Лекция N 1 Кратные интегралы Двойные интегралы Опр: множество К Rn называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е. лежит в ограниченном объеме и содержит все свои предельные точки. Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс вместе с границами. Опр: множество D Rn называется связным, если не выполняется следующее свойство: D1 , D2 – открытые непустые множества: D1 D Ø, : D2 D Ø , D D1 D2, D1 D2 =Ø рис.1 несвязное множество D Пример связного множества: связный компакт на прямой– отрезок, связные компакты на плоскости– квадрат и круг с границами. Свойства компактов К1 и К2: 1. К1 К2 также является компактом. 2. К1 К2 –компакт Площадь компакта К рис.2 Пусть К Pn , где Pn–многоугольник; либо совокупность многоугольников, если К состоит из нескольких несвязных частей. Площадь многоугольника Pn можно найти сложением площадей составляющих его треугольников (рис. 2): Sn= S . Определение: площадью S(K) компакта K называется : S(K)=inf S(Pn). Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь– величина неотрицательная и ограничена снизу нулем. Свойства S(K): 1. S(K) 0 2. S(К1 К2 )=0 S(К1 К2 )= S(K1) + S(K2) Примеры: График непрерывной функции y = f(x) С[a,b]: 1. K = {(x,y): x [a,b] ; y = f(x)}; докажем, что S(K) = 0. рис.3 Делим отрезок [a,b] на n равных частей, пусть mi = min f(x); i ba n f(x) равномерно непрерывна на [a,b] (теорема Кантора) > 0 n0 n n0: Mi - mi< . Рассмотрим K Pn : i Mi = max f(x); i n S (Pn)= (M i 1 i n n i 1 i 1 mi ) i i i (b a) 0 при 0 Следовательно, S(K)=0. 2. f(x) C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x [a,b] ;0 y f(x)}; Площадь под кривой y = f(x), x [a,b] . b Докажем, что S(K) = f ( x)dx a рис.4 Mi = max f(x) i S (Pn)= n b i 1 a M i i f ( x)dx (интеграл существует, т.к. всякая непрерывная функция интегрируема). на рис.5 изображен компакт К. Дадим определение f ( x, y)dxdy : K Зададим разбиение Т компакта К: n Т –разбиение компакта К: {K = K i ; Ki: S(Кi Кj) = 0, i j} i 1 Выбираем некоторую точку Р( i ,i ), принадлежащую компакту Кi , i 1,..., n и зададим интегральную сумму n S (T)= f ( , ) S ( K ) , i 1 i i i Обозначим: d(Ki)=max( ( x, y ), ( x, y ) , ( x, y) K i ; ( x, y) K i ), где ( x, y ), ( x, y ) ( x x) 2 ( y y ) 2 -расстояние и диаметр разбиения: d(T) = max i di . Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по компакту К называется: f ( x, y)dxdy = lim S (T ) , если такой предел существует. K d (T ) 0 Если такого предела не существует то функция неинтегрируема (например, функция Дирихле, D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение 1, а в иррациональных точках значение ноль). Свойства двойного интеграла (1-5) 1. f ( x, y)dxdy = S(K), если f(x,y) 1 K 2. S(K) = 0 f ( x, y)dxdy =0, где f- любая ограниченная функция K 3. (f ( x, y) g ( x, y))dxdy = f ( x, y)dxdy + g ( x, y)dxdy K K K f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy 4.S(К1 К2 )=0 K1 K 2 K1 K2 f ( x, y)dxdy MS(K) 5.m f(x,y) M mS(K) K 6. Если К- связный компакт и f(x,y) C(K), то ( 0 ,0 ) K : f ( 0 ,0 ) S ( K ) f ( x, y)dxdy K доказательство свойств 1-5: 1. f ( x, y)dxdy = lim S (T ) d (T ) 0 K n S ( K ) S ( K ) f ( x, y)dxdy =S(K) S (Т)= i i 1 K 2. S(K)=0, следовательно, для любого разбиения Т: S(Ki)=0 , i 1,2,...n n S (Т)= f ( , )S ( K ) 0 f ( x, y)dxdy lim S (T ) = 0 i i 1 i i d (T ) 0 K n 3. S (Т)= [f ( , )S ( K ) g ( , )S ( K )] = S(T,f) + S(T,g) i i 1 i i i i i f ( x, y)dxdy + g ( x, y)dxdy . K K n 4. S (Т)= K i K 2 f ( i , i ) S ( K i ) + n K j K 2 f ( i , i ) S ( K j ) + n f ( K t K1 K 2 it ,tt ) S ( K t ) f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy K1 K2 5. m f(x,y) M n S (Т)= f ( , ) S ( K ) i 1 i i i mS(K)=m S ( K i ) S (T ) M S ( K i ) =MS(K) mS(K) f ( x, y)dxdy MS(K) K 6. m fdxdy K S (K ) M , где функция f определена на связном компакте и принимает все значения между M и m. ( 0 , 0 ) K f ( 0 , 0 ) fdxdy K S (K ) Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К: (f(x,y)>0) V= f ( x, y)dxdy – объем цилиндроида, изображенного на рис.6 K рис.6 Теорема без (док-ва): Если f(x,y)-непрерывна на К, то существует f ( x, y)dxdy . K K Теорема: Если К = К1 К2 и S(K2)=0, то можно отбросить К2, т.к. S(K2)=0 f ( x, y)dxdy = f ( x, y )dxdy K1