МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по изучению дисциплины и

Кафедра автомобильного транспорта
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по изучению дисциплины и выполнению контрольной
работы
по дисциплине
«ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ»
для студентов заочного обучения
Направление подготовки
190600 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и
комплексов»
Хаты-Мансийск,
2014 г.
Методические указания
по проведению практических занятий по дисциплине «Основы теории
надежности»
I. Общие положения
Целью изучения дисциплины «Основы теории надежности» является:
обеспечение подготовки студентов по основам эксплуатационной
надежности машин, включающим знания методов по использованию
основ теории надежности применительно к решению задач
техничкской эксплуатации автомобилей на всех этапах ихжизненного
цикла: проектирование, производство, контроль, хранение и
эксплуатация.
К основным задачам относятся:
-выработка знаний, умений и навыков по сбору и обработке
информации о надежности автомобилей в эксплуатации;
-освоение современных методов оценки и анализа полученной
информации при эксплуатации автомобилей;
- получение практических навыков по расчету характеристик
надежности изделий.
В результате освоения дисциплины студент должен знать:
 основные определения структуры и содержания понятий надежности;
 способы сбора и обработки информации о надежности автомобилей
в эксплуатации, методы оценки полученных результатов и их
систематизации;
 закономерности изменения технического состояния изделий и
возникновения отказов, а также факторов, влияющих на надежность
и физические процессы отказов изделий;
 методы управления качеством продукции с использованием
международных стандартов ИСО 9000.
Студент должен уметь:
 выполнять сбор и обработку информации о надежности автомобилей;
 получать необходимую информацию для расчета показателей
надежности основных систем и узлов автомобилей.
II. Содержание контрольной работы
Цель работы: приобретение практических навыков по выполнению
расчетов показателей надежности нерезервированных невосстанавливаемых
систем.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………
1. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕРЕЗЕРВИРОВАННЫХ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ……………………………….
1.1. Методы расчета показателей надежности …………………………….
1.2. Определение показателей надежности…………………………………
2. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ……………………………….
2.1. Методы расчета показателей надежности…………………………….
2.1.1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом………
2.1.2. Общее резервирование замещением…………………………………
2.1.3. Раздельное резервирование………………………………………….
2.1.4. Резервирование с дробной кратностью…………………………….
2.1.5. Скользящее резервирование…………………………………………
2.2. Определение показателей надежности………………………………..
2.2.1. Определение кратности резервирования……………………………
2.2.2. Сравнение систем с одинаковыми кратностями резервирования..
ВЫВОДЫ………………………………………………………………….
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………..
1.РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕРЕЗЕРВИРОВАННЫХ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
1.1. Методы расчета показателей надежности
Критериями надёжности невосстанавливаемых систем являются:
• Рс (t )  вероятность безотказной работы систем в течение времени t;
• Т с  среднее время безотказной работы системы;
• с (t )  интенсивность отказа в момент времени t;
• f c (t )  плотность распределения времени до отказа.
Между этими показателями существуют след зависимости:
1
Рс (t )  e

 c ( t ) dt
0
,

Т1с   Рс (t )dt ,
0
с (t ) 
f c (t )
,
Pc (t )
f c (t )  Qc ′(t)=  Рс ′(t),
t
Pc (t )  1   f c (t )dt.
0
Замечание
Следует иметь в виду, что среднее время безотказной работы
является неудовлетворительным показателем надёжности систем с
коротким временем работы.
Структурная схема нерезервированной системы, состоящей из n
элементов, приведена на рис. 1.1.
.
1
2
n
Рис. 1.1. структурная схема нерезервированной системы
При отказе любого элемента наступает отказ системы. При этом
остальные элементы этой системы прекращают свою работу.
Показатели надежности такой системы вычисляются по формулам:
n
Рс (t )   Pj (t ),
j 1

Т 1с   Рс (t )dt ,
0
n
с (t )    j (t ),
j 1
f c (t )  f1 (t ) P2 (t )...Pn (t )  P1 (t ) f 2 (t )...Pn (t )  ...  P1 (t ) P2 (t )... f n (t ),
где:
• Pj (t )  вероятность безотказной работы j – го элемента,j=1,2,…,n;
• f j (t )  плотность распределения времени до отказа j – го элемента,
j=1,2,…,n;
•  j (t )  интенсивность отказа j – го элемента, j=1,2,…,n.
Для случая постоянных интенсивностей отказов элементов имеют место
соотношения:
Рс (t )  e  c (t ) ,
n
с    j ,
j 1
Т1с 
1
с
,
f c (t )  c e  c t .
1.2. Определение показателей надежности
Пример выполнения первой части контрольной
работы
Нерезервированная система состоит из 5 элементов, имеющих различные
законы распределения времени работы до отказа. Виды законов
распределения и их параметры приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3. Законы распределения времени до отказа
Номер элемента
1
2
W(2;1800)
Г(7;300)
3
4
Закон
распределения
R( 8 10 8 )
Exp(0.0002)
времени до отказа
В табл. 1.3 и в дальнейшем приняты следующие обозначения законов
распределения:
• W – Вейбулла;
• Г – гамма;
• R – Рэлея;
• Exp – экспоненциальный.
В скобках указаны параметры распределений.
Определить показатели надёжности: вероятность безотказной работы
элементов, вероятность безотказной работы системы, плотность
распределения времени безотказной работы элементтов. Полученные
значения представить в виде таблиц и графиков (временной диапазон взятьот
0 до 5000 часов с интервалом 250 часов).
Решение. В табл. заданы параметры законов распределения времени
до отказа. Вычислим начальные моменты распределений: математические
ожидания и средние квадратические отклонения. Для этого воспользуемся
формулами связи моментов с параметрами распределений, кот приведены в
табл. 1.4.
Таблица 1.4. Связь параметров распределений с первыми двумя
моментами
Распределение
m

