Модели гиперупругих материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62 - механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(Бакалаврская работа)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГИПЕРУПРУГИХ ТЕЛ С ЖЕСТКИМИ ТЕЛАМИ
Работа завершена:
"___"________2015 г. _________________________________
(Т.Б. Финк)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
к. ф.-м. н., доцент,
доцент
"___"___________2015 г. ______________________________(Л.У. Султанов)
заведующего кафедрой
д. ф.-м. н., профессор
"___"___________2015 г. ______________________________(Ю.Г. Коноплев)
Казань — 2015
2
Оглавление
1.Введение
3
2.Определяющие соотношения гиперупругости
4
3.Модели гиперупругих материалов
6
4.Определение констант гиперупругого материала
8
5.Методы решения нелинейных задач
11
6.Построение в ANSYS
13
7.Заключение
20
9. Список литературы
21
3
Введение
Изучение поведения гиперупругих материалов в современной жизни
имеет большое значение. Гиперупругие материалы являются важнейшими
объектами исследования нелинейной теории упругости.
Гиперупругие материалы из-за своих свойств широко используются в
различных отраслях. Они не зависят от скорости деформации. К таким
материалам относятся резина, пена, биологические материалы, полимерные
материалы.
Важно произвести расчет на надежность эксплуатации различных
конструкций, что приводит к исследованию напряженно-деформированного
состояния.
Целью данной работы является введение в нелинейную теорию упругости
и, создание трехмерной модели с помощью ANSYS
для исследования
напряженно-деформированного состояния гиперупругих тел на примере
деформации кольца.
Определяющие соотношения гиперупругости
4
Рассмотрим закон Гука линейной теории упругости
s =  (trε)I  2ε ,
I – единичный тензор,  и
=
(1.1)
 – константы Ламэ.
E
E
, =
.
(1   )(1  2 )
2(1   )
Перепишем уравнение (1.1) в виде:
s = C E : ε,
(1.2)
где
C E  C I   (C II  C III ),
C I , C II , C III – базовые изомеры.
Запишем (1.2) в потенциальном виде
s=
W (ε)
1
1
, W (ε) = ε : C E : ε =  (trε) 2  ε : ε. (1.3)
ε
2
2
Для гиперупругого материала нельзя прямо использовать уравнения (1.1),
(1.2), (1.3). Необходимо использовать нелинейную теорию упругости. Может
быть несколько причин нелинейности, например, нелинейная зависимость
деформаций и перемещений, либо большие перемещения, которые можно
соизмерить с размерами конструкции, либо непропорциональная связь
напряжений и деформаций.
Определяющие соотношения гиперупругости записываются в виде
S=
WE (E)
,
E
WE (E) - удельная потенциальная энергия деформации. Для изотропного
гиперупругого материала эта функция запишется в виде:
WE (E) = WE ( I1, I 2 , I 3 ) = W (1, 2 , 3 ).
1
( S(2) , C), (S(2) , E(2) ), ( τ, E(0) ), (1.4)
2
5
Сопряженную пару тензоров ( τ , E(0) ) можно записать через правый тензор
напряжений Генки S (0) в виде (S(0) , E(0) ) .
6
Модели гиперупругих материалов
Из соотношения (1.4) строятся модели гиперупругих материалов.
Модель Муни-Ривлина ( I 3 (C) = 1 для несжимаемого материала)
S(2) = 2
WMR [ I1 (C), I 2 (C)]
, WMR  C1[ I1 (C)  3]  C2[ I 2 (C)  3],
C
(2.1)
где C1 , C 2 – константы;
Общая форма записи Муни-Ривлина:

W   Сij I 1  3  I 2  3  ,
i
j
i 0 , j 0
Главные инварианты можно записать через главные удлинения λi
в
четных степенях:
I1  12  22  32 ,
I 2  1222  2232  3212 ,
I 3  122232  1. (2.1)
Уравнение (2.1) соответствует несжимаемости материала. Величины
I1  3 и I 2  3 выбраны таким образом, что бы функция потенциальной
энергии деформации обращалась в ноль при нулевых главных деформациях. С
этой же целью принято С00  0 .
Из уравнения (10) получаем неогуковскую модель:
W  С1 I1  3.
Модель Муни-Ривлина можно записать в расширенной форме в пяти- и
девяти константном виде:
7
W  С10 I 1  3  С01 I 2  3  С20 I 1  3  С11 I 1  3I 2  3  С02 I 2  3 ,
2
2
W  С10 I1  3  С01 I 2  3  С20 I1  32  С11 I1  3I 2  3  С02 I 2  32  ...
...  С30 I1  33  С21 I1  32 I 2  3  С12 I1  3I 2  32  С03 I 2  33 .
Модель третьего порядка Джеймса-Грина-Симпсона:
W  С10 I1  3  С01 I 2  3  С11 I1  3I 2  3.
Модель Огдена:
n 

1  2  3  3,
n 1  n
N
W 
n
n
n
где  n и n – константы материала.  n необязательно является целым числом,
может принимать положительные и отрицательные значения.
Кирхгофа – Сен-Венана:
WKSV (E(2) )
1
S =
, WKSV  E(2) : C E : E(2) ; (2.3)
(2)
E
2
(2)
Генки:
τ=
Соотношения
WH (E(0) )
1
, WH  E(0) : C E : E(0) . (2.4)
(0)
E
2
(2.3) и (2.4) обобщают закон Гука на случай больших
деформаций гиперупругой среды.
Для использования (2.1),(2.3),(2.4) в уравнениях гиперупругости требуется для
заданного закона движения x( X, t ) определить S (2) и C который связывает
скорости изменения тензоров E(2) и S (2) в соотношении
S(2) = C : E(2) .
8
Определение констант гиперупругого материала
Константы находят экспериментально. Рекомендуется проводить столько
испытаний на напряженно-деформированное состояние материала, сколько
ожидается при проведении численного анализа.
Определим константы Муни-Ривлина. Чем точнее требуется описать
зависимость напряжения от деформации, тем больше слагаемых для упругого
потенциала.
Напряжения Коши представим в виде:

ij
  p ij  2
W
W 1
Cij  2
Cij
I 1
I 2
Инварианты тензора деформации:
I1 = 12 + 22 + 32
I2 = 1222 + 1232 + 2232
I3 = 122232
Для одноосного растяжения главные степени деформации в направлении
перпендикулярном оси образца будут одинаковы. Учитывая уравнение
несжимаемости, получим:
2  3  11/2
Тогда инварианты деформаций запишутся как:
I
I
1
 12  211
2
 21  12
Значения главной степени деформации подставляем в уравнение
напряжения Коши:

11
 p2
W 2
W 2
1  2
1
I 1
I 2
(3.1)

22
 p2
W 1
W
1  2
1
I 1
I 2
(3.2)
9
Вычитая уравнение (3.2) из уравнения (3.1), получим главное истинное
напряжение для одноосного растяжения:

11
 W
W 
 2(12  11 ) 
 11

 I 2 
  I 1
(3.3)
Константы Муни-Ривлина могут быть определены путем минимизации
среднеквадратичного
отклонения
между
диаграммой
напряжения
и
деформации.
n
E 2   ( i   i (aij )) 2 ,
i 1

i
– экспериментальное значение напряжения,
 (a ) –
i
ij
значение напряжений
Коши.
Значение
переменных Муни-Ривлина в точке локального минимума
будут искомыми величинами, так как отклонение кривой напряжениедеформация от экспериментальной кривой будет минимальным.
 E 2 (C1 , C2 )
0

C1

 2
 E (C1 , C2 )  0

C2

(3.4)
Частные производные упругого потенциала по главным инвариантам
равны:
W
 C1
I 1
W
 C2
I 2
(3.5)
(3.6)
Переписав (3.3) с учетом (3.4) , (3.5) и (3.6), получим:
n
E 2   ( i  2(12  11 )[C1  11C2 ]) 2
i 1
Вычислив частные производные среднеквадратичного отклонения по
коэффициентам Муни-Ривлина в соответствии с (3.4), получим:
10
n
 E 2
2
1
2
1 2
1
2
1 2

 C  (4 i (1  1 )  8C1 (1  1 )  8C2 1 (1  1 ) )  0
 1 i 1
 2
(3.7)
n
 E  (4  1 ( 2   1 )  8C  1 ( 2   1 ) 2  8C  2 ( 2   1 ) 2 )  0
 i 1 1 1
1 1
1
1
2 1
1
1

 C2 i 1
Решая систему уравнений (3.7) относительно
С1 и С2 , приходим к
формулам:
i1 i (i2  i1 )
n
С10 
2 i 1 (   )
n
1 2
i
2
i
 i1 i i1 (i2  i1 )
n
2 i 1 i2 (i2  i1 )2
n
C01 
 C01
 i1 i1 (i2  i1 )2
n


n
i 1
i2 (i2  i1 )2
 i1 i1 (i2  i1 )2

n
i 1
i 1
n
1
i
i 1
n
1
  (   )
 (   )
n
i2 (i2  i1 )2
1 2
i
2
i
1 2
i
2
i
  (   )

2 (   )
n
i 1
n
i 1
1
i
2
i
i
2
i
1 2
i
  (   )

 (   )
1
2
i
i 1 i
n
2
i
i 1
n
1 2
i
1 2
i
Для вычисления по полученным формулам значений коэффициентов
необходимо располагать экспериментальными данными.
Для оценки правильности полученных значений и их пригодность для
теоретических
расчетов,
экспериментально
решают
найденные
поставленные эксперименты.
обратную
константы
как
задачу.
исходные,
Используя
моделируются
Если результаты теоретического решения
совпадут с допустимой точностью с экспериментальными значениями, то
коэффициенты будут считаться пригодными для использования.
Из этого всего следует, что каждая модель содержит коэффициенты,
которые находятся экспериментально. Наилучшей считается та модель, что
больше соответствует экспериментальным данным по амплитуде растяжения.
Многоосевые
испытания
получают
хорошее
специфической моделью и данными из эксперимента.
соответствие
между
11
Методы решения нелинейных задач
Предположим, что в k-ом состоянии известными являются:
u k  ui k ei
- вектор перемещений
(E k ) 
1
(u k )  (u k )T  (u k )T  (u k )   Eij k (ei e j )
2
- тензор деформаций
Будем считать, что под действием приращений внешних массовых и
поверхностных сил f0 , t 0 n перемещения и напряжения тоже получают
k
*k
приращения u k , ( S k ). При этом эти приращения считаются малыми
величинами, что позволяет пренебречь квадратами градиентов приращений
перемещений, т.е.
( I )  (u k )  ( I )
В качестве базового разрешающего уравнения используется уравнение
виртуальных работ для (k+1)-го состояния
 (S
V0
k
)  (S k ) ..(E k )dV0   ( f 0 k f 0 k )   udV0 
V0
 (t
0n
k
t0 n k )   udS0 ,
(4.1)
S0
где
(E k ) 


1
( u )  ( u )T  ( u )T  (u k )  ( u k )   (u k )T  ( u k )T   ( u )
2
Если ввести обозначения
12
( E k ) 
1
( u )  ( u )T  ( u )T  (u k )  (u k )T  ( u )  ,
2
(E k ) 
1
( u )T  (u k )  (u k )T  ( u )  ,
2
то после пренебрежениями квадратами градиентов приращений уравнение (4.1)
преобразуется к виду
 (S
k
)..(E k )  (S k )..( E k ) dV0 
V0
  f 0 k  udV0 
V0


*k
k
k
k
*k

t


udS

(
S
)..(

E
)
dV

f


udV

t


udS

0
0
0
0
 0n
 0
 0n
V0
S0
S0
V0

В правой части слагаемое в фигурной скобке является уравнением
виртуальных работ в текущем состоянии. Как показывают эксперименты, оно
хорошо влияет на точность решения.
Далее необходимо конкретизировать механические свойства материала и
определить физические соотношения, связывающие приращение тензора
напряжений (S k ) с тензором приращений перемещений, и линеаризовать их.
Достаточно просто эта проблема решается для случая конечных перемещений,
но малых деформаций и поворотов. В этом случае нет необходимости
различать тензоры () и ( S ) .
Решение нелинейных задач требует использование итерационных
методов и итераций в каждом приращении. Это нужно для того, чтобы
гарантировать после каждого приращения равновесие. При итерационных
решениях выполняется увеличиваем нагрузки ,пока не достигнем
определенного уровня. Должны быть выполнены равновесные итерации. При
использовании чисто итерационного метода могут накапливаться погрешности
от одного приращения к другому, что приведет к неправильному решению.
13
Построение в ANSYS
Рассмотрим модель гиперупругого материала при различных степенях
сжимаемости. Построим трехмерную конечно-элементарную модель с
помощью ANSYS с использованием конечного элемента solid185.
Дано кольцо внешний радиус, которого R1=20 мм, внутренний радиус
R2=15мм, толщина h=3мм. Рассмотрим модель Муни –Ривлина для
изотропного материала.
Рис.1. Гиперупругая модель
Рассматривалась только четверть кольца, так как имеется симметрия.
Задаем запрет перемещений у основания по оси Y и верхнего конца по оси X.
Отсутствие перемещений по оси Z соответствует плоской деформации.
Подвергаем модель последовательным наложением перемещений в направлении
оси Y.
Данная задача геометрически нелинейная. В ANSYS включаем большие
перемещения и выбираем модель Муни–Ривлина, которая
14
описывает несжимаемые и слабосжимаемые материалы. Этот материал
подходить для умеренных растяжений. Для данной задачи можно использовать
крупную сетку для простоты вычислений.
Рис.2.Начальное состояние
Возьмем модель Муни – Ривлина с двумя постоянными C10  0, 293 ,
C01  0,177 - имеют смысл модуля высокоэластичности, описывают зависимость
напряжения и деформации,   0,499 -почти несжимаемый, то есть объем не
меняется, d=0,0042. Где d-это параметр сжимаемости материала.
d
1  2
C10  C01
Для изотропных материалов 0    0,5 , то есть для материалов имеющих
одинаковые свойства во всех направлениях.
Рис.3. Деформированное состояние четверти кольца
15
Прикладываемое перемещение, деформировала элемент в сторону
растяжения кольца (рис.3.). Отметим, что задача является линейной в самом
начале деформирования. Далее начинает проявляться геометрическая
нелинейность.
Рис.4. Распределение поля напряжений
На рис.4. видно, что максимальные напряжения появляются у основания тела,
особенно на внутреннем изгибе.
16
Рис.5.Перемещения по x
Рис.6.Перемещения по Y
17
Рис.7. Суммарные перемещения
Максимальное перемещение на величину 11,956 мм совершает верхний
конец модели, при удалении от которого значения перемещений уменьшаются.
Построим эту же модель, при C10  0, 293 , C01  0,177 и   0,4225 , d=0,323.
При малейшем изменении  , имеем большую разницу в значениях d. При
увеличении C10 или C01 увеличивается жесткость материала. Это значит, что
материал увеличивает свою способность сопротивляться деформациям,
пытаясь сохранить свою геометрическую форму при внешних воздействиях.
Зависит от таких параметров как модуль упругости и модуль сдвига.
18
Рис.8. Перемещение по x
Рис.9. Перемещение по y
19
Рис.10. Суммарные перемещения
Рис.11. Распределение поля напряжений
20
Заключение
В
работе
показано
исследование
поведения
гиперупругих
тел.
Физические соотношения задаются с помощью функции упругого потенциала.
В
качестве
примера
параметрами
учитывает
рассмотрен
сжимаемости.
основные
материал
Созданная
особенности
Муни-Ривлина
трехмерная
модели,
с
нелинейная
гиперупругие
разными
модель
несжимаемые
свойства. Значения коэффициентов Муни-Ривлина были взяты из задач других
авторов.
Задача
решалась
шаговым
методом
с
учетом
геометрической
нелинейности, после каждого шага определяли положение координат узлов в
пространстве. На каждом шаге переходили к новой расчетной схеме. На каждой
ступени прикладывалось вертикальное перемещение.
21