поттс бете (тезисы)

МОДЕЛЬ ПОТТСА НА РЕШЕТКЕ БЕТЕ С
ПСЕВДОХАОТИЧЕСКИ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
НЕМАГНИТНЫМИ ПРИМЕСЯМИ
К.ф.-м.н., С.В. Сёмкин, ВГУЭС, г. Владивосток,
Д.ф.-м.н., В.П. Смагин, ВГУЭС, г. Владивосток
Модель Поттса [1] формулируется следующим образом. Рассмотрим
некоторую регулярную решетку. Каждому узлу поставим в соответствие
величину 𝜎𝑖 («спин») которая может принимать 𝑛 различных значений,
скажем 1,2, … 𝑛. Два соседних спина 𝜎𝑖 и 𝜎𝑗 взаимодействуют с энергией
– 𝐽𝑝 𝛿(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ) где
1, 𝜎𝑖 = 𝜎𝑗
𝛿(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ) = {
0, 𝜎𝑖 ≠ 𝜎𝑗
Пусть есть внешнее поле 𝐻, которое действует на состояние 1. Тогда полная энергия равна
𝐸 = −𝐽𝑝 ∑(𝑖,𝑗) 𝛿(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ) − 𝐻 ∑𝑖 𝛿(𝜎𝑖 , 1),
Допустим, что в некоторых узлах решетки вместо спинов могут быть немагнитные атомы («примеси»). Пусть 𝑏 доля спинов и, соответственно, 1 −
𝑏 – доля примесей в решетке.
Можно рассматривать два типа примесей – «вмороженные» неподвижные примеси случайно и без корреляции разбросанные по узлам решетки и «подвижные» примеси – способные перемещаться по узлам и
находящиеся в термодинамическом равновесии с матрицей. Наибольший
интерес представляет модель с вмороженными примесями, поскольку подавляющее большинство магнетиков с примесями относится именно к
этому типу. Однако точное решение задачи с вмороженными примесями
оказывается невозможным даже для простых решеток. Но оказывается, как
будет показано ниже, можно получить точное решение задачи с подвижными примесями на решетке Бете. Это решение, интересное, возможно, и
само по себе, позволяет подойти и к анализу поведения системы с вмороженными примесями. Для подвижных примесей можно рассчитать корреляцию (ковариацию) в расположении примесей для соседних узлов решетки 𝑔12 . Накладывая условие равенства нулю этой корреляции получим
распределение примесей, которое мы назвали «псевдохаотическим». И хотя такое распределение примесей по узлам решетки не является совершенно случайным, перколяционный порог, например, при псевдохаотическом
распределении на решетке Бете совпадает с порогом для вмороженных
примесей. Мы полагаем, что поведение системы с псевдохаотическими
подвижными примесями является хорошим приближением для магнетика с
вмороженными примесями.
Итак, рассмотрим модель Поттса с подвижными примесями. Пусть
переменные 𝜎𝑖 могут, кроме значений 1,2, … 𝑛, принимать значения 0 когда
в узле находится немагнитная примесь. Допустим, что силы взаимодействия действуют только между соседними атомами. Тогда вклад в энергию
системы от двух соседних узлов можно представить в следующем виде
𝐸𝑖𝑗 = −𝐽𝑝 𝛿(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ) − (𝑈11 − 𝐽𝑝 )𝛿(0, 𝜎𝑗 )𝛿(𝜎𝑖 , 0) −
−𝑈12 {𝛿(𝜎𝑖 , 0)(1 − 𝛿(0, 𝜎𝑗 )) + 𝛿(0, 𝜎𝑗 )(1 − 𝛿(𝜎𝑖 , 0))} − 𝑈22 (1 − 𝛿(0, 𝜎𝑗 ))(1
− 𝛿(𝜎𝑖 , 0))
Здесь 𝑈11 - энергия взаимодействия двух соседних атомов примеси, 𝑈12 энергия взаимодействия атома примеси и магнитного атома и 𝑈22 - энергия
взаимодействия двух магнитных атомов.
