Ракета пущена под углом 73° к горизонту с начальной скоростью

Контрольная работа №1
106. Ракета пущена под углом 73° к горизонту с начальной скоростью
21 м/с. Определить время полета ракеты до наивысшей точки траектории.
Дано: α = 73°, V0 = 21 м/с
Найти: t1
Решение:
В наивысшей точке траектории – в точке 1 – скорость движения тела
будет наименьшей, она направлена горизонтально, под углом 90° к линии
действия силы тяжести. Вертикальная составляющая скорости будет равна
нулю, она, как известно, выражается формулой:
Vy  V0Sin  gt
В наивысшей точке траектории – в точке 1:
0  V0Sin  gt1  t1 
V0Sin 21 Sin73

2с
g
9,8
Ответ: t1 = 2 c.
111. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная
скорость точки, лежащей на ободе, в 5 раз больше линейной скорости точки,
находящейся на 49 см ближе к оси колеса.
Дано: V R   5V R 49
Найти: R
Решение:
Линейная скорость произвольной точки М вращающегося тела
определяется по формуле:
1
VМ  R
Угловая скорость в любой точке вращающегося колеса остается
одинаковой, что с учетом начальных условий дает:
R  5 R  49  R  5R  245  R  61, 25 см
Ответ: R = 61,25 см
127. Автомобиль массой 8108 кг разгоняется из состояния покоя по
горизонтальному пути в течение 64 с под действием силы тяги 6016 Н.
Коэффициент сопротивления движению равен 0,036. Какой скорости он
достигнет за время разгона?
Дано: m = 8108 кг, t = 64 c, Fт = 6016 Н, μ = 0,036.
Найти: V
Решение: Сделаем рисунок, обозначив все силы, действующие на
автомобиль:
Проектируя все силы на оси координат и, используя второй закон
Ньютона, запишем:
ma  Fт  Fc

 N  mg
2
Учитывая, что сила сопротивления равна Fс  N , а ускорение а 
V
,
t
найдем:
 V
V
m  Fт  N
 m  Fт  mg 
 t
t

 N  mg
F

 6016

 V  t  т  g   64  
 0, 036  9,8   25 м с
 8108

m

134. Автомобиль движется в гору с ускорением 1 м/с2, угол наклона
горы к горизонту равен 10°, сила тяжести автомобиля 7391 Н. Коэффициент
трения равен 0,069. Найти силу тяги, развиваемую мотором.
Дано: a = 1 м/с2, α = 10°, mg = 8108 кг, μ = 0,036.
Найти: Fт
Решение: Сделаем рисунок, обозначив все силы, действующие на
автомобиль:
ma  Fтр  mg  N  Fт
Проектируя все силы на оси координат и, используя второй закон
Ньютона, запишем:

ma  Fт  Fтр  mgCos  90   


 N  mgCos
3
Учитывая, что сила трения равна Fтр  N , найдем:
ma  Fт  N  mgCos  90   
 ma  Fт  mgCos  mgCos  90    

 N  mgCos
 Fт  ma  mgCos  mgCos  90    

mga
 mgCos  mgCos  90    
g
8108 1
 0, 036  8108  Cos10  8108  Cos80  2523 Н
9,8
145. С какой скоростью после горизонтального выстрела из винтовки
стал двигаться стрелок, стоящий на весьма гладком льду? Масса стрелка с
винтовкой составляет 89 кг, а масса пули 19 г и ее начальная скорость 388
м/с.
Дано: М = 89 кг, m = 19 г = 0,019 кг, V = 388 м/с.
Найти: U
Решение:
Воспользуемся законом сохранения импульса. До выстрела система
находилась в покое, и ее импульс равнялся нулю. Значит, суммарный
импульс после выстрела тоже будет равен нулю.
mV – MU = 0
U
mV 0, 019  388

