УДК 539.3 Трещев Александр Анатольевич ФГБОУ ВО «Тульский

УДК 539.3
Трещев Александр Анатольевич
ФГБОУ ВО «Тульский государственный университет», Россия, Тула,
д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Строительство,
строительные материалы и конструкции»,
Башкатов Александр Валерьевич
ФГБОУ ВО «Тульский государственный университет», Россия, Тула,
ассистент кафедры «Строительство, строительные материалы и конструкции»
К РАСЧЕТУ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОМПОЗИТНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ КИНЕТИКИ АГРЕССИВНЫХ
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ СРЕД
Аннотация. Авторами статьи представлена разработанная математическая модель,
учитывающая разносопротивляемость и кинетику агрессивной эксплуатационной среды,
приводятся полученные результаты и выводы по ним.
Ключевые слова: агрессивные среды, слоистые армированные конструкции,
разносопротивляемость.
Treschev Alexander Anatolevich
Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education
«Tula State University», Russia, Tula,
Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department
of «Engineering, building materials and constructions»
Bashkatov Alexandr Valerievich
Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education
«Tula State University», Russia, Tula,
Assistant professor at Department of «Engineering, building materials and constructions»
ANALYSIS OF CONCRETE COMPOSITE STRUCTURES
CONSIDERING KINETICS OF CORROSIVE
OPERARATIONALEN VIRONMENTS
Annotation. Authors introduce the mathematical model that accounts defferent resistance
and kinetics of corrosive operational environments, some results and conclusions.
Keywords: corrosive environments, laminated reinforced structures, different resistance.
Построение математической модели и определение деформированного состояния
приводится для слоистой армированной плиты с полимербетонным слоем, эксплуатируемой
под действием агрессивной среды (см. рис.1).
Рис. 1. Схема рассматриваемой плиты:
1 – железобетонный слой плиты; 2 - армирование плиты; 3 – полимербетонный слой;
4 – срединная поверхность; q – равномерно распределенная нагрузка;
с – агрессивная среда; δ1 – толщина полимербетонного слоя; δ2 – толщина
железобетонного слоя; h – полная толщина плиты; a1 – толщина армированного слоя;
a2 – толщина защитного слоя бетона для арматурной сетки
Решать подобного рода задачу предложено, используя модификацию гибридных КЭ с
пятью степенями свободы в узле и матрицей жесткости, полученной непосредственно для
произвольного плоского треугольного элемента [3].
Используя матрицу некоторых функций от координат точки элемента –  P  и вектор
коэффициентов, требующих определения   при построении матрицы жесткости
конечного элемента, получаем следующее выражение для вектора обобщенных сил:
M    P .
(1)
Следовательно, вектор обобщенных деформаций будет иметь вид:
    D M    E M  ,
1
(2)
где  E  – матрица податливости. Учитывая, что матрица податливости представляет
собой интеграл по толщине плиты, приходим к выражению для энергии деформации по
объему КЭ как интеграл по его площади:
1
T
(3)
U   M   E M  d S .
2S
Т. Пианом [5] показано, что конечные элементы данного класса основаны на
функционале вида:


T
T
П    U n    td S    td S ,

n 
Vn
S


(4)
где Un – граница объема элемента; S – часть Un , подвергнутая действию внешнего
вектора сил  ; n – количество элементов; t – граничные перемещения, связанные с
узловыми перемещениями q выражением:
t   Lq .
(5)
   R  ,
(6)
Вектор сил на границе элемента  определяется из уравнения (4):
где  R  – матрица  P  для контура Un элемента;  L  – матрица связи узловых и
граничных перемещений.
Подставив выражения (1), (3), (5), (6) в уравнение (4), получаем функционал вида:
T
T
T
1

П       H      T q   0 q  ,
(7)

n 2
где
 
 H     P  E  P d S ;
(8)
T     R  L d S ;
(9)
     L d S .
(10)
T
S
T
Vn
T
0
S
После определения вариаций функционала (7) по параметрам
приравнивая эти вариации нулю, можно получить выражение вида:
T   H  T q   ,
T
1
0
n
  , q
n
(11)
и
из которого выделяется матрица жесткости элемента
 K   T   H  T .
1
T
(12)
При определении вариации функционала (7) по неизвестным коэффициентам
устанавливается связь этих коэффициентов с узловыми перемещениями:
 
