Роль наглядных представлений при изучении первых разделов планиметрии.

Роль наглядных представлений при изучении первых разделов
планиметрии.
Как известно, сущность дедуктивного метода изложения геометрии заключается в том, что из
некоторых первоначальных понятий и свойств с помощью определений и доказательств
выводится содержание геометрии. Такая логическая система связей между понятиями и
математическими предложениями представляет собой высокую степень абстракции, поэтому в
чистом виде дедуктивный метод для учащихся средней школы не приемлем. Вместе с тем
справедливость многих положений геометрии можно не только доказать, но и «непосредственно
увидеть» при рассмотрении чертежей и моделей. Непосредственные аналоги многих фигур
находятся в окружающей нас обстановке и могут быть практически использованы для
формирования чётких наглядных представлений об изучаемых объектах и отношениях между
ними. Поэтому в школьном курсе, логические рассуждения следует разумно сбалансировать с
наглядными представлениями учащихся.
В преподавании школьного курса геометрии нельзя не учитывать целый ряд психологических
факторов, которые обычно называют возрастными особенностями учащихся. Необходимость
считаться с этими особенностями даёт учителю право сделать некоторые упрощения в изложении
геометрии, не нарушая логики. Часть геометрических положений учитель может не доказывать,
ввиду их наглядной очевидности. Некоторые понятия он может вводить на интуитивном уровне с
опорой на личный опыт учащихся. Наглядный подход позволяет рассматривать аксиомы как
хорошо знакомые учащимся свойства фигур, видимые из рисунка. В некоторых случаях при
доказательстве теорем учитель может допустить ссылки на чертёж как наглядный образ.
В аксиоматике, принятой в учебниках основными объектами являются точки и прямые. Основные
отношения следующие: «лежать на» (или «проходить через») для точки и прямой, «лежать
между» для трёх точек на прямой. Основные понятия и свойства выбраны с таким расчетом,
чтобы в дальнейшем развитии теории новые формулировки и доказательства были по
возможности проще и соответствовали возрастным особенностям учащихся.
Аксиомы или свойства, которым удовлетворяют основные понятия, можно разбить на пять групп:
I группа –аксиомы принадлежности, II-аксиомы порядка, III-аксиомы измерения, IV- аксиома
откладывания, V-параллельности. По существу все эти свойства необходимы для строгого
обоснования курса планиметрии. Пользуясь свойствами I и II группы, вводятся простейшие фигуры
планиметрии: отрезок, луч, угол, треугольник. При этом ряд утверждений об отрезках и углах
принимаются на интуитивном уровне. В самом деле, учащимся кажется совершенно очевидным,
что каждая точка отрезка разбивает его на два отрезка, а каждый внутренний луч угла разбивает
его на два угла. Для отработки таких понятий, как отрезок, луч, угол, в учебниках имеются
практические задания и упражнения.
Дедуктивное построение школьного курса геометрии существенно отличается от дедуктивного
построения научного курса геометрии, хотя в том и другом случае аксиоматическая основа
подбирается с таким расчётом, чтобы получилась стройная математическая теория. При научном
обосновании геометрии выбор предложений в качестве аксиом является в какой-то степени
условным и несущественным. Действительно, одно и то - же предложение в одной системе может
быть аксиомой, в другой - теоремой. Иначе обстоит дело со школьным курсом геометрии. Прежде
всего, в качестве аксиом следует принять такие предложения, которые являются очевидными для
восприятия учащихся соответствующего возраста. Кроме того, аксиомы подобраны с таким
расчетом, чтобы в дальнейшем изложении теории можно было сочетать логическую строгость с
доступностью, оптимально используя наглядные представления учащихся.
В школьном курсе геометрии практически невозможно полностью выполнить требование, чтобы
каждое геометрическое утверждение было доказано. Простейшие геометрические факты
представляются учащимся непосредственно очевидными, и доказательство их в начале курса
вызовет не только недоумение, но и отобьёт желание изучать геометрию дальше. Многим
учителям математики хорошо известно, как трудно убедить семиклассника доказывать тот факт,
который ему кажется очевидным, а длинные и громоздкие доказательства – непонятными и
искусственными. Поэтому целый ряд утверждений, особенно те, которые интуитивно не
вызывают сомнений и наглядно очевидны, принимаются без доказательства.
Выбор системы аксиом, положенной в основу школьного курса геометрии, в какой-то степени
предопределяет введение определяемых понятий. Здесь очень важно, чтобы понятия, вводимые
по определению, были приемлемы для естественного восприятия учащихся и соответствовали их
наглядным представлениям. Например, объяснять какой угол является меньшим по отношению к
другому можно двояко:
1. «Если от данной полупрямой в одну сторону отложить два угла, то меньшим будет считаться тот
угол, который является частью другого».
2. «Из двух углов меньшим является тот, который имеет меньшую градусную меру».
Какой же из этих путей лучше воспринимается учащимися? На мой взгляд, второй путь для
школьников более приемлем, как для логического обоснования понятий «больше - меньше», так
и для усвоения материала. Известно, что основные свойства простейших геометрических фигур
школьного курса геометрии являются отражением свойств реальных объектов и отношений
между ними. Одновременно они представляют собой обобщение свойств геометрических фигур.
Например, утверждение о том, что через две точки можно провести единственную прямую,
выражает определённое свойство реальных предметов, характеризуя в тоже время прямую, как
реальный объект.
Поэтому при изучении первых разделов планиметрии преподавание предмета необходимо
строить таким образом, чтобы исходные утверждения геометрии выступали не столько как основа
строго логического построения курса, сколько как свойства реального пространства, которые
устанавливаются опытным путём. Например, при изложении первых глав на основании опыта и
непосредственного созерцания формулируется утверждение о существовании и единственности
прямой, проходящей через две данные точки, которое известно учащимся из курса начальной
школы. При этом полезно вначале опытным путём, на основании построений выяснить, сколько
прямых можно провести через одну данную точку, потом - через две.
С педагогической точки зрения представления о свойствах простейших геометрических фигур,
возникающих на основе практического опыта, существенно проще. Учащиеся воспринимают их
легче, чем геометрические утверждения, высказанные без опоры на наглядные образы.
Индуктивный метод можно считать исходной опорой и средством для получения более
убедительный логических выводов. Убедительность логических выводов следует сочетать с
эмоциональным воздействием. Чувственные впечатления часто оказываются более сильными в
эмоциональном плане, чем услышанное объяснение учителя.
Итак, с одной стороны, совершенно ясно, что при решении вопроса о дозировке наглядного в
преподавании геометрии нельзя игнорировать психологические факторы. Пренебрежение ими
лишает педагогов возможности правильно проанализировать процесс восприятия и
воздействовать на него. С другой стороны, чрезмерное увлечение экспериментальными
наглядными методами может привести к поверхностным знаниям и не способствовать развитию
потребности в логическом обосновании свойств геометрических фигур. Поэтому в этом вопросе,
как и везде нужно иметь чувство меры.