 0, 083 м с
M
89
155. Тело массой 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью 1 м/с,
не упруго сталкивается со вторым телом массой 46 кг. Какую скорость будут
иметь тела, если второе тело до соударения двигалось со скоростью 29 м/с
навстречу первому?
Дано: m1 = 1 кг, m2 = 46 кг, V1 = 1 м/с, V2 = 29 м/с.
Найти: U
Решение:
4
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется.
Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел. По
закону сохранения импульса (знак «минус» - тела двигались навстречу друг
другу):
m1V1  m2 V2   m1  m2  U
Отсюда:
U
m1V1  m 2 V2 1 1  46  29

 28, 4 м с
m1  m 2
1  46
Ответ: Тела будут двигаться со скоростью 28,4 м/с в ту сторону, куда
двигалось второе тело до столкновения (знак «минус»).
165. Колебательная система совершает затухающие колебания с
частотой 1000 Гц. Определить частоту собственных колебаний, если
резонансная частота равна 748,3 Гц.
Дано: ω = 1000 Гц, ωрез = 748,3 Гц.
Найти: ω0
Решение:
Воспользуемся следующими формулами:
2рез  02  2 2
2  02   2
Здесь β – коэффициент затухания, исключив который из уравнений,
получим:
2рез  22  02
Отсюда частота собственных колебаний:
0  22  2рез  2 10002  748,32  1200 Гц
Ответ: 0  1200 Гц
5
175. Однородный стержень массой 123 г и длиной 1,3
м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z,
проходящей через центр стержня точку О. В точку А на
конце стержня попадает пластилиновый шарик, летящий
горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью 5 м/с
и прилипает к стержню. Масса шарика 17 г. Определить
угловую скорость стержня сразу после прилипания шарика.
Дано: M = 123 г, l = 1,3 м, V = 5 м/с, m = 17 г.
Найти: ω
Решение:
Для решения задачи используем закон сохранения момента импульса:
n
J 
i 1
i
i
 const
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульсов
остается постоянной. До удара момент импульса стержня равен нулю
(стержень покоился), момент импульса шарика был равен
mV
l
2
После прилипания стал:
2

l 
 J  m    
2 

Момент инерции стержня:
ml2
J
12
Тогда по закону сохранения момента импульса
2
M  3m  l2

l  Ml2
l 
mV  
 m   

2  12
12
 2  
Отсюда
6

6mV
6 17  5

 2, 25 с1
 M  3m  l 123  3 17  1,3
1
Ответ:   2, 25 с
7
Контрольная работа №2
205. В сосуде объемом 5 л находится 20 г кислорода под давлением 489
мм рт. ст. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа.
Дано: V = 5 л = 0,005 м3, m = 20 г = 0,02 кг, Р = 489 мм рт. ст. = 65,2
кПа.
Найти: Vкв
Решение:
Средняя
квадратичная
скорость
молекул
газа
связана
с
его
температурой соотношением:
Vкв 
3RT

Здесь μ – молекулярная масса газа.
Для
определения
температуры
газа
воспользуемся
уравнением
Менделеева-Клапейрона:
PV 
m
RT 

RT PV


m
Тогда средняя квадратичная скорость молекул газа:
Vкв
3PV
3  65, 2 103  0, 005


 70 м с
m
0, 02
Ответ: Vкв  70 м с
214. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота
равна 2,5 МДж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 500 м/с.
Найти массу азота в баллоне.
6
Дано: Wк  2,5 МДж  2,5 10 Дж , Vкв  500 м с
Найти: m
Решение:
8
Средняя
квадратичная
скорость
молекул
газа
связана
с
его
температурой соотношением:
3RT


Vкв
или
Vкв
3
2

RT

Средняя полная энергия молекулы зависит от числа I степеней
свободы:

i
kT
2
Полная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул
равна его внутренней энергии:
Wк  U  N
Здесь N – число всех молекул в баллоне.
N определим из соотношения:
N
NA m

Тогда:
U
N m i m
i
kT  A   RT
2

2 
Отсюда:
V
RT 2U

 кв

im
3
2
 m
6U
i  Vкв
2
Азот – двухатомный газ, следовательно, i = 5 и
m
6Wк
5 Vкв
2
6  2,5 106

