Лекция № 6 Общая топология Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т.д. Определение 1. Последовательность x1 , x2 ,...,xn ,... точек то- пологического пространства T называется сходящейся к точке x T , если любая окрестность точки x содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой. Однако в топологических пространствах понятие сходимости не играет той фундаментальной роли, которая ему принадлежит в метрических пространствах. Дело в том, что в метрическом пространстве R точка x есть точка прикосновения множества M R в том и только том случае, когда в M существует последовательность, сходящаяся к x (см. теорему 2, лекция № 2). В топологических пространствах, вообще говоря, это не так. Из того, что точка x есть точка прикосновения для M , не вытекает существования в M последовательности, сходящейся к x. Пример 1. На отрезке [0,1] назовем открытыми те его подмножества (наряду с пустым множеством), которые получаются из него выбрасыванием любого конечного или счетного числа точек. Эта система множеств есть топология. Действительно, пустое множество и весь отрезок открыты. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств есть такие же множества. В этом пространстве сходящимися будут только стационарные последовательности, т.е. такие, элементы которых, начиная с некоторого номера, совпадают: xn , xn 1 ,..., xn k ,... ( x; xn x ) . (Докажите это!). С другой стороны, если мы возьмем в качестве M полусегмент (0,1] (с топологией, указанной выше!), то точка 0 будет для M точкой прикосновения, но никакая последовательность точек из M не сходится к 0 в нашей топологии. Однако если мы будем рассматривать не произвольные топологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности, т.е. если у каждой точки x T существует счетная определяющая система окрестностей, то в этом случае каждая точка прикосновения x 83 произвольного множества M T может быть представлена как предел некоторой последовательности точек из M . Действительно, пусть { On } – счетная определяющая система окрестностей точки x . Можно считать, что On 1 On (иначе мы замеn нили бы On на Oi ). Пусть x k – произвольная точка из M , содерi 1 жащаяся в Ok , k 1,2,3,... . Ясно, что такое x k существует, иначе x не была бы точкой прикосновения для M . Последовательность { x k } , очевидно, сходится к x . Замечание 1. Первой аксиоме счетности удовлетворяют все метрические пространства. Именно поэтому мы смогли все такие понятия, как замыкание, точка прикосновения и т.д., сформулировать для метрических пространств в терминах сходимости последовательностей. Непрерывные отображения. Определение 2. Пусть X и Y – два топологических пространства. Отображение f : X Y пространства X в пространство Y называется непрерывным в точке x0 X , если для любой окрестности V y0 точки f ( x0 ) y0 Y найдется такая окрестность U x 0 точки x0 , что f ( U x0 ) V y 0 . Отображение f : X Y называется непрерывным (всюду в X !), если оно непрерывно в каждой точке x X . В частности, непрерывное отображение топологического пространства X в числовую прямую называется непрерывной функцией. Данное нами определение непрерывности отображений носит «локальный» характер, т.е. непрерывность отображения f на всем пространстве X определяется через непрерывность f в каждой точке. Оказывается, что понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т.е. в терминах топологии этих пространств. Теорема 1. Для того чтобы отображение f : X Y топологического пространства X в топологическое пространство Y было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз U f 1 (V ) любого открытого множества V Y был открыт в X . Необходимость. Пусть отображение f непрерывно всюду в X в смысле определения 2 и пусть V – открытое множество в Y . До84 кажем, что множество U f 1 ( V ) открыто в X . Пусть x – произвольная точка множества U и y f ( x ) . Тогда V служит окрестностью точки y , так как y V и V открыто. По определению непрерывности f найдется окрестность U x точки x такая, что f ( U x ) V , т.е. U x U . Иначе говоря, для любой точки x U существует окрестность U x этой точки, содержащаяся в U . Но это и означает, что U открыто. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть прообраз любого открытого множества из Y открыт в X . Докажем, что тогда отображение f непрерывно в смысле определения 2. Рассмотрим произвольную точку x X . Пусть y f ( x ) и V y – произвольная окрестность точки y . Тогда прообраз U f 1( V y ) открытого множества V y Y открыт в X и x U . Таким образом, x U и для каждой окрестности точки y f ( x ) мы указали окрестность точки x такую, что ее образ лежит в окрестности точки y . Теорема доказана. Утверждение 1. Пусть имеется отображение (произвольных множеств!) f : X Y , и пусть V – произвольное подмножество множества Y , т.