Введение в ЛП (презентация)

Тема 2. Введение в линейное
программирование (ЛП)
1
§ 2.1. Правила построения математической
модели
Этапы формализация проблемы как задачи ЛП :

понять
проблему,
составить
описательную
(вербальную) модель задачи;

идентифицировать основные переменные задачи;

выбрать количественную меру эффективности цели;

представить эту меру эффективности как линейную
функцию относительно основных переменных;

идентифицировать и представить все ограничения как
линейные
уравнения или неравенства относительно
основных переменных;
 собрать количественные данные или сделать
соответствующие оценки для всех параметров модели.
2
Математические предположения для задачи ЛП:
 определенность (детерминированность) – все
параметры модели известны точно или могут быть
оценены;
 линейность (эквивалентна пропорциональности и
аддитивности) – все функциональные соотношения
модели линейны относительно основных переменных;
 пропорциональность – эффект
влияния
переменной задачи пропорционален значению этой
переменной;
 аддитивность – эффект влияния нескольких
переменных задачи равен сумме эффектов от
каждой переменной;
 делимость – все основные переменные задачи могут
принимать произвольные вещественные значения в
определенном диапазоне (бесконечно делимы).
3
Пример 2.1.1.
(Построение оптимального плана производства)
Исходные Расход ресурсов на 1
ресурсы
тонну готовой продукции
Сахар
Какао
Прибыль
Шоколад
Конфеты
1
5
5
1
2
3
Запас
ресурса
4
10
геометрич. решение
4
Переменные:
x1 – суточный объем производства шоколада,
x2 – суточный объем производства конфет.
Целевая функция:
Общая прибыль от реализации суточного плана
определяется функцией
z  5 x1  3 x2
Ограничения: содержательно ограничения на запас
ресурсов можно записать следующим образом
 Расход   Запас 
 ресурса    ресурса 

 

5
Математически ограничения имеют вид (см. таблицу):
 на расход сахара
ресурсы
Расход ресурсов
Запас
x1  x2  4;
ресурса
Шоколад Конфеты
 на расход какао-бобов
5 x1  2x2  10;

на знак переменных
Сахар
1
1
4
Какао
5
2
10
Прибыль
5
3
x1  0, x2  0.
Математическая модель
max z  max(5 x1  3 x2 )
x1  x2  4;
5 x1  2 x2  10;
x1  0, x2  0.
6
§ 2.2. Задача линейного программирования
Математически задача ЛП – задача нахождения
наибольшего (наименьшего) значения линейной функции
многих переменных при линейных ограничениях типа
равенств (неравенств), когда на переменные задачи есть
(нет) ограничений на знак.
 задача максимизации ЛП  задача минимизации ЛП
max z  max(c1x1   cn xn )
min z  min(c1x1   cn xn )
при ограничениях
при ограничениях
ai 1x1   ain xn  bi , i  1, m,
a x   a x  b , i  1, m,
i1 1
x j  0, j  1, n.
in
n
i
x j  0, j  1, n.
x j , j  1, n
 переменные
z  c1x1   cn xn  целевая функция
x j  0, j  1, n  условие неотрицательности переменной
с j , aij , bi
заданные параметры
7
 Вектор
X  ( x1 , , xn ) удовлетворяющий всем
ограничениям задачи, называется
допустимым
решением задачи ЛП.
 Допустимым множеством решений задачи ЛП
называется множество векторов X  ( x1 , , xn ) , удовлетворяющих всем ограничениям задачи.
*
*
*
X