 12 кг
5  5002
Ответ: m = 12 кг
225. Средняя квадратичная скорость некоторого двухатомного газа
равна 670 м/с. Масса газа 0,20 кг. Определить кинетическую энергию
поступательного движения (всех) молекул данного газа.
9
Дано: Vкв  670 м с , m = 0,2 кг
Найти: Wк
Решение:
Средняя полная энергия молекулы зависит от числа i степеней
свободы:

i
kT
2
Полная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул
равна его внутренней энергии:
Wк  U  N
Здесь N – число всех молекул в баллоне.
N определим из соотношения:
N
NA m

Тогда:
Wк  U 
Средняя
квадратичная
N m i m
i
kT  A   RT
2

2 
скорость
молекул
газа
связана
с
его
температурой соотношением:
Vкв
3RT


или
2
V
RT
 кв

3
Тогда:
i m
i m Vкв
Wк  U   RT  
2 
2
3
2
Для двухатомного газа число степеней свободы i = 5, из них на
поступательное движение приходится i = 3, следовательно
i m Vкв
Wк  
2
3
2
3 0, 2  6702
 
 44,89 кДж
2
3
10
Ответ: Wк = 44,89 кДж.
235. Определить потенциальную энергию пылинок, взвешенных в
воздухе на некоторой высоте от пола, если их концентрация на этом уровне в
2 раза меньше, чем у поверхности пола. Температура воздуха 14°С.
Дано: 2nh = n0, Т = 14°С = 287 К
Найти: Wп
Решение:
Потенциальная энергия определяется формулой:
Wп  mgh
Распределение молекул по высоте определяется зависимостью:
n h  n 0e

mgh
kT
 n 0e

Wп
kT
Отсюда потенциальная энергия:
Wп  kT ln
nh
n
1
 kT ln h  1,38 1023  287 ln  2, 7 10 21 Дж
n0
n0
2
21
Ответ: Wп  2, 7 10 Дж
245. Чему равна удельная теплоемкость при постоянном объеме
некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных
условиях равна 6,831 кг/м3?
Дано: ρ = 6,831 кг/м3
Найти: сV
Решение:
Удельная
теплоемкость
при
постоянном
объеме
определяется
формулой:
i R
сV  
2 
11
Для
определения
μ – молекулярной массы газа воспользуемся
уравнением Менделеева-Клапейрона:
PV 
m
mRT
RT   

PV
По определению плотности  
m
V
Значит:

RT
i RP
i P
, сV  
 
P
2 RT 2 T
Для двухатомного газа i = 5, нормальными считаются условия, когда
P = 105 Па, Т = 273 К, т.е.
i P 5
105
сV  
 
 134 Дж кг  К
2 T 2 6,831 273
Ответ: сV  134 Дж кг  К
252. Водород массой 82 г был нагрет на 99 К при постоянном давлении.
Сколько теплоты поглотил при этом газ?
Дано: m = 82 г = 0,082 кг, ΔT = 99 К
Найти: Q
Решение:
Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания:
Q
Здесь Cp 
m
Cp T

i2
R – молярная теплоемкость газа при постоянном
2
давлении;
i = 5 – число степеней свободы (водород двухатомный газ);
μ = 0,002 кг/моль – молекулярная масса кислорода.
Тогда:
12
Q
m i2
0, 082 5  2

RT 

 8,31 99  118 кДж
 2
0, 002 2
Ответ: Q = 118 кДж
265. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температуры
нагревателя и холодильника соответственно 555 и 331 К. Рабочим телом
служит воздух массой 16 кг. Известно, что давление воздуха в конце
изотермического расширения равно давлению в начале адиабатического
сжатия и цикл протекает 54 с. Определить тепловую мощность, подводимую
к машине.
Дано: Т1 = 555 К, Т2 = 331 К, m = 16 кг, t = 54 с
Найти: N
Решение:
Мощность определяется формулой:
N
A
t
Согласно закону сохранения энергии работа, совершаемая двигателем,
равна:
A  Q1  Q2
При изотермическом расширении
Q1 
P
m
RT1 ln 1