    H  T q.
1
(13)
Подставляя зависимости (13) в соотношения (1), получаем следующее равенство:
M    P H  T q.
1
M 
(14)
Таким образом, после вычисления узловых перемещений вектор обобщенных сил
определен.
Представим вектор обобщенных сил через неизвестные коэффициенты
  в виде:
M 11   1   4 x1   9 x 2 ; M 22   2   5 x 2   10 x1; M 12   3   12 x1   11 x 2 ;
Q1   4   11; Q2   5   12 ; N 11   6 ; N 22   7 ; N 12   8 .
(15)
Используя уравнение (1), получаем матрицу  P  функций M11 ...N 12 от координат
точки элемента.
Вектор  при этом имеет вид:
(16)
    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  .
Подставляя матрицу  P  в соотношение (8) и учитывая известные выражения для
T
интегралов по площади треугольника, получим выражения для элементов квадратной
матрицы двенадцатого порядка  H  .
Из условия равновесия конечного элемента треугольной формы получаем следующие
равенства:
M 11  M 11C ij  M 12 S ij ; M 22  M 22 S ij  M 12Cij ; N 11  N 11C ij  N 12 S ij ;
N 22  N 22 S ij  N 12C ij ; Q  Q1C ij  Q2 S ij , C ij  cos ij ; S ij  sin  ij .
(17)
С учетом зависимостей (17), определим работу распределенных вдоль стороны
сил и моментов следующим образом:
i j
1
Aij  Lij  [ Q1C ij  Q 2 S ij  w   M 12C ij  M 22 S ij  1   M 12 S ij  M 11C ij  2 
0
  N 11C ij  N 12 S ij  u1   N 22 S ij  N 12C ij  u 2 ] d  ,
(18)
  l / Lij – безразмерная координата, измеряемая вдоль стороны конечного
элемента i  j .
где
Работа усилий и моментов, совершаемая на соответствующих перемещениях вдоль
всего контура треугольного КЭ, определяется суммой:
(19)
A  A12  A23  A31 .
Если задать вектор перемещений в i -м узле конечного элемента в следующем виде:
q   w
i
 1i  2i u1i u 2i   q i1 q i 2 q i 3 q i 4 q i 5  ,
T
i
T
(20)
то получаем вектор узловых перемещений всего КЭ:
q  q1 q 2 q 3 ... q15
T
.
(21)
Аппроксимацию граничных перемещений в зависимости от узловых перемещений
примем в следующей форме:
w  1      wi w j   Lij 1     i   j  / 2;
 1  1       1i  1 j ;  2  1       2i  2 j ;
u1  1      u1i u1 j ; u 2  1      u 2i u 2 j ;
где  i   1i c ij   2i S ij ;  j   1 j c ij   2 j S ij ; Lij – длина стороны i  j .
Представим текущие координаты x1 , x 2 на стороне
виде:
(22)
i  j через координаты узлов в
x1  x1i  Lij s ij ; x 2  x 2i  Lij c ij ;
(23)
Используя зависимости (15), (18), (22), (23) и подставляя их в уравнение (19),
T
учитывая при этом аппроксимацию (21) и выделяя векторы   , q , получим выражения
для элементов матрицы T  размера 12  15.
Задачи изгиба железобетонных плит, независимо от геометрической конфигурации,
будем рассматривать в условиях активной деформации и простого нагружения, при этом
будет использоваться потенциал деформаций, представленный в работе А.А. Трещева [4]:
W1   Aе  Bе  2   Cе  Dе  Eе Сos3  2 
  Aр  B р  2   C р  D р  E р Сos3  2 
n
,
(24)
Ap , Bp , C p , Dp , E p – константы потенциала;  ,  –
нормированные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке;  и 
– нормальные и касательные напряжения;  – фаза напряжений; S0   2   2 ;    ;
где
Ae , Be , Ce , De , Ee
и
S0