(
x
,
,
x
 Вектор
доставляющий максимум
1
n ),
(минимум) функции z при заданных ограничениях, называется оптимальным решением задачи ЛП.
Наибольшее (наименьшее) значение целевой функции
называется значением задачи ЛП.
 Решить задачу ЛП  означает найти оптимальное решение и значение целевой функции.
8
§ 2.3. Геометрическая структура множества допустимых
решений в задаче ЛП
Множество M  R n называется выпуклым, если для двух
любых точек этого множества X 1, X 2  M и любого числа
   0,1 выполняется условие:
 X 1  1    X 2  M
Точка X 0  M называется крайней (экстремальной)
точкой множества М, если из условия
X 0   X 1  1    X 2 , X 1, X 2  M,    0,1
следует, что
X 0  X1  X 2
9
Линейное ограничение типа неравенства задает в R n
отрицательное (положительное) полупространство
 i   X ai 1x1   ain xn  bi 
   X a x

i
i1 1


 ain xn  bi  ,
ограниченное многомерной плоскостью
 i   X ai 1x1 
 ain xn  bi .


Множество
M 
 M   i  называется


многогранным множеством
.

i
Свойства множества доп. решений задачи ЛП:
• выпуклое,
• замкнутое,
• многогранное.
10
§ 2.4. Геометрический метод решения
задачи ЛП
Пример 2.4.1. Решим графически задачу из примера 2.1.1:
max z  max(5 x1  3 x2 ),
x1  x2  4,
5 x1  2 x2  10,
grad z( x1, x2 )   5,3 
x1  0, x2  0.
5 x1  3 x2  const  прямая
Градиент функции
y  f ( x1, x2 ) :
 f f 
grad f ( x1, x2 )  f ( x1, x2 )  
,


x

x
 1
2 
Свойства:
• показывает направление наибольшего возрастания
функции,
• направлен перпендикулярно касательной к линии
уровня функции
f ( x1, x2 ) . const
11
Геометрический метод реализуется
в два этапа:
2 5 x1  2x2  10

Этап 1: 1 x1  x2  4
•построение допустимого множества решений ЗЛП,
0
x1  2  x1задачи
 x1  4 оптимального
 x1  0
решения
•нахождение
ЛП.




x2
 x2  0  x2  4
 x2  0  x2  5
Этап 2:
5
4
 x1*  x2*  4
 *
*
5
x

2
x
 1
2  10
B
grad z   5,3 

*
1
z x ,x
*
2

 * 2
 x1  3

 x *  10
 2 3
2
10 40
 5 3

3
3
3
x1
O
2
 2
4
1
Слайд 17
12
Теорема 2.4.1. (об оптимальных экстремальных
точках).
Если в задаче ЛП существует оптимальное решение, то
существует и оптимальная экстремальная (угловая,
крайняя) точка.
Алгоритм графического метода для задач ЛП  n  2 :
 записать каждое ограничение как равенство и
нарисовать прямую;
 найти для каждого ограничения допустимую область
и множество допустимых решений задачи ЛП;
 найти градиент целевой функции
 нарисовать линию уровня целевой функции
z  x1, x2   0;
 сдвигать линию уровня в направлении градиента, до
последней точки пересечения с множеством доп.
решений.
13
При решении задачи ЛП возможны случаи:
1. Задача ЛП имеет единственное решение
примеры 2.4.1).
*
X
• min
grad z
•
(см.
*
X max
2. Задача ЛП имеет бесконечное множество решений
(альтернативные решения).
X*
•
grad z
•
X **
14
При решении задачи ЛП возможны случаи:
3. Задача ЛП не имеет оптимального решения:
• неограниченность множества • пустота
множества
допустимых решений
допустимых решений
15
§2.5. Анализ на чувствительность
Первая задача на чувствительность:
ограничения
активные
(связывающие)
неактивные
(несвязывающие)
дефицитные
ресурсы
недефицитные
ресурсы
Цели:
 макс. увеличение запаса
дефицитного ресурса,
позволяющее улучшить значение целевой функции;
 макс. уменьшение запаса недефицитного ресурса, не
меняющее значение целевой функции.
16
Ресурс 1
L   0,5 
x1  x2  4 
b1  4, b1  x1  x2  0  5  5,
x2
b1  5  4  1
5 L
z  L   5 x1  3 x2  5  0  5  3  15
4
40 5
1z  z  L   z  B   15 

