Контрольные задания и список литературы по дисциплине «Специальные математические методы и функции» Тема № 1 1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома 𝑝(3), где 𝑝(𝑥) = 3𝑥 3 + 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1: – при непосредственном вычислении; – при помощи схемы (алгоритма) Горнера. 2. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома 𝑝(3), где 𝑝(𝑥) = 2𝑥 4 + 5𝑥 3 + 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1: – при непосредственном вычислении; – при помощи схемы (алгоритма) Горнера. Тема № 2. 1. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева 𝑇𝑘 (𝑛) = 2 √ cos 𝑁 (2𝑛+1)𝑘𝜋 2𝑁 , для 𝑁 = 4, 𝑘 = 1, 𝑛 = 0, … , 𝑁 − 1. 2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева 𝑇𝑘 (𝑛) = 2 (2𝑛+1)𝑘𝜋 𝑁 2𝑁 √ cos , для 𝑁 = 8, 𝑘 = 2, 𝑛 = 0, … , 𝑁 − 1. Тема № 3. 2 3 1 2 0 1.а. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = [ ], 𝐵 = [ ]. 4 0 5 ‒1 0 2 1.б. Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴⊗𝐵, если 𝐴 = [ 4 1 2 0 [ ]. 5 ‒1 0 1.в. Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆. 1 1 0 1 0 1 U = [1 1 0 ] ∨ [0 1 1 ] = 1 0 0 1 1 0 1.г. Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆. 1 1 0 1 0 1 𝐼 = [1 1 0] ∧ [0 1 1] = 1 0 0 1 1 0 1.д. Вычислить булево произведение матриц R ⨀ S. 1 1 0 0 1 1 0 [ ] ⨀ [0 0 1 0 ] = 0 0 1 1 1 0 0 3 ], 𝐵 = 0 Тема № 4. 1. Показать, что группа 𝐺 = < {0,1, 2, 3, 4, 5}; +; 0> содержит подгруппы порядков: 1, 2, 3 и 6. 2. Задана мультипликативная группа < {1, ‒ 1, 𝑗, ‒ 𝑗}; •; 1>. Каков порядок 𝑗? Каков порядок ‒1? Какой элемент может быть использован в качестве порождающего элемента 𝛼? 3. Задано множество целых чисел 𝐺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Найти функцию Эйлера 𝜙(7). 4. Задана мультипликативная абелева группа 𝐺 = <{1, 2, 3, 4}5 ;•;1>. Построить возможные циклические группы. Определить число примитивных элементов группы. 5. Множество 𝐸 всех четных чисел является подмножеством целых чисел 𝑍 = {0, ±1, ±2, …}. Показать, что < 𝐸; ± > ‒ подгруппа группы < Z; ± >. Тема № 5. 1. Построить поле порядка 𝐺𝐹( 23 ) , используя неприводимый над полем 𝐺𝐹(2) полином 𝑝(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 1. Записать элементы поля 𝐺𝐹( 23 ) через степенное, векторное и многочленное представление. 2. Привести четыре формы представления элементов поля Галуа 𝐺𝐹(22 ). Поле образовано многочленами над полем 𝐺𝐹(2) по модулю неприводимого многочлена 𝑝(𝑥) = (1+ 𝑥 + 𝑥 2 ). 3. Привести четыре формы представления элементов поля Галуа 𝐺𝐹(24 ). Поле образовано многочленами над полем 𝐺𝐹(2) по модулю неприводимого многочлена 𝑝(𝑥) = (1+ 𝑥 3 + 𝑥 4 ). Тема № 6 1. Составить таблицы умножения и сложения (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(24 ). Поле порождается неприводимым над полем 𝐺𝐹(2), полиномом 𝑝(𝑥) = (𝑥 4 + 𝑥 + 1). 2. Составить таблицы деления и сложения (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(24 ). Поле порождается, неприводимым над полем 𝐺𝐹(2), полиномом 𝑝(𝑥) = (𝑥 4 + 𝑥 3 + 1). 3. Составить таблицы деления и вычитания (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(23 ). Тема № 7 1. Найти расстояния Хэмминга векторов: 𝑑𝑖𝑠𝑡(1, 0, 0, 1, 1, 1, 0; 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) = , 𝑑𝑖𝑠𝑡(1, 2, 2, 1, 1, 1; 2, 1, 1, 0, 1, 0) = . Тема №8 1. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицу линейного группового кода с проверкой на четность с параметрами [𝑛; 𝑛 ‒1; 2], 𝑘 = 3. 2. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицы линейного группового кода с повторением с параметрами [𝑛; 1; 𝑛], 𝑛 = 5. 3. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицы линейного группового кода Хэмминга с параметрами [7; 4; 3]. 4. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицы линейного группового расширенного кода Хэмминга с параметрами [8; 4; 4]. 5. Задана проверочная матрица 𝐻 линейного группового кода. 1 1 0 1 0 0 𝐻 = [0 1 1 0 1 0]. 1 0 1 0 0 1 Построить порождающую матрицу 𝐺 этого кода. Тема № 9 1. Используйте таблицу смежных классов кода (Тема №8, п.1) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова: 𝑦1 = 0101, 𝑦2 = 1011. 2. Используйте таблицу смежных классов кода (Тема №8, п.2) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова: 𝑦1 = 11111, 𝑦2 = 01011. 