/3х² найдите промежуток (промежутки), которому (ко
торым) принадлежит переменная х:
а) у≥3;
б) 3≤у≤12.
Подведение итогов урока.
1. Прочитайте цели урока.
2. Достигли ли Вы цели урока? В какой степени?
3. Оцените свою работу на уроке.
Подсчитайте количество баллов, которое Вы набрали при выполнении заданий.
Поставьте себе оценку.
Работайте в парах.
2 балл за каждый правильный ответ.
Запишите в тетради пример.
За каждое правильно решенное уравнение и систему уравнений 3 балла.
За каждый правильно выполненный пункт задания
2 балла.
Заполнить лист контроля.
16
Лист контроля урока №1
Этапы работы
УЭ
Количество баллов по заданиям
№1
№2
№3
№4
№5
Всего
№6
УЭ – 1
3
УЭ – 2
3
2
5
УЭ – 3
4
2
6
УЭ – 4
4
4
3
4
ИТОГО:
12
26
Критерии оценки
Если Вы набрали:
22-26 баллов, то оценка за урок «5»; 14-23 баллов, то оценка за урок «4»; 9-13 баллов, то оценка за урок «3»;
менее 9 баллов, то оценка за урок «2». Не огорчайтесь, у Вас еще будет возможность исправить положение.
Домашнее задание:
если оценка «5», то творческое задание: Дана функция у=f(х), где f(х)=2х². При каких значениях аргумента выполняется равенство 4f(х+3)=f(2х)-24?;
если «4» - № 17.30(б, г);
если оценка «3-2» - № 17.13, № 17.17.
17
Лист контроля урока №2
Этапы работы
УЭ
Количество баллов по заданиям
№1
№2
УЭ – 1
2
УЭ – 2
6
6
УЭ – 3
4
4
№3
№4
№5
Всего
№6
3
12
4
ИТОГО:
12
27
Критерии оценки
Если Вы набрали:
23-27 баллов, то оценка за урок «5»; 15-22 баллов, то оценка за урок «4»; 9-14 баллов, то оценка за урок «3»;
менее 9 баллов, то оценка за урок «2». Не огорчайтесь, у Вас еще будет возможность исправить положение.
Домашнее задание:
если оценка «5», то № 21.27;
если «4» - № 21.12;
если оценка «3-2» - № 21.7(в,г).
18
4.4. Электронная презентация урока «Квадратичная функция»
Слайд 1. «Квадратичная функция»
Слайд 2.
а) Какая функция называется линейной?
б) Напишите общий вид линейной функции.
в) Приведите примеры.
Слайд 3.
1.(рисунок параболы у=х²; y=2x²; y=0,5x²)
k>0, Ветви направлены вверх
Вершина параболы – точка (0;0), ось симметрии – ось у.
2.(рисунок параболы у=-х²)
k<0, Ветви направлены вниз
Слайд 4.
(рисунок параболы у=х²)
Свойства функции у=kx² при k>0
1. Область определений: при любом значении х
2. у=0 при х=0; у>0 при х≠0
3. у=kx² – непрерывная функция
4. унаим=0 (при х=0), унаиб не существует
5. функция у=kx² возрастает при х≥0 и убывает при х≤0
6. функция у=kx² ограничена снизу и не ограничена сверху
7. область значений – луч [0;+∞)
8. функция выпукла вниз
Слайд 5.
(рисунок параболы у=-х²)
Свойства функции у=kx² при k<0
1. Область определений: при любом значении х
2. у=0 при х=0; у<0 при х≠0
3. у=kx² – непрерывная функция
4. унаиб=0 (при х=0), унаим не существует
5. функция у=kx² возрастает при х≤0 и убывает при х≥0
6. функция у=kx² ограничена сверху и не ограничена снизу
7. область значений – луч (-∞;0]
8. функция выпукла вверх
Слайд 6.
Задание 1. № 17.12 Постройте график функции y=2x². С помощью графика определите:
а) значение функции при х=0; 1; -2;
б) значения аргумента, если у=0; 2; 8;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2;1]
г) каким промежуткам принадлежит переменная х, если у принадлежит
[2;8]
Задание 2. № 17.16 Принадлежит ли графику функции у=-220х² точка:
а) А(1;-220);
б) В(-3;1320)
Слайд 7.
Задание 1. № 17.18 Напишите уравнение параболы у=kx², график которой изображен (стр.99 задачник)
а) рис.8
б) рис.9
в) рис. 10
г) рис.11
Задание 2. № 17.20 Выясните, является ли ограниченной сверху функция, график
которой изображен на заданном рисунке, и если да, то найдите наибольшее значение функции:
а) рис. 16
б) рис.17
в) рис. 18
г) рис.19
Задание 3. №17.24. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на у=0,5х²:
а) на полуинтервале (-3;2];
б) на интервале (-2;1);
в) на отрезке [-1;4];
г) на луче (-∞;2].
Слайд 8.
Задание 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции у=2х² на отрезке
[-3;1].
Слайд 9.
Задание 1. № 17.27 Решить графически уравнение:
а) х²=x+2;
б) -3х²=3х-6;
Задание 2. № 17.30 Решите графически систему уравнений:
20
а) у=2х²;
у=4х ;
б) у=-1/3х²;
у=-х;
Слайд 10.
Задание 1. № 17.33 Определите с помощью графического метода число решений
системы уравнений:
а) у=2х²,
у=х+4;
б) у=-4х²,
у=1.
Задание 2. №17.37 С помощью графика функции у=3х² найдите промежуток, которому принадлежит переменная у, если:
а) 0≤х≤1;
б) -1<х≤1.
Задание 3. № 17.39. С помощью графика функции у=1/3х² найдите промежуток
(промежутки), которому (которым) принадлежит переменная х:
а) у≥3;
б) 3≤у≤12.
21
Заключение
Цель данной проектной работы - обзор приложений квадратичной функции к
решению различных задач школьного курса математики и составление соответствующих методических рекомендаций.
В ходе выполнения проекта была проанализирована психолого-педагогическая,
методическая и учебная литература, подобран задачный материал, выделены типовые задачи в каждом разделе и предоставлены решения к ним, составлены комментарии к решениям задач.
Функционально-графические методы применимы для решения широкого спектра задач школьной программы, однако, как показал анализ учебной литературы
им не всегда уделяется должное внимание.
Представленная разработка может послужить дополнением к традиционным
урокам, для работы на факультативах, для дифференцированного обучения, а также в качестве домашних заданий, в том числе индивидуальных.
Показатели достижения поставленной цели:
1) Воспроизводят термины, помнят факты, помнят пути построения.
2) Понимают новые факты, делают предположение о дальнейшем ходе изучения
темы, интерпритируют из словестного материала на математический язык построения.
3) Демонстрируют правильное применение приема и способа
а) в известной ситуации
б) в новой ситуации
4) Видят ошибки и упущения в логике рассуждений
5) Высказывают оценочные суждения
22
Список использованной литературы
1. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009. – 215 с.
2. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина, Е. Е.
Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2009. – 271 с.
3. Современный справочник школьника 5-11 классы. Все предметы
.А.Н.Роганин, К.Э. Немченко, И.В. Лысикова и др.-М.Эксмо,2011-480 с. –
(Новейшие справочники школьника)
4. http://le-savchen.ucoz.ru/ Мастерская. Инструменты
23