3 3
x1
2
 2
4
1
17
Ресурс 2
5 x1  2x2  10 
K   4,0 
b2  10, b2  5 x1  2x2  5  4  20,
x2
b2  b2  b2  20  10  10
z  K   5 x1  3 x2  5  4  3  0  20
40 20
2z  z  K   z  B   20 

3
3
4
K
2
4
x1
18
Результаты решения первой задачи анализа на
чувствительность оформляются в виде таблицы:
Ресурс
Тип (статус)
ресурса
Максимальное Максимальное
изменение
изменение
запаса
дохода
Ресурс 1
дефицитный
1
5/3
Ресурс 2
дефицитный
10
20/3
19
Вторая задача на чувствительность
(вычисление стоимости ресурсов):
Теневая (двойственная) цена ресурса показывает
на сколько изменится доход при изменении запаса деф.
ресурса на единицу.
Вычисляется по формуле:
yi 
Максимальное увеличение дохода
Максимальное увеличение запаса i -го ресурса
20 3 2
5
y2 

y1 
10
3
1
Вывод: расширение производства за счет увеличения
запаса первого ресурса наиболее выгодно.
20
max z  5 x1  3 x2
Третья задача на чувствительность
(чувствительность к изменению цен):
grad z   5, c2 
x1  x2  4,
5 x1  2 x2  10,
grad z   5,3 
x1  0, x2  0.
grad z   c1,3 
целевая
функция
z  c1x1  c2 x2
a11x1  a12 x2  b1 1
B
a21x1  a22 x2  b2  2 
активные
Диапазон оптимальности
ограничения
1   z   2
tg1  tg z  tg 2
2 z
 2
1
z
1
1 c1 5
a11 c1 a21



 
1 c2 2
a12 c2 a22
21
max z  5 x1  3 x2
x1  x2  4,
Диапазон оптимальности
1 c1 5


1 c2 2
5 x1  2 x2  10,
x1  0, x2  0.
если
B
если
1 5 5
c1  5  
 , 2  c2  5
1 c2 2
c2  3 
1 c1 5
15
  , 3  c1 
1 3 2
2
22
Торговля валютой
Арбитраж – получение прибыли в результате
обменных операции.
Таблица текущих обменных операций:
1
2
3
4
5
1

0,639 5,3712 1,5712 98,89
2 1,5648

8,4304 2,459 154,77
3 0,1856 0,1186

0,2921 18,412
4 0,6361 0,4063 3,4233

62,94
5 0,0101 0,0645 0,05431 0,0158

23
Математическая модель
Пусть начальный валютный портфель содержит по
одной единице каждого вида валют.
aij  количество валюты j, которое дают за единицу
валюты i, aii  1.
Таблица (матрица) текущих Переменные:
обменных курсов:
xij  количество валюты i,
которое меняется на
a1n 
 a11 a12
валюту j.
a

a
a
2n 
A   21 22
x1n 
 x11 x12


x



x
x
a
a
a
22
2n 
 n1 n 2
nn 
X   21




x
x
x
 n1
n2
nn 
Обменная
операция
24
Цель: целью обменной операции является
максимизация прибыли.
Количественная мера прибыли валюта 1
(можно любую другую валюту).
Целевая функция:
Прибыль = Доход – Затраты
CX
 X   R X  C X 
стоимость портфеля, выраженная в единицах
валюты 1,
C  X   a11  a21   an1  const.
R  X   доход от валютной операции,
R  X   a11x11  a21x21   an1xn1 
  a12 x12  a22 x22 
 an 2 xn 2  a21 
  a1n x1n  a2n x2n 
 ann xnn  an1.
25
Ограничения:
x11  x12 
 x1n  1
x21  x22 
 x2 n  1
x n1  x n 2 
 xnn  1
0  xij  1
Пусть
X * оптимальное решение,
*
 арбитраж есть,
если   X   0
если   X *   0  арбитража нет.
26