е. V Y . Тогда справедливо равенство f 1( Y \ V ) X \ f 1( V ) . Доказательство. Пусть x f цепочку эквивалентных утверждений: 1 ( Y \ V ) . Имеем следующую x f 1( Y \ V ) f ( x ) Y \ V f ( x ) V x f 1( V ) x X \ f 1( V ) Таким образом, f 1 ( Y \ V ) X \ f 1( V ) и X \ f 1( V ) f 1( Y \ V ) , 1 1 откуда и следует, что f ( Y \ V ) X \ f ( V ) . Утверждение доказано. Как следствие, получаем теорему, двойственную теореме 1. Теорема 1’. Для того чтобы отображение f : X Y топологического пространства X в топологическое пространство Y было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого замкнутого множества из Y был замкнут (в X ). 85 Для непрерывных отображений справедлива теорема, аналогичная хорошо известной из анализа теореме о непрерывности сложной функции. Теорема 2. Пусть X , Y и Z – топологические пространства, и пусть f : X Y и g :Y Z есть непрерывные отображения соответственно X в Y и Y в Z . Тогда отображение : X Z , т.е. x g( f ( x )) есть непрерывное отображение пространства X в пространство Z . Доказательство этой теоремы очевидно в силу теоремы 1. Гомеоморфизм. Два топологических пространства X и Y называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства X на всё пространство Y : f : X Y . Гомеоморфные пространства обладают одними и теми же топологическими свойствами и с топологической точки зрения их можно рассматривать просто как два экземпляра одного и того же пространства. Топологии в двух гомеоморфных пространствах служат образами и прообразами друг друга. Отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно; поэтому совокупность всех топологических пространств распадается на классы (непересекающиеся!) гомеоморфных между собой пространств. Замечание 2. Пусть X и Y – произвольные множества, и f : X Y есть отображение X в Y . Если в множестве Y задана некоторая топология (т.е. система множеств, содержащая пустое множество и всё Y и замкнутая относительно взятия любых объединений и конечных пересечений), то прообраз топологии всех множеств вида f 1 ( G ) , где G ) будет топологией в X (т.е. совокупность . Для доказательства достаточно вспомнить теоремы о прообразе объединения и 1 пересечения множеств. Обозначим эту топологию через f ( ) . Замечание 3. Метрические свойства двух гомеоморфных между собой метрических пространств могут быть различны; так одно из них может быть полно, а другое – нет. Например, интервал ( 2, 2 , ) гомеоморфизм можно задать функцией гомеоморфен числовой прямой: соответствующий x tg( x ) . Но при этом прямая – это полное пространство, а интервал – нет. 86 Замечание 4. Метрика пространства R однозначно определяет его топологию, но не наоборот: одну и ту же топологию в R ( X , ) можно получить, задавая в X различные метрики. Аксиомы отделимости. Хотя многие понятия теории метрических пространств легко переносятся на произвольные топологические пространства, все же топологические пространства есть объект слишком общий с точки зрения задач анализа. Здесь возникают ситуации, существенно отличающиеся от того, что может иметь место в метрических пространствах. Пример 2. Связное двоеточие. Пусть T состоит из двух точек a и b , причем открытыми, т.е. топологией , считаем множества ,{ a ,b },{ b } . В этом пространстве замкнуты следующие множества: T , и { a } . Замыкание одноточечного множества { b } есть всё T . Мы видим также: конечное множество точек (даже одна точка b ) в топологическом пространстве может быть не замкнутым. Среди топологических пространств можно выделить пространства более близкие по своим свойствам к метрическим пространствам. Для этого к аксиомам 10 ) и 2 0 ) топологии надо присоединить дополнительные условия. Такими дополнительными условиями были, например, аксиомы счетности. Первая аксиома счетности. Говорят, что точка x топологического простран- { O n } , если для любого открытого множества G , содержащего точку x , найдется некоторая окрестность Ok из { On } такая, что x Ok G . Если это верно для каждой точки пространства T , то ства T имеет счетную определяющую систему окрестностей оно называется пространством с первой аксиомой счетности. Вторая аксиома счетности. Совокупность B открытых множеств называется базой топологического пространства T , если всякое открытое множество в T может быть представлено как объединения (конечного или бесконечного) числа множеств из Пространства, обладающие хотя бы одной счетной базой B . B { Bn } , называются про- странствами со второй аксиомой счетности. Аксиомы счетности позволяют изучать топологию пространства на основе понятия сходимости. Другой важный тип дополнительных условий составляют требования иной природы – так называемые аксиомы отделимости. 