Производная. Взаимосвязь свойств функций и графиков производных. Цель: Образовательная – обобщение и систематизация знаний по теме «Производная», показать учащимся различные взаимосвязи между графиками функций и свойствами производных, графиками производных функций и свойствами функции; научить ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью. Развивающая – способствовать развитию познавательного интереса учащихся, умения выделять главное, сравнивать, анализировать. Воспитательная – содействовать воспитанию чувства ответственности за результат и качество выполняемой работы, умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища. Оборудование и материалы для урока: компьютер, экран (интерактивная доска), листы с заданиями для учащихся, оценочные листы. Ход урока. I. Организационный момент: - 1 мин Мы изучали тему «Исследование функций с помощью производной»: находили критические точки, производную, определяли свойства и строили график функции. Сегодня мы с вами проведем обобщение темы «Производная», которая двумя заданиями В8 и В11 представлена в КИМах единого экзамена, вопросы представленные в этих задания очень разнообразны: исследование функции с помощью производной как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача - научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных. II. Повторение, актуализация знаний и устный счет. - 10 мин. Откройте тетради. Запишите число и тему «Производная. Взаимосвязь свойств функций и графиков производных». 1.Вычислите производные данных функций: у = х3- 27 х; у = 2cosx + 4x + 4; y =17x2-e7х; у = 7х3 - 51nх; у = 2cosx - sin3x + 4, y = 5tgx-4x + 9. А теперь давайте рассмотрим график некоторой функции у = f(х), будем считать, что она определена на всей числовой прямой. ? Вспомним, какие свойства функции связаны с её производной? (возрастание, убывание, экстремумы функции). ? Напомните мне необходимое условие существования точек экстремума если точка х0 является точкой экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует. ? А как мы определяем характер точек экстремума, точек максимума и минимума если в точке х0 функция непрерывна и при переходе через х0 производная меняет знак с + на – (- на +), то х0 – точка максимума(минимума) функции. ? А как через производную мы определяем, что функция 1.возрастает на промежутках; если f ‘(x)>0 в каждой точке интервала, то функция возрастает на этом интервале. 2.точки экстремума функции; 3.убывает на промежутках. если f ‘(x)<0 в каждой точке интервала, то функция убывает на этом интервале. (Выводы записать в тетрадь f ‘(x)>0, то f (x) если f ‘(x)=0, то это точки экстремума если f ‘(x)<0 то f (x) ) Итак, давайте ещё раз кратко повторим эти свойства: Быстро и четко отвечаем на вопрос --если производная больше 0,то….. функция возрастает --если производная меньше 0,то….. функция убывает --если производная равна нулю или не существует в некоторых точках … то в этих точках возможны точки экстремума --если производная меняет знак при переходе через точку с + на -, то… то это точка максимума -- если производная меняет знак при переходе через точку с - на +, … то это точка минимума. Можно поставить и обратную связь. Закончите мою мысль: --Если функция возрастает на промежутке, то производная….. больше 0 --Если функция убывает на промежутке, то производная …….. меньше 0 --Если функция имеет точку максимума , то …… в этой точке производная равна нулю или не существует и производная меняет знак с + на -. --Если функция имеет точку минимума, то. в этой точке производная равна нулю или не существует и производная меняет знак с – на +. --А если график функции имеет точку перегиба ,то в этой точке производная равна нулю или не существует, но производная не поменяла свой знак. Мы установили цепочку связей: имея график функции мы можем определить свойства производной функции; имея график производной функции можем определить свойства самой функции. Начертите схему зависимости функции и производной в тетрадь. (рядом с предыдущим выводом) F/(х) + перегиба + мах - мин + F(х) Математический диктант - 15 мин. Возьмите оценочный лист. Отвечаем на вопросы. Без исправлений. Один вопрос - 1 мин. Задания на интерактивной доске. 1.Функция задана графиком .Укажите область определения этой функции. 2.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции. 3.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. 4.На рисунке изображен график функции у =f(x).Укажите в какой точке значение производной отрицательно. 5.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-5;5]. Укажите точку, в которой производная равна 0. 6.Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. 7.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. 8.Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение. 9.На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке (5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания. 10.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-4;5]. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции. Проверка - вернуться в начало диктанта и проверить ответами ученика который остался без пары. А теперь поменяйтесь с соседом по парте листочками. Дать критерии оценок. 1 задание -1 бал. • «5»-9-10б; • «4»-7-8б; • «3»-5-6б; • «2»-4б. IV. Закрепление. - 17 мин. Мы с вами еще раз повторили взаимосвязи f(x) f/(x) / f (x) f(x) График f(x) графикf/(x) А теперь подведем итог. Работа идет одновременно – весь класс выполняет работу с тестом, а сильный ребенок у доски строит график функции у = 2+5х3 – 3х5; 1.Тест - карточка ( разнообразные задания на все прототипы заданий базы данных). Приложение 2. Построение графика функции 1. у = 2+5х3 – 3х5; 2.На интерактивной доске с помощью программы «Графики» построить график функции и график производной. 3.Показать взаимосвязь графиков функций. Исследовать функции. VI Итог урока - 1 мин. Сегодня на уроке мы установили различные взаимосвязи и рассмотрели разнообразные задания, связанные с графиками функций и графиками производных и их свойствами. Эти задания хороши тем, что на их выполнение можно потратить очень мало времени, т.к. они не требуют решений и вычислений: посмотрел на график – оценил – записал ответ. А на Едином Государственном Экзамене это очень важно быстро и правильно отвечать на вопросы. VI. Домашняя работа- 1 мин.. Дома проверьте, как вы разобрались в взаимосвязях графиков функций и производных. Вам необходимо построить графики производных по графикам функций (задания на карточках) и ответить на вопросы теста II варианта. Приложение. Литература: 1.Колмогоров А.Н. учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» - М.: Просвещение, 2009. 2. .Мордкович А.Г.задачник «Алгебра и начала анализа 10 -11 класс » М:Мнемозина,2009. Самоанализ урока. Урок является одним из уроков обобщения и систематизации знаний по теме«Производная. Взаимосвязь свойств функции и графиков производных». Мною были поставлены цели: показать учащимся различные взаимосвязи между графиками функций и свойствами производных, графиками производных функций и свойствами функции; научить ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью; способствовать развитию познавательного интереса учащихся, умения выделять главное, сравнивать, анализировать; содействовать воспитанию чувства ответственности за результат и качество выполняемой работы, умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища. При планировании урока учитывала, что класс в целом имеет средние познавательные способности и что на ЕГЭ очень важно уметь быстро сосредоточиться, суметь выделить главное и быстро ориентироваться в разнообразии заданий, были выбраны задания посильные как для слабого ученика так и для хорошо успевающего. Дифференцировался объем и содержание заданий и степень помощи, оказанной учителем. Повторении свойств функций с использованием презентаций с элементами анимации, выделением различным цветом графиков функций даёт возможность очень наглядно показать учащимся сущность каждого свойства функции; яркое выделение объектов графиков даёт возможность более доступного перехода от свойств производной к свойствам функции, способствует большему объёму выполненных заданий, познавательной активности учащихся, делает предмет более доступным, поэтому дети не были перегружены. Считаю, что удалось реализовать все цели урока