ОТЗЫВ_научн_рук_Нирова

ОТЗЫВ
научного консультанта о диссертации Нировой Марины Сефовны
«Конечные геометрии, графы, их расширения и автоморфизмы»,
представленной на соискание ученой степени доктора
физико-математических наук по специальностям
01.01.04 – геометрия и топология и
01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел
Изучение комбинаторно симметричных графов является одним из
наиболее важных направлений в теории графов. Это направление тесно
связано с теорией групп. Одной из главных задач этой теории является
классификация дистанционно транзитивных графов. С другой стороны,
классификация
дистанционно
регулярных
графов
представляется
неразрешимой задачей. Речь может идти об описании конкретных классов
дистанционно регулярных графов.
Комбинаторно симметричные графы часто строятся с помощью
конечных геометрий. Возникают и обратные задачи -- построение конечных
геометрий по заданным графам. Многие авторы изучали однородные
расширения частичных геометрий (Камерон П., Пазини А., Хобарт С., Хьюз
Д., Дель Фра А. и др.). Заметим, что точечный граф сильно φ-однородного
расширения частичной геометрии pGα(s,t) является псевдогеометрическим
для pGφ(s+1, st/α).
Задача изучения локально GQ(s,t)-графов (графов, в которых
окрестности вершин являются точечными графами для GQ(s,t)) является
классической. Эта задача решена для s < 4 (Ф. Бюкенхаут и К. Юбо для s = 2,
А.А. Махнев и Д.В. Падучих, независимо Д. Пасечник для s = 3).
Хорошо известно, что связный граф с b1 = 1 является многоугольником
или полным многодольным графом с долями порядка 2. Графы с 2 ≤ b1 ≤ 5
были изучены в работах А.А. Махнева и его учеников.
Локально циклические графы привлекают внимание топологов и
специалистов по теории графов. В.П. Буриченко и А.А. Махнев нашли
массивы пересечений дистанционно регулярных локально циклических
графов с не более 1000 вершинами. Ими была предложена программа
классификации реберно симметричных графов с массивами из этого списка.
При изучении t-изорегулярных графов наиболее интересной
представляется задача существования точно 4-изорегулярных графов. Такой
граф является псевдогеометрическим для pGr(2r,2r3+3r2-1) и обозначается
Izo(r). Известно существование графа Izo(r) только для r, равного 1 или 2.
Дж. Кулен предложил задачу классификации дистанционно
регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярны со
вторым собственным значением, не большим данного натурального числа t.
Известно, что сильно регулярный граф с нецелым собственным является
графом с параметрами (4n+1,2n,n-1,n). Далее, А.А. Махнев доказал, что
1
вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин сильно регулярны с
k = 2µ, имеет диаметр 2 или является графом Тэйлора. Таким образом, задача
Кулена может быть решена пошагово для t = 1, 2, … . Случай t = 1 был
рассмотрен А.А. Махневым, Л. Кардановой и независимо Дж. Куленом и его
учениками.
Хорошо известно, что имеются 30 наборов параметров неизвестных
сильно регулярных графов с числом вершин, не большим 100. Бехбахани и
Лама установили, что только 11 из них могут отвечать реберно
симметричным графам.
В диссертации М.С. Нировой решаются вышеуказанные задачи, при
этом завершаются программы исследований
- дистанционно регулярных локально $GQ(4,t)$-графов,
- примитивных дистанционно регулярных реберно симметричных
локально циклических графов с числом вершин, не большим 1000,
- дистанционно регулярных расширений сильно регулярных графов с
собственным значением 2,
- реберно симметричных сильно регулярных графов с числом вершин,
не большим 100.
Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. В
первой главе изучены сильно (s-2)-однородные расширения частичных
геометрий и завершена классификация дистанционно регулярных локально
GQ(4,t)-графов. Отметим, что s-однородные и сильно (s-1)-однородные
расширения частичных геометрий были изучены в кандидатской
диссертации М.С. Нировой.
В главе 2 изучены вполне регулярные графы с b1 = 6, сильно
регулярные графы с b1 < 24 и примитивные дистанционно регулярные графы
с λ = 2 и числом вершин, не большим 1000.
В главе~3 решаются некоторые задачи, связанные с точно 4изорегулярными графами. А именно, найдены возможные порядки
автоморфизмов графов Izo(r), подграфы неподвижных точек которых
являются пустыми, кликами или кокликами.
В главе 4 представлена программа изучения вполне регулярных
графов, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным
значением 2. Приведены результаты, завершающие указанную программу.
Кроме того, доказано, что новых реберно симметричных сильно регулярных
графов с числом вершин, не большим 100, нет.
В главе 5 найдены массивы пересечений дистанционно регулярных
графов с λ = 2 и числом вершин, не большим 4096.
Особо выделим следующий результат.
Следствие 4.2. Пусть Γ -- дистанционно регулярный граф, в котором
окрестности вершин – сильно регулярные графы с неглавным собственным
значением 2. Тогда либо окрестности вершин в Γ -- объединения
изолированных треугольников, либо Γ -- сильно регулярный граф с
параметрами (6,4,2,4), (27,16,10,8), (35,16,6,8), (100,36,14,12), (162,56,10,24),
2
(176,40,12,8), (210,95,40,45), (245,64,18,16), (275,112,30,56), (372,56,10,8) или
(486,100,22,20), либо диаметр Γ больше 2 и выполняется одно из следующих
утверждений:
(1) Γ является локально псевдо pG2(4,t)-графом Тэйлора;
(2) Γ -- граф икосаэдра или граф Джонсона J(8,4);
(3) Γ -- граф Тервиллигера с массивом пересечений {50,42,1;1,2,50} или
{50,42,9;1,2,42};
(4) Γ -- антиподальное 3-накрытие сильно регулярного графа с
параметрами
(162,56,10,24),
имеющее
массив
пересечений
{56,45,16,1;1,8,45,56};
(5) Γ имеет массив пересечений {81,60,1;1,20,81}.
Результаты диссертации докладывались на международных научных
конференциях и семинарах. Совокупность этих результатов является
существенным продвижением в развитии классического научного
направления -- изучения конечных геометрий, симметричных графов и их
автоморфизмов.
Считаю, что диссертационная работа «Конечные геометрии, графы, их
расширения и автоморфизмы» удовлетворяет требованиям ВАК,
предъявляемым к докторским диссертациям по специальностям 01.01.04 –
геометрия и топология и 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория
чисел, а ее автор, Нирова Марина Сефовна, заслуживает присуждения ей
ученой степени доктора физико-математических наук.
Научный консультант, зав. отделом
алгебры и топологии ИММ УрО РАН
член-корр. РАН
А.А. Махнев
11 октября 2014 года
3