87 Первая аксиома отделимости (аксиома T1 ). Для любых двух различных точек x и y топологического пространства T существуют окрестности O x точки x , не содержащая точку y , и окрестность O y точки y , не содержащая точку x . В таких пространствах любая точка есть замкнутое множество. Действительно, если x y , то существует окрестность O y точки y , не содержащая x , т.е. y [ x ] . Поэтому [ x ] x . Следовательно, в T1 – пространстве замкнуто любое множество, состоящее из конечного числа точек. Примером топологического пространства, не удовлетворяющего первой аксиоме отделимости, является связное двоеточие. Утверждение 2. Если в топологическом пространстве T замкнуты все множества, состоящие из конечного числа точек, то в нем выполнена первая аксиома отделимости. Доказательство. Пусть x , y T , x y . Тогда точка x имеет окрестность O x T \ { y } , не содержащую y , и точка y имеет окрестность O y T \ { x } , не содержащую x . Утверждение доказано. Как обычно, точка x T называется предельной точкой множества M T , если для любой окрестности U точки x пересечение U ( M \ { x }) не пусто. В пространствах, не удовлетворяющих первой аксиоме отделимости, предельные точки могут быть даже у множеств, состоящих только из конечного числа точек. Пример 3. Пусть T – связное двоеточие с топологией, состоящей из множеств ,{ a ,b },{ b } . Тогда точка a является предельной для множества M { b } . Действительно, любая окрестность точки a в этой топологии есть множество { a ,b } . Тогда { a ,b } ( M \ { a }) { a ,b } { b } , т.е. точка a есть предельная точка множества M {b} . В пространствах с первой аксиомой отделимости такого не может быть. Утверждение 3. Для того чтобы точка x была предельной для множества M в топологическом пространстве T с первой аксиомой отделимости, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность U этой точки содержала бесконечно много точек из M . 88 Доказательство. Достаточность этого условия очевидна. Действительно, если любая окрестность U точки x содержит бесконечное число точек из M , то множество U ( M \ { x }) не пусто. Установим его необходимость. Пусть x – предельная для M . Предположим, что существует такая окрестность, которая содержит только конечное число точек из множества M . Пусть x1 , x 2 ,...,x n – все эти точки, кроме самой x (если она принадлежит M ). Тогда V U \ { x1 , x 2 ,...,x n } является x (V окрестностью точки открытое множество и V ( M \ { x }) ), а это противоречит тому, что x – предельная точка для M . Всякое метрическое пространство заведомо удовлетворяет первой аксиоме отделимости. Поэтому за определение предельной точки множества в метрическом пространстве можно принять свойство, указанное в утверждении 3. Усилением первой аксиомы отделимости является Вторая аксиома отделимости (аксиома T2 ). Любые две различные точки x и y топологического пространства T имеют непересекающиеся окрестности O x и O y . Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются хаусдорфовыми топологическими пространствами. Всякое хаусдорфово пространство автоматически удовлетворяет первой аксиоме отделимости, но не наоборот. Пример 4. Также как и в примере 1, рассмотрим отрезок [ 0 ,1 ] и будем считать в нем открытыми пустое множество и все множества, получающиеся из отрезка выбрасыванием не более счетного числа точек. Полученная таким образом топология удовлетворяет первой аксиоме отделимости, но не удовлетворяет второй. Докажем эти утверждения. Пусть x и y – две различные точки отрезка [ 0 ,1 ] . Тогда окрестность O x [ 0 ,1 ] \ { y } точки x не содержит точки y , и окрестность O y [ 0 ,1 ] \ { x } точки y не содержит точки x . Первая аксиома отделимости выполнена. Но для этих точек нельзя указать окрестности O x и O y такие, что O x O y , т.к. они (окрестности!) должны получаться из отрезка выбрасыванием не более счетного множества точек, а отрезок имеет мощность континуума. 89 Третья аксиома отделимости (аксиома T3 ). Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности. При этом окрестностью множества M в топологическом пространстве T называют всякое открытое множество U такое, что M U . Задача 1. Докажите, что в топологическом пространстве T аксиома T3 выполнена если и только если любая окрестность U произвольной точки x содержит меньшую окрестность той же точки, входящую в U вместе со своим замыканием. Как мы уже видели, в произвольном топологическом пространстве точка может быть не замкнутым множеством. Но в пространствах с первой аксиомой отделимости точка – всегда замкнутое множество. Поэтому аксиома T3 интересна только для пространств с аксиомой T1 . Топологические пространства, удовлетворяющие обеим аксиомам T1 и T3 , называются регулярными. Всякое регулярное пространство, очевидно, хаусдорфово. Пример 5. Рассмотрим отрезок [0,1], в котором окрестности всех точек, кроме точки 0 , определяются обычным способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуинтервалы [0, ), из которого выкинуты точки вида 1 n , n 1,2,.... Получается хаусдорфово пространство, в котором точка 0 и последовательность { 1 n } – непересекающиеся замкнутые множества, но они неотделимы друг от друга непересекающимися окрестностями. Докажите это. Четвертая аксиома отделимости (аксиома T4 ). T1 – пространство называется нормальным, если в нем всякие два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Утверждение 4. Любое метрическое пространство нормально. Доказательство. Не вызывает сомнения тот факт, что в метрическом пространстве выполнена аксиома T1 . Пусть теперь X и Y – два непересекающихся замкнутых множества в метрическом пространстве R . Каждая точка x X имеет окрестность O x , непересекающуюся с Y и, следовательно, находится от Y на некотором положительном расстоянии x . Аналогично, расстояние каждой точки y Y от X есть положительная величина y . Рассмотрим открытые множества 90 y и V B( y , ), U B( x , x ) 2 2 yY xX содержащие X и Y соответственно, и покажем, что их пересечение пусто. Допустим, что z U V . Тогда в X существует такая точка x0 , что ( x0 , z ) x0 2 , а в Y – такая точка y 0 , что ( z , y0 ) y0 2 . Пусть для определенности x0 y0 . Тогда ( x0 , y0 ) ( x0 , z ) ( z , y0 ) x0 2 y0 2 y0 , т.е. x0 B( y0 , y0 ) , но это противоречит определению y0 . Утверждение доказано. Всякое подпространство метрического пространства само является метрическим пространством и поэтому всегда обладает свойством нормальности. В топологических пространствах это, вообще говоря, не так: подпространство нормального пространства не обязано быть нормальным. Но мы не будем углубляться в эту тему. Различные способы задания топологии. Прямой способ задать топологию в пространстве – это указать те множества, которые мы считаем открытыми (например, связное двоеточие). Набор этих мно0 0 жеств должен удовлетворять аксиомам 1 ) и 2 ) топологии. Равносильный этому двойственный способ – указать набор замкнутых множеств, удовлетворяющий требованиям 11 ) и 21 ) . Однако эти способы редко могут быть применены. Так, например, даже на плоскости вряд ли можно дать непосредственное описание всех открытых множеств, как это удалось сделать на прямой (см. лекцию № 3, теорема 3). Распространенный способ задания топологии состоит в выборе некоторой базы. Фактически именно так и вводится топология в метрических пространствах, где мы, опираясь на метрику, задаем базу – совокупность открытых шаров. Еще один способ задать топологию в пространстве – это ввести в нем понятие сходимости. Однако за пределами метрических пространств это неприемлемо, поскольку не всегда переход от множества к его замыканию можно описать в терминах сходящихся последовательностей, как мы это видели в начале этой лекции. Можно ввести в пространстве топологию, определив в нем аксиоматически операцию замыкания. Именно, говорят, что в множестве 91 X задана операция замыкания, если каждому множеству A X поставлено в соответствие некоторое множество [ A ] X , называемое замыканием A , причем операция перехода от A к [ A ] обладает свойствами 1) – 4) теоремы 2, лекция № 5. Определив затем замкнутые множества как те, для которых [ A ] A , можно показать, что этот класс множеств удовлетворяет условиям 11 ) и 21 ) , т.е. действительно определяет в X топологию. Задание метрики – один из важнейших способов введения топологии, хотя и не универсальный. Компактность в топологических пространствах. Фундаментальная роль в анализе принадлежит следующему факту, известному как лемма Гейне-Бореля: Из любого покрытия отрезка [ a ,b ] числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Это утверждение останется справедливым, если вместо интервалов (т.е. открытых множеств вида ( , ) ) рассматривать любые открытые множества: из любого открытого покрытия отрезка [ a ,b ] числовой прямой можно выделить конечное подпокрытие. Определение 3. Топологическое пространство T называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа, называется компактом. Определение 4. Назовем некоторую систему подмножеств { A } n множества T центрированной, если любое конечное пересечение Ai i 1 членов этой системы не пусто. Из сформулированного определения компактности и соотношений двойственности вытекает следующая Теорема 3. Для того чтобы топологическое пространство T было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло условию: ( R ) Каждая центрированная система его замкнутых