Уравнения и неравенства с параметрами 2 урокhot!

Уравнения и
неравенства с
параметрами
Расположение корней
квадратного трехчлена
Расположение корней квадратного трехчлена
Многие задачи с параметрами сводятся к исследованию
расположения корней квадратного трехчлена относительно
заданной точки или заданного промежутка (отрезка,
интервала, луча). К таким задачам относятся, например
задачи для иррациональных, показательных,
тригонометрических уравнений и неравенств, которые будут
рассмотрены далее.
Сегодня рассмотрим задачи непосредственно для самого
квадратного трехчлена Ах2 +Вх+С, связанные с расположение
его корней на определенных промежутках, и некоторые
другие задачи, сводящиеся к ним.
Рассмотрим схему решения таких задач.
1.
2.
3.
Если коэффициент А при х2 не число, а зависит от параметров, то
решение задачи следует начинать с исследования случая, когда
А=0. При этом получится линейное уравнение (или неравенство), как
правило, с конкретными числовыми коэффициентами, решая
которое, легко проверить выполнение условий задачи.
Считая А≠0, найти дискриминант D=B2-4АС квадратного трехчлена.
Если D есть полный квадрат некоторого выражения (т. е.
извлекается √D), то лучше найти корни х1,х2 квадратного трехчлена и
подчинить их условиям задачи.
Если же √D не извлекается, то также можно найти корни х1,х2 и
подчинить их условиям задачи, но при этом, как правило, приходится
решать непростые иррациональные неравенства, которые приводят
к большим и утомительным вычислениям. В этом случае лучше
использовать графический метод, включающий в себя следующие
операции.
Графический анализ
1)
Графический анализ задачи – выбор тех положений
параболы у= Ах2 +Вх+С, А≠0 относительно
изучаемых точек, для которых выполняются
условия задачи. При этом следует опираться на
рисунки параболы. Удовлетворяющие условиям
задачи положения параболы можно получить,
перемещая её вправо и влево, вверх и вниз, т. е.
рассматривая параболу как «плавающую» фигуру, в
силу чего данный метод называется ещё методом
«плавающей параболы». Иногда для получения
более полной информации полезно рассматривать
также некоторые случаи расположения параболы,
когда часть условий задачи не выполняется.
Аналитическое описание
2) Аналитическое описание подходящих по условиям задачи случаев
расположения параболы, которое включает в себя следующие
пункты (все или только некоторые):
Описание знака, а иногда и значения коэффициента при х2;
Описание знака, а иногда и значения дискриминанта D;
-
Описание знаков, а иногда и значений квадратичной функции f(x)=
Ах2 +Вх+С в точках, относительно которых исследуется
расположение корней функции;
Наложение условий на расположение вершины параболы
относительно изучаемых точек.
В одних случаях при аналитическом описании учитываются все
перечисленные пункты, а в других – лишь часть из них. Например,
если исследуется расположение корней квадратного трехчлена на
луче или на интервале, как в случаях 1,3,4 прилагаемой таблице, то
для аналитического описания подходящих положений параболы надо
учесть все пункты.
Если же рассматривать расположение корней квадратного
трехчлена по разные стороны от одной или нескольких точек,
как, например, в случаях 2, 7 таблицы, то вершина параболы
относительно этих точек может быть расположена как- угодно,
поэтому всякое ограничение на расположение вершины
параболы относительно изучаемых точек приведет к ошибке,
т. е. в этих случаях последний пункт аналитического описания
вовсе не должен учитываться. Более того, в этих случаях
можно также не учитывать и второй пункт о знаке
дискриминанта, так как при выполнении условий первого и
третьего пунктов дискриминант всегда больше нуля. Кроме
того, в этих случаях нет так же необходимости рассматривать
случай А=0, когда квадратичная функция вырождается в
линейную, и поэтому говорить о её корнях, расположенных по
разные стороны от каких – либо точек, невозможно.
Вернемся к рассмотрению схемы решения указанных
выше задач.
4. В результате аналитического
описания удовлетворяющих
условиям задачи положений
параболы получится одна или
несколько систем неравенств,
число которых иногда можно
сократить, объединив их на
основании формул
  А  0, 


