Решение исследовательских задач по теме «Квадратичная функция» Урок систематизации и обобщения знаний Цели и задачи урока: 1)образовательные: повторение и обобщение знаний учащихся о квадратичной функции; углубление ранее полученных знаний; более глубокое усвоение геометрического смысла коэффициентов в формуле, задающей квадратичную функцию, умение анализировать условия, заданные как аналитически, так и графически 2)воспитательные: воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность; 3)развивающие: развитие интеллектуальных способностей, развитие умения кратко и четко формулировать свои мысли,умения переносить знания в новые ситуации, развитие мышления и интереса к предмету у учащихся в процессе решения проблемных ситуаций. Используемое оборудование: мультимедийный проектор, компьютер; раздаточные материалы. Применяемые технологии: ИКТ, проблемного обучения. Использование вышеперечисленных современных образовательных технологий позволяет повысить эффективность учебного процесса, помогают достигать лучшего результата в обучении математике, повышают познавательный интерес к предмету. Ход урока 1. Организационный момент. Одним из важных видов функций, рассматриваемых в математике, являются квадратичные функции. Сегодня мы посмотрим, как знание свойств квадратичной функции можно использовать при решении различных заданий, в т.ч.и заданий с параметром, рассмотрим более глубже геометрический смысл коэффициентов в формуле, задающей квадратичную функцию. 2. Устная работа В программе GeoGebra рисунок №1: Какой формулой задается квадратичная функция? Как влияют коэффициенты a,b,c на расположение и вид параболы? В какой точке квадратичная функция принимает наименьшее (наибольшее) значение? Каким уравнением задается ось симметрии параболы? Как найти координаты вершины параболы? Слайд №1: Может ли парабола на рисунке быть графиком функции у=ах2-ах+b? у 1 1 3 х −а 1 Решение: найдем абсциссу вершины параболы х0= − = , как мы видим, найденное 2а 2 значение не соответствует рисунку, значит, ответ: нет. Слайд №2. Может ли парабола на рисунке быть графиком функции у=ах2+bх+а? у х Решение: для функции у=ах2+bх+а у(0)=а, по рисунку а>0, но ветви параболы направлены вниз, значит, должно быть а< 0. Ответ: нет. Слайд №3. График какой из указанных ниже функции изображен на рисунке? у 1) y 2 x 2 4 x 2) y x 2 x 2 2 3) y 2 x 2 4 x 4) y x 2 2 x х 0 2 Ответ: 3. 3.Проверочная работа 1 вариант №1.На рисунке изображен график функции y ax 2 bx c Определите знаки коэффициентов a , b и c. №2. По графику функции найдите: а) уравнение оси симметрии параболы б) множество значений функции в) Знак D №3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. 2 вариант №1.На рисунке изображен график функции y ax 2 bx c Определите знаки коэффициентов a , b и c. №2. По графику функции найдите: а) уравнение оси симметрии параболы б) множество значений функции в) Знак D №3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. 4.Решение заданий с параметрами. №1. При каких значениях параметра k вершина параболы y=kx² ̶ 7x+4k лежит во второй четверти? Решение:х0<0, у0>0. №1. При каких значениях параметра k вершина параболы y=kx² ̶ 7x+4k лежит во второй четверти? 7 <0 𝑘<0 𝑘 { ;{ ; − 1,75 < 𝑘 < 0 49 − 4 ∙ 𝑘 ∙ 4𝑘 −1,75 < 𝑘 < 1,75 − >0 4𝑘 Ответ: −1,75 < 𝑘 < 0 №2. При каких значениях p вершины парабол y=x² ̶ 2px ̶ 1 и y= ̶ x²+4px +p расположены по разные стороны от оси х? №2. При каких значениях p вершины парабол y=x² ̶ 2px ̶ 1 и y= ̶ x²+4px +p расположены по разные стороны от оси х? Решение: Вершины парабол будут находиться по разные стороны от оси , если ординаты их вершин имеют разные знаки. Два сомножителя имеют разный знак, когда их произведение отрицательно (Координата ув вершины находится подстановкой хв в уравнение параболы). (р2–2р2–1)(–4р2+8р2+р) О т в е т : (–∞;–0,25)(0;+∞) 2 способ: Ординату вершины параболы можно найти по формуле и.т.д. №3.Постройте график функции у = х3 +4х2 +5х+2 х+1 и определите, при каких значениях k прямая у=kx+5 имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Найдите координаты этой точки. Решение: у=х² + ̶ 3х+2, х≠ –1 График функции у=х² + ̶ 3х+2, х≠ – 1должен иметь с прямой у=kx+5 ровно одну общую точку. Найдем, сколько корней имеет уравнение х² + ̶ 3х+2= kx+5 в зависимости от k. х2+(3–k)х–3=0, D= k2–6k+21при всех k больше нуля, т.е. график функции у=х² + ̶ 3х+2, х≠ –1и прямая у=kx+5 будут иметь только одну общую точку только в том случае, когда эта прямая проходит через выколотую на параболе точку, т.е. через точку с координатами (–1; 0). 0=k∙(–1)+5, k=5. y=5x+5 Найдем координаты обшей точки : х² + ̶ 3х+2= 5x+5, х =3 или х= –1.Условию задачи удовлетворяет значение х=3 у(3)=5∙3+5=20 Ответ: k=5 ;(3;20). №3.Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая у=kx+5 имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Найдите координаты этой точки. Самостоятельно решить: №4. При каких значениях n парабола y= ̶ x²+(n ̶ 1)x+n целиком расположена ниже прямой у=1? Решение: Ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение должно быть меньше 1 №4. При каких значениях n парабола (ордината вершины параболы меньше 1). y= ̶ x²+(n ̶ 1)x+n целиком расположена ниже прямой у=1? (𝑛−1)2 +4𝑛 < 1 ,n2+2n–3<0 , (n+3)(n–1)<0 Ответ: (–3;1) 4 Подведение итогов урока Рефлексия Я могу определять по графику функции y ax bx c знаки коэффициентов а, b и с. Я знаю, каким уравнением задается ось симметрии параболы. Я умею находить координаты вершины параболы. Я могу определить аналитически, сколько общих точек имеет парабола и прямая. Домашнее задание мне кажется……легким/трудным 2 Домашнее задание: 1) При каких значениях m парабола y=x2+(m+1)x+m целиком расположена выше прямой у= –4? 2) При каких значениях m вершины парабол y=–x2–6mx+m и y=x2–4mx–2 расположены по одну сторону от оси х ? 3)Постройте график квадратичной функции y=x²–4x+c, если ее наименьшее значение равно 1. 4) Квадратичная функция задана формулой y=ax²–(а+2)x+3.Найдите а, если ось симметрии графика– прямая х= –0,5. 5) Постройте график функции фиком ровно одну общую точку? . При каких значениях m прямая у=m имеет с гра- Использованная литература Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. М. ,2008-… Сборник задач по алгебре: учеб. пособие для 8-9 кл. с углублен. изучением математики. Галицкий М.Л. и др. М.,2001-… ГИА 2013. Математика. Сборник заданий. Кочагин В.В., Кочагина М.Н. М.,2012 ОГЭ 2015. Математика. Семенов А.В., Трепалин А.С. и др. М. 2014