множеств имеет непустое пересечение. Пояснение. Пусть { F } – центрированная система замкнутых подмножеств топологического пространства T . По определению это 92 означает, что любая конечная подсистема { Fi } системы { F } имеет n непустое пересечение: Fi . Условие ( R ) означает, что тогда и i 1 F . Теперь приступим к доказательству теоремы 3. Доказательство. Необходимость. Нам надо доказать, что если T – компактное топологическое пространство, то в нем выполнено условие ( R ) . Действительно, пусть { F } – центрированная система замкнутых подмножеств из T . Множества G T \ F открыты. Утверждается, что никакая конечная подсистема из системы { G } не образует покрытия T . Действительно, для любой конечной подсистемы { Gi } имеем: n n i 1 i 1 n Gi ( T \ Fi ) T \ Fi , i 1 n и так как { F } центрирована, то Fi . Поэтому { Gi } не обраi 1 зует покрытия T . Но тогда и { G } не образует покрытия пространства T , так как иначе по определению компактности T мы могли бы из этого открытого покрытия выделить конечное подпокрытие. Но тогда T \ ( G ) F , т.е. условие ( R ) выполнено. Достаточность. Пусть в топологическом пространстве T выполнено условие ( R ) и пусть { G } – открытое покрытие пространства T. Положим F T \ G . Тогда F , так как F ( T \ G ) T \ ( G ) ( T G !). Отсюда делаем за ключение, что { F } – не центрирована, так как по условию ( R ) тогда было бы F . Тогда существуют такие F1 , F 2 ,...,F n , что n Fi . Но тогда соответствующие G i T \ F i образуют конеч- i 1 ное подпокрытие покрытия { G } , т.е. мы показали, что если в топологическом пространстве T выполнено 93 условие ( R), то из произвольного покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие, а это значит, что условие ( R ) равносильно компактности пространства T . Теорема доказана. Теорема 4. Если T – компактное топологическое пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. Доказательство. Если некоторое множество X T не имеет ни одной предельной точки, то любое его подмножество Y X также не имеет ни одной предельной точки, так как в противном случае предельная точка множества Y X была бы предельной и для X . Тогда, если топологическое пространство T содержит бесконечное множество X , не имеющее ни одной предельной точки, то в нем можно взять счетное множество X 1 { x1 , x2 ,...,xn ,...} , также не имеющее ни одной предельной точки. Множества X n { xn , xn 1 ,...} , вопервых, замкнуты, так как не имеют ни одной предельной точки, вовторых, образуют центрированную систему. Но их пересечение X n n пусто, т.е. T не компактно. Противоречие доказывает теорему. Теорема 5. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. Доказательство. Пусть F – замкнутое подмножество компактного пространства T , и { F } – произвольная центрированная система замкнутых подмножеств подпространства F T . Тогда каждое F замкнуто и в T , т.е. { F } – центрированная система замкнутых множеств и в T . Следовательно F . В силу теоремы 4 отсюда следует компактность F . Теорема доказана. Так как подпространство хаусдорфова пространства само хаусдорфово, то справедливо Следствие 1. Замкнутое подмножество компакта есть компакт. Теорема 6. Компакт замкнут в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве. Доказательство. Пусть K – компактное множество в хаусдорфовом пространстве T , и пусть y K . Тогда для любой точки x K существуют окрестность U x точки x и окрестность V y точки y такие, что U x V y . Окрестности U x образуют открытое покрытие мно- 94 жества K . В силу компактности K из него можно выделить конечное n подпокрытие U x1 ,U x 2 ,...,U x n . Положим V y V yi . Здесь V yi – i 1 окрестность нашей точки y , соответствующая точке xi . Тогда V y не n пересекается с U xi K . Отсюда следует замкнутость K . Теорема i 1 доказана. Теоремы 5 и 6 показывают, что в классе хаусдорфовых пространств компактность есть внутреннее свойство пространства, т.е. всякий компакт остается компактом, в какое бы более широкое хаусдорфово пространство мы его не включали. Теорема 7. Всякий компакт представляет собой нормальное пространство. Доказательство. Пусть X и Y – два непересекающихся замкнутых подмножества компакта K . Повторив рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 6, легко убедиться в том, что y Y существует такая окрестность U y точки y и такое открытое множество Oy X , что U y O y . Тем самым доказано, что компакт регулярен. Пусть теперь y пробегает множество Y . Выберем из покрытия { U y } множества Y конечное подпокрытие U y1 ,U y 2 ,...U y n . Тогда открытые множества O( 1 ) O y1 ... O y n и O( 2 ) U y1 ... U y n будут удовлетворять условиям O( 1 ) X , O( 2 ) Y и O( 1 ) O( 2 ) , что означает нормальность. Теорема доказана. 95