B

0


  А  0, 


B

0


  A  0, 

  A  B  0;
 B  0 
  A  0, 

  A  B  0.
 B  0 
Такая операция намного сокращает процесс решения задачи.
Например, в случае 1 рассматриваемой таблицы результатом
объединения систем неравенств
A  0

f (M )  0
A  0
и
f (M )  0
Соответствующим разным положениям
параболы, является одно неравенство
A*f(M)>0, а результатом объединения
всех неравенств – система из трех
неравенств, приведенная в последней
колонке таблицы.
Аналогично, в случае два таблицы вместо двух систем
 A  0,
и

f (M )  0
 A  0,

f (M )  0,
Описывающих разные положения параболы, достаточно
решить одно неравенство A*f(M)<0.
В представленной таблице приведены условия,
описывающие наиболее часто встречаемые на практике
случаи расположения корней квадратного трехчлена
относительно одной и двух точек. Постарайтесь понять
принцип их получения и научитесь проводить необходимые
рассуждения в каждом конкретном случае.
Замечание 1.
Если надо исследовать расположение корней квадратного
трехчлена относительно точки х=0, то лучше использовать
формулы Виета и теоремы, рассмотренные на прошлом
уроке. Эти формулы можно использовать также для
исследования расположения корней квадратного трехчлена
относительно любой другой точки М или отрезка [M,N]
Замечание 2.
При исследовании уравнения Ах2 +Вх+С =0 в случае А≠0, разделив
обе части уравнения на А, можно привести его к виду х2
+В1х+С1 =0 с новыми коэффициентами В1=В/А, С1 =С/А.
Однако исследовать полученное уравнение с дробными
коэффициентами бывает не всегда проще, чем исследовать
первоначальное уравнение.
Учитывая важность изучаемой темы, прежде чем
приступить к решению конкретных задач, приведем ещё раз
в тезисной форме схему исследования задач, связанных с
расположением корней квадратного трехчлена Ах2 +Вх+С.
1. Исследование случая А=0 (если А зависит от параметров).
2. Нахождение дискриминанта D в случае А≠0.
3. Если D – полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней
х1,х2 и подчинение их условиям задачи.
4. Если √D не извлекается, то графический анализ задачи.
5. Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы,
для чего учитывается:
-
Знак (значение) коэффициента при х2;
-
Знак (значение) дискриминанта;
-
Знаки (значения) квадратичной функции в изучаемых точках;
-
Расположение вершины параболы относительно изучаемых точек.
6. Объединение некоторых неравенств (систем).
7. Решение полученных систем.
С целью более полного раскрытия сути методов решения
задач, связанных с расположением корней квадратного
трехчлена, приведем решение примера разными способами.
Пример 1. При каких значениях параметра а корни
уравнения x 2  2(а 1)х  a2  а  1 0 лежат на луче  2; .
1 й способ (непосредственное нахождение корней ).
2
D  4 а 1  4  а2  а 1  4а.






Уравнение имеет корни х  а 1 а , х  а 1 а .
1
2
По условию задачи : х  2 и х  2. Так как х  х ,то
1
2
2 1
при выполнении неравенства х  2 неравенство х  2 выполняется и подавно,
1
2
поэтомудостаточнорешитьнеравенство х  2,т.е.
1
а 1 а  2  а  1 а 
а  0,
а  0,
0  a 1,


1 а  0,  a 1,

3  5  3  5   0.



a


 a 


2 a2  3a 1 0 
2 
2 

a  1 a 

Решая методом интервалов получаем:
0a  3 5
2
2 способ.(использование формул Виета). По условию задачи
имеем:
D  0,
D  0,
D  0,
D  0,
 х 2,   х  2  0,   х  2  х  2  0,   х  х  4  0,
 1
 1 
 1   2 
 1 2
 х 2  х  2  0
 х  2  х  2 0
 х х  2  х  х   4  0.




