Krasota_matematika

Красота
Математики
В математике есть своя красота,
как в живописи и поэзии.
(Н.Е. Жуковский)
Математика – царица всех наук, символ мудрости.
Красота математики среди наук недосягаема, а красота
является одним из связующих звеньев науки и искусства.
Это не только стройная система законов, но и
уникальное средство познания красоты.
«Математика есть прообраз красоты мира»
(В.Гейзенберг)
Числа живут своей жизнью, и мы, соприкоснувшись с
ней, удивляемся, а иногда и любуемся ею.
Математическая пирамида №1
1x8+1=9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
Какие
вычисления
выполнены в
123456
x 8 +будут
6 = 987654
следующей строке и в последующих?
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
Математика - это красота и чудо в чистом виде.
Математическая пирамида №2
1x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
Какие
вычисления
выполнены в
123456
x 9 + будут
7 = 1111111
следующей строке и в последующих?
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111
Математика - это единственная наука, которая
имеет дело с абсолютным идеалом.
Математическая пирамида №3
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
Какие вычисления будут выполнены в
987654
x
9
+
2
=
8888888
следующей строке и в последующих?
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
Замечательно! Не правда ли?
Математическая пирамида №4
1x1=1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111
x 111111 будут
= 12345654321
Какие
вычисления
выполнены в
1111111
x 1111111
следующей
строке =
и 1234567654321
в последующих?
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
Математика в своей сущности
достаточно таинственна и романтична.
Поверхности второго порядка. Загадочная красота.
эллипсоид
двуполостный гиперболоид
гиперболический параболоид
эллиптический параболоид
Симметрия - закономерное расположение элементов формы
относительно плоскости, оси или точки. Человек давно осмыслил
симметрию в творениях природы и стал использовать её как
средство организации искусственных форм. В Древней Греции
слово "симметрия" было синонимом красоты, гармонии формы.
«...быть прекрасным значит быть
симметричным и соразмерным»
(Платон)
В 30-е годы Вернер Гейзенберг отмечал, что извечный поиск
гармонии в природе завершен; вопрос о том, в чем именно
она заключена, решен «строгим и окончательным образом»:
в изящной математической форме динамических законов.
Сегодня
мы
вправе
сказать:
гармония
предстает
человеческому взору не просто в математической форме
законов, а в их математической симметрии.
Тадж-Махал — мавзолей-мечеть, находящийся в Агре, Индия, на
берегу реки Ямуна. Усыпальница имеет центральную симметрию
относительно гробницы Мумтаз-Махал. Единственным нарушением
этой симметрии является гробница Шах-Джахана, которую там
соорудили после его смерти.
Особенно блистательно использовали симметрию в
архитектурных сооружениях древние зодчие.
Древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих
произведениях они руководствуются законами, которые
управляют природой. Выбирая симметричные формы,
художник тем самым выражал свое понимание природной
гармонии как устойчивости, спокойствия и равновесия.
Зеркальная симметрия
Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит
фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно
плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры.
В некоторых источниках такую симметрию называют зеркальной. А
зеркало не просто копирует объект, но и меняет местами передние и
задние по отношению к зеркалу части объекта.
Симметрия в природе
Симметрия широко распространена в природе. Ее можно
наблюдать в форме листьев и цветов растений, в
расположении различных органов животных.
Симметрия в природе
Красота растений
привлекала
внимание
математиков
веками.
Рассматривая
расположение
листьев
на ветке
дерева, видим,
что один
Активнее
всегоотстоит
изучались
интересные
лист не только
от другого
, но и геометрические
повёрнут вокруг свойства
оси ствола.
растений,
такие как симметрия
относительно
центральной
Листья располагаются
на стволелистьев
по винтовой
линии (принцип
винтовой
симметрии).
Семена
подсолнечника
спиралям, опять
оси,
радиальная
симметрия
цветов,располагаются
и спиральное по
расположение
же
по принципу
симметрии.
семечек
в шишках.
Красота связана с симметрией.
Симметрия в неживой природе
В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы.
Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма
снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают
симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того,
зеркальной симметрией.
О, симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!
Симметрия является фундаментальным
свойством природы, представление о
котором слагалось в течение десятков,
сотен, тысяч поколений.
Аристид Линденмайер
В 1968г. Венгерский биолог и ботаник Аристид Линденмайер (Aristid
Lindenmayer) предложил математическую модель для изучения развития
простых многоклеточных организмов, которая позже была расширена и
используется для моделирования сложных ветвящихся структур —
разнообразных деревьев и цветов.