3. Используйте таблицу смежных классов кода (Тема №8, п.3) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова: 𝑦1 = 1111100, 𝑦2 = 0101101. Тема № 10. 1. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (Тема №8, п.1) для контроля над ошибками, если получены слова: 𝑦1 = 0101, 𝑦2 = 1011. 2. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (Тема №8, п.4) для контроля над ошибками, если получены слова: 𝑦1 = 01011100, 𝑦2 = 10110011. 3. 1. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (Тема №8, п.5) для контроля над ошибками, если получены слова: 𝑦1 = 010110, 𝑦2 = 101110. Тема № 11 1. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления: символ а б с д е я частота 8 6 3 4 5 2 Постройте кодовое дерево Хаффмана. Запишите код Хаффмана. 2. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления: символ а щ н х з к и частота 8 2 12 1 4 7 6 Постройте кодовое дерево Хаффмана. Запишите код Хаффмана. 3. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления: символ а н т я е в к р частота 7 12 3 2 9 4 5 8 Постройте кодовое дерево Хаффмана. Запишите код Хаффмана т 1 Тема № 12 1. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {1, 2, 2, 1, 1, 1} и ℎ(𝑛) = {2, 1, 1}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции. 2. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {2, 2, 2, 1, 1} и ℎ(𝑛) = {2, 1}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции. 3. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {3, 2, 2, 1} и ℎ(𝑛) = {2, 1, 3}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции. Тема № 13. 1. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {1, 2, 2, 1, 1, 1} и ℎ(𝑛) = {2, 1, 1, 0, 1, 0}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции. 2. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {2, 2, 2, 1, 1} и ℎ(𝑛) = {1, 1, 2, 2, 2}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции. 3. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции автокорреляции последовательности 𝑥(𝑛) = {3, 2, 2, 1}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции. 4. 10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции автокорреляции последовательности 𝑥(𝑛) = {−1 − 1 − 111 − 11}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции. Тема № 14. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример. Литература 1. Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ.‒ М.: Вильямс, 2004. 2. Теория прикладного кодирования: Учеб. пособие. В 2т./ В.К. Конопелько, А.И. Митюхин и др.; Под ред. проф. В.К. Конопелько.‒ Мн.: БГУИР, 2004. 3. Митюхин, А. И., Пачинин В.И. Элементы алгебраических структур теории кодирования: учеб. пособие / А. И. Митюхин, Пачинин В. И. ‒ Минск : БГУИР, 2012. 4. Лидл Р., Нидеррайдер Г. Конечные поля: В 2т. ‒ М.: Мир, 1988. 5. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. Москва: Техносфера, 2005. 6. Лосев В.В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки: Учеб. пособие. ‒ Мн.: Вышэйшая школа, 1990. 7. Луенбергер Д. Дж. Информатика.‒ Москва: Техносфера, 2008. 8. Вернер М. Основы кодирования. Учебник для вузов. Москва. : Техносфера, 2004. 10. Овсянников В.А. Методы формирования и цифровой обработки сигналов. Учебное пособие для студентов специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» в 2-ух частях. ‒Мн.: БГУИР 2010. 11. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. – М.: Связь, 1980. 12. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы алгоритмы, применение. Учебное пособие. – М.: Техносфера, 2005. 13. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. – М.: Связь, 1979. 14. Касами Т., Токура Н., Ивадари Ё., Инагаки Я. Теория кодирования Пер. с яп.- М.: Мир, 1978. 15. Муттер В.М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд‒ние, 1990. 16. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки: Пер. с англ.М.: Мир, 1986. 17. Кларк Дж., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи: Пер. с англ.-М.: Радио и связь, 1987. 18 Макклеллан Дж.К., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. - М.: Радио и связь, 1983. 19. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов.‒ М.: Техносфера, 2006. 20. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. ‒ М.: Техносфера, 2005.6. 22.