2
1
2
2

2
 1 2

 1
Здесь мы воспользовались одним из следующих равносильных переходов





A  0,  A  B  0,

 A  B  0;
B 0






A  0,  A  B  0,

 A B  0;
B 0

По формулам Виета : х  х  2(а 1), х  х  а2  а 1
1 2
1 2
Следовательно,
 4а  0,
a  0,


3 5
 2 а 1  4  0,

a

1
,

0

a





2
 2
 2
a  a 1 4  a 1  4  0 a  3a 1 0
3 способ.(графический).Сделаем графический анализ задачи.
По условию задачи возможны лишь следующие два случая
расположения графика функции f(x)=x2+2(a+1)x+a2+a+1
относительно точки х=-2.
хв
-2
ХВ=-а-1
х1
х2
-2
хв
Эти оба случая аналитически описываются условиями








4a  0,
a  0,
D  0,


2
 2
2
f (2)  0,   2   2 a 1 2   a  a 1 0,  a  3a 1 0,

a  1.
x  2

a

1


2

b









Получили ту же систему, что и выше. Следовательно,
Ответ : 0  а  3  5
2
Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения
расположены по разные стороны от точки х=1 1 2а  х2  3ах  а  5  0
Решение. Пример можно решить, используя таблицу, приведенное
в начале занятия. Однако лучше решать его непосредственно,
рассматривая случаи расположения графика функции
f(x)=(1-2a)x2+3ax+a-5, для которых выполняются условия примера.
Случай 1-2а=0, когда уравнение имеет лишь один корень,
невозможен, а в случае 1-2а≠0 парабола y=f(x) в зависимости от
знака 1-2а может иметь лишь следующие расположения:
1-2а>0
1-2а<0
х1
1
х1
х2
х2
1
Аналитически эти графики описываются системами
1 2а  0, 1 2a  0,

f (1)  0,  f (1)  0.
Совокупность которых равносильна одному неравенству
(1 2a) f (1)  0  (1 2a)(2a  4)  0  a  1 или а  2.
2


Ответ : при а  ; 1    2;  .
2






Замечание 3.
Обратите внимание на то, что в системе условие D>0 и условие
на местоположение вершины параболы относительно точки х=1
отсутствуют. Первое условие D>0 является следствием
неравенств, составляющих эти системы, поэтому его в системы
можно не включать. Второе условие вовсе не должно
включаться в системы, так как вершина параболы относительно
точки х=1 может иметь любое положение, поэтому какие – либо
ограничения на местоположение этой вершины могут привести
к ошибке.
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни
квадратного трехчлена х2+х+а различны и не больше а.
Решение. Найдем дискриминант D=1-4a. Учитывая, что √D не
извлекается, решим пример графически.
Сделаем графический анализ. Так как корни х1, х2 функции f(x)= х2+х+а
различны и х1 ≤а, х2 ≤а, то её график может иметь лишь следующие
расположения.
х1
хв
а
хв
х2
х1
Хв=-1/2
Х2=а
Опишем эти графики аналитически.


1
a  ,

1

4
a

0,


 D  0,
4



 2
1
 f (a)  0,   a  2a  0,   a  2 или a  0,  0  a  .
4



x a
 1

1
  a
a  
 B
2
 2



Ответ : при а  0; 1 
 4 
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение
(2а+1)х2+(а2-6а-13)х+2а+18=0 имеет различные корни х1, х2 ,
удовлетворяющие неравенствам х1≤2, х2 >2.
Решение. В данной задаче, кроме случая 1, когда корни х1, х2 ,
расположены по разные стороны от точки х=2, надо исследовать
отдельно случай 2, когда один из корней х1=2.
Опираясь на приведенную таблицу имеем одно неравенство:
(2а 1) f (2)  0, где
f (2)  (2a 1)4  (a2  6a 13)2  2a 18  2a2  2a  4  2  a 1 a  2  
значение функции, записанной в левой части уравнения, при х  2.
Следовательно,  2а 1 а 1 а  2   0
Решая неравенство методом интервалов получаем а ; 1    1 ;2 .
 2

Случай 2 имеет место, когда
f (2)  0  2  a 1 a  2   0  a  1, a  2.
1
2
Используя формулу Виета х х  2а 18 , где х  2, найдем второй корень х .
1 2 2а 1
1
2
При а  1 корень х  8 неравенству х  2 не удовлетворяет; при а  2
2
2
корень х  11 удовлетворяетнеравенству х  2.С учетом этого получим
2 5
2