Rewriting
Rewriting — это способ получения сложных объектов путем замены
частей простого начального объекта по некоторым правилам.
Классическим примером является снежинка. На рисунке initiator —
это начальный объект, грани которого заменяются на generator.
Далее с новым объектом проделывается то же самое.
Замощение Пенроуза
Его красота в непериодичности. Любой сколь угодно большой
фрагмент узора повторяется бесконечное число раз, однако, нет
таких двух точек где узор наложился бы сам на себя полностью (как
не крути).
Дерево Пифагора
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где
на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В
наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево.
Впервые дерево Пифагора построил А.
Е. Босман (1891—1961) во время второй
мировой войны, используя обычную
чертёжную линейку.
Одним из свойств дерева Пифагора
является то, что, если площадь первого
квадрата равна единице, то на каждом
уровне сумма площадей квадратов тоже
будет равна единице.
Обнаженное
дерево
Пифагора
Классическое
дерево
Пифагора
Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо
образом выбранные "центры" треугольников, то получается
обнаженное дерево Пифагора.
Обдуваемое ветром дерево Пифагора
Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам,
то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при
использовании других углов. Такое дерево часто называют
обдуваемое ветром дерево Пифагора.
История
Красота есть истина, а истина — красота.
Джон Китс
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами
появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин
«фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил
широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная
геометрия природы». Определение фрактала, данное Мандельбротом,
звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей,
которые в каком-то смысле подобны целому"
Галерея изображений фракталов
Они кажутся более живыми и красивыми, чем многие рисунки,
несмотря на то, что являются результатом работы программы.
А ВОТ СЕЙЧАС НАЧНЁТСЯ ВОЛШЕБСТВО
Фракталы очень просто
строить самому, задав
конечный предел
интеграции. Для этого
сейчас специально пишут
программы, в зависимости
от желаний можно создать
самые различные
изображения, цветные,
непонятные, шокирующие.
Вот, например, несколько
вариаций того же
множества:
А вот версия Мандельброта, если
график разместить в трёхмерном
пространстве:
Самая крупная группа фракталов алгебраические.Самое известное
из них - множество Мандельборта,
самое красивое из всего,
созданного точными науками.
А вот область множества Мандельброта, увеличенная в
несколько тысяч раз.
Вот еще несколько рисунков
фрактальных поверхностей:
Математическая музыка
Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два
искусства - музыку и математику. Он считал, что гармония чисел
сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают
хаотичность мышления и дополняют друг друга. Пифагор говорил
своим ученикам, что числа правят миром.
Математика и музыка - два полюса человеческой культуры.
Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая
задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не
задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел
издавна соседствуют друг с другом.
Дроби широко используются в музыке для
обозначения длительностей нот.
Золотое сечение
Средневековая математика подарила нам понятие о "золотом
сечении" и последовательности Фибоначчи.
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на
неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей
части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими
словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко
всему a : b = b : c или с : b = b : а.
Эта последовательность имеет следующий вид: 1,1,2,3,5,8,13,21,...
То есть каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
При этом в пределе деление каждого числа на предыдущее даёт
приблизительно 1,618 - это число и определяет "золотое сечение".
Золотое сечение
"Золотое сечение" в конструкции
Парфенона, Афины, Греция
Собор "Нотредам де Пари"
в Париже, Франция
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и
среднем отношении) — деление непрерывной величины на две
части в таком отношении, при котором меньшая часть так
относится к большей, как большая ко всей величине.
Пирамида Хеопса, Египет
Пропорции Фибоначчи в природе
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Выяснилось, что в
расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет
себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.
Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.
Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK
закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".
Золотое сечение
В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с
вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется
золотая пропорция, характеризующая соразмерность и
гармоничность их строения. Золотое сечение признано
универсальным законом живых систем.
Золотое сечение в живописи
Золотое сечение
Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических
переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических
соединений, в планетарных и космических системах, в генных
структурах живых организмов. Эти закономерности есть в строении
отдельных органов человека и тела в целом.
Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры…
В математике есть тоже своя красота, как в живописи и поэзии. Эта
красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очертанных идеях,
где на виду всякая деталь умозаключения, а иногда поражает она
нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что
недосказанное, но многообещающее. (Н.Е. Жуковский )
Вот она - красота чистой
математики!