 ;
Cos3 
S0
напряжений;
2 det(Sij )
3
;
Sij   ij   ij ;
 ij (i, j  1,2,3) – симметричный тензор
 ij – символ Кронекера.
Деформации ползучести при кратковременном нагружении не учитываем. Размеры
рассматриваемой плиты в плане велики по сравнению со средним расстоянием между
арматурными стержнями, это позволяет пренебречь местными напряжениями в зоне
контакта арматуры и бетона, а значит – распределить арматуру, представив ее в виде
сплошного слоя. В качестве модели для стальной арматуры примем идеальное
упругопластическое тело.
Для построения математической модели полимербетонного слоя за основу принимаем
теорию малых упругих деформаций А.А. Ильюшина [1] применительно к механике
сплошной среды. При построении инкрементальной модели изгиба необходимо получить
уравнения, связывающие приращения напряжений с приращениями деформаций.
Построением данных соотношений в своих работах занимался В.В. Петров [2], сами
уравнения имеют вид (25), (26), (27):
4 *
1
1  Ec*
 4
 11  Ek  11   22    11   22 
 ;
3 
2
2    (t )
 3
(25)
4 *
1
1  Ec*
 4
 22  Ek   22  11     22  11 
 ;
3 
2
2    (t )
 3
(26)
1 *
1
Ec*
 12  Ek  12   12
 .
3
3
  (t )
(27)
Однако в рассматриваемой нами модели необходимо учитывать еще два касательных
напряжения (28), (29):
1 *
1
Ec*
 13  Ek  13   13
 ;
3
3
  (t ) 
(28)
1 *
1
Ec*
 23  Ek  23   23
 ,
3
3
  (t )
(29)
где  11 ,  22 ,  12 ,  13 ,  23 – приращения нормальных и касательных
напряжений, вызванные приращением внешних воздействий;  11 ,  22 ,  12 ,  13 ,  23
*
– приращения линейных и угловых деформаций; Ek – переменный касательный модуль с
*
учетом действия агрессивной среды; Ec – переменный секущий модуль, учитывающий
уровень концентрации агрессивной среды;  – приращение глубины проникания
агрессивной среды.
Для апробации построенной модели использовалась плита, рассматриваемая в опытах
В. Гелера и Х. Амоса, в сжатой зоне которой расположен полимербетонный слой из
эпоксидного бетона, модуль упругости которого на основании нормативной литературы
равен E=25500 МПа. Толщина полимербетонного слоя - 0,04 м. Номер плиты по опытам В.
Гелера и Х. Амоса – 711, размеры плиты в плане 31,50,149 м, схема опирания – точечное
по углам, коэффициенты армирования 11  0,0137 , 22  0,0092 , расстояние от верхней
грани плиты до середины армированного слоя – 0,125 м. Модуль упругости арматурной
стали был принят равным E=2·105 МПа. Нагрузка постоянна, равномерно распределенная
P=40 кПа. Агрессивная среда –
20 %-ный раствор NaCl, с плотностью ρ=1,219 г/см3.
Полученные результаты расчетов приведены на рисунках 2, 3.
Рис. 2. Напряжения σy на нижней поверхности плиты по оси у
Рис. 3. Прогибы срединной плоскости вдоль длинной стороны плиты
по оси центра тяжести
Приведенные графики напряжений показывают наличие качественных эффектов,
связанных с учетом разносопротивляемости и чувствительности материала к виду
напряженного состояния. Из графиков видно, что по мере увеличения концентрации
агрессивной среды в материале происходит перераспределение напряжений в размере до 1015 %, что является критичным и недопустимым для ряда конструкций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильюшин А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин - М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.
2. Петров В.В. Построение инкрементальных соотношений для физически
нелинейного материала с развивающейся неоднородностью / В.В. Петров // Проблемы
прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. –
Саратов: СГТУ, 2005. – С. 138-143.
3. Теличко В.Г. Гибридный конечный элемент для расчета плит и оболочек с
усложненными свойствами / В.Г. Теличко, А.А. Трещев // Известия вузов. Строительство. –
2003. – № 5. – С. 17-23.
4. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к
виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / А.А. Трещев. – Тула: ТулГУ,
2008. – 264 с.
5. Pian T.T.H. Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution / Т.Т.
Pian // AIAA Journal. - 1967. - Vol 5. - P. 1332-1333.