Ответ : при а ; 1    1 ;2 .
 2 


Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение
(а+1)х2-(2а+5)+а-2=0 имеет один корень на луче [-2;+∞).
Решение. Условие примера может выполняться в следующих
случаях.
1) Уравнение является линейны, т. е. а+1=0↔а=-1. Тогда -3х3=0↔х=-1. Число -1€[-2;+∞), поэтому при а=-1 условие примера
выполняется.
2) Уравнение является квадратным и имеет единственное решение,
т. е. а+1≠0 и дискриминант D=(2а+5)2-4(а+1)(а-2)=24а+33 равен
2а  5  3
нулю, откуда а=-11/8. При этом искомый корень, равный х  хв 
2( а 1 )
лучу [-2;+∞) не принадлежит. Следовательно, в этом случае условие
примера не выполняется.
3)Уравнение имеет два корня, один из которых меньше -2, а другой
больше -2. Это имеет место, если график функции
f(x)=(а+1)х2-(2а+5)+а-2 имеет следующие расположения.
х1
-2
х1
а+1>0
х2
х2
-2
а+1<0
Эти графики описываются условиями
a  1  0,
a  1  0,

 ( a 1 ) f ( 2 )  0 


f
(

2
)

0
f
(

2
)

0


( a 1 )( 9a 12 )  0   4  a  1
3
4) Один из корней квадратного уравнения совпадает с числом -2.
Это имеет место, когда f(-2)=0 ↔ 9a+12=0 ↔ a=-4/3.
Воспользуясь формулой Виета
х х  а  2 , где х  2 и а   4 , найдем второй корень х  5.
1 2 а 1
1
2
3
Так как  5  2;   , то в этом случае уравнение имеет на луче  2;  
лишь один корень х  2, те
. .условие примера выполняется.
1
Объединив подходящие случаи 1,3,4 получим
Ответ : при  4  а  1.
3
Замечание 4. Если бы требовалось найти значения параметра,
при которых уравнение имеет один корень на промежутке (-2;+∞),
то рассматривать случай 4 не было бы необходимости.
Пример 6. При каких значениях параметра m корни уравнения
x2-2mx+m2-1=0 заключены между числами -2 и 4.
Решение. Дискриминант уравнения D=4m2-4m2+4=4=22 есть полный
квадрат. Найдем корни уравнения: х1=m+1, х2=m-1. Эти корни
удовлетворяют заданному условию, если

 3  m  3,
 2  m 1  4,
 
 1  m  3.




2

m

1

4

1

m

5


Ответ: при m€(-1;3).
Пример 7. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
корни квадратного трехчлена х2+ах+1 различны и лежат на отрезке
[0;2]
Решение. D=a2-4. Сделаем графический анализ задачи. Так как
корни функции f(x)= х2+ах+1 различны, а f(0)=1, то график функции,
удовлетворяющий условиям примера, имеет лишь следующие
расположения.
0
х1
хв
2
0
х2
Тогда
 2
 D  0,
a  4  0 ,


5
 f ( 2 )  0,  2a  5  0    a  2.
2


a
0  xB  2
0    2
2

Ответ:  5  а  2.
2
хв
х1
Хв=-а/2
Х2=2
Пример 8. При каких значениях параметра а корни уравнения
(а-2)х2-2ах+а+1=0 расположены по одну сторону отрезка [-2;-1]
Решение. 1) При а-2=0↔ а=2 имеем уравнение -4х+3=0, корень
х=3/4 которого удовлетворяет условию задачи.
2) При а≠2 корни уравнения должны быть либо одновременно
меньше -2, либо одновременно больше -1. Согласно таблице,
приведенной ранее, эти случаи описываются условиями







D  0,
(a  2) f (2)  0,
x  2,
B







D  0,
(a  2) f (1)  0
x  1,
B
Где D=4(а+2)- дискриминант, f(-2)=9(a-1) и f(-1)=4a-1- значения функции,
записанной в левой части уравнения, в точках х= - 2 и х= - 1
соответственно, хв=2/(а-2) – абсцисса вершины параболы. Тем самым,
имеем:


а  2  0 ,
a  2 ,


( a  2 )( a  1 )  0 ,  a  1 или a  2 ,  a  пустому множеству
 a
4

 a2
 2
a  2
3

a  2,
а  2  0 ,


1 или a  2,  a   2; 1  

( а  2 )( 4а 1 )  0,  a 

4
4 

 a


a  1 или a  2
 1

a  2


Ответ: при a   2; 1   2;
4

2;
Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение
ах2-(а+3)х+3а+1=0 не имеет корней на отрезке [-1;1].
Решение. 1) Если а=0, то уравнение имеет вид: -3х+1=0 ↔ х=1/3.
При этом условие примера не выполняется.
2) Если а≠0 и дискриминант D=-11а2+2а+9 отрицателен, то
уравнение вообще не имеет корней. Это имеет место при
выполнении условий





 a  0,
a  0,


9   1;  .
 ; 
 

a


9

11  

11a2  2a  9  0  (a 1)(a  11)  0

3)При D>0 условие примера выполняется, если корни функции
f(x)= ах2-(а+3)х+3а+1 либо одновременно меньше -1, либо
одновременно больше 1, либо один из них меньше -1, а другой
больше 1. Согласно приведенной ранее таблице, эти случаи
определяются условиями
D  0,
af (1)  0, 
x  1
B









11a2  2a  9  0,


a(5a  4)  0,
 a   9 ;  4 ;
 11
5
a  3  1
2a


 11a2  2a  9  0,
 D  0,


2 

 ;1 ;
af
(1)

0,

a
(3
a

2)

0,

a



3 




 x 1
 a 3
1

 B
 2a
 af (1)  0,
 a(5a  4)  0,

 
 a.

 af (1)  0
 a(3a  2)  0


С учетом всех случаев имеем

 

ответ : при а ;  4    2 ;  .
5 3









Пример 10. При каких значениях параметра а уравнение
(а+2)х2+2ах+а-1=0 не имеет корней, удовлетворяющих неравенству
x<-1.
Решение. 1) а+2=0 ↔ а=-2. Тогда -4х-3=0 ↔х=-3/4.
Значение х=-3/4 неравенству x<-1 не удовлетворяет, поэтому при а=-2 условие
примера выполняется.
2) При а≠-2 условие примера будет выполняться, если квадратное уравнение
либо не имеет корней, либо его корни расположены на луче х≥-1.
В первом случае дискриминант D<0 ↔ 8-4a<0 ↔a>2.
Во втором случае график функции f(x)= (а+2)х2+2ах+а-1должен иметь
следующие расположения:
а)а+2>0
xB
-1
xB
-1
-1 xB
xB=-1
Б)а+2<0
-1
xB
-1
xB=-1
-1 xB
Опишем эти графики аналитически:
В этих системах второе и четвертое
неравенства одинаковы, а первое и
третье неравенства можно
объединить, после чего получим
одну систему










xB
a  2  0,
D  0,
а)
f (1)  0,
x  1
B










a  2  0,
D  0,
б)
f (1)  0,
x  1.
B










8  4a  0,
a  2,
D  0,




(a  2)(a  2  2a  a 1)  0,
(a  2)f (1)  0,
a  2,


 a

 2  a  2.
x  1,
 1,

a  2,
B
 a2


a  2,
a  1

a  2

Объединив все случаи, получим а≥-2.
Ответ: при а ≥-2.
Замечание 4.
В рассмотренном примере, а также в других примерах
случай D=0 (если он возможен) можно исследовать
отдельно. В данном случае D=0 ↔ 8-4а=0 ↔ а=2. При этом
уравнение имеет единственный корень х=-1/2, который
неравенству х<-1 не удовлетворяет, т. е. условие примера
при а=2 выполняется. Так же можно исследовать отдельно
случай, когда один из корней уравнения равен -1. Это может
быть, когда f(-1)=0. Но f(-1)=а+2-2а+а-1=1. Следовательно,
такой случай вообще невозможен. После проделанных
исследований из всех рисунков а), б) достаточно оставить
лишь первые.

Подводя итог, приведем ещё раз в тезисной форме схему
исследования задач, связанных с расположением корней
квадратного трехчлена Ах2 +Вх+С.
1. Исследование случая А=0 (если А зависит от параметров).
2. Нахождение дискриминанта D в случае А≠0.
3. Если D – полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней
х1,х2 и подчинение их условиям задачи.
4. Если √D не извлекается, то графический анализ задачи.
5. Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы,
для чего учитывается:
-
Знак (значение) коэффициента при х2;
-
Знак (значение) дискриминанта;
-
Знаки (значения) квадратичной функции в изучаемых точках;
-
Расположение вершины параболы относительно изучаемых точек.
6. Объединение некоторых неравенств (систем).
7. Решение полученных систем.