Интегральное описание прочности объемных тел

УДК 539.374
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЧНОСТИ ОБЪЕМНЫХ ТЕЛ,
АРМИРОВАННЫХ ВОЛОКНАМИ (ТОНКИМИ СТЕРЖНЯМИ)
Э. С. Сибгатуллин
Камская государственная инженерно-экономическая академия,
Набережные Челны, Россия
Рассмотрены трехмерные тела из композиционных материалов (КМ). В общем
случае как сама матрица, так и армирующие ее элементы (волокна, тонкие стержни)
являются анизотропными материалами. Рассматриваются произвольные структуры
армирования,
кратковременные
статические
нагрузки.
С
использованием
жесткопластической модели деформируемого твердого тела, соотношений теории
течения, гипотез кинематического характера получены параметрические уравнения
предельной поверхности в 18-мерном пространстве (9-ти сил и 9-ти моментов)
внутренних силовых факторов (ВСФ) для конечного элемента (КЭ) в форме
прямоугольной призмы. Из общих уравнений следуют соответствующие уравнения для
частных случаев (для однородных анизотропных и изотропных материалов).
Пространственные задачи механики деформируемого твердого тела имеют место,
когда все три измерения тела (длина, ширина, высота) не сильно отличаются друг от
друга. Такие задачи возникают, например, при проектировании массивных монолитных
железобетонных фундаментов под тяжелое промышленное оборудование. Определять
несущую способность массивных элементов конструкций, оставаясь в пространствах
напряжений  ij (i, j  1,3) и деформаций  ij , – трудная задача даже при использовании
современной мощной вычислительной техники. В настоящей работе предложено
представить массивное тело как совокупность КЭ в виде прямоугольных призм и
тетраэдров. Выведены уравнения для вычисления предельных комбинаций внутренних
сил Tij и моментов M ij , действующих на грани этих элементов.
Введем следующие системы координат: ( x, y, z ) j – связана с осями анизотропии jой компоненты КМ ( j  1, n ) , (1 , 2 , 3 ) связана с КМ в целом. Уравнение предельной
поверхности для j-ой компоненты КМ в системе ( x, y, z ) j имеет вид
 1Т А  1  2В1Т  1  1  0 .


1

j
Здесь
(1)
 1 – вектор напряжений, А1 – симметричная матрица, индекс Т означает
транспонирование. Компоненты матрицы А1 и вектора В1 подлежат определению на
основе соответствующих экспериментальных результатов.
Используя ассоциированный с (1) закон, находим:
i j   j
 
 j
 i
j


 2 j Ai   bi j , i  1,6.
(2)
j
Здесь  j i  0 , 1 ,  2 , 3 ,  4 ,  5 ,  6  Tj – вектор скоростей деформаций j-ой компоненты
КМ.
Примем следующие гипотезы кинематического характера:
11  e11   21 2   313 , 12  0.5  12  113   223  ,
 22  e22  123   321 ,  23  0.5  23   221   331  ,
(3)
 33  e33  13 2   231 ,  31  0.5  31   33 2  11 2  .
Здесь и далее между одинарными и двойными индексами напряжений и деформаций
установлены следующие зависимости: 11  1 , 22  2 , 33  3 , 12  4 , 23  5 ,
31  6 . Начало подвижной системы (1 , 2 , 3 ) располагается в центре рассматриваемой
грани призмы, а оси 1 , 2 , 3 параллельны соответствующим ребрам этой призмы.
Скорости обобщенных перемещений eij ,  ij ,  ij остаются постоянными в пределах
рассматриваемой грани призмы. В соответствии с (3) грани прямоугольной призмы
перемещаются поступательно и поворачиваются относительно соответствующих осей
1 , 2 , 3 , а также испытывают сдвиги. Отметим, что все соотношения в (3) являются
линейными относительно 1 , 2 , 3 .
Внутренние силы и моменты, действующие на грани прямоугольной призмы,
определяются по формулам
T11   σ11dA, ..., M 33   (σ 231  σ13 2 )dA.
A1
(4)
A3
Здесь Tii – нормальные силы, Tij (i  j ) – касательные силы (i , j  1,3) , M ii –
«крутящие» моменты, M ij (i  j ) – «изгибающие» моменты (рис. 1), A1  l2  l3 , A2  l1  l3 ,
A3  l1  l2 – площади граней призмы. Внутренние элементарные силы σ ij dA приводятся к
центрам площадей соответствующих граней.
Решая систему уравнений (2) относительно  i j , используя (3) и (4), получаем 18
параметрических
уравнений предельной поверхности
для рассматриваемого
призматического элемента в пространстве внутренних сил и моментов:



1 6 j j
j
j
j
j
Tii  
  ik I1i ek  ...  I 4i   i1  31   i 2 12  0.5 i 4 (  22  11 )  2 ij Alj ,

j 1 2 j  1
(5)
(i  1,3) , ..,
ni
~ j 6 j


I

e

...


21
,
3
5
k
k
1 

M 33  
k 1

.
j 1 2 j  ~ j
j
j
j
j 
 I 28,3   61  31   62 12  0.5 64 (  22  11 )  2 6 j S13 
n3

Здесь, например, I1ji 
dA

Aij
j
j
, ... , I 21,3


1
  dA.
A3 j
j
Предельные комбинации ВСФ, приложенных в центре наклонной грани
прямоугольного тетраэдра (рис. 2), определяются из следующих уравнений статики:
(6)
P1  T11  T12  T13 , ... , M 3  M 31  M 32  M 33 .
Параметрические уравнения (5) описывают предельную поверхность (поверхность
прочности) для прямоугольной призмы из композиционного материала в пространстве
внутренних силовых факторов, действующих на грани призмы с размерами l1 , l2 , l3
(рис. 1). Здесь параметрами являются отношения скоростей обобщенных перемещений
e11 , ...,  33 . Исключив эти параметры из уравнений (5), можно, в принципе, получить
уравнение предельной поверхности в пространстве T11 , ..., M 33 .
В работе проведен некоторый анализ уравнений (5), рассмотрены частные случаи
этих уравнений для однородных анизотропных и изотропных тел.