Большая статистическая сумма системы имеет следующий вид:
𝑍 = ∑ exp{𝐾 ∑(𝑖,𝑗) 𝜑(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ) + ℎ ∑𝑖 𝛿(𝜎𝑖 , 1) + 𝑥 ∑𝑖 𝛿(𝜎𝑖 , 0)}
где 𝐾 =
𝐽𝑝
𝑘𝑇
,ℎ=
𝐻
𝑘𝑇
,𝑥=
𝜇
𝑘𝑇
(1)
(𝜇 - химический потенциал).
𝜑(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ) = 𝛿(𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ) + (𝛾 − 1)𝛿(0, 𝜎𝑗 )𝛿(𝜎𝑖 , 0),
𝑈
𝛾 = , 𝑈 = 𝑈11 − 2𝑈12 + 𝑈22 .
𝐽𝑝
Решетку Бете построим следующим образом. Рассмотрим два соседних узла со значениями спиновых переменных 𝜎1 и 𝜎2 . Присоединим к
каждому узлу 𝑞 − 1 внешних соседей (узлы первой оболочки). К каждому
узлу первой оболочки снова присоединим 𝑞 − 1 узлов второй оболочки и
продолжим этот процесс 𝑁 раз. В результате получим так называемое дерево Кейли; решетка Бете – это внутренняя (далекая от граничных узлов)
часть дерева Кейли при 𝑁 → ∞. Для вычисления статистической суммы (1)
на решетке Бете воспользуемся приемом, аналогичным использованному в
[1] для модели Изинга. В соответствии со сказанным выше, возьмем такую
величину 𝛾, чтобы 𝑔12 обратилось бы в ноль. Соответствующую величину
𝛾 будем обозначать 𝛾0 . Тогда получим [2]
𝑝1 = 𝑏 2
где
e𝐾+2ℎ +𝑡eℎ +(𝑛−1)eℎ 𝑦 𝑞−1
e𝐾+2ℎ+(𝑛−1)𝑦 𝑞−1 (2eℎ +𝑦 𝑞−1 (e𝐾 +𝑛−2))
,
(2)
𝑡=
1−𝑏 e𝐾+2ℎ +(𝑛−1)𝑦 𝑞−1 (2eℎ +𝑦 𝑞−1 (e𝐾 +𝑛−2))
𝑏
eℎ +(𝑛−1)𝑦 𝑞−1
и 𝑦=
𝑡+eℎ +(e𝐾 +(𝑛−2))𝑦 𝑞−1
𝑡+e𝐾+ℎ +(𝑛−1)𝑦 𝑞−1
Формула (2) представляет собой решение задачи о нахождении величин, характеризующих состояние поттсовского магнетика в зависимости
от температуры, внешнего поля и концентрации атомов примеси в случае
псевдохаотического распределения последних. Кроме того, эта формула
𝐽𝑝
позволяет найти температуру фазового перехода 𝐾𝑐 (𝑏) =
в зависимо𝑘𝑇𝑐 (𝑏)
сти от концентрации магнитных атомов.
Анализ выраженя (2) показывает, что при 𝐾 < 𝐾𝑐 (𝑏) и ℎ = 0 единственным устойчивым решением (2) 𝑝1 = 𝑏/𝑛. При 𝐾 = 𝐾𝑐 (𝑏) происходит
(при 𝑛 > 2) скачкообразное увеличение вероятности 𝑝1 (фазовый переход
1-го рода). Найдем из выражения (2) температуру фазового перехода. При
𝐾 = 𝐾𝑐 производная по 𝑦 правой части (2) должна быть равна 1 при 𝑦 = 1
(если эта производная больше 1, решение 𝑦 = 1 становится неустойчивым). Взяв производную, получим
𝐾𝑐 (𝑏) = ln
𝑛−1+(𝑞−1)𝑏
(𝑞−1)𝑏−1
.
(3)
При 𝑏 = 1, то есть для модели Поттса без примесей, (3) совпадает с критической температурой модели Поттса на решетке Бете, приведенной в [3].
При 𝑛 = 2 (в этом случае модель Поттса эквивалентна модели Изинга) из
(17) получается тот же результат, который приведен в [4].
Литература
1. Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Мир,
Москва (1985), 486 с..
2. С.В. Сёмкин, В.П. Смагин, ЖЭТФ, 148(9) (2015)
3. F.Y. Wu, Rev. Mod. Phys., T.54(1), 235 (1982)
4. С.В. Сёмкин, В.П. Смагин, ФТТ, т. 56(6), 1064 (2014)