P2
При изотермическом сжатии
13
Q2 
P m
P
m
RT2 ln 3  RT2 ln 3

P4 
P2
При адиабатическом расширении
P3  Т1 
 
P2  Т 2 

1
При адиабатическом сжатии
P1 P1  Т1 
  
P4 P2  Т 2 

1
Тогда
Q1 
Q2 
N
Т 
m
RT1 ln  1 

 Т2 

1
Т 
m
RT2 ln  1 

 Т2 
A Q1  Q 2


t
t

1

Т 
 m
RT1 ln  1 
1  
 Т2 

Т 
 m
RT2 ln  1 
1  
 Т2 
Т 
Т 
 m
 m
RT1 ln  1  
RT2 ln  1 
1  
 Т2  1   
 Т2 
t
Т 
 m
R T1  T2 ln  1 
1  
 Т2 

t

N – мощность, отдаваемая потребителю, которая отличается от
подводимой мощности N1 на коэффициент полезного действия η:

N Т1  Т 2

N1
Т1
 N1 
Т1 N
Т1  Т 2
Тогда:
Т1
N1 
Т 
 m
R T1  T2 ln  1 
1  
 Т2 
t  Т1  Т 2 
14
Поскольку воздух является смесью двухатомных газов – азота и
кислорода, определим показатель адиабаты, отношение его теплоемкостей,
как для двухатомного газа i = 5:

СР i  2 5  2


 1, 4
СV
i
5
Окончательно:
555 
N
1, 4
16
 555 

 8,31 555  331  ln 

1  1, 4 0, 029
 331 
 85, 2 кВт
54   555  331
Ответ: N1  85, 2кВт
275. Два сосуда с водой соединены короткой трубкой с краном. В
первом сосуде находится 25 кг воды, нагретой до 322 К, во втором – 71 кг
воды, имеющей температуру 320 К. Найти изменение энтропии системы
после открывания крана и установления равновесного состояния. Система
заключена в теплоизолирующую оболочку.
Дано: m1 = 25 кг, m2 = 71 кг, Т1 = 322 К, Т2 = 320 К
Найти: ΔS
Решение:
Рассматриваемая система изолирована – теплообмен не происходит,
внешние силы не действуют. После открывания крана начнется заведомо
необратимый самопроизвольный процесс, в результате которого в сосудах
установится температура Т, при этом Т2 < Т < T1. В данном случае имеем
изобарный процесс, т.е. Р = Р1 = Р2. Тогда изменение энтропии системы
складывается из изменений энтропии сосудов:
Т1
Т
dQ
dQ
S  S1  S2   

T Т2 T
Т
Знак "минус" – так как теплота у первого сосуда отбирается.
Изменение теплоты при постоянном давлении:
15
dQ  С р dT
Тогда
Т1
Т
Т1
dT
dT
Т
Т2
S  Ср 
 Ср 
 Ср ln  Ср ln  Ср ln
T
T
T
T2
Т1T2
Т
Т2
Установившуюся
температуру
найдем,
используя
уравнения
Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний:
PV1 
m1
RT1

P  V1  V2  
V1  V2 
T
PV2 
m2
RT2

 m1  m2  RT

m1
m
R
RT1  2 RT2 
 m1T1  m 2T2 
Р
Р
Р
P  V1  V2 

R  m1  m 2 
P
R
 m1T1  m2T2  m T  m T
Р
2 2
 1 1
R  m1  m 2 
m1  m 2
Учитывая, что удельная теплоемкость при постоянном давлении для
воды ср = 4200 Дж/мольК, молярная теплоемкость Ср = μср, получаем:
 m1T1  m 2T2  
Т2
S  Ср ln
 с р ln
2
Т1T2
 m1  m 2  Т1T2
2
 25  322  71 320   0, 225 Дж
 0, 018  4200  ln
2
 25  71  320  322
2
К
Ответ: S  0, 225 Дж К
16