Дополнительные признаки равенства треугольников

Математика
Дополнительные
признаки равенства
треугольников
Серова Наталья Александровна,
Мурзина Наталья Викторовна,
учителя математики, информатики и ИКТ
г.Омск МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 16»
Теорема 1
Если угол, сторона, противолежащая этому
углу, и высота, опущенная на другую
сторону,
одного
треугольника
соответственно равны углу, стороне и высоте
другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Для доказательства используются признаки равенства
прямоугольных треугольников.
Дано:  ABC и  A1B1C1, С =  С1, AB =
A1B1, высота AH равна высоте A1H1.
Доказать: АВС = А1В1С1
С
С1
H1
H
А
В
А1
В1
Доказательство:
Прямоугольные  ABH и  A1B1H1 равны по
катету и гипотенузе. Значит,  B =  B1. Учитывая,
что  С =  С1, имеем равенство  A =  A1.
Таким образом, в  ABC и  A1B1C1
AB = A1B1,  A =  A1,  B =  B1.
Следовательно, эти треугольники равны по
второму признаку равенства треугольников.
Теорема 2
Если две стороны и медиана, заключенная
между
ними,
одного
треугольника
соответственно равны двум сторонам и
медиане другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Теорема 8
Дано:  ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, BC =
B1C1, медиана СM равна медиане С1M1.
Доказать: АВС = А1В1С1
С
А
M
С1
В
А1
M1
В1
Доказательство:
чертеж
Продолжим медианы и отложим отрезки MD =
CM и M1D1 = C1M1. Четырехугольники ACBD и
A1С1B1D1 — параллелограммы. ACD = A1C1D1
по трем сторонам. Следовательно,  ACD = 
A1C1D1.
Аналогично,  BCD =  B1C1D1 по трем
сторонам. Следовательно,  BCD = B1C1D1.
Значит,  С =  С1 и треугольники ABC и A1B1C1
равны по двум сторонам и углу между ними (по
первому признаку равенства треугольников).
С
M
А
D
С1
В
M1
А1
D1
В1
назад
Теорема 3
Если сторона и две медианы, проведенные
к
двум
другим
сторонам,
одного
треугольника соответственно равны стороне
и двум медианам другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Дано:  ABC и  A1B1C1, AB = A1B1,
медианы AM = A1M1, BK = B1K1.
Доказать: АВС = А1В1С1
С
M
M1
K
K1
O1
O
А
С1
В
А1
В1
Доказательство:
Точки O и O1 пересечения медиан данных
треугольников делят медианы в отношении 2 : 1,
считая от вершины. Значит,  ABO = A1B1O1 по
трем сторонам. Следовательно,  BAO =  B1A1O1,
значит,  ABM =  A1B1M1 равны по двум
сторонам и углу между ними. Поэтому  ABC =
A1B1C1.
Аналогично доказывается, что  BAC = B1A1C1.
Таким образом, треугольники  ABC и  A1B1C1
равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Следовательно, АВС = А1В1С1 равны по
второму признаку равенства треугольников.
Теорема 4
Если две стороны и биссектриса,
заключенная
между
ними,
одного
треугольника соответственно равны двум
сторонам и биссектрисе, заключенной
между ними, другого треугольника, то такие
треугольники равны.
• Дано:  ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, BC =
B1C1, биссектриса CD равна биссектрисе
С1D1.
Доказать:САВС = А1В1С1
С
1
А
D
В
А1
D1
В1
Доказательство:
чертеж
Продолжим стороны AC и A1C1 и отложим на их
продолжениях отрезки CE = BC и C1E1 = B1C1 .
A1 E1
AE
B
E

C
D
Тогда BE  CD
, 1 1 1 1
A1C1
AC
BCE = B1C1E1 по трем сторонам. Значит,  E =
 E1 и BE = B1E1.
ABE =  A1B1E1 по двум сторонам и углу между
ними. Значит, AB = A1B1.
Таким образом,  ABC = A1B1C1 по трем
сторонам (3 признак равенства треугольников).
E1
E
С
А
D
С1
В А1
D1
В1
назад
Теорема 5
Два треугольника равны, если сторона,
медиана и высота, проведенные к другой
стороне,
одного
треугольника
соответственно равны стороне, медиане и
высоте другого треугольника.
Дано:  ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, AC =
A1C1, медианы CM и C1M1 равны, высоты
CH и C1H1 равны .