Экспоненциальное
1
1




Exp( )
Гамма Г ( ,  )

4
Рэлея R( )
Вейбулла W ( ,  )
(1 
4 
4
1

)


 Г 1 
2
1
2
  Г 1  

 
В таблице введено следующее обозначение:

• Г ( )   x  1e  x dx  гамма функция.
0
Простым способом вычисления значений этих функций является
обращение к системе Microsoft Excel.
Определим математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение времени до отказа элементов.
• Элемент 1. Распределение Вейбулла с параметром формы α=2 и
параметром масштаба β=1800:
m  1800  Г (1,5)  1595час,
  1800  Г (2)  Г 2 (1,5)  834час.
• Элемент 2. Гамма – распределение с параметром формы α=7 и
параметром масштаба   300 :
  7  300  794час.
m  7  300  2100час,
• Элемент 3. Распределение Рэлея с параметром   8 10 8 :
m

4  8 10
8

 3133час,
4 
 1638час.
4  8 108
• Элемент 4. Экспоненциальное распределение с параметром   0,0002 :
m
1
 5000час,
0,0002
  m  5000час
Полученные значения сведены в таблице 1.5.
Таблица 1.5. Параметры законов распределения времени до отказа
элементов.
Номер элемента
Среднее время безотказной
работы, час
1
2
3
4
1595
2100
3133
5000
834
794
1638
5000
Среднее квадратичное
отклонение времени
безотказной работы, час
Для вычисления вероятности безотказной работы и плотности
распределения времени до отказа элементов нам потребуется аналитические
выражения, которые приведены в табл.1.6.
В гамма – распределении функция I ( , t ) 
t
1
x  1e  x dx есть неполная

Г ( ) 0
гамма – функция.
Таблица 1.6. некоторые законы распределения вероятностей
Распределение
f (t )
Экспоненциальное
 e  t
Р (t )
Exp( )
Гамма Г ( ,  )

t  1


е

 Г ( )
 t 
1  I   , 
 
Рэлея R( )
2te  t
e  t
t
Вейбулла W ( ,  )
2

 t 
t  1   
e

e
2
 t
 





Нормальное распределение имеет ограничение на параметры для того,
чтобы их можно было использовать для решения задач надёжности в
отрицательной временной области (t≥0).
Вычислим вероятность безотказной работы элементов.
• Элемент 1. Распределение Вейбулла:
Р1 (t )  e
 t






e
 t 


 1800 
2
• Элемент 2. Гамма – распределение:


x  1
t 
 t

Р2 (t )   
 e  dx  1  I   ,   1  I  7,
.
 b
 300 
t  Г ( )
x
• Элемент 3. Распределение Рэлея:
Р3 (t )  e  t  e 810
2
8 2
t
.
• Элемент 4. Экспоненциальное распределение:
Р4 (t )  e  t  e 0,0002t .
Табулируя эти функции от 0 до 5000 часов с шагом 250 часов, получим
табл. 1.7.
В последнюю колонку записаны значения вероятностей безотказной
работы
системы, которые определяются произведением вероятностей безотказной
работы элементов:
Рс (t )  Р1 (t ) P2 (t ) P3 (t ) P4 (t ).
На рис. 1.4 показаны графики функций Рi (t ), i=1, 2, 3, 4, соответствующих
вероятностям безотказной работы элементов. Номера графиков
соответствуют номерам элементов. На рис. 1.5. изображён график
вероятности безотказной работы системы Рс (t ).
Из графиков видно различное поведение вероятностей безотказной
работы элементов. Скорость убывания вероятностей зависит от вида и
параметров закона распределения. В нашем случае медленнее всего убывает
Р (t ) для экспоненциального распределения и распределения Рэлея, т.е. при
большом времени работы наиболее надёжным оказываются третий и
четвёртый элементы системы.
• Элемент 1. Распределение Вейбулла:

 t 


2


t  1  
2t
f1 (t )   e    
e  1800  .
2

1800
t
• Элемент 2. Гамма – распределение:


t  1
t6
f 2 (t )  
e  
e 300 .
7
 Г ( )
300 Г (7)
t
t
• Элемент 3. Распределение Рэлея:
8 2
f 3 (t )  2te t  2  8  10 8 te 810
2
t
.
• Элемент 4. Экспоненциальное распределение:
f 4 (t )  e t  0,0002e 0,0002t .
Табулируя плотности распределения от 0 до 5000 часов с шагом 250
часов, получим табл.