Задание 6. Решение логических задач I. Решение логических задач Задания для самостоятельного решения (решить нужно 2 способами) Задача 2. На ледяном поле 5 хоккеистов: Ольховский, Малышев, Белов, Таманин, Лавров - штурмовали ворота. Раздался свисток судьи. «Удаляет двух», - подумали спортсмены. «Без Малышева или Ольховского я не останусь на поле», - сказал Таманин. «Я тоже, «- сказал Лавров. «Удаляют либо меня с Беловым, либо Таманина с Лавровым», сказал Малышев. Когда судья объявил о своем решении все оказались правы и кроме того Ольховский и Белов не остались вместе на поле. Кто остался на поле? Решение: О – Ольховский, М – Малышев, Б – Белов, Т – Таманин, Л – Лавров Введем буквенные обозначения всех высказываний, задающих условие задачи: «Без Малышева или Ольховского я не останусь на поле», – сказал Таманин. То есть Таманин останется на поле только при условии, если на поле останутся или Малышев, или Ольховский (а в противном случае обидится и покинет игру совсем). Т∙О+Т∙М=1 «Я тоже,» – сказал Лавров. Лавров, так же стесняется оставаться на поле без Малышева или Ольховского Л∙О+Л∙М=1 «Удаляют либо меня с Беловым, либо Таманина с Лавровым», – сказал Малышев. Делаем вывод из этого высказывания: на поле НЕ останутся либо Малышев с Беловым, либо Таманин с Лавровым МБ + ТЛ =1. Для удобства внесем инверсию в конъюнкцию. МБ + ТЛ = М + Б + Т + Л =1 Когда судья объявил о своем решении, все оказались правы. То есть все высказывания истинны. Значит и конъюнкция этих высказываний будет истина. (ТО ТМ )( ЛО ЛМ )( М Б Т Л ) 1 . Раскроем скобки (ТОЛО ТОЛМ ТМЛО ТМЛМ )( М Б Т Л ) 1 (ТОЛ ТОЛМ ТМЛ )( М Б Т Л ) 1 (ТОЛ М ТОЛ Б ТОЛ Т ТОЛ Л ТОЛМ М ТОЛМ Б ТОЛМ Т ТОЛМ Л ТМЛ М ТМЛ Б ТМЛ Т ТМЛ Л ) 1 Конъюнкция высказывания и его отрицания равна 0, значит (ТОЛ М ТОЛ Б 0 0 0 ТОЛМ Б 0 0 0 ТМЛ Б 0 0) 1 (ТОЛ М ТОЛ Б ТОЛМ Б ТМЛ Б ) 1 Вынесем за скобку ТЛ «Удаляют либо меня с Беловым, либо Таманина с Лавровым», – сказал Малышев. ТЛ (О М О Б ОМ Б М Б ) 1 Конъюнкция истина когда истины оба выражения, следовательно Таманин с Лавровым остались на поле, значит удалили Малышева с Беловым. Ответ: удалили Малышева с Беловым. Задача 3. Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые возможности трех лучших лошадей с кличками «Абрек», «Ветер», «Стрелок». - Победит или «Абрек», или «Стрелок», - сказал один болельщик. - Если «Абрек» будет вторым, то победу принесет «Ветер», - сказал другой болельщик. - Много вы понимаете в лошадях, - возмутился третий болельщик. - Вторым придет или 'Ветер», или «Абрек». - А я вам скажу, - вмешался четвертый болельщик, - что если «Абрек» придет третьим, то «Стрелок» не победит. После забега выяснилось, что три лошади - «Абрек», «Ветер» и «Стрелок» - заняли три первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре предсказания болельщиков были правильны. Как кончился забег? Решение: Обозначим буквой кличку скакуна, а числом место занятое им и введем буквенные обозначения всех высказываний: Победит или «Абрек», или «Стрелок» ( А1 С1 ) 1 Если «Абрек» будет вторым, то победу принесет «Ветер» ( А2 В1 ) 1 Вторым придет или «Ветер», или «Абрек» ( В2 А2 ) 1 Если «Абрек» придет третьим, то «Стрелок» не победит. ( А3 С1 ) 1 Выразим следование через инверсию дизъюнкцию. ( А2 В1 ) А2 В1 1 ( А3 С1 ) А3 С1 1 После забега выяснилось, что три лошади - «Абрек», «Ветер» и «Стрелок» - заняли три первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре предсказания болельщиков были правильны. То есть все высказывания истинны. Значит и конъюнкция этих высказываний будет истина. ( А1 С1 )( А2 В1 )( В2 А2 )( А3 С1 ) 1 . Раскроем скобки ( А1 А2 А1 В1 С1 А2 С1 В1 )( В2 А2 )( А3 С1 ) 1. На одном и том же месте не могут оказаться два скакуна ,значит эта конъюнкция равна 0. ( А1 А2 0 С1 А2 0)( В2 А2 )( А3 С1 ) 1 . ( А1 А2 С1 А2 )( В2 А2 )( А3 С1 ) 1. Раскрываем скобки дальше ( А1 А2 В2 А1 А2 А2 С1 А2 В2 С1 А2 А2 )( А3 С1 ) 1. Один и тот же скакун не может оказаться и на первом и на втором месте, так же конъюнкция высказывания и его отрицания равна нулю. ( А1 А2 В2 0 С1 А2 В2 0)( А3 С1 ) 1 ( А1 А2 В2 С1 А2 В2 )( А3 С1 ) 1 . Продолжаем раскрывать скобки. ( А1 А2 В2 А3 А1 А2 В2 С1 С1 А2 В2 А3 С1 А2 В2 С1 ) 1 ( А1 А2 В2 А3 А1 А2 В2 С1 С1 А2 В2 А3 0) 1 ( А1 А2 В2 А3 А1 А2 В2 С1 С1 А2 В2 А3 ) 1 Итак: ( А1 А2 В2 А3 ) означает, что Абрек на I месте (не на втором и не на третьем), а Ветер на II. ( А1 А2 В2 С1 ) означает, что Абрек на I месте (не на втором), Ветер на II, а Стрелок не на первом. (С1 А2 В2 А3 ) означает, что Стрелок на I месте, Абрек не на втором и не на третьем (значит на первом), ветер на II. Одновременно и Стрелок и Абрек не могут быть на первом месте, значит эта конъюнкция равна нулю. Ответ: Абрек на I, Ветер на II, а Стрелок на III месте. Задача 4. Нужно для 4 дежурных - Антипова, Климова, Маркова и Лебедева составить график дежурств на агитпункте с соблюдением следующих условий: 1. Если Лебедев не будет дежурить в понедельник, то в Понедельник согласен дежурить Климов. 2. Ecли Климов не сможет дежурить ни в понедельник, ни в четверг, то Антипов будет дежурить в понедельник. 3. Если Марков не сможет дежурить в четверг, то Климов будет дежурить в среду. 4. Если Лебедев придет дежурить во вторник, то Климов не будет дежурить в понедельник. 5. Если Антипов не сможет дежурить в понедельник, то Марков не сможет дежурить во вторник. Каким должен быть график дежурств? Решение. Введем обозначения: L- Лебедев, K - Климов, A - Антипов, M - Марков. Цифры означают 1 - Понедельник,2 - Вторник,3 - Среда, 4 -Четверг. Согласно условиям задачи составим систему логических уравнений: То обстоятельство, что один и тот же человек не может дежурить дважды и в один день не могут дежурить два человека зададим формулами: L2 * L1= 0 (6) К1* L1= 0 (7) К1* А1= 0 (8) К4* M4= 0 (9) L1*А1= 0 (10) Для решения системы уравнений умножим сначала уравнение (1) на уравнение (2): Ответ. Из полученного выражения следует, что Климов дежурит в понедельник, Антипов - во Вторник, Лебедев - в среду, Марков - в Четверг. Задача 5. Обсуждая вопрос о включении в состав сборной команды пяти молодых игроков: Асеева, Валеева, Сватеева, Деева и Евтеева. Выбор обусловлен следующими условиями: 1. В команду необходимо включить не менее чем одного из трех игроков: Асеева, Валеева, Евтеева, но не более чем одного из трех игроков: Асеева, Сватеева, Деева. 2. Сватеева можно включить в сборную без Валеева тогда и только тогда, когда Асеев будет включен, а Деев не будет включен. 3. Если Валеев будет включен в сборную, а Сватеев не будет включен, то сборную нужно пополнять и Деевым, и Евтеевым. 4. Если Асеев не будет включен в команду, то нужно в нее включить и Сватеева, и Евтеева. Кого из игроков можно включить в сборную команду? Решение. Введем буквенные обозначения: A-Асеев, E-Евтеев, B-Валеев, D-Деев, CСватеев. Условия выбора игроков для сборной команды заданы в задаче высказываниями 1,2,3,4. По этим высказываниям выпишем формулы: Для решения системы логических уравнений сначала умножим уравнение (2) на уравнение (3): Умножим полученное выражение (6) на уравнение (4), получим: Умножим полученное выражение (7) на уравнение (1), получим: В уравнении (8) перемножим сначала выражение, заключенное в первые скобки, на выражение, заключенное в третьи скобки, получим: Перемножим полученное выражение (9) на выражение, заключенное в вторые скобки, уравнения (8), получим: Ответ. В команду включены: Валеев, Сватеев, Евтеев.