Доказать:САВС = А1В1С1
С
1
А
В
M
H
В1
А1
M1
H1
Доказательство:
Прямоугольные  ACH = A1C1H1 по
гипотенузе и катету. Следовательно,  A =
 A1 и AH = A1H1. Прямоугольные
треугольники  CMH = C1M1H1 по
гипотенузе и катету. Следовательно, MH =
M1H1, откуда AM = A1M1, значит, AB = A1B1.
Таким образом,  ABC= A1B1C1 по двум
сторонам и углу между ними (по первому
признаку равенства треугольников).
Теорема 6
Два треугольника равны, если медиана и
два угла на которые делит угол медиана,
одного треугольника соответственно равны
медиане и двум углам, на которые делит
медиана угол другого треугольника.
Дано:  ABC и  A1B1C1, BM=B1M1,
ABM=  A1B1M1, CBM=  C1B1M1.
Доказать: АВС = А1В1С1
B1
B
A
C
M
A1
M1
C1
B1
B
A
C
M
A1
Доказательство:
M1
В данных треугольниках
удвоим медианы BM=MD и
B M =M1D1.
C 1 1
1
1.ΔAMD= ΔCMB, ΔA1M1D1=
ΔC1M1B1 ( по 1 признаку)
D
D1
Из равенства этих треугольников следуют равенства:
AD=BC, A1D1=B1C1 и ADM= CBM, A1D1M1= C1B1M1
2. ΔABD= ΔA1B1D1 ( по 2 признаку)
Из равенства этих треугольников следуют равенства:
AB=A1B1, а значит, BC=AD=B1C1=A1D1
3. ΔABC= ΔA1B1C1 ( по первому признаку равенства
треугольников)
Теорема 7
Два треугольника равны, если сторона, и
две высоты, опущенные на две другие
стороны,
одного
треугольника
соответственно равны стороне и двум
высотам, опущенным на две другие стороны
другого треугольника.
Дано:  ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, высота
AM равна высоте A1M1, высота BK равна
высоте B1K1.
Доказать:САВС = А1В1С1
С
1
M1
M
K1
K
А
В
А1
В1
Доказательство:
Из равенства прямоугольных
треугольников  AMB =  A1M1B1,  BKA
= B1K1A1 (по катету и гипотенузе) следует
равенство углов:  BAC =  B1A1C1,  ABC =
 A1B1C1.
Поэтому  ABC =  A1B1C1 по стороне (
AB = A1B1) и двум прилежащим к ней углам
(по второму признаку равенства
треугольников).
Теорема 8
Два треугольника равны, если три
медианы
одного
треугольника
соответственно равны трем медианам
другого.
Дано:  ABC и  A1B1C1, медианы AK =
A1K1, BL= B1L1, CM = C1M1.
Доказать: АВС = А1В1С1
С
С1
L1
K
L
K1
O1
O
А
В
M
А1
В1
M1
Доказательство:
Пусть O и O1 — точки пересечения медиан данных
треугольников. Заметим, что медианы OM и O1M1
треугольников  ABO и  A1B1O1 равны, так как они
составляют одну третью часть соответствующих медиан
данных треугольников. Аналогично равны АО И А1О1, ВО и
В1О1, так как они составляют две третьих
соответствующих медиан данных треугольников.
По признаку равенства треугольников, доказанному
нами под номером 2,  ABO =  A1B1O1, значит, AB =
A1B1.
Аналогично доказывается, что BC = B1C1 и AC = A1C1.
Таким образом,  ABC и  A1B1C1 равны по трем
сторонам ( по третьему признаку равенства
треугольников) .
Теорема 9
Два треугольника равны, если три
высоты
одного
треугольника
соответственно равны трем высотам
другого треугольника.
Дано:  ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, высоты
AH = A1H1, BG = B1G1, CF = C1F1.
Доказать: АВС = А1В1С1
С
С1
G1
G
H
А
В
F
H1
В1
А1
F1
Доказательство:
Обозначим стороны треугольников
соответственно a, b, c и a1, b1, c1, а
соответствующие высоты ha, hb, hc и h1a, h1b, h1c.
Имеют место равенства aha = bhb = chc и a1h1a =
b1h1b = c1h1c. Разделив почленно первые a b c
равенства на вторые, получим равенства a1  b1  c1
из которых следует, что треугольники ABC и
A1B1C1 подобны. А так как соответствующие
высоты этих треугольников равны, то они